微专题零点、方程与数形结合 讲义-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

微专题：零点、方程与数形结合 教师解析版 北师大版（2019）必修第一册·函数的应用 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题是函数应用的收口。教材把方程的根、函数的零点、图象交点的横坐标三者统一，再用图象处理零点个数与含参问题。前面几讲分别练过零点定理、二分法与图象变换，本讲把三者合起来，用图形解决方程问题。 考查形式：新高考对本讲的考查集中在三处：判断方程实根的个数，多为选填 5 分；含参方程解集的个数讨论，把参数分离成水平直线与曲线的交点；由不等式恒成立反求参数范围，转化为最值比较。这部分内容常与指数、对数、二次函数联合命题。 第二部分　记·模型与结论 一、三个说法一件事 方程 有实根、函数 有零点、图象与 轴有交点，说的是同一件事。方程 的根，就是 与 两条曲线交点的横坐标。 把方程拆成两条熟悉的曲线，画出草图数交点，比解方程快得多；交点个数与根个数一一对应，交点横坐标的范围就是根的范围。 二、分段函数逐段算 分段函数的零点要在每一段上分别解方程，再检验解是否落在该段的取值范围之内。落在范围外的解必须舍去，端点归属按分段条件判断。 画图时注意各段端点是否取到：实心点算入，空心点不算，端点归属弄错会多算或漏算零点。 三、分离参数定个数 把含参方程整理成 ，问题变成水平直线 与曲线 有几个交点。直线的上下移动对应参数的变化，交点的增减由曲线的极值与单调性决定。 遇到绝对值先换元：令 ，方程改写为关于 的方程，再按 的正根个数折算成 的解数——每个正根对应两个 ， 只对应一个。 四、恒成立与能成立 恒成立求最值： 在区间上恒成立，等价于 ； 恒成立，等价于 。 能成立（存在解）方向相反： 有解，等价于 。开口方向与端点位置先定，再取最值，判断不会反。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　图象法数方程的根 【解题技巧】把方程拆成一条直线和一条已学过的曲线，画草图数交点。一条严格递增、一条严格递减时交点至多一个，只需找一个变号点；两条同向的曲线要用单调性分段说明。 【教学提醒】本型的关键动作是「拆」。同一条方程可以拆成不同的两条曲线，选哪两条决定运算量。可让全班比较 的两种拆法，体会哪种能直接读出交点个数。 【典例 1-1】（原创） 方程 的实数根的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解析：拆成 与 。前者在 上递增，后者递减，两曲线至多一个交点。 取 ：；取 ：。差函数变号，交点唯一。 故选 B。 参考答案：B。 【学情易错提醒】只画一条曲线就数交点。数交点要两条曲线一起画，且要说明交点个数为什么到此为止，单调性正是这一步的依据。 【变式 1-1】（原创） 方程 的实数根的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解析：拆成 与 。前者在 上从 递减到 ，在 上递增。 水平直线 在左右两支上各交一次，交点共 个。 具体解为 ，即 或 ，故选 C。 参考答案：C。 【学情易错提醒】只解出 得一个根。绝对值把左侧支也翻到上方，两支各有一解。 【变式 1-2】（原创） 方程 的实数根的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解析：令 ，方程化为 ，解得 或 。 ，不符合 ，舍去；，对应 两个根。 故选 B。 参考答案：B。 【学情易错提醒】把两个 的解都当成 的解，得四个根。 必须非负，负的那个 要舍去。 题型二　分段函数与含绝对值函数的零点 【解题技巧】分段函数在每段上解方程，解完回头核对该段的自变量范围；含绝对值的先按零点分段去掉绝对值。端点归属决定一个解是否计入，最容易出错。 【教学提醒】本型可在黑板上把两段图象分色画出，端点用实心、空心区分。学生对着图数零点，比逐段解方程更快发现「解在段外」的情况。 【典例 2-1】（原创） 函数 的零点个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解析：当 时，令 ，得 ，落在该段内，计一个零点。 当 时，令 ，得 或 ； 不在该段内，舍去，保留 。 零点为 与 ，共 个，故选 C。 参考答案：C。 【学情易错提醒】两段都解出 后重复计数，或把 同时算作第二段的零点。分段条件规定 只属于第一段。 【变式 2-1】（原创） 函数 的零点个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解析：当 时，令 ，得 ；其中 保留， 舍去。 当 时，令 ，得 ，保留。 零点为 与 ，共 个，故选 B。 参考答案：B。 【学情易错提醒】第一段解出 后两个都算，得三个零点。分段的取值范围是硬约束， 不在 内。 【变式 2-2】（原创） 函数 的零点个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解析：当 时，令 ，得 ，落在该段内，计一个零点。 当 时，令 ，得 ，不满足 ，舍去。 零点只有 ，个数为 ，故选 B。 参考答案：B。 【学情易错提醒】把第二段解出的 也算进去，得两个零点。开区间 不含 ，这一解无效。 题型三　分离参数定交点个数 【解题技巧】把参数单独放到一边，另一边整理成熟悉的函数，再画水平线数交点。含 的令 换元，正根成对、零根单独计，折算时不要漏算。 【教学提醒】本型要讲清「个数」与「范围」的对应：水平线在极小值上方走两个交点，切在极小值上只有一个。可让学生把参数从 调到 逐段报交点数，形成完整的分段结论。 【典例 3-1】（原创） 若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围。 解析：配方：，右边的最小值为 ，在 时取到。 方程有解等价于 不小于右边的最小值，即 。 图象上，水平直线 与抛物线有公共点，抛物线开口向上、顶点纵坐标为 ，故 。 参考答案：，即 。 【学情易错提醒】只看判别式 得 ，结论虽对，但解法没有体现图象。本题是开区间上的最值问题，判别式只在 取全体实数时管用。 【变式 3-1】（原创） 若关于 的方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围。 解析：左边是顶点为 的 形折线，右边是过原点、斜率为 的直线。 时直线与折线的左支最多交一次，只有一个根，不符合要求。 时，解两段方程： 时 ，得 ； 时 ，得 。 后者恒小于 ，总是一个根；前者需 ，即 。故 时两解， 时只有一解。 参考答案：，即 。 【学情易错提醒】只画出图就写 。 时直线比折线的右支还陡，右支上没有交点，只剩一个根，必须用不等式把范围切出来。 【变式 3-2】（原创） 若关于 的方程 有四个不同的实数根，求实数 的取值范围。 解析：令 ，方程化为 ，即 。 要有四个 ，需 有两个不同的正根：先要 ，再要两根之积 且两根之和 。 两根之积 得 ；结合 得 。检验 ： 与 ，对应 、，恰四个根。 参考答案：，即 。 【学情易错提醒】只写「两个根」就结束，没有要求两根为正。若 有一个负根，该根对应不到任何 ，解的个数会少一半。 题型四　数形结合解不等式与恒成立 【解题技巧】不等式先移项成 ，再看两曲线上下位置；恒成立问题转化为最值比较，方向由「恒」还是「有解」决定。端点是否取到，决定等号能不能带。 【教学提醒】本型要用同一张图讲两件事：曲线在直线上方的区间就是解集，最值点就是参数的临界位置。学生把两条信息画在同一张图上，之前分开记的结论就统一了。 【典例 4-1】（原创） 解不等式 。 解析：在同一坐标系画出 与 。前者是下凸的指数曲线，后者是过 的直线。 令 ， 时两边都是 ， 时两边都是 ，两个交点。 在 内曲线位于直线下方，在区间外曲线位于上方，故解集为 或 。 参考答案：。 【学情易错提醒】只找到 一个交点，把解集写成 。指数曲线与直线可以有两个交点，找到第一个后还要看曲线会不会再次穿出。 【变式 4-1】（原创） 解不等式 。 解析：定义域为 。画出 与 。 令 ： 时两边都是 ， 时两边都是 ，两个交点。 在 内对数曲线位于直线上方，在 与 内位于下方。解集为 或 。 参考答案：。 【学情易错提醒】写成 。这一区间里对数曲线在上方，是不等号的反面；判断上下位置要代一个具体点验证。 【变式 4-2】（原创） 若不等式 的解集为 ，求实数 的值。 解析： 等价于 ，解集是以 为中心、半径为 的开区间。 该区间与 相同，故 且 ，两式都给 。 检验： 即 ，符合要求。 参考答案：。 【学情易错提醒】把解集长度当成 ，得 。 的区间长度是 ，半径才是 ，中心位置由端点平均值得出。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖一次方程与绝对值方程、区间内根的个数、二次与指数曲线的交点、分段函数的零点以及一道完整的图象法说明。 1．（单选）方程 的实数根的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解析： 递增， 递减，两曲线至多一个交点。 时 ，而 ，两边相等，故 就是一个根。 由单调性，根唯一，故选 B。 参考答案：B。 2．（填空）方程 的解为 ______。 解析： 时 无解； 时 ，解得 。 检验：，成立。 参考答案：。 3．（填空）方程 在区间 内的实数根的个数为 ______。 解析：解得 或 ，两个端点都不在开区间 内。 故区间内没有实根，个数为 。 参考答案：。 4．（单选）方程 的实数根的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解析：画出 与 ： 与 时两边相等，是两个正根。 时 为正、 在 内， 时 不成立，而 时 ；由连续性， 内还有一个交点。 共 个根，故选 C。 参考答案：C。 5．（填空）函数 的零点个数为 ______。 解析： 时令 ，得 ，落在该段内。 时令 ，得 或 ；只有 满足 。 零点为 与 ，共 个。 参考答案：。 6．（多选）关于用图象处理方程与不等式，下列说法正确的是（　　） A．方程 的根就是两图象交点的横坐标 B．方程 的根的个数等于水平直线 与 图象的交点个数 C．不等式 的解集，就是 图象在 图象上方时 的取值范围 D．只要方程有解，解数就等于交点数，与定义域无关 解析：A、B、C 都是三个说法互相转化的直接应用，正确。 交点必须落在定义域内，定义域外的交点不产生解，D 错误。故选 ABC。 参考答案：ABC。 7．（解答）用图象法说明方程 的实数根的情况，并求出它的解。 解析：定义域为 。画出 与 ：前者递增且上凸，后者是递增的直线。 令 ，两边平方得 ，即 ，解得 或 。 检验： 时 ，，两边不等，是平方引入的增根； 时 ，成立。 故方程只有一个实数根 。 参考答案：只有一个根 。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向对数曲线与直线交点、含绝对值指数方程分段讨论、换元后正根个数折算、图象与根个数命题辨析、恒成立问题最值转化。 8．（解答）判断方程 的实数根的个数，并说明理由。 解析：设 ，定义域为 ，导数 。 时 ， 递减，故在 上至多一个零点。 取 ：；取 ：。零点在 内且唯一。 在 上 递增且 ，无零点。故方程只有一个实数根。 参考答案： 个。 9．（解答）讨论方程 的实数根的个数与实数 的关系。 解析： 的图象：把 在 轴下方的部分翻到上方，最低点为 ，向左趋于 ，向右无限增大。 时无解； 时只有 ，一个根。 时水平线与图象交于两点（一支在 ，一支在 ），两个根； 时只与右侧一支相交，一个根。 综上： 时 个， 或 时 个， 时 个。 参考答案： 时 个； 或 时 个； 时 个。 10．（解答）若关于 的方程 恰有三个不同的实数根，求实数 的值。 解析：令 ，方程化为 ，故 （）。 要有三个 ， 的正根必须给出两个 、再有一个 给出一个 ，即两根为 与 。 由 得 ，此时 或 ，对应 与 ，恰三个根。 参考答案：。 11．（多选）关于方程的根与函数图象，下列说法正确的是（　　） A．方程 无解，说明两图象没有公共点 B．方程 有两个根，说明水平直线 与 的图象有两个交点 C．把含参方程整理成 后， 取遍 的值域时方程都有解 D．方程在区间上有解，等价于函数在该区间上的值域包含方程右端的常数 解析：A 是交点与解的一一对应，正确；B 同为该对应的逆用，正确。 取在 的值域内才有解，取遍值域时每个 都对应至少一个解，C 正确。 区间上有解即存在 使等式成立，等价于常数落在该区间上函数的值域内，D 正确。故选 ABCD。 参考答案：ABCD。 12．（解答）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 解析：设 ，开口向上，对称轴 。 在 上递减、在 上递增，最小值为 ，最大值为 。 恒成立需 ，故 。 参考答案：，即 。 第五部分　思·小结反思 一、方程、零点、交点同一件事 数根个数就是数交点，解的区间就是交点横坐标所在区间。把方程拆成两条熟悉的曲线，是数形结合的第一步。 二、分段与换元都要核对范围 分段函数逐段解、逐段核，端点归属按条件判断；含 的令 ，正根成对、零根单独。范围不清，个数必错。 三、恒成立看最小值，有解看最大值 型比较最小值， 型比较最大值，方向相反。开口方向与对称轴位置先定，再取最值，等号能否带上看端点。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：零点、方程与数形结合 学生版 北师大版（2019）必修第一册·函数的应用 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题是函数应用的收口。教材把方程的根、函数的零点、图象交点的横坐标三者统一，再用图象处理零点个数与含参问题。前面几讲分别练过零点定理、二分法与图象变换，本讲把三者合起来，用图形解决方程问题。 考查形式：新高考对本讲的考查集中在三处：判断方程实根的个数，多为选填 5 分；含参方程解集的个数讨论，把参数分离成水平直线与曲线的交点；由不等式恒成立反求参数范围，转化为最值比较。这部分内容常与指数、对数、二次函数联合命题。 第二部分　记·模型与结论 一、三个说法一件事 方程 有实根、函数 有零点、图象与 轴有交点，说的是同一件事。方程 的根，就是 与 两条曲线交点的横坐标。 把方程拆成两条熟悉的曲线，画出草图数交点，比解方程快得多；交点个数与根个数一一对应，交点横坐标的范围就是根的范围。 二、分段函数逐段算 分段函数的零点要在每一段上分别解方程，再检验解是否落在该段的取值范围之内。落在范围外的解必须舍去，端点归属按分段条件判断。 画图时注意各段端点是否取到：实心点算入，空心点不算，端点归属弄错会多算或漏算零点。 三、分离参数定个数 把含参方程整理成 ，问题变成水平直线 与曲线 有几个交点。直线的上下移动对应参数的变化，交点的增减由曲线的极值与单调性决定。 遇到绝对值先换元：令 ，方程改写为关于 的方程，再按 的正根个数折算成 的解数——每个正根对应两个 ， 只对应一个。 四、恒成立与能成立 恒成立求最值： 在区间上恒成立，等价于 ； 恒成立，等价于 。 能成立（存在解）方向相反： 有解，等价于 。开口方向与端点位置先定，再取最值，判断不会反。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　图象法数方程的根 【解题技巧】把方程拆成一条直线和一条已学过的曲线，画草图数交点。一条严格递增、一条严格递减时交点至多一个，只需找一个变号点；两条同向的曲线要用单调性分段说明。 【典例 1-1】（原创） 方程 的实数根的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式 1-1】（原创） 方程 的实数根的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式 1-2】（原创） 方程 的实数根的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 题型二　分段函数与含绝对值函数的零点 【解题技巧】分段函数在每段上解方程，解完回头核对该段的自变量范围；含绝对值的先按零点分段去掉绝对值。端点归属决定一个解是否计入，最容易出错。 【典例 2-1】（原创） 函数 的零点个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式 2-1】（原创） 函数 的零点个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式 2-2】（原创） 函数 的零点个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 题型三　分离参数定交点个数 【解题技巧】把参数单独放到一边，另一边整理成熟悉的函数，再画水平线数交点。含 的令 换元，正根成对、零根单独计，折算时不要漏算。 【典例 3-1】（原创） 若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围。 【变式 3-1】（原创） 若关于 的方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围。 【变式 3-2】（原创） 若关于 的方程 有四个不同的实数根，求实数 的取值范围。 题型四　数形结合解不等式与恒成立 【解题技巧】不等式先移项成 ，再看两曲线上下位置；恒成立问题转化为最值比较，方向由「恒」还是「有解」决定。端点是否取到，决定等号能不能带。 【典例 4-1】（原创） 解不等式 。 【变式 4-1】（原创） 解不等式 。 【变式 4-2】（原创） 若不等式 的解集为 ，求实数 的值。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖一次方程与绝对值方程、区间内根的个数、二次与指数曲线的交点、分段函数的零点以及一道完整的图象法说明。 1．（单选）方程 的实数根的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．（填空）方程 的解为 ______。 3．（填空）方程 在区间 内的实数根的个数为 ______。 4．（单选）方程 的实数根的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 5．（填空）函数 的零点个数为 ______。 6．（多选）关于用图象处理方程与不等式，下列说法正确的是（　　） A．方程 的根就是两图象交点的横坐标 B．方程 的根的个数等于水平直线 与 图象的交点个数 C．不等式 的解集，就是 图象在 图象上方时 的取值范围 D．只要方程有解，解数就等于交点数，与定义域无关 7．（解答）用图象法说明方程 的实数根的情况，并求出它的解。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向对数曲线与直线交点、含绝对值指数方程分段讨论、换元后正根个数折算、图象与根个数命题辨析、恒成立问题最值转化。 8．（解答）判断方程 的实数根的个数，并说明理由。 9．（解答）讨论方程 的实数根的个数与实数 的关系。 10．（解答）若关于 的方程 恰有三个不同的实数根，求实数 的值。 11．（多选）关于方程的根与函数图象，下列说法正确的是（　　） A．方程 无解，说明两图象没有公共点 B．方程 有两个根，说明水平直线 与 的图象有两个交点 C．把含参方程整理成 后， 取遍 的值域时方程都有解 D．方程在区间上有解，等价于函数在该区间上的值域包含方程右端的常数 12．（解答）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 第五部分　思·小结反思 一、方程、零点、交点同一件事 数根个数就是数交点，解的区间就是交点横坐标所在区间。把方程拆成两条熟悉的曲线，是数形结合的第一步。 二、分段与换元都要核对范围 分段函数逐段解、逐段核，端点归属按条件判断；含 的令 ，正根成对、零根单独。范围不清，个数必错。 三、恒成立看最小值，有解看最大值 型比较最小值， 型比较最大值，方向相反。开口方向与对称轴位置先定，再取最值，等号能否带上看端点。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $