精品解析：内蒙古锡林郭勒盟第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

高二年级期中考试数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角确定斜率，即可求解. 【详解】由直线方程可知斜率， 所以， 故选：D 2. 已知双曲线，则双曲线的实轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求出的值，即可得出该双曲线的实轴长. 【详解】双曲线的标准方程为，所以， 所以双曲线的实轴长为. 故选：B. 3. 一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于平面的对称点的坐标，然后可得光线所走的路程. 【详解】点关于平面的对称点， 一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是. 故选：C. 4. 若直线与直线平行，则两直线间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为，所以，解得或， 经检验，当时两直线重合， 所以， 则，即， 所以两直线之间的距离为. 故选：A. 5. 已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解. 【详解】由题在方向上的投影向量为. 故选：C 6. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得， 直线经过点， 设，，知，， 当与圆相切时， ，解得或， 由数形结合知直线与半圆形有两个公共点，则或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 7. 若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离不大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求． 【详解】双曲线渐近线为，且与圆有公共点， 圆心到渐近线的距离不大于半径，即，，， ． 故选：D． 8. 已知空间四点的坐标分别是，记点到直线的距离为，记点到平面的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间点到直线和点到面的距离公式计算可得. 【详解】， 所以点到直线的距离为； 设平面的一个法向量为，则， 即， 可取，所以， 而， 所以点到平面的距离为． 所以. 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方程表示的曲线确定参数的关系，然后由方程研究曲线的性质判断各选项. 【详解】选项A：若，则，表示圆，且半径为，故A正确； 选项B：若，，则，其渐近线为， 若，，则，其渐近线为，故B错误； 选项C：若，时，，即表示两条直线，故C正确； 选项D：当时，，表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：AC. 10. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 圆与圆公共弦所在直线方程为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在无数对关于直线对称的点 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，将直线转化成斜截式，即可求解；选项B，利用求两相交圆公共弦的求法，直接求出公共弦，即可求解；选项C，利用圆性质知直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，即可求解；选项D，根据条件可得直线过圆心，即可求解. 【详解】对于选项A，直线，即，所以直线恒过定点，故选项A错误， 对于选项B，因为的方程为①，圆的方程为②， 由①②得，所以圆与圆公共弦所在直线方程为，故选项B正确， 对于选项C，因为圆的圆心为，半径为， 根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短， 又，所以最短弦长为，故选项C正确， 对于选项D，当时，直线，因为，所以直线过圆心， 故上存在无数对关于直线对称的点，所以选项D正确， 故选：BCD. 11. 如图，在直四棱柱中， ，底面为菱形，且，点为棱柱内部（含表面）的点，满足，为棱的中点.则下列说法正确的有（ ） A. 不存在点的位置，使得 B. 若点在上，且，则 C. 直线与所成角的范围是 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】连接，判断点为平行四边形内部（含边上）的点．A：考虑当P点在上时；B：由为中点，结合直角三角形即可判断；C：与夹角即为与夹角，求出最大值和最小值即可得范围；D：以B为球心，2为半径的球的表面与平行四边形的交线即为点的轨迹，为半圆弧，求其长度即可 【详解】连接，    ，， ∴四边形是平行四边形， ∵点为棱柱内部（含表面）的点，且满足， ∴点为平行四边形内部（含边上）的点． A：当P点在上时，由平面，平面， 可知，故选项A错误； B：若点在上，且， 因为， 所以，所以，B正确； C：∵，∴与夹角即为与夹角， 当P在上时，与夹角最小，即为； 当P点在上时，平面，平面，则，夹角最大，为； 故直线与所成角的范围是，故C正确； D：若，则以B为球心，2为半径的球的表面与平行四边形的交线即为点的轨迹，如图：    连接交于，由易知平面， 故圆弧为以为圆心，为直径的半圆弧，其长度为，故D错误； 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为空间向量，，且， 所以，解得，，故. 故答案为：. 13. 已知为椭圆上一动点，为椭圆的左､右焦点，点，则周长的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程得到参数，即得到焦点坐标，求得，然后由三角形三边关系求得周长的最小值. 【详解】由椭圆，则，， ，则，，， 所以， 由， 当且仅当、、三点共线且在线段上时取等号， 的周长的最小值为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，、在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据条件求得，由椭圆定义得，从而利用求得离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又， 如图， 设， 四边形为等腰梯形，，即，, 由椭圆定义知，，， 解得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线：和：，过点作一条直线． （1）若过两条直线的交点，求直线的方程； （2）若夹在两条直线之间的线段恰被点平分，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线与的交点坐标，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出线与的交点坐标，由中点坐标公式及直线的点斜式方程求解即可. 【小问1详解】 由，解得，即直线与交于点， 则直线的斜率为，方程为，即. 【小问2详解】 设直线与的交点为，则点关于点的对称点， 依题意，点在直线上，即，解得，则， 直线的斜率为，方程为，即， 所以直线的方程为. 16. 如图，在梯形中，，，，，，是梯形的中位线，将梯形沿翻折得到五面体，点为上靠近点的三等分点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图，连接、， 翻折前，在梯形中，，，，是梯形的中位线， 所以，且，， 因为，所以，即，， 翻折后，因为点为上靠近点的三等分点，，所以， 又因为，，故四边形为菱形，则， 因为，，、平面，故平面， 又因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，证明出四边形为菱形，可得出，由以及线面垂直的判定定理得出平面，可得出，由翻折的性质得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出的长，然后利用空间向量法可求得平面与平面夹角的与余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，平面，， 如图，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则、，设，则， ，解得， 所以、、、， 则，， 设平面的一个法向量，则有， 取，可得， 由（1）可知平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知圆经过点，点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设，，若圆上存在点，使，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，建立方程组即可求得圆心坐标，然后求出半径长，从而写出圆的方程； （2）由构造圆，由两个圆有交点建立不等式即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 设圆的圆心为，则 解得 圆的半径 所以圆的标准方程是 【小问2详解】 ，点在以为直径的圆上 设线段的中点为，则，圆 又点在圆上，圆与圆有公共点 即： 两边平方解得： 实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了圆的相关性质，（1）可以设圆心由圆的性质建立方程即可得到答案；（2）中根据得到三点共圆，由两圆有交点建立不等式即可求得结果. 18. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面和平面的交线为，∴ （2） （3）假设在线段（不含端点）上存在一点， 使得直线与平面所成角的正弦值为． 设，由（2）知， 则， 由（2）知平面的一个法向量， 因为直线与平面所成角的正弦值为， ∴. 整理得，解得或， 所以在线段 （不含端点）上存在点， 当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）利用菱形性质和线面平行判定定理证明平面，然后结合线面平行的性质定理可证； （2）取的中点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到平面的距离的向量公式计算即可； （3）利用线面角的向量公式列方程求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为， ∴点到平面的距离. 【小问3详解】 略 19. 已知平面内的动点到点的距离和到定直线的距离的比为，动点的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）过点的直线与交于不同的两点，点与点关于轴对称． （i）证明：直线过轴上一定点； （ii）记（i）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（为不同的两点），记的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）当的斜率不为0时，设的方程为， 则． 由得， 由，得， 则． 直线的方程为， 令，得 ， 即直线过定点． 当的斜率为0时，直线的方程为，也过点． 综上，直线过定点． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，化简，即可求得答案； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得； （ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再利用函数的单调性求出最大值. 【小问1详解】 依题意得， 化简整理得，所以的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）方法一：由题意知的斜率存在且不为，如图． 由（i）知直线的方程为， ， ， ， 由（i）知且，可知的符号相同， 根据对称性，只需考虑的情形． 因为 又，所以，所以， 所以，所以， 故的取值范围为． 方法二：， 由（i）知， 所以． 下同方法一． 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期中考试数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线，则双曲线的实轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（ ） A. B. 6 C. D. 4. 若直线与直线平行，则两直线间距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间四点的坐标分别是，记点到直线的距离为，记点到平面的距离为，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 10. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 圆与圆公共弦所在直线方程为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在无数对关于直线对称的点 11. 如图，在直四棱柱中， ，底面为菱形，且，点为棱柱内部（含表面）的点，满足，为棱的中点.则下列说法正确的有（ ） A. 不存在点的位置，使得 B. 若点在上，且，则 C. 直线与所成角的范围是 D. 若，则点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，.若，则__________. 13. 已知为椭圆上一动点，为椭圆的左､右焦点，点，则周长的最小值是__________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，、在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线：和：，过点作一条直线． （1）若过两条直线的交点，求直线的方程； （2）若夹在两条直线之间的线段恰被点平分，求直线的方程． 16. 如图，在梯形中，，，，，，是梯形的中位线，将梯形沿翻折得到五面体，点为上靠近点的三等分点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知圆经过点，点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设，，若圆上存在点，使，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知平面内的动点到点的距离和到定直线的距离的比为，动点的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）过点的直线与交于不同的两点，点与点关于轴对称． （i）证明：直线过轴上一定点； （ii）记（i）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（为不同的两点），记的面积分别为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $