精品解析：上海市浦东新区建平中学西校2026-2027学年上学期八年级数学第一学期期中考试

2026学年度第一学期初二年级数学学科期中质量监测 一、选择题（本大题共6题） 1. 实数，，，，，，（相连两个之间依次多一个），其中无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此求解即可． 【详解】解：实数，，，，，，（相连两个之间依次多一个）中无理数有，，（相连两个之间依次多一个）， 故选：． 2. 下列式子不是的有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构． 有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式． 【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式， A．，不含根式； B．，不含根式； C．，仍含根式； D．，不含根式． ∴ 选项C不是有理化因式． 故选：C． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：∵， ∴，故C正确.； 对于选项D：，故D错误． 4. 下列方程中，是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先排除分式方程、二元方程，再化简剩余选项判断最高次数． 【详解】解：A选项，是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为2，符合要求． B选项，展开得，整理得，是一元一次方程． C选项，含有两个未知数，不符合要求． D选项，分母含未知数，是分式方程，不符合要求． 5. 正整数、分别满足，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图所示的图形．若图中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据赵爽的几何解法，对一元二次方程进行构造求解即可． 【详解】解：， ， 根据题意，先构造面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，如图， ∴最后补图得到大正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴， ∴， ∵表示正方形边长，取正值， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共12题） 7. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 8. 用最简分数表示循环小数：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查循环小数、一元一次方程的应用，熟练掌握根据已知条件列出一元一次方程是解题的关键． 设循环小数为，通过乘以100使循环部分对齐，然后相减消除循环部分，解方程得到分数形式，并化简，据此进行求解计算即可． 【详解】设，则， 由， 得：， 解得：， 由于124和99互质（最大公约数为1），故为最简分数． 故答案为：． 9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 据年月文旅部数据，全国重点博物馆自年以来，累计推出线上云展超场，吸引观众超人次．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 11. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出的值是解题的关键．由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于的方程，解之即可得出的值． 【详解】解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：2． 12. 已知则代数式的值为_______________ ． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，代数式求值，二次根式的混合运算，先化简是解题的关键． 先化简，再将化简后的结果代入，利用二次根式的混合运算法则求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：0． 13. 当时，化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合二次根式的性质将根号部分转化为绝对值形式，根据已知条件判断绝对值内式子的正负，去绝对值后化简即可. 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴原式. 14. 记的整数部分为m，小数部分为n，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，，再利用平方差公式进行代数求值即可． 【详解】解：， ，， ． 15. 如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据当时当时两种情况求解. 【详解】解：对于方程 ， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时， 判别式． 由于方程有实数根， 因此， 即， 解得且． 综上：. 故答案为． 16. 已知最简根式与是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元二次方程；根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，由此列出方程求解，并检验被开方数非负且根式为最简． 【详解】解：由题意，得． 整理得， 因式分解得， 解得或． 当时，被开方数，，但不是最简二次根式，与已知“最简根式”矛盾． 当时，被开方数，，且是最简二次根式，符合条件． 故答案为． 17. 若，，则_______． 【答案】 22.37 【解析】 【详解】解：∵立方根的小数点移动规律为：被开方数的小数点每向某一方向移动3位，其立方根的小数点就向同方向移动1位， 又∵，即11.2的小数点向右移动3位得到11200，且已知， ∴. 18. 如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__． 【答案】33或127##127或33 【解析】 【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况． 【详解】解：“神奇区间”为， 、为连续正整数， ，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解， 符合条件的，有，，；，，． ，，时，，， ， ， ，，时，，， ， ， 故的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力． 三、简答题（本大题共5题） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，以及进行分母有理化，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 21. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】根据已知方程知可运用因式分解法求一元二次方程的解，提取公式即可． 【详解】解：， ， ， 即：或， 所以，． 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，提取公因式是解题的关键． 22. 解不等式：． 【答案】 不等式的解集为 【解析】 【详解】解：， ， ， ， . 23. 先化简，后求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值．先将分子进行因式分解，再约分化简，最后代入数据求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 四、解答题（本大题共2题） 24. 解答下列问题 （1）在学习一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和直接开平方法，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解这类特殊的一元二次方程的基本思想是（填序号）_________（①消元，②降次）； （2）解方程：； （3）若实数是方程的根，求的值． 【答案】（1）② （2） ，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程次数的变化确定求解的核心思想； （2）对三次方程因式分解，降次为一次方程求解； （3）通过换元将原方程转化为一元二次方程，结合实数根的条件取舍解． 【小问1详解】 解：一元二次方程转化为一元一次方程，次数从2降为1，核心思想为降次，消元用于多元方程转化为一元方程，不符合题意， 故选②； 【小问2详解】 解： ∴或或 解得，，； 【小问3详解】 解：∵是方程的实数根， ∴， 设， 则 ∴， 当时，， ∵， ∴该方程无实数根，舍去， 当时，， ∵， ∴该方程有实数根，符合题意， 综上所述，的值为． 25. 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． （1）【直接应用】代数式的最大值为_________； （2）代数式的最小值为_________． 【类比应用】在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以通过配方法化成另一式子的平方．如：, （3）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；如图1，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两个小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． （4）【知识迁移】如图2，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】（1） （2） （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式整理可得：原式，因为当时，有最大值，所以的最大值是； （2）利用完全平方公式整理可得：，所以当，时，有最小值； （3）利用完全平方公式整理可得：； （4）设与墙平行的篱笆长为，则垂直于墙的篱笆长为，则菜地的面积为，整理可得，所以当时，菜地的最大面积为． 【小问1详解】 解： ， 当时，有最大值， 有最大值， 的最大值是； 【小问2详解】 解： ， 当，时，有最小值， 有最小值， 的最小值是； 【小问3详解】 解： ； ， 面积为的正方形的边长为， 另一个小正方形的面积为， 另一个小正方形的边长为， 由图可知剩余部分的形状是两个全等的矩形，矩形的长为，宽为， 剩余部分的面积为； 【小问4详解】 解：设与墙平行的篱笆长为，则垂直于墙的篱笆长为， 则菜地的面积为， ， 当时，有最大值， 当时，有最大值， 菜地的最大面积为． 五、探究题（本大题共1题） 26. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． （1）【问题发现】如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为_________，边长为_________． （2）【知识迁移】如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为_________． （3）【拓展延伸】欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周留有边框（上下、左右边框宽度相同，如图③），边框宽度不少于，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ （4）【自主设计】请参考以上方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的正方形、，尝试画出边长为的正方形．（图上标注数据，不需要写作图过程） 【答案】（1）， （2） （3）解：欢欢的想法不对， 理由如下： 裁出的长方形的长宽之比为， 设裁出的长方形的长为，宽为， 根据题意可得：， 解得：， 裁出的长方形的长为，宽为， 左、右两边留出的边框宽度至少为， ， ， ， 不能裁出符合要求的长方形纸片 ； （4） 【解析】 【分析】（1）正方形是由个面积为的小正方形拼成的，所以正方形的面积是，根据正方形的面积公式可知正方形的边长为； （2）正方形是由个面积为的小正方形拼成的，正方形的面积是，正方形的边长是； （3）根据长方形的面积和长、宽比，列方程求出长方形的长和宽，再根据边框宽度不少于判断能否裁出符合要求的长方形纸片； （4）把两个边长为的正方形放在网格中，根据画出符合要求的正方形． 【小问1详解】 解：正方形是由个面积为的小正方形拼成的， 正方形的面积是， 正方形的边长为； 【小问2详解】 解：正方形是由个面积为的小正方形拼成的， 正方形的面积是， 正方形的边长是； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：把一个边长为的正方形放在网格中，再分别向右、上平移一格，再放一个边长为的正方形， 连接、、、得到正方形， 正方形的边长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年度第一学期初二年级数学学科期中质量监测 一、选择题（本大题共6题） 1. 实数，，，，，，（相连两个之间依次多一个），其中无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列式子不是的有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 5. 正整数、分别满足，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 6. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图所示的图形．若图中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题） 7. 的算术平方根是______． 8. 用最简分数表示循环小数：____________________． 9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10. 据年月文旅部数据，全国重点博物馆自年以来，累计推出线上云展超场，吸引观众超人次．数据用科学记数法表示为______． 11. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为_____． 12. 已知则代数式的值为_______________ ． 13. 当时，化简_______． 14. 记的整数部分为m，小数部分为n，求代数式的值． 15. 如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是______． 16. 已知最简根式与是同类二次根式，则______． 17. 若，，则_______． 18. 如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__． 三、简答题（本大题共5题） 19. 计算：． 20. 计算： 21. 解方程： 22. 解不等式：． 23. 先化简，后求值：，其中． 四、解答题（本大题共2题） 24. 解答下列问题 （1）在学习一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和直接开平方法，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解这类特殊的一元二次方程的基本思想是（填序号）_________（①消元，②降次）； （2）解方程：； （3）若实数是方程的根，求的值． 25. 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． （1）【直接应用】代数式的最大值为_________； （2）代数式的最小值为_________． 【类比应用】在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以通过配方法化成另一式子的平方．如：, （3）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；如图1，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两个小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． （4）【知识迁移】如图2，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 五、探究题（本大题共1题） 26. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． （1）【问题发现】如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为_________，边长为_________． （2）【知识迁移】如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为_________． （3）【拓展延伸】欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周留有边框（上下、左右边框宽度相同，如图③），边框宽度不少于，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ （4）【自主设计】请参考以上方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的正方形、，尝试画出边长为的正方形．（图上标注数据，不需要写作图过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $