3.2双曲线的8大必考点复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线的8大必考点 （高二专题讲义 · 教师版） 人教A版 · 选择性必修第一册 · 圆锥曲线 一、知识清单 （一）双曲线的定义 平面内与两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （且 ）的点的轨迹叫做双曲线，即 。 两个定点叫焦点，两焦点间的距离 叫焦距。 定义里的“绝对值”不能丢：若只写 ，轨迹只是双曲线的右支；只写 ，只有左支。 三种退化情形： 时轨迹是两条射线； 时轨迹不存在； 时轨迹是线段 的垂直平分线。 （二）标准方程与基本量 焦点在 轴上：（，），焦点 、。 焦点在 轴上：（，），焦点 、。 核心关系 ，与椭圆的 正好相反，考试中最容易混。 实轴长 ，虚轴长 ；顶点在实轴端点上，虚轴的两个端点不在双曲线上（这是与椭圆最大的差别）。 永远对应正项的分母：方程中哪一项为正，焦点就在哪个轴上。 （三）渐近线 的渐近线为 ； 的渐近线为 。 速记法：把标准方程右边的 改为 ，得 ，分解即得两条渐近线，不必背公式。 与已知双曲线共渐近线的双曲线可设为 （）， 时焦点在原轴上， 时焦点换轴。 （四）离心率 ，且 。 越接近 ，开口越窄； 越大，开口越开阔。 等轴双曲线：，此时 ，渐近线为 且互相垂直。 求离心率的基本套路：把条件（垂直、共线、比例、角度）化成关于 、、 的齐次关系，再除以 化为 的方程；解出后必须用 取舍。 （五）常用结论（均可由定义推出） 1. 焦点到渐近线的距离等于 ； 2. 过焦点且垂直于实轴的弦（通径）长为 ； 3. 焦点三角形面积 ，其中 ； 4. 焦半径：设 在右支上， 为右焦点，则 ，。 （六）点差法 设弦 的两端点在双曲线上，中点为 ，则 。 注意：双曲线的中点弦极易“算得出、不存在”。求出斜率后必须把直线方程代回双曲线，验证判别式大于零，否则弦根本不存在。 （七）五条高频易错 第一，把 写成椭圆的 ，导致离心率算错。 第二，渐近线斜率写反， 与 取决于焦点在哪根轴。 第三，由 求出两个焦半径后不检验取值范围，把小于 的增解留下。 第四，点差法求出弦方程就交卷，不检验存在性。 第五，直线与双曲线联立时忽略二次项系数为零的情形（直线与渐近线平行时只有一个交点，但不是相切）。 二、八大核心考点 考点1　定义辨析与焦半径求值 核心要点：抓住“差的绝对值等于 ”，先定支，再算焦半径；每个结果都要用 检验，这是本考点唯一的失分点。 【典例1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，且 ，求 。 解：由方程得 ，，。 由定义 （右支上左焦点的距离更大），所以 。 检验：右支上的点到右焦点的距离最小为 ，而 ，符合。 所以 。 点拨：判断“哪条焦半径大”只看支：右支上到左焦点远、到右焦点近。 【典例2】 双曲线 的上、下焦点为 、，点 在双曲线上，且 ，求 。 解：，，，定义给出 。 所以 或 。 检验：双曲线上的点到焦点的距离最小为 ，故 不可能取到，舍去。 所以 。 点拨：本题没给在哪一支，因此出现两个候选值； 是焦半径的下界，这条检验线不能省。 【变式1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在左支上，且 ，求 。 解：，，。左支上到右焦点 的距离更大，故 。 所以 ，检验 成立。 所以 。 点拨：左支与右支的公式方向相反，先判断“谁减谁”再动笔。 【变式2】 已知 、 两点间的距离为 ，动点 满足 ，判断 的轨迹并写出标准方程（、 在 轴上）。 解：由 得 ，由 得 。 因为 ，符合双曲线定义，故轨迹是双曲线（两支都要），且 。 所以方程为 。 点拨：这里是 ，即 ，符号与椭圆完全相反，写错必错。 考点2　求标准方程 核心要点：先定型（焦点在哪根轴），再定量（、、 三个量知二求一）；渐近线已知时优先用共渐近线设法。 【典例1】 已知双曲线的渐近线为 ，且经过点 ，求它的标准方程。 解：先假设焦点在 轴上，则 ，即 ，方程为 。 代入点 得 ，即 ，矛盾，故焦点不在 轴。 改设焦点在 轴：，由渐近线 得 ，即 。 代入 ：，故 ，。 所以方程为 。 点拨：只给渐近线不给轴，必须先讨论两种情形；出现 就是“此假设不成立”的信号，不能硬算。 【典例2】 已知双曲线的焦点在 轴上，实轴长为 ，且经过点 ，求标准方程。 解：由实轴长 得 ，。 设方程为 ，代入点得 ，即 。 解得 ，。 所以方程为 。 点拨：“实轴长”对应 ，写方程时代入的是 ，一步错满盘错。 【变式1】 已知双曲线的渐近线为 ，且经过点 ，求标准方程。 解：若焦点在 轴，则 ，代入 得 ，左边为负，矛盾。 故焦点在 轴：，即 ，方程为 。 代入 ：，得 ，。 所以方程为 。 点拨：点在“哪一侧”可以由代入后是否出现负数判断，比凭感觉猜轴可靠。 【变式2】 已知双曲线的焦点为 、，且双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 ，求标准方程。 解：焦点在 轴，；距离之差的绝对值为 ，故 ，。 由 得 。 所以方程为 。 点拨：焦点坐标直接给出轴的位置，省去讨论； 用减法算，不要写成加法。 考点3　渐近线相关问题 核心要点：方程化标准式再读渐近线；焦点到渐近线距离恒为 ；两条渐近线互相垂直等价于 。 【典例1】 已知双曲线 ，求它的渐近线方程，并求焦点到渐近线的距离。 解：化为标准式 ，故 ，，。 渐近线为 。 焦点 到直线 的距离 。 所以渐近线为 ，距离为 。 点拨：结论“焦点到渐近线距离等于 ”可以记住，但想不出时用点到直线距离公式现算最快。 【典例2】 双曲线 的一条渐近线与圆 相切，求 的值。 解：渐近线为 ，圆心 ，半径 。 相切即圆心到直线的距离等于半径：。 平方得 ，即 ，故 。 所以 。 点拨：分母 这个替换能大幅化简，记住 。 【变式1】 已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，求 的值。 解：焦点在 轴，渐近线为 。 两条渐近线关于坐标轴对称，互相垂直即斜率之积为 ：。 得 ，。 所以 （此时 ，为等轴双曲线）。 点拨：“渐近线垂直”与“等轴双曲线”是一回事， 是它的代数刻画。 【变式2】 已知双曲线的渐近线为 ，求它的离心率。 解：分两种情形。若焦点在 轴，则 ，。 若焦点在 轴，则 ，即 ，。 所以离心率为 或 。 点拨：只给渐近线、没定轴时必是两个答案；若题目还给了一个点或一条范围，就能唯一确定。 考点4　离心率求值与范围 核心要点：把几何条件翻译成 、、 的等式或不等式，除以 化为 ；求范围时别忘了 。 【典例1】 双曲线 上一点 满足 ，且 ，求离心率 。 解：设 ，则 ，由定义 ，得 。 在直角三角形 中，斜边 ，由勾股定理 ，即 。 所以 ，。 点拨：先让定义“消灭”一个未知量（把 换成 ），再用勾股定理，最后一步才出现 。 【典例2】 双曲线 的右支上存在点 满足 ，求离心率的取值范围。 解：设 ，则 ，由右支上 得 ，所以 。 右支上的点到右焦点的距离最小为 ，因此必须 ，即 。 所以 ，结合 得 。 点拨：范围问题一律用“焦半径不低于 ”建立不等式，等号能否取到取决于顶点能否达到。 【变式1】 已知双曲线的虚轴长是实轴长的 倍，求离心率 。 解：虚轴长 、实轴长 ，由条件 ，得 。 。 所以 。 点拨：“虚轴长是实轴长的 倍”即 ，代入 ，一步到位。 【变式2】 已知双曲线 上存在点 满足 ，求离心率 的取值范围。 解：点 在右支时，由 与 得 。 需 ，得 ，即 ；点 在左支时同理。 所以 。 点拨：比例型条件先解出 的具体值（含 ），再套焦半径下界，比直接硬算快得多。 考点5　焦点三角形 核心要点：定义式与余弦定理联立；面积公式 在选择题中很快，但主观题建议写出推导过程。 【典例1】 双曲线 的两个焦点为 、，点 在双曲线上，且 ，求 的面积。 解：，，。由 ，取 ，。 。 所以 的面积为 。 点拨：公式里的 不是 ，也不是 ，这是本题最典型的“记错位置”。 【典例2】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，且 ，求 。 解：，，；由定义 。 于是 。 由余弦定理 。 所以 。 点拨：平方和用“差的平方 + 2 倍积”整体求出，比分别解两个焦半径省时，也避免取舍错误。 【变式1】 双曲线 的两个焦点为 、，点 在双曲线上，且 ，求 的面积。 解：，，，。 。 所以面积为 。 点拨： 时 ，这一结论在选填题中可直接用。 【变式2】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，且 ，求 。 解：，，；由定义 ，得 。 在 中，。 所以 。 点拨：注意所求角在顶点 处，余弦定理的分子是“两条相邻边的平方和减去对边平方”。 考点6　中点弦与点差法（必须检验存在性） 核心要点：点差法给出 ，但双曲线的中点弦可能根本不存在，必须代回验证 。 【典例1】 双曲线 中，判断是否存在以 为中点的弦，若存在求出弦所在直线方程，若不存在说明理由。 解：设弦的端点为 、，中点 ，则 ，。 两式作差：，整理得 。 故候选直线为 ，即 。 代回双曲线：，化简得 ，判别式 ，无实交点。 所以不存在以 为中点的弦。 点拨：点差法只产生“候选”直线，双曲线还必须过判别式这一关；这正是双曲线比椭圆多出来的陷阱。 【典例2】 双曲线 的一条弦的中点为 ，求这条弦所在直线的斜率与方程。 解：由点差法 。 弦所在直线为 ，即 。 检验：，，确实有两条交点，弦存在。 所以斜率为 ，方程为 。 点拨：检验时只算 的符号即可，不必解出交点坐标。 【变式1】 双曲线 的一条弦的中点为 ，求这条弦所在直线的方程。 解：标准式为 ，，，故 。 直线为 ，即 。 检验：，，弦存在。 所以方程为 ，斜率为 。 点拨：中点纵坐标为负时分母为负，斜率符号随之翻转，写完后可用图形大致判断方向是否合理。 【变式2】 双曲线 中，判断是否存在以 为中点的弦，并说明理由。 解：点差法给出 ，恰好等于渐近线的斜率 。 对应的直线为 ，即 ，它与渐近线平行。 代回得 ，直线与双曲线没有交点。 所以不存在这样的弦。 点拨：当点差法算出的斜率正好等于 时，直线平行于渐近线，必然无弦，这是最快的预判。 考点7　直线与双曲线的位置关系 核心要点：联立后先看二次项系数是否为零（平行渐近线时只有一个交点，不是相切）；弦长用 。 【典例1】 直线 与双曲线 交于 、 两点，求 。 解：代入得 ，即 ，，对应 。 所以 ，，。 点拨：本题联立后是一次方程，只有两个具体交点，直接求坐标比套弦长公式更快。 【典例2】 求双曲线 的通径长（过焦点且垂直于实轴的弦长）。 解：，，；令 代入方程。 得 ，，。 所以通径长为 ，与公式 一致。 点拨：通径公式 与椭圆的完全相同，可作为解题后的快速核对。 【变式1】 直线 与双曲线 只有一个公共点，求 的所有取值。 解：代入得 。 当 ，即 时，方程是一次方程，恰有一个解，直线与渐近线平行，符合。 当 时，需 ，即 ，，。 所以 可取 、、、，共四个值。 点拨：“只有一个公共点”包含相切与平行渐近线两种情形，只算 会漏掉两个答案。 【变式2】 双曲线 的右焦点为 ，过 作 轴的垂线交双曲线于 、，求 。 解：令 ，代入得 ，即 。 解得 ，，。 所以 ，与通径公式 一致。 点拨：垂线过焦点即为通径，先认出这是什么弦，再用公式可以秒出答案。 考点8　定值与定点问题 核心要点：定值题先设点再算乘积，把“另一条支上的对称点”代换进式子，往往一步抵消；定点题先求动直线方程中截距与斜率的关系，再看它是不是关于斜率的线性式。 【典例1】 已知 、 是双曲线 上关于原点对称的两点， 是双曲线上任意一点（不与 、 重合），求证 为定值。 证明：设 ，则 ，。 则 。 由两点都在双曲线上得 ，，相减得 。 所以 为定值，等于 。 点拨：把两个点都代进双曲线方程作差，是这类定值题的唯一核心步骤，不要试图用斜率公式硬展开。 【典例2】 已知 是双曲线 上的任意一点，求证 到两条渐近线的距离之积为定值。 证明：双曲线化为 ，渐近线为 ，即 与 。 设 ，则 ，。 所以 （这里用到 ）。 故距离之积为定值 。 点拨：两条渐近线关于坐标轴对称，点到它们的距离乘积里分子的 正好等于方程右端的常数。 【变式1】 已知 是双曲线 上的任意一点，求 到两条渐近线的距离之积。 解：渐近线为 ，即 与 。 设 ，则 ，。 故 （此处 ）。 所以距离之积为定值 。 点拨：结论可以推广——到两条渐近线距离之积恒为 ，本题 、 时正好是 。 【变式2】 已知直线 过点 ，与双曲线 交于 、 两点，求线段 中点 的轨迹方程。 解：设 ，，由点差法得 。 又 、、、 共线，、 在 上，故 。 于是 ，整理得 。 所以中点 的轨迹为 （在双曲线内部的那一段，需满足 ）。 点拨：中点轨迹题就是“点差法 + 共线”两式联立；求出方程后要说明只是其中一段弧，这是定值定点类问题最常见的追问。 三、强化训练 【强化训练1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在左支上，且 ，求 。 解：，。左支上 ，故 ，且 ，符合。所以 。 【强化训练2】 已知双曲线的渐近线为 ，且经过点 ，求标准方程。 解：设焦点在 轴，则 ，；代入 得 ，，。 所以方程为 。 【强化训练3】 已知双曲线 的渐近线为 ，求离心率。 解：焦点在 轴，渐近线 ，故 ，。 。 【强化训练4】 已知双曲线的离心率为 ，且经过点 ，求标准方程。 解： 说明 （等轴双曲线）。设焦点在 轴，代入 得 ，。 所以方程为 。 【强化训练5】 双曲线 的两个焦点为 、，点 在双曲线上，且 ，求 的面积。 解：，，。 【强化训练6】 判断双曲线 是否存在以 为中点的弦，若存在求出弦所在直线。 解：点差法给出 ，直线为 ，即 。 检验：，，弦存在，故直线为 。 【强化训练7】 直线 与双曲线 交于 、 两点，求 。 解：代入得 ， 或 ，对应 、。 。 【强化训练8】 已知双曲线的一条渐近线为 ，且焦点到该渐近线的距离为 ，求标准方程。 解：焦点到渐近线距离等于 ，故 ，；又 ，故 ，。 焦点在 轴，所以方程为 。 【强化训练9】 求双曲线 上的点到两条渐近线的距离之积。 解：渐近线为 ，设 。 则 ，故距离之积为定值 。 【强化训练10】 判断双曲线 是否存在以 为中点的弦。 解：点差法给出 ，直线为 。 代回得 ，，无交点，故不存在这样的弦。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线的8大必考点 （高二专题讲义 · 学生版） 人教A版 · 选择性必修第一册 · 圆锥曲线 一、知识清单 （一）双曲线的定义 平面内与两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （且 ）的点的轨迹叫做双曲线，即 。 两个定点叫焦点，两焦点间的距离 叫焦距。 定义里的“绝对值”不能丢：若只写 ，轨迹只是双曲线的右支；只写 ，只有左支。 三种退化情形： 时轨迹是两条射线； 时轨迹不存在； 时轨迹是线段 的垂直平分线。 （二）标准方程与基本量 焦点在 轴上：（，），焦点 、。 焦点在 轴上：（，），焦点 、。 核心关系 ，与椭圆的 正好相反，考试中最容易混。 实轴长 ，虚轴长 ；顶点在实轴端点上，虚轴的两个端点不在双曲线上（这是与椭圆最大的差别）。 永远对应正项的分母：方程中哪一项为正，焦点就在哪个轴上。 （三）渐近线 的渐近线为 ； 的渐近线为 。 速记法：把标准方程右边的 改为 ，得 ，分解即得两条渐近线，不必背公式。 与已知双曲线共渐近线的双曲线可设为 （）， 时焦点在原轴上， 时焦点换轴。 （四）离心率 ，且 。 越接近 ，开口越窄； 越大，开口越开阔。 等轴双曲线：，此时 ，渐近线为 且互相垂直。 求离心率的基本套路：把条件（垂直、共线、比例、角度）化成关于 、、 的齐次关系，再除以 化为 的方程；解出后必须用 取舍。 （五）常用结论（均可由定义推出） 1. 焦点到渐近线的距离等于 ； 2. 过焦点且垂直于实轴的弦（通径）长为 ； 3. 焦点三角形面积 ，其中 ； 4. 焦半径：设 在右支上， 为右焦点，则 ，。 （六）点差法 设弦 的两端点在双曲线上，中点为 ，则 。 注意：双曲线的中点弦极易“算得出、不存在”。求出斜率后必须把直线方程代回双曲线，验证判别式大于零，否则弦根本不存在。 （七）五条高频易错 第一，把 写成椭圆的 ，导致离心率算错。 第二，渐近线斜率写反， 与 取决于焦点在哪根轴。 第三，由 求出两个焦半径后不检验取值范围，把小于 的增解留下。 第四，点差法求出弦方程就交卷，不检验存在性。 第五，直线与双曲线联立时忽略二次项系数为零的情形（直线与渐近线平行时只有一个交点，但不是相切）。 二、八大核心考点 考点1　定义辨析与焦半径求值 核心要点：抓住“差的绝对值等于 ”，先定支，再算焦半径；每个结果都要用 检验，这是本考点唯一的失分点。 【典例1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，且 ，求 。 【典例2】 双曲线 的上、下焦点为 、，点 在双曲线上，且 ，求 。 【变式1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在左支上，且 ，求 。 【变式2】 已知 、 两点间的距离为 ，动点 满足 ，判断 的轨迹并写出标准方程（、 在 轴上）。 考点2　求标准方程 核心要点：先定型（焦点在哪根轴），再定量（、、 三个量知二求一）；渐近线已知时优先用共渐近线设法。 【典例1】 已知双曲线的渐近线为 ，且经过点 ，求它的标准方程。 【典例2】 已知双曲线的焦点在 轴上，实轴长为 ，且经过点 ，求标准方程。 【变式1】 已知双曲线的渐近线为 ，且经过点 ，求标准方程。 【变式2】 已知双曲线的焦点为 、，且双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 ，求标准方程。 考点3　渐近线相关问题 核心要点：方程化标准式再读渐近线；焦点到渐近线距离恒为 ；两条渐近线互相垂直等价于 。 【典例1】 已知双曲线 ，求它的渐近线方程，并求焦点到渐近线的距离。 【典例2】 双曲线 的一条渐近线与圆 相切，求 的值。 【变式1】 已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，求 的值。 【变式2】 已知双曲线的渐近线为 ，求它的离心率。 考点4　离心率求值与范围 核心要点：把几何条件翻译成 、、 的等式或不等式，除以 化为 ；求范围时别忘了 。 【典例1】 双曲线 上一点 满足 ，且 ，求离心率 。 【典例2】 双曲线 的右支上存在点 满足 ，求离心率的取值范围。 【变式1】 已知双曲线的虚轴长是实轴长的 倍，求离心率 。 【变式2】 已知双曲线 上存在点 满足 ，求离心率 的取值范围。 考点5　焦点三角形 核心要点：定义式与余弦定理联立；面积公式 在选择题中很快，但主观题建议写出推导过程。 【典例1】 双曲线 的两个焦点为 、，点 在双曲线上，且 ，求 的面积。 【典例2】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，且 ，求 。 【变式1】 双曲线 的两个焦点为 、，点 在双曲线上，且 ，求 的面积。 【变式2】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，且 ，求 。 考点6　中点弦与点差法（必须检验存在性） 核心要点：点差法给出 ，但双曲线的中点弦可能根本不存在，必须代回验证 。 【典例1】 双曲线 中，判断是否存在以 为中点的弦，若存在求出弦所在直线方程，若不存在说明理由。 【典例2】 双曲线 的一条弦的中点为 ，求这条弦所在直线的斜率与方程。 【变式1】 双曲线 的一条弦的中点为 ，求这条弦所在直线的方程。 【变式2】 双曲线 中，判断是否存在以 为中点的弦，并说明理由。 考点7　直线与双曲线的位置关系 核心要点：联立后先看二次项系数是否为零（平行渐近线时只有一个交点，不是相切）；弦长用 。 【典例1】 直线 与双曲线 交于 、 两点，求 。 【典例2】 求双曲线 的通径长（过焦点且垂直于实轴的弦长）。 【变式1】 直线 与双曲线 只有一个公共点，求 的所有取值。 【变式2】 双曲线 的右焦点为 ，过 作 轴的垂线交双曲线于 、，求 。 考点8　定值与定点问题 核心要点：定值题先设点再算乘积，把“另一条支上的对称点”代换进式子，往往一步抵消；定点题先求动直线方程中截距与斜率的关系，再看它是不是关于斜率的线性式。 【典例1】 已知 、 是双曲线 上关于原点对称的两点， 是双曲线上任意一点（不与 、 重合），求证 为定值。 【典例2】 已知 是双曲线 上的任意一点，求证 到两条渐近线的距离之积为定值。 【变式1】 已知 是双曲线 上的任意一点，求 到两条渐近线的距离之积。 【变式2】 已知直线 过点 ，与双曲线 交于 、 两点，求线段 中点 的轨迹方程。 三、强化训练 【强化训练1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在左支上，且 ，求 。 【强化训练2】 已知双曲线的渐近线为 ，且经过点 ，求标准方程。 【强化训练3】 已知双曲线 的渐近线为 ，求离心率。 【强化训练4】 已知双曲线的离心率为 ，且经过点 ，求标准方程。 【强化训练5】 双曲线 的两个焦点为 、，点 在双曲线上，且 ，求 的面积。 【强化训练6】 判断双曲线 是否存在以 为中点的弦，若存在求出弦所在直线。 【强化训练7】 直线 与双曲线 交于 、 两点，求 。 【强化训练8】 已知双曲线的一条渐近线为 ，且焦点到该渐近线的距离为 ，求标准方程。 【强化训练9】 求双曲线 上的点到两条渐近线的距离之积。 【强化训练10】 判断双曲线 是否存在以 为中点的弦。 1 学科网（北京）股份有限公司 $