31.2.2 三角形相似的判定（第1课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

第五份练习已经出好了。这一课时讲的是 AA 判定（即两个角分别相等）和直角三角形的相似判定；练习仍然是纯文本格式，按包含公式的统计口径共有 1508 字，16 道题目与答案逐条对应，配分合计 100 分。 --- # 三角形相似的判定（第 2 课时）专项练习 （两角分别相等判定相似，满分 100 分，建议用时 45 分钟） ## 一、知识梳理 ① 判定定理（AA）：两个角分别相等的两个三角形相似。因为三角形内角和为 180°，两角相等，第三角必然也相等，所以只需找两组角。 ② 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，若 ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。写相似式时顶点按对应角一一对齐。 ③ 常见找角途径：公共角、对顶角、平行线截出的同位角或内错角、同角的余角相等、直角都相等。 ④ 直角三角形的特殊判定：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL 型相似）。 ⑤ 由相似得对应边成比例、对应角相等；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 ## 二、选择题（每题 4 分，共 24 分） 1. 下列条件中，能判定两个三角形相似的是（ ） A. 有两个角分别相等 B. 有两组边成比例 C. 有一个角相等 D. 有两组角互补 2. 在 △ABC 中，∠A＝50°，∠B＝60°；在 △DEF 中，∠D＝50°，∠F＝60°。下列相似式正确的是（ ） A. △ABC∽△DEF B. △ABC∽△DFE C. △ABC∽△EDF D. 两三角形不相似 3. 在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝5，BC＝3，A′B′＝10，B′C′＝6，则这两个三角形（ ） A. 相似，相似比 1∶2 B. 不相似 C. 相似，相似比 2∶1 D. 无法判断 4. 在 △ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且 ∠AED＝∠B，则下列相似式正确的是（ ） A. △ADE∽△ABC B. △ADE∽△ACB C. △ADE∽△BCA D. 两三角形不一定相似 5. 两个相似三角形的面积比为 4∶25，则它们的周长比为（ ） A. 2∶5 B. 4∶25 C. 5∶2 D. 16∶625 6. 下列说法错误的是（ ） A. 两个等腰三角形若顶角相等，则一定相似 B. 两个等边三角形一定相似 C. 两个直角三角形若有一锐角相等，则一定相似 D. 两个等腰三角形若都有一个 60° 角，则不一定相似 ## 三、填空题（每题 4 分，共 24 分） 7. ________分别相等的两个三角形相似。 8. 斜边和一条直角边________的两个直角三角形相似。 9. 在 △ABC 中，∠A＝40°，∠B＝70°；在 △DEF 中，∠D＝40°，∠E＝70°，则 △ABC∽________。 10. 在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°，AC＝3，AB＝5，DF＝6，DE＝10，则这两个三角形________（填“相似”或“不相似”）。 11. 若 △ABC∽△A′B′C′，∠A＝45°，∠B＝75°，则 ∠C′＝________。 12. 两个相似三角形的面积比为 9∶16，则它们的对应边之比为________。 ## 四、解答题（共 52 分） 13.（12 分）在 △ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，AE＝2。求 AB 的长。 14.（12 分）在 △ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，∠ADE＝∠C。求证 △ADE∽△ACB，并写出三组对应边的比例式。 15.（12 分）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D 为垂足。求证 △ACD∽△ABC；若 AC＝6，AB＝10，求 AD 的长。 16.（16 分）同一时刻，身高 1.6m 的小明站在阳光下，影长为 2m；他旁边一棵树的影长为 8m。太阳光线可看作平行光。 （1）说明小明与他的影子、树与它的影子分别构成的两个三角形为什么相似； （2）求这棵树的高度。 ## 五、参考答案与解析 1. A。AA 只需两组角相等。B 缺少角的相等条件，可能是 SSA；只给一组角不够；互补的角并不相等。 2. A。△ABC 的三个角为 50°、60°、70°，△DEF 中 ∠E＝70°。三个角分别对应相等，A-D、B-E、C-F 对位，故 △ABC∽△DEF。 3. A。斜边之比为 5∶10＝1∶2，直角边之比为 3∶6＝1∶2，满足“斜边与一条直角边成比例”，相似比 1∶2。 4. B。∠A 为公共角，∠AED＝∠B，即 A-A、E-B、D-C，故 △ADE∽△ACB。这个顺序最容易写错。 5. A。面积比 4∶25 开方得相似比 2∶5，周长比即 2∶5。 6. D。等腰三角形只要有一个 60° 角就必为等边三角形，一定相似。A 由顶角相等可以推出底角相等；C 中另一个锐角也相等。 7. 两个角（写“两角”也可以）。 8. 成比例。 9. △DEF。两角分别相等，第三角也相等，A-D、B-E、C-F 对位。 10. 相似。斜边之比为 5∶10＝1∶2，直角边之比为 3∶6＝1∶2，符合判定定理。 11. 60°。∠C＝180°－45°－75°＝60°，对应角相等。 12. 3∶4。面积比开方即对应边之比。 13. 解：∠A＝∠A，∠AED＝∠B，所以 △ADE∽△ACB。 对应边为 AD 与 AC、AE 与 AB，故 AD∶AC＝AE∶AB，即 3∶6＝2∶AB，3AB＝12，AB＝4。 答案：AB＝4。∠AED 对应 ∠B，所以 AE 对应 AB、AD 对应 AC，别把 AD 配给 AB。 14. 证明：∠A＝∠A（公共角），∠ADE＝∠C，所以 △ADE∽△ACB。 对应边比例式：AD∶AC＝AE∶AB＝DE∶CB。 说明：D 与 C 对应、E 与 B 对应，写成 △ADE∽△ABC 就不对。 15. 证明：CD⊥AB，故 ∠ADC＝90°＝∠ACB；又 ∠A＝∠A，所以 △ACD∽△ABC。 解：由相似得 AD∶AC＝AC∶AB，AD×10＝6²，AD＝3.6。 答案：AD＝3.6。这是母子型相似，有 AC²＝AD·AB 可提速，但须先写出相似式作依据。 16. 解：（1）人与影子、树与影子都垂直于地面，各有一个直角；太阳光是平行光，同一时刻光线与地面夹角相等，各有一组相等的锐角。由 AA 判定，两三角形相似。 （2）设树高 h m，由相似得 h∶1.6＝8∶2，2h＝12.8，h＝6.4。 答案：树高 6.4m。列比例时“高∶高＝影长∶影长”的次序要一致。 ## 六、方法小结 1. AA（两个角分别相等）最容易找，先找现成的等角：公共角、对顶角、平行线截出的角、直角、同角的余角。 2. 写相似式要按照角的对应关系对齐顶点，不能凭感觉写顺序。 3. 列比例前先定“哪条边对哪条边”，再动笔，比事后返工省时。 4. 影子测高类题，把实物与影子放在同一组对应位置上列式。 --- 第 4、13、14 题是同一类错误的三连击，错因都是把“对应顶点”写反；建议让孩子做完后逐题检查相似式的顺序。接下来可以出 31.2.3（相似三角形的性质：对应线段、周长、面积），也可以把这几份合成一份单元卷。 人教版（新教材）数学九年级下册 31.2.2 三角形相似的判定（第1课时） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第三十一章 相似 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 合作探究 探究1 类比判定三角形全等的“边边边”，三边满足什么条件的两个三角形相似?能证明你的结论吗? 三边分别相等 的两个三角形全等 如图，在△ABC和△ A′B'C′中， = = . 求证：△ABC∽△A'B'C′. 三边成比例 的两个三角形相似 猜想 证明： 如图，在△A'B'C′的边A′B′ ( 或其延长线)上截取A′D=AB，过点D 作DE//B'C′，交A'C′于点E. 根据上一节的定理，可得△A′DE∽△A′B'C′. ∴ = = ， 又 = = ，A′D=AB， ∴DE=BC，A'E=AC. ∴△A'DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A'B'C'. 合作探究 △A'DE是联系△ABC和△A′B′C′的桥梁. 符号语言 ∵ = = ， ∴△ABC∽△A'B'C′. 合作探究 三角形相似的判定定理 （3） 三边成比例的两个三角形相似. 合作探究 三角形相似的判定定理 预备定理 判定1 判定2 判定3 根据三角形相似的判定定理可知，如果一个三角形的两角、或两边的比及其夹角、或三边的比确定了，那么这个三角形的形状也就确定了. 平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 典例分析 例1 如图，在由相同的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D，E都在格点上.求证：△ABC∽△CED. 分析： 根据勾股定理可以求出这两个三角形的各边长，进而可以利用三边成比例证明这两个三角形相似. 典例分析 例1 如图，在由相同的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D，E都在格点上.求证：△ABC∽△CED. 证明：设小正方形的边长为a，根据勾股定理， AB=a，BC=3a，AC=2a； CE=2a，ED=6a，CD=4a. ∴ = = = ， ∴ △ABC∽△CED. 返回 55 1. 如图，在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝50°，∠B＝75°，∠A′＝50°，则当∠C′＝________°时，△ABC∽△A′B′C′. 举一反三 8 返回 2. ∠ADE＝∠C (答案不唯一) 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________．(写出一种情况即可) 举一反三 合作探究 探究2 类比判定直角三角形全等的“斜边、直角边”，满足什么条件的两个直角三角形相似?能证明你的结论吗? 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 如图，在Rt△ABC和Rt△ A′B'C′中， ∠C=∠C′=90°， = . 求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 猜想 证明： 设 = =k，则 AB=kA'B′，AC= kA'C′. 由勾股定理，得 BC=，B'C′=. ∴ = = = =k. ∴ = = . ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 合作探究 符号语言 ∵ ∠C=∠C′=90°， = ， ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 合作探究 三角形相似的判定定理 （4） 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 合作探究 直角三角形相似的判定定理 1 2 3 思考 结合直角三角形相似的判定方法，你能说一说如何确定一个直角三角形的形状吗? 根据直角三角形相似的判定定理可知，如果一个直角三角形的一个锐角、或两条直角边的比、或斜边和一直角边的比确定了，那么这个直角三角形的形状也就确定了. 一个锐角相等的两个直角三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似 典例分析 例2 已知在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A. ∠A=∠A′ B．AC:A′C′=BC:B′C′ C．AC:AB=A′C′:A′B′ D．AC:AB=B′C′:A′C′ D 典例分析 例3 如图，已知：∠ACB=∠ABD=90°，BC=3，AC=4，当BD=_________时，图中的两个直角三角形相似． 提示： 当BD:BC=AB:AC时，△ABC∽△ADB. 当BD:AC=AB:BC时，△ABC∽△DAB. 或 巩固练习 1.如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列 A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与△EFG 相似的是（ ） A． B． C． D． B 返回 3. 3 如图，AD，BC相交于点P，连接AC，BD，且∠1＝∠2，AC＝6，CP＝4，DP＝2，则BD的长为________. 举一反三 返回 4. [教材P36练习T1变式]下列各组三角形中，可能不相似的是(　　) A．底角为40°的两个等腰三角形 B．有一个角是45°的两个等腰三角形 C．有一个角是60°的两个等腰三角形 D．有一个角为120°的两个等腰三角形 B 举一反三 返回 5. 证明：∵∠DEC＝∠ADB， ∠DEC＋∠AED＝∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴∠AED＝∠ADC. ∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC. (4分) 如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DEC＝∠ADB.求证：△AED∽△ADC. 举一反三 返回 6. 证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABE＝∠DBC. 又∵∠AEB＝∠C，∴△ABE∽△DBC. (4分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，点E在对角线BD上，连接AE，∠AEB＝∠C.求证：△ABE∽△DBC. 举一反三 返回 7. D 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是(　　) A．∠A＝65°，∠D＝25° B．AC＝3，BC＝4，DF＝6，EF＝8 C．AC＝9，BC＝12，DF＝12，EF＝16 D．AB＝12，BC＝8，DE＝35，EF＝21 举一反三 返回 8. 3 举一反三 返回 9. (4分)[教材P36练习T2变式]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，且CD⊥AB. 求证：AC2＝AB·AD. 举一反三 23 小结梳理 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 预备定理 判定定理 两角分别相等 两边成比例且夹角相等 三边成比例 斜边和一直角边成比例 布置作业 必做题：习题31.2 第4(3)，7题. 1 探究性作业：习题31.2 第10题. 2 谢谢观看 THANKS 如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2，则当AB等于________时，Rt△ABC∽Rt△ACD. 证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACB＝∠ADC. 又∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC. ∴＝，∴AC2＝AB·AD. $