精品解析：四川达州市渠县土溪镇初级中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

四川省达州市渠县土溪镇初级中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 实数，，，，，中，无理数的个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断解答即可． 本题考查了无理数的定义；熟练掌握定义，熟记常见无理数的表现形式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得无理数有，，两个， 故选：B． 2. 等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，没有说明是腰还是底，分类讨论，只有一种成立，2为底，由等腰三角形底边上的高具有三线合一性质，可求出BD，再由勾股定理可求AD即可． 【详解】等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm， 当2为腰时，二腰长为4，底长为10-4=6，由于6>2+2，不能构成三角形， 当2为底时，腰为（10-2）÷2=4，4+4>2，可以构成三角形，则AB=AC=4，BC=2， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=BC=1， 在Rt△ABD中，由勾股定理的AD=． 故选择：C． 【点睛】本题考查等腰三角形底边上的高，会分类讨论三角形成立的条件，会用三角形三线合一的性质，会用勾股定理解决问题是解题的关键． 3. 如果点在轴上，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据轴上的点的纵坐标为求出的值，进而即可求解，掌握坐标轴上的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故选：． 4. 若的三边长为，，，满足，则的形状是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握两个数的积为0，则至少有一个数是0．因为a，b，c为三边，根据，可找到这三边的数量关系，判断形状． 【详解】解： ， 或， 当成立时，是等腰三角形， 当时，是直角三角形， 故选：D． 5. 已知点Р的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点Р为“和谐点”，若点是“和谐点”，则点M所在的象限是（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据“和谐点”的定义列出关于的方程，然后求得的值，进而确定Ｍ的坐标，最后确定其所在的象限即可． 【详解】解：∵点是“和谐点” ∴3（m-1）=2（3m+2）+5，解得m=-4 ∴ ∴点M在第三象限． 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、点所在的象限等知识点，根据“和谐点”的定义列出关于的方程是解答本题的关键． 6. 我国汉代数学家赵爽验证勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（ ） A. 48 B. 96 C. 24 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式的应用，由勾股定理可得，由完全平方公式可得，求出，即可得解． 【详解】解：由图可得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 7. 如图，在数轴上点B及在点A的右侧，已知点A对应的数为，点B对应的数为m，在之间有一点C，点C到原点的距离为，且，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是根据两点间的距离公式，结合列出关于m的方程．先根据已知条件求出，，再根据列出关于m的方程，解方程求出m即可． 【详解】解：∵点A对应的数为，点C到原点的距离为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换的综合．根据一次函数图象分别求出，，的长，根据平移可算出的长，根据点在一次函数图象上可算出点F的坐标，即求出的长，再根据，可得，求出梯形的面积即可． 【详解】解：直线交坐标轴于点A，B， 令，；令，； ，，即，， 向x轴负半轴平移4个单位长度得， ，，， 设、交于点F， 点F在直线的图象上，且点F的横坐标与点D的横坐标相同， 当时，， ，即， ， ， ，即图中阴影部分面积为18， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若与是同一个数的平方根，则为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平方根的有关定义，根据平方根的定义分两种情况讨论即可，解题的关键是正确理解平方根的定义． 【详解】解：∵与是同一个数的平方根， ∴时， 解得：， 时， 解得：， 综上可知，为或， 故答案为：． 10. 若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为___． 【答案】13或##或13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，学会分类讨论直角三角形的边长是解题的关键．根据题意，分2种情况讨论，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：若两直角边长为12和5，则第三边长为； 若斜边长为12，其中一条直角边长为5，则第三边长为． ∴综上所述，第三边长为13或． 11. 把点向下平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为_______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】先求出点平移后的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征列方程计算的值． 【详解】解：将点向下平移3个单位，纵坐标减少3，得到的点坐标为， ∵关于轴对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴， 解得． 12. 受台风影响，马路边一棵大树在离地面处折断，大树顶端落在离大树底部处，则大树折断之前高______． 【答案】 【解析】 【分析】运用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ，，， ∴， ∴数的高度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理与实际问题的综合，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 13. 如图，某植物天后的高度为，反映了与之间的关系，则该植物平均每天长高______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，由和可知该植物10天生长了，可以算出平均每天生长长度． 【详解】解：由10天内生长可知， 平均每天生长的长度为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟悉运算法则． （1）先将每一个二次根式都化简，再算乘除，最后算加法． （2）先按照完全平方公式和平方差公式进行计算，再算加法． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 15. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根，算术平方根，平方根，求无理数的整数部分，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）利用立方根，算术平方根，求无理数的整数部分的法则求出各数的值即可； （2）代数求值后利用平方根的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3， ∴， 解得； ∵的算术平方根是4， ∴， 解得； ∵， ∴， ∴的整数部分为3， 即； 【小问2详解】 解：， ， ∴的平方根为． 16. 如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下， 已知，，， ∵，即， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 17. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示. （1）分别求，关于的函数关系式； （2）两图象交于点，求点坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 【答案】（1）y甲=0.85x；y乙与x的函数关系式为y乙= （2）（600，510） （3）当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式； （2）根据（1）的结论列方程组解答即可； （3）由点A的意义并结合图象解答即可． 【小问1详解】 由题意可得，y甲=0.85x； 乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x； 当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90， 由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙= 【小问2详解】 由，解得， 点A的坐标为（600，510）； 【小问3详解】 由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元， 结合图象可知， 当x＜600时，选择甲商店更合算； 当x=600时，两家商店所需费用相同； 当x＞600时，选择乙商店更合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． （1）______；A点的坐标是______； （2）写出点B、C的坐标：B______，C______；（用含m的式子表示） （3）若的面积是10，求m的值； （4）若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 【答案】（1）1，； （2），； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了两条直线相交或平行问题、坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标利用三角形的面积公式得出的方程； （1）由点在轴上可求出值，将其代入点的坐标中即可得出点的坐标； （2）依据点的平移可得出点、的坐标； （3）设直线与轴的交点为，则点的坐标为，可求出，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （4）连接，根据可得出，再列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中，点在轴上， ， 解得：， 点． 故答案为：1，； 【小问2详解】 解：将将点向右平移5个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，将点向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点， 点，点，，即，， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：设直线与轴的交点为，如图1，则点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：；理由如下； 设直线与轴的交点为，连接，如图2， ， ， ， ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知点的坐标为，线段，轴，则点的坐标为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据点在点的左边或点在点的右边分类讨论，然后根据与轴平行的直线上两点的纵坐标相同即可求出结论． 【详解】解：当点在点的左边时， ∵点，线段，且轴， ∴点的纵坐标为，横坐标为， 即点的坐标是； 当点在点的右边时， ∵点，线段，且轴， ∴点的纵坐标为，横坐标为， 即点的坐标是， 综上：点的坐标是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了与轴平行的直线上两点坐标关系，掌握与轴平行的直线上两点的纵坐标相同和分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 20. 若a、b为实数，且b=+4，则a+b的值为__． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解出a值，然后代入b的代数式，求出b，即可得出答案 【详解】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：a2−1≥0且1−a2≥0， 解得a2＝1，即a＝±1， 又0做除数无意义，所以a-1≠0， 故a＝-1， 将a值代入b的代数式得b＝4， ∴a＋b＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的意义和性质．求出a，b的值是解题关键． 21. 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于______（用含字母a的代数式表示）；若，则______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】根据阴影面积等于边长为c的正方形面积减去边长为b的正方形面积即可表示出阴影部分面积；先求出，，再根据得到，再根据，即可求出． 【详解】解：由题意得，图中的阴影部分面积为， ∵， ∴， ∴图中的阴影部分面积为； 如图所示，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，即， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形三边的关系，求平方根，正确理解题意推出是解题的关键． 22. 如图，点A的坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂线段最短可知，当时，线段最短，再利用等腰直角三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，由垂线段最短可知，当时，线段最短． ∵点的坐标为， ∴， 如图，过点作于点， ∵点在直线上， 设，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴结合图形可知，当线段最短时，点的坐标为． 23. 如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则 ______． 【答案】4.5 【解析】 【分析】此题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，，求出，设，则，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可，解答本题的关键是掌握折叠的性质． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 由勾股定理得：， 将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处， ∴，， ∴， 设，则，， 在中：由勾股定理得， ∴， 解得：， 的长为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． （1）如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． （2）如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． （3）在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【答案】（1）；； （2）；； （3）25 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 25. 阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于的最大整数，如． 材料二：求的值： ，， ，． 材料三：2025数字构成的巧合：； ． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． （1） ； ； ． （2）已知n为正整数，化简（结果用含的代数式表示）． （3）已知 ，，令， 求 ． 【答案】（1），6，2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，据此可得； （3）根据（2）的结论可得，由此求出a，b．代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ， ∴． 故答案为：，6，2； 【小问2详解】 解：∵n为正整数，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 26. 如图，长方形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，，的平分线在直线上，且交于点P． （1）求直线的函数表达式； （2）如图①，若点D在线段上运动（不与点A，P重合），设点D的横坐标为x，在点D的运动过程中，试求出的面积S与x的函数关系式； （3）如图②，请在y轴上找一点N，使的周长最小，并求出此时点N的坐标和的周长． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）长方形的性质，得到，，平行线的性质结合角平分线的定义推出，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交轴于点，交于点，进而得到，用含的表达式表示出的长，三角形的面积公式求出S与x的函数关系式即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标，求出的长，进而求出的周长即可． 【小问1详解】 解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵的平分线在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 过点作轴，交轴于点，交于点，则：， 由（1）知，直线的解析式为， ∵点在线段上，且不与点A，P重合，横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：； 【小问3详解】 作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵的周长， ∴当点在线段上时，的周长最小为的长， 同（1）法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县土溪镇初级中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 实数，，，，，中，无理数的个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（ ） A. B. C. D. 或 3. 如果点在轴上，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若的三边长为，，，满足，则的形状是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 已知点Р的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点Р为“和谐点”，若点是“和谐点”，则点M所在的象限是（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 6. 我国汉代数学家赵爽验证勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（ ） A. 48 B. 96 C. 24 D. 20 7. 如图，在数轴上点B及在点A的右侧，已知点A对应的数为，点B对应的数为m，在之间有一点C，点C到原点的距离为，且，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 8. 如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若与是同一个数的平方根，则为_____． 10. 若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为___． 11. 把点向下平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为_______． 12. 受台风影响，马路边一棵大树在离地面处折断，大树顶端落在离大树底部处，则大树折断之前高______． 13. 如图，某植物天后的高度为，反映了与之间的关系，则该植物平均每天长高______cm． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 15. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 16. 如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 17. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示. （1）分别求，关于的函数关系式； （2）两图象交于点，求点坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． （1）______；A点的坐标是______； （2）写出点B、C的坐标：B______，C______；（用含m的式子表示） （3）若的面积是10，求m的值； （4）若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知点的坐标为，线段，轴，则点的坐标为________． 20. 若a、b为实数，且b=+4，则a+b的值为__． 21. 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于______（用含字母a的代数式表示）；若，则______． 22. 如图，点A的坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为______． 23. 如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则 ______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． （1）如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． （2）如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． （3）在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 25. 阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于的最大整数，如． 材料二：求的值： ，， ，． 材料三：2025数字构成的巧合：； ． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． （1） ； ； ． （2）已知n为正整数，化简（结果用含的代数式表示）． （3）已知 ，，令， 求 ． 26. 如图，长方形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，，的平分线在直线上，且交于点P． （1）求直线的函数表达式； （2）如图①，若点D在线段上运动（不与点A，P重合），设点D的横坐标为x，在点D的运动过程中，试求出的面积S与x的函数关系式； （3）如图②，请在y轴上找一点N，使的周长最小，并求出此时点N的坐标和的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $