微专题零点判定与零点存在定理导学案-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

微专题：零点判定与零点存在定理 学生版 北师大版（2019）必修第一册·函数的应用 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题属于函数的应用。教材先给出函数零点的定义，说明零点、方程实根、图象与 轴交点三者的等价关系，再给出零点存在定理：闭区间上连续且两端函数值异号，则区间内至少有一个零点。 考查形式：新高考对本讲的考查集中在三处：求零点或判断零点个数，选填 5 分；判定零点所在区间，用端点异号与单调性配合，是二分法的基础；含参的零点问题，把零点个数转化为参数与函数值域的对应关系，常出现在选填压轴与解答第二问。 第二部分　记·模型与结论 一、零点的三重身份 使 成立的实数 叫作零点。零点不是点，是一个实数。它和方程的实根、图象与 轴交点的横坐标，说的是同一件事。 求零点就是解方程；判断零点个数可以画图象看交点，也可以分段讨论单调性与端点的符号。 二、零点存在定理 若 在闭区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且 ，则 在 内至少有一个零点。 定理是充分条件：端点异号必有零点，端点同号并不能断言没有零点， 在 上就是反例。定理也不保证唯一，唯一性要另外用单调性说明。 三、零点唯一与区间锁定 函数在区间上单调且端点异号，则零点存在且唯一。这一条是二分法的理论依据，也是解答题里必须写明的两句。 锁定所在区间时先算端点的函数值，符号一正一负即成功；两个端点都同号，就把区间对半再试。指数、对数函数值可用 、 一类特殊点估算。 四、含参零点的两条路径 路径一，分离参数：把方程整理成 ，零点个数转化为水平直线 与 的交点个数，再由 的值域与单调性作答。 路径二，二次函数型：开口方向、判别式、对称轴位置、端点函数值四条同时满足，缺一条都会出错。区间端点是否取到，决定端点的函数值能不能为零。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　零点的概念与零点个数 【解题技巧】求零点就是解 ，解完要检查是否落在定义域内。判断个数时，能因式分解的先分解；含指数、对数的先看单调，再试几个特殊点定符号。 【典例 1-1】（原创） 求函数 的零点。 【变式 1-1】（原创） 求函数 的零点。 【变式 1-2】（原创） 求函数 的零点个数。 题型二　零点存在定理与区间判定 【解题技巧】先确认函数在区间上连续，再算两个端点的函数值，一正一负即判定区间内有零点。指对函数值不好算时，用 、、 一类已知量估计符号。 【典例 2-1】（原创） 函数 的零点所在的区间是（　　） 【变式 2-1】（原创） 函数 的零点所在的区间是（　　） 【变式 2-2】（原创） 函数 的零点所在的区间是（　　） 题型三　零点唯一与个数讨论 【解题技巧】唯一性靠单调：先说明函数在区间上单调，再配端点异号。个数讨论按区间分段，逐段看单调性与端点符号；分段函数在分界点处要单独核对。 【典例 3-1】（原创） 函数 在区间 上满足 ，是否说明该函数在 内没有零点？说明理由。 【变式 3-1】（原创） 判断函数 在 上的零点个数。 【变式 3-2】（原创） 已知函数 ，求 的零点。 题型四　含参的零点问题 【解题技巧】含参零点优先分离参数，把方程整理成 ，由 在区间上的值域定 的范围。二次函数型则数清四条：开口、判别式、对称轴、端点函数值。 【典例 4-1】（原创） 若函数 在区间 内有两个零点，求实数 的取值范围。 【变式 4-1】（原创） 若函数 有零点，求实数 的取值范围。 【变式 4-2】（原创） 若函数 在区间 内有零点，求实数 的取值范围。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖零点的直接求法、指数与对数函数的零点、区间判定、存在定理的条件辨析与包含指数的零点区间锁定。 1．（单选）函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 2．（单选）函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 3．（填空）函数 的零点为 ______。 4．（填空）函数 的零点所在区间为 ______（填一个长度为 的区间）。 5．（单选）零点存在定理成立的条件是（　　） A．函数在区间上有定义 B．函数在闭区间上连续且两端函数值异号 C．函数在区间上单调 D．函数在区间上连续 6．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．零点为 、、 B． 是奇函数 C．在 上单调递增 D． 7．（解答）判断函数 在区间 内的零点个数。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向含绝对值的指数型零点、分离参数求零点存在条件、由零点区间反求参数范围、定理与单调性的辨析、二次函数在开区间内有两个零点的条件。 8．（解答）若函数 有且仅有两个零点，求实数 的取值范围。 9．（解答）若函数 在区间 内有零点，求实数 的取值范围。 10．（解答）已知函数 在区间 内有零点，求实数 的取值范围。 11．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．在 上单调递增 B．有且仅有一个零点 C．零点在区间 内 D．零点在区间 内 12．（解答）若函数 在区间 内有两个零点，求实数 的取值范围。 第五部分　思·小结反思 一、零点是实数不是点 零点、方程的实根、图象与 轴交点的横坐标三者等价；求零点就是解方程，解完回代定义域与分段条件。 二、定理管存在、单调管唯一 闭区间连续加端点异号，只能说明至少有一个零点；再加单调性才能说明只有一个。端点同号时定理失效，但零点仍可能存在。 三、含参先分离、二次看四条 含参零点优先分离参数，转成水平线与曲线的交点个数；二次函数在开区间内有两个零点，开口、判别式、对称轴、端点函数值四条同时满足，区间开闭决定端点值能否为零。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：零点判定与零点存在定理 教师解析版 北师大版（2019）必修第一册·函数的应用 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题属于函数的应用。教材先给出函数零点的定义，说明零点、方程实根、图象与 轴交点三者的等价关系，再给出零点存在定理：闭区间上连续且两端函数值异号，则区间内至少有一个零点。 考查形式：新高考对本讲的考查集中在三处：求零点或判断零点个数，选填 5 分；判定零点所在区间，用端点异号与单调性配合，是二分法的基础；含参的零点问题，把零点个数转化为参数与函数值域的对应关系，常出现在选填压轴与解答第二问。 第二部分　记·模型与结论 一、零点的三重身份 使 成立的实数 叫作零点。零点不是点，是一个实数。它和方程的实根、图象与 轴交点的横坐标，说的是同一件事。 求零点就是解方程；判断零点个数可以画图象看交点，也可以分段讨论单调性与端点的符号。 二、零点存在定理 若 在闭区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且 ，则 在 内至少有一个零点。 定理是充分条件：端点异号必有零点，端点同号并不能断言没有零点， 在 上就是反例。定理也不保证唯一，唯一性要另外用单调性说明。 三、零点唯一与区间锁定 函数在区间上单调且端点异号，则零点存在且唯一。这一条是二分法的理论依据，也是解答题里必须写明的两句。 锁定所在区间时先算端点的函数值，符号一正一负即成功；两个端点都同号，就把区间对半再试。指数、对数函数值可用 、 一类特殊点估算。 四、含参零点的两条路径 路径一，分离参数：把方程整理成 ，零点个数转化为水平直线 与 的交点个数，再由 的值域与单调性作答。 路径二，二次函数型：开口方向、判别式、对称轴位置、端点函数值四条同时满足，缺一条都会出错。区间端点是否取到，决定端点的函数值能不能为零。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　零点的概念与零点个数 【解题技巧】求零点就是解 ，解完要检查是否落在定义域内。判断个数时，能因式分解的先分解；含指数、对数的先看单调，再试几个特殊点定符号。 【教学提醒】本型要先把「零点不是点」这句话讲透。可让学生分别写「零点是 」与「零点是 」，两种写法一比，概念就清楚了。 【典例 1-1】（原创） 求函数 的零点。 解析：解方程 ，因式分解得 。 故 或 ，函数有两个零点 与 。 参考答案：零点为 与 。 【学情易错提醒】把零点写成点 与 。零点是实数，图象与 轴交点的横坐标才是零点的几何解释。 【变式 1-1】（原创） 求函数 的零点。 解析：解方程 ，得 。 函数只有一个零点 。 参考答案：零点为 。 【学情易错提醒】把 解成 。指数的位置在指数上， 对应 。 【变式 1-2】（原创） 求函数 的零点个数。 解析：因式分解：。 令其为 ，得 、、，共三个零点。 参考答案： 个。 【学情易错提醒】两边同除以 得 ，只找到两个零点。 本身是解，除之前必须先讨论 的情形。 题型二　零点存在定理与区间判定 【解题技巧】先确认函数在区间上连续，再算两个端点的函数值，一正一负即判定区间内有零点。指对函数值不好算时，用 、、 一类已知量估计符号。 【教学提醒】本型的书写格式要立规矩：连续、端点值、异号、结论，四句话一字不少。考场上少写「连续」往往被扣分，平时就按四句话写。 【典例 2-1】（原创） 函数 的零点所在的区间是（　　） 解析： 在 上连续。取端点：（因 ）。 。 ，故零点在 内。 参考答案：。 【学情易错提醒】只算 就判区间，没有配套的正号端点。存在定理要求两端异号，两个端点都要算。 【变式 2-1】（原创） 函数 的零点所在的区间是（　　） 解析： 在 上连续。，。 ，故零点在 内。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 算成 ，得 后结论仍相同，但过程有误。，端点值必须算准，否则换一道题就出错。 【变式 2-2】（原创） 函数 的零点所在的区间是（　　） 解析： 在 上连续。，。 ，故零点在 内。 参考答案：。 【学情易错提醒】只把 代入得负值，便判零点在 内。小于 的端点须与大于 的端点配对， 两端都是负值，无法判定。 题型三　零点唯一与个数讨论 【解题技巧】唯一性靠单调：先说明函数在区间上单调，再配端点异号。个数讨论按区间分段，逐段看单调性与端点符号；分段函数在分界点处要单独核对。 【教学提醒】本型可让学生先画草图，再写证明。图上能看出「过 轴一次」，书写时才想得起要用单调性说明只过一次，图与文对照最有效。 【典例 3-1】（原创） 函数 在区间 上满足 ，是否说明该函数在 内没有零点？说明理由。 解析：不能这样推断。端点同号只是说明定理的条件不满足，定理不能使用，并不意味着没有零点。 直接检验：，故 是函数在 内的零点。 可见零点存在定理是充分条件，不是充要条件。 参考答案：不能说明， 就是该区间内的零点。 【学情易错提醒】把「端点异号必有零点」的逆否命题当成真命题，得「端点同号必无零点」。定理只保证存在性，端点同号时零点可能有，也可能没有。 【变式 3-1】（原创） 判断函数 在 上的零点个数。 解析： 与 在 上都递增，故 在 上递增，零点至多一个。 ，。 由单调性与端点异号，零点存在且唯一，个数为 。 参考答案： 个。 【学情易错提醒】只写「端点异号，故有一个零点」。定理只给出「至少一个」，唯一性必须由单调性补上，两句话缺一不可。 【变式 3-2】（原创） 已知函数 ，求 的零点。 解析：当 时，令 ，得 ，满足 。 当 时，令 ，得 或 ，其中 不满足 ，故只取 。 函数的零点为 与 。 参考答案：零点为 与 。 【学情易错提醒】把 也算作零点，得三个零点。 落在第一段的条件内，第二段的解必须回代条件检验。 题型四　含参的零点问题 【解题技巧】含参零点优先分离参数，把方程整理成 ，由 在区间上的值域定 的范围。二次函数型则数清四条：开口、判别式、对称轴、端点函数值。 【教学提醒】本型要强调「区间开闭」：端点是否包含决定端点函数值能否为零，学生漏掉这一点，答案的端头就会错。可在题目上把区间符号圈出来再动笔。 【典例 4-1】（原创） 若函数 在区间 内有两个零点，求实数 的取值范围。 解析：开口向上，需判别式 ，即 。 对称轴 落在 内，满足要求。 端点函数值须为正：，，即 。 取交集得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】只写 得 ，答成 。两个零点必须都落在区间内，端点函数值也要为正，这一条限住了左端。 【变式 4-1】（原创） 若函数 有零点，求实数 的取值范围。 解析：令 ，得 。 指数函数的值域为 ，故需 ，即 。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 得 ，符号弄反。移项后是 ， 取负值才有零点。 【变式 4-2】（原创） 若函数 在区间 内有零点，求实数 的取值范围。 解析： 在 上递增，零点至多一个；在 内有零点，等价于端点异号。 ，。 需 ，即 。 参考答案：。 【学情易错提醒】写成 后直接解不等式，没有考虑单调性。本题单调递增，端点异号恰好等价于零点在区间内；若单调性不明，还须另作讨论。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖零点的直接求法、指数与对数函数的零点、区间判定、存在定理的条件辨析与包含指数的零点区间锁定。 1．（单选）函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 解析：令 得 ，零点是实数 。 参考答案：A。 2．（单选）函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 解析：令 ，得 。 参考答案：C。 3．（填空）函数 的零点为 ______。 解析：，令其为 得 或 。 参考答案： 与 。 4．（填空）函数 的零点所在区间为 ______（填一个长度为 的区间）。 解析：，。 由零点存在定理，零点在 内。 参考答案：。 5．（单选）零点存在定理成立的条件是（　　） A．函数在区间上有定义 B．函数在闭区间上连续且两端函数值异号 C．函数在区间上单调 D．函数在区间上连续 解析：定理要求两条：闭区间上图象连续不断，两端函数值异号。单调性是判定唯一时才需要的附加条件。 参考答案：B。 6．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．零点为 、、 B． 是奇函数 C．在 上单调递增 D． 解析：，零点为 、、，A、D 正确。 ，为奇函数，B 正确。 ，函数在 上不单调，C 错误。 参考答案：ABD。 7．（解答）判断函数 在区间 内的零点个数。 解析： 与 在 上都递增，故 在 上递增，零点至多一个。 ，，。 由 与单调性，零点在 内且唯一，个数为 。 参考答案： 个。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向含绝对值的指数型零点、分离参数求零点存在条件、由零点区间反求参数范围、定理与单调性的辨析、二次函数在开区间内有两个零点的条件。 8．（解答）若函数 有且仅有两个零点，求实数 的取值范围。 解析：令 ，得 。由 得 。 若 ，方程无解；若 ，则 ，只有 一个零点。 若 ，则 ，得 ，恰有两个零点。 故 。 参考答案：。 9．（解答）若函数 在区间 内有零点，求实数 的取值范围。 解析：分离参数：由 且 ，得 。 时， 在 上递减、在 上递增，最小值为 ，且 （）。 故 的值域为 ， 的范围为 。 参考答案：。 10．（解答）已知函数 在区间 内有零点，求实数 的取值范围。 解析： 与 都递增，故 在 上递增，零点至多一个。 在 内有零点，等价于 ，即 且 。 解得 。 参考答案：。 11．（多选）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．在 上单调递增 B．有且仅有一个零点 C．零点在区间 内 D．零点在区间 内 解析： 与 都递增，故 递增，A 正确。 递增函数至多一个零点，又 、，故零点存在且唯一，B、C 正确。 、， 两端同号，零点不在其中，D 错误。 参考答案：ABC。 12．（解答）若函数 在区间 内有两个零点，求实数 的取值范围。 解析：判别式：，得 或 。 对称轴在区间内：。 端点函数值为正：，得 ；，得 。 取交集得 。 参考答案：。 第五部分　思·小结反思 一、零点是实数不是点 零点、方程的实根、图象与 轴交点的横坐标三者等价；求零点就是解方程，解完回代定义域与分段条件。 二、定理管存在、单调管唯一 闭区间连续加端点异号，只能说明至少有一个零点；再加单调性才能说明只有一个。端点同号时定理失效，但零点仍可能存在。 三、含参先分离、二次看四条 含参零点优先分离参数，转成水平线与曲线的交点个数；二次函数在开区间内有两个零点，开口、判别式、对称轴、端点函数值四条同时满足，区间开闭决定端点值能否为零。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $