广东省汕头市龙湖区汕头育能实验学校 2026—2027 学年度第一学期九年级数学期中随堂测试

汕头育能实验学校2026一2027学年度第一学期 初三数学期中随堂测试 考试时间：120分钟 卷面扮值：130分 命题人 审卷人 班级： 姓名： 座号： 一、选择题（共10题，共30分） 1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是() 2.下列方程中，是一元二次方程的是（) A.x+2=4 B.x+2y=1 C.-3 D.x2-3x=0 3.己知反比例函数y=m-的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是() A.m>1 B.m<1 C.m>0 D.m<0 4.对于二次函数y=3(x-2)+5,下面说法正确的是() A.开口向下B.顶点坐标(-2,5)C.对称轴是直线x=2D.当x=2时，函数取得最大值5 5.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天， 每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为() A.x(x+1)=28 B.2x(x-)=28 C.x(x-1)=28 D. 2(x+1)=28 6、已知点1(2，)，B(4,)都在反比例函数y=的图象上，则，⅓的大小关系为() A.>y2 B.<2 C.y≥y2 D.,y≤2 7.把抛物线y=(x-3)-7向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 () A.y=(x-2)}-10B.y=(x-2)2-4C.y=(x-4)}2-4D.y=(x-4)}2-10 8.若a为关于x的一元二次方程x2+x-5=0的一个根，则a2+a+1的值为() A.12 B.16 C.9 D.6 9.如图，在△ABC中，∠BAC=35°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE,则∠CAD的度数 是() A.15° B.20° C.25° D.30° 试卷第1页（共2页） 10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A,B两点，与y轴的正半轴交于点C,对称轴是直线x=-1, 其顶点在第二象限，给出以下结论：①当m≠-1时，a-b>am2+bm;②若ax2+bx=ax2+bx2且x≠x2, 则x+5=2:③若点A(4,0),B(2,0),则(k+1(ak+a-b)≤a-b:④若0A=0C,则0B=-1,其中 a 正确的结论是() A.④ B.①②③④ C.①③ D.①③④ (第9题图) (第10题图) （第14题图) (第15题图) 二、填空题（共5题，共15分） 11.已知点A(a+3,5)和点B(-2,-5)关于原点对称，则a的值为 12.若关于x的一元二次方程x2-x+m=0的一个根为2，则m= 13.写出一个开口向上，项点坐标为(1,1)的二次函数表达式： 14,如图，点4在反比例函数y=《(k为常数，k≠0)的图象上，AB上x轴于点B,连接OA,若So= 3 则k的值为 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=12,平面上有一点P,AP=1,连接AP、BP,取BP 的中点G,连接CG,在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是 三、解答题（共8题，共75分） 16.(8分)解方程：x-5x+6=0. 17.(8分)如图，反比例函数y=”的图象与一次函数y=+b的图象交于AL,4)、B(-2,-2两点. (1)求反比例函数与一次函数的解析式： 4 (2)求△AOB的面积： 3)直接写出使m>ax+b成立的x的取值范围. - 18.(8分)某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动.初三年级第一天收到捐款1000 元，第三天收到1440元. (1)求这两天收到捐款的平均增长率. (2)按照(1)中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 试卷第2页（共2页） 19.(9分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC,点B的对应 点E恰好落在AC边上，延长DE交AB边于点F. (1)证明：AB⊥DF: (2)若BD=10,AE=2,求BC的长. 20.(9分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围： (2)若方程两实数根分别为x,x2,且满足x2+x2=9,求实数m的值. 21.(9分)如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托 盘A中放置一个重物（质量m固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为m), 可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）.改变托盘B与点O之间的距离x/cm,记录相应的托盘B中 的砝码质量y/g,得到如下表格： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为 (2)当砝码的质量为24g时，求托盘B与点0之间的距离. (3)当托盘B向左移动（不能移动到点O)时，应往托盘B中添加砝码还是减少砝码？并说明理由. 0色6 A B 22.(12分)公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个， 当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价 部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x(元)，月销售量为y(个)，月销售利润为Ψ (元). (1)请写出月销售量y(个)关于售价x(元)的函数关系式： (2)当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 试卷第3页，共4页 23.（12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴负半轴相交于点A,与x轴 正半轴相交于点B,与y轴相交于点C,点E是抛物线上一动点，设点E的横坐标为m, 图1 图2 图3 (1)求出OC,OB的长： (2)连接CB,过点A作直线AD∥CB,交y轴于点D.过点E作EF∥y轴交直线BC于点M,交直线AD于 点F. ①如图2，当0≤m≤3时，若点E和点F到直线BC距离之和不超过3√2，求m的取值范围； ②如图3，当点E在对称轴右侧的抛物线上，过点E,M作对称轴的垂线，垂足分别为点P,点Q.若四边 形EMQP在直线BC,AD之间的部分的面积恰好是四边形EMQP面积的一半时，直接写出m的值， 四、附加题(10分) 24.抛物线y=ax2+bx- a≠0)与x轴交于A3,0,B两点，对称轴为直线x=-。 VA 图1 图2 (1)如图1，己知P为抛物线上对称轴右侧一点，Q为x轴下方直线x=-1上一点，若以B,P,Q为顶点的 三角形是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标； (2)如图2，N是抛物线顶点，点M(-1,-5),如果不垂直于y轴的直线1与抛物线交于点G,H,满足 ∠GMN=∠HMN.则直线I过定点，求该定点坐标. 试卷第4页，共4页 答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 o 答案 D B B A A D 二、填空题 11.-1:12.-2: 13.y=(x-1)2+1(答案不唯一)；14.-3； 15.7 三、解答题 16.解：x2-5x+6=(x-2)x-3), 所以x-2=0或x-3=0, 解得x=2,x2=3。 17.(1)解：把点A,4)代入y= ,得m=1×4=4, 4 所以反比例函数解析式为y=一； 把点B(m2)代入y=4,得-2=4，解得n=-2,所以B(-2,-2). 把A(14)、B(-2,-2)分别代入y=+b,得 [a+b=4 a=2 -2a+h=-2解得6=2 .一次函数的解析式为y=2x+2: (2)解：设直线AB与y轴交于点M如图， A(1,4) (-2,-2)B 在y=2x+2中，令x=0,则y=2, ∴M(0,2),则OM=2, 1 成0s=.4ow+S.0w=2x2x1+2x2x2=1+2=3； (3)解：由图象可知，当x<-2或0<x<1时，反比例函数y=4的图象位于一次函数 y=2x+2的图象的上方，此时4>am+b成立. 18.(1)解：设捐款增长率为x,根据题意得： 1000(1+x)2=1440, 解得：x=0.2,x2=-2.2（舍去). 答：捐款的平均增长率为20%. （2)根据题意得：1440×(1+20%)=1728（元）. 答：第四天初三年级能收到的捐款是1728元. 19.(1)证明：·将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC, ∴.∠A=∠D,∠ACD=∠ACB=90°， ∠D+∠CED=180°-∠ACD=90°，∠CED=∠AEF, .∠A+∠AEF=90°， ∴.∠AFE=180°-（∠A+∠AEF)=90°， 即AB⊥DF, (2)解：将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到aDEC, .BC=EC,AC=DC, .BD=BC+CD=CE+CD=CE+AC=CE+CE+AE, 即10=CE+CE+2, 解得CE=4, .BC=4. 20.(1)解：方程x2+(2m-1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根， ∴A>0,即(2m-l2-4m2-l>0, 解得：四<子 (2)解：方程x2+(2m-1)x+m2-1=0两实数根分别为x,x2, x+x2=-2m+1,x2=m2-1, x2+x=9, (x+x2)2-2xx3=9, (-2m+1)2-2(m2-1）=9, 解得：m1=3,m2=-1, 方程有两个实数根， ÷.△≥0，即(2m-1)2-4m2-1）≥0， m好 实数的值为-1. 21.(1)y=300 x (2)解：把y=24代入y=300,得24=300 x 解得x=12.5, 答：当砝码的质量为24g时，托盘B与点O之间的距离是12.5cm. (3)应往托盘B中添加砝码. 理由如下： 300>0, 该函数图象在第一象限内，y的值随x值的增大而减小， ·当托盘B向左移动（不能移动到点O)时，x逐渐减小， …y逐渐增大， 应往托盘B中添加砝码. 22.(1)解：根据题意得： y=500-10(x-40)=900-10x(40≤x≤55). (2)解：根据题意得： w=(x-30)y =(x-30)(900-10x) =-10x2+1200x-27000 =-10(x-60)2+9000, 对称轴x=60, :a=-10<0 在对称轴左侧，随x的增大而增大 又.x≤55 当x=55时，月销售利润w最大，最大利润为8750元. 23.(1)解：当x=0时， 则y=-x2+2x+3=3, C(0,3), 0C=3, 当y=0时，则-x2+2x+3=0, 解得：x=-1,x2=3, A(-1,0),B(3,0), .OB=3. (2)解：①过点E作EZ⊥CB于点Z,过点F作FW⊥CB于点W,如图， E C B A O D OC=0B, ∠OBC=∠BMF=∠EMZ=∠ZEM=45°， ZE-ZM-EM MW-FW-MF 2 :点E和点F到直线BC距离之和不超过3√2， EZ+FW=ZM+MW≤3v√2， ∴EM+MF≤3√2x√2=6，即EF≤6， 3k+b=0 k=-1 设BC的解析式为y=a+b,则 b=3，解得 b=3 ∴BC的解析式为y=-x+3, AD∥CB, 直线AD的一次系数为k=-1, 故设直线AD的解析为y=-x+n, 把A(-l,0)代入y=-x+n, 则0=1+n, ∴n=-1, 直线AD的解析为y=-x-1, 把x=m代入y=-x-1,得y=-m-1, 点F(m,-m-1), 又点Em,-m2+2m+3, EF=-m2+2m+3-（-m-1)=-m2+3m+4, 则-m2+3m+4≤6，解得m≤1或m≥2， 0≤m≤3， 0≤m≤1，或2≤m≤3； ②根据题意可知四边形EMQP为矩形或者正方形， y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,点E(m,-m2+2m+3,点M(m,-m+3), :EP=m-1,EM=-m2+2m+3-（-m+3)=-m2+3m, 根据题意可知当EP=EM时，四边形EMQP为正方形，且在直线BC,AD之间的部分的面积 恰好是四边形EMQP面积的一半，如图， VA B A 则-m2+3m=m-1,解得m=√2+1，或m,=1-2, 点E在对称轴右侧的抛物线上， .m>1, ∴m=V2+1: 设线段EM与直线AD交于点I,线段QP与直线AD交于点K,根据题意可知当KQ=EI时， 四边形EMQP为矩形，且在直线BC,AD之间的部分的面积恰好是四边形EMQP面积的一 半，如图， B 同理可得，点E(m,-m2+2m+3,点M(m,-m+3),点Q(1,-m+3) 直线AD的解析式为y=-x-1, 点K(1,-2),点I(m,-m-1), 则-m+3-(-2)=-m-1-（-m2+2m+3,解得m=√10+1，或m,=1-10, .m>1, m=V10+1, 综上所述，当m=√2+1或V10+1时，四边形EMQP在直线BC,AD之间的部分的面积恰好是 四边形EMQP面积的一半. (1 设PP4p+2P-40(-9),其中g<0,p>-1, .115 24.(1)解： 以B,P,Q为顶点的三角形为等腰直角三角形， 分三种情况讨论， ①直角顶点为B,此时BP=BQ,且BP⊥BQ, 如图，过点B作y轴平行线，分别过点P,Q作y轴垂线，交于点E,F, B 2 Fh... 则∠E=∠F=90°， ∠1+∠2=∠2+∠3=90°， .∠1=∠3， .△EPB≌AFBQ(AAS), ·BE=FQ,EP=BF, 2+51-(列p-(列-0-g 解得：p=-1+4W2或p=-4V2-1（舍去)， P-1+4v2,4: ②直角顶点为P,此时PB=P?,且PB⊥PQ. 如图，过点Q作y轴垂线，过点P作y轴平行线，交于点F,交x轴于点E, B 则∠E=∠F=90°， ∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， ∴△EPB≌△FQP(AAS), ..BE FP,EP=OF, 解得：p=-3+25或p=-3-25(舍去)， P(-3+25,2-25: ③直角顶点为Q,此时QB=QP,且QB⊥QP. AP)衣 即2在AB的垂直平分线上，且∠BQW=∠PQW=45°， ·BW=PW=QW, 根据(1)可得B(-5,0),顶点坐标为(-1,4)，A(3,0), ∴点P与点A重合， P(3,0), 综上，所有满足条件的点P的坐标为：(-1+4V2,4),(-3+25,2-2√5)，(3,0)： （2)解：存在定点. 设直线I解析式y=c+b'，直线1与抛物线相交于点G(x,y),H(x2,2), y-1x+1x-15 =4+2-4, y=kx+b' .x2+(2-4k)x-15-46'=0, ∴.△>0，x+x2=4k-2,xx2=-15-46', 如图2，作GC⊥MN,HD⊥MN, 图2 则GC=-1-x,MC=月+5，HD=x2+1,MD=y2+5, ·.·∠GMN=∠HIMN, ∴.tan∠GMW=tan∠HMN, 即GC、HD MC MD -当=与+1 +5⅓2+5 .(x+1)(y2+5)+(x3+1)(y+5)=0, .(x+1)(x2+b'+5)+(x2+1)(c+b+5)=0, ∴.2x2+(k+b'+5)(x+x2)+2b'+10=0, ∴.2k(-15-4b)+(k+b'+5)(4k-2)+2b'+10=0, ∴.-4k(b'-k+3)=0, 直线不垂直于y轴， .k≠0， .b-k+3=0, ∴.b'=k-3, 直线l解析式y=k(x+)-3, 无论k为何值，x=-1,y=-3, 过定点(-1，-3)