12.4.3 角平分线（第2课时：角平分线的判定定理） 同步练2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

12.4.3 角平分线（第2课时：角平分线的判定定理） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（     ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是对称轴 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握是解题关键． 【详解】解：两把直尺相同， 直尺的宽度相等， 点到、的距离相等， 平分，依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 2．如图，在中，，于点E，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， 是的平分线， ． 在中，． 3．如图，在中，线段垂直平分边，过点D作，垂足为F，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，．即可证明平分，则，得到，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵线段垂直平分边， ∴， ∴， ∵，． ∴平分， ∴， ∴， ∴． 4．如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，三角形的面积；连接，根据已知得出平分，根据平行线的性质，以及等角对等边得出，同理得出，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和分别是的外角和的平分线， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到的距离为4， ∴的面积为， 故选：B． 5．如图，是内一点，且点到三边，，的距离相等，即，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，是的角平分线，然后根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是内一点，且点到三边，，的距离相等，即， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，，M是的中点，DM平分，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，作于，由角平分线的性质定理可得，结合题意可得，从而可得平分，再由平行线的性质求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵，平分，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．如图，，，当________时，点在的平分线上． 【答案】5 【分析】到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上，据此结合题意可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴当时，点在的平分线上． 8．如图，点O在直线上，，点P在内部，，，垂足分别为D，E，，则________________________． 【答案】65 【分析】因为点O在直线上，所以是平角，度数为，结合已知，可先计算出的度数．因为且，根据角平分线的判定定理，可判断是的角平分线．利用角平分线的性质，等于的一半，代入的度数即可得到结果． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴． ∵，，且， ∴是的角平分线． ∴． 9．如图，射线把分成两个三角形，，，．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】过点G作于点D，于点E，则，据此可推出，则平分，求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点G作于点D，于点E， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，边上的点到、边的距离相等，连接，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，根据题意，易得平分，在上截取，连接，证明，得到，进而得到，再根据垂线段最短，得到时，最短，利用面积公式求出的长即可. 【详解】解：在上截取，连接， ∵边上的点到、边的距离相等， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时的值最小为的长， 又∵垂线段最短， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∵平分， ∴为的中线， ∴， ∴当时，， ∴, ∴的最小值为； 故答案为：. 三、解答题 11．如图，在中，，点D是边上一点，点E是边上一点，连接、，，垂足为F，，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ， ，即， ， 平分； (2) 【分析】（1）证明和全等，得，根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）由和全等，得，由和全等，得，进而可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 12．如图，在中，点D在边上，于点E，于点F，且，连接，点G在上，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：，，， ∴点D在的平分线上，即平分， ， 又， ， ， 即平分． (2) 【分析】（1）先证明平分，即，根据三角形内角和定理得出，即平分． （2）根据角平分线的性质得出，证明，得出，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，平分， 又，， ， 在和中， ，，， ． ， ∴四边形的周长为． 13．如图，在和中，，，， (1)求证：； (2)延长交于点，连接，请补全图形，并证明平分． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴； (2)解：补全图形如下，证明如下： 如图所示，过点A作于点M，于点N， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【分析】（1）证明，即可证明； （2）根据题意补全图形，过点A作于点M，于点N，证明，得到，据此可证明平分． 【详解】（1）略 （2）略 14．如图，点是外一点，连接，，过点作，垂足为，过点作交延长线于点．，，的面积为20． (1)求证：是的角平分线． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵，的面积为20， ∴ ∴ ∵， ∴是的角平分线； (2)证明：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵又， ∴ ∴． 【分析】（1）由三角形面积公式求出，然后利用角平分线的判定定理证明即可； （2）证明，得到，然后证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $12.4.3角平分线（第2课时：角平分线的判定定理) 同步练2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1,如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于点P,则OP平分∠BOA的依据是() B A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C.角平分线的性质 D.角平分线是对称轴 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E,CD=DE,∠CBD=26°，则∠A的度数为() D B A.50° B.52° C.26 D.38° 3.如图，在△ABC中，线段DE垂直平分边AC,过点D作DF⊥AB,垂足为F,且DE=DF.若∠BAC=7O°，则 ∠B的度数为() A.75° B.80° C.85 D.70° 答案第1页，共2页 4.如图，AP和BP分别是△ABC的外角∠BAM和∠ABN的平分线，AP和BP交于点P,过点P作PD∥CN交AC于 点D,AB于点E,若CD=8,BE=5,点A到DP的距离为4，则△ADE的面积为() M B A.5 B.6 C.7 D.8 5.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB,AC,BC的距离相等，即OP=OM=ON,若∠ABC=80°，则 ∠AOC的度数是() B M A.140° B.130° C.120° D.110° 6.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC,若∠ADC=100°，则∠MAB=(). D M A.50° B.40° C.30° D.35 二、填空题 7.如图，∠A=∠B=90°，BM=5,当AM=时，点M在∠ANB的平分线上. N AO B M 8.如图，点O在直线AB上，∠BOC=50°，点P在∠AOC内部，PD⊥OA,PE⊥OC,垂足分别为D,E, 答案第2页，共2页 PD=PE,则∠AOP=」 0 E D 9.如图，射线G知△48C分成两个三角形，4B=8,C=2,8:=2:3.若A+∠C=10°，则∠G的度数 .若 为 B 5 G 10,如图，在△1BC中，1C边上的点D到4B、BC边的距离相等，连接D,∠BAC=∠C,BC=0,S,sm=24 点E、F分别是BD、AB上的动点，连接AE、EF,则AE+EF的最小值为一· H B 三、解答题 1L.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是边BC上一点，点E是边AC上一点，连接DE、AD,DF⊥AB,垂足 为F,DE=DB,CE=FB B y (I)求证：AD平分∠BAC: (2)若FB=2,AE=8,求AB的长. 12.如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DE=DF,连接AD,点G在AD 答案第3页，共2页 上，连接EG,FG. (I)求证：DA平分∠EDF: (2)若AE=1.5m,EG=0.9m,求四边形AEGF的周长. 13.如图，在△ADE和△ABC中，AD=AB,DE=BC,EA=CA, D B (1)求证：∠E=∠C: (2)延长CB交DE于点G,连接AG,请补全图形，并证明GA平分∠DGC. 14.如图，点D是△ABC外一点，连接AD,CD,过点C作CE⊥AB,垂足为E,过点C作CF⊥AD交AD延长线 于点F.AD=8,CE=5,△ADC的面积为20. (I)求证：AC是∠BAD的角平分线. (2)若BE+AD=AE,求证：BC=CD 答案第4页，共2页 答案第5页，共2页