精品解析：上海市民办立达中学2026-2027学年上学期七年级数学期中卷

2026学年第一学期期中质量检测初一年级数学试卷 （完卷时间：90分钟 分值：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 的系数是； B. 的次数是2次； C. 是二次三项式； D. 的一次项是． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式的系数、次数以及多项式的项与次数的概念，解题的关键是准确理解这些概念的定义． 对每个选项分别根据系数、次数、多项式的项与次数的定义进行分析判断． 【详解】解：A、，其系数是，不是，该选项错误； B、的次数是次，不是2次，该选项错误； C、的最高次项是，次数为2，且有三项，是二次三项式，该选项正确； D、的一次项是，不是，该选项错误． 故选：C． 2. 下列等式中，表示“同底数幂的乘法性质”的是（ ） A. （m、n是正整数）； B. （m、n是正整数）； C. （n是正整数）； D. （m、n是正整数）． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法法则，进行判断即可． 【详解】解：A为幂的乘方法则，B为同底数幂的乘法法则，C为积的乘方法则，D等式不成立； 故选B． 3. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简分式就是分子和分母已经没有公因式、不能再约分的分式． 【详解】解：A、的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； B、的分子因式分解为，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C、的分子分母无公因式，是最简分式； D、的分母因式分解为，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式． 4. 下列各式从左到右是因式分解的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了因式分解“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式的右边不是乘积的形式，是整式的乘法，则此项不是因式分解，不符合题意； B、满足因式分解的定义，则此项是因式分解，符合题意； C、等式的右边不是乘积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； D、满足因式分解的定义，则此项是因式分解，符合题意； 故选：BD． 5. 已知分式，其中分子是关于、的整式．若将该分式中和的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值也扩大为原来的2倍．以下关于整式的描述正确的是（ ） A. 一定是关于、的一次式 B. 可能是关于、的二次三项式 C. 不可能是关于、的二次单项式 D. 可能是关于、的三次单项式 【答案】B 【解析】 【分析】，扩大2倍时，分母扩大为原来的2倍，要使分式值扩大为原来的2倍，分子需扩大为原来的4倍，由此确定A为各项次数均为2的整式，再判断各选项． 【详解】解：将，都扩大为原来的2倍后，新分母为， 设替换后分子为， 由题意得， ∵， ∴， ∴整式的每一项次数均为2， 即A为各项次数均为2的整式， 不含常数项的一次整式替换后，不符合要求，故A错误； 二次三项式、二次单项式均属于二次整式，满足条件的可能是二次三项式或二次单项式，故B正确，C错误； 三次单项式替换后，不符合要求，故D错误． 6. 如图，将一个正方形分成若干个完全相同的小长方形，上、下各横排三个小长方形，中间每列各两个小长方形，排成若干列． 小海认为：正方形边长越长，小长方形数量越多； 乐乐认为：小长方形的长与宽的比值与正方形边长无关． 关于以上两位同学的观点，下列判断正确的是（ ） A. 小海正确、乐乐正确 B. 小海错误、乐乐正确 C. 小海正确、乐乐错误 D. 小海错误、乐乐错误 【答案】B 【解析】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据正方形边长相等建立方程，求出长与宽的关系及小长方形的总数量，进而判断两位同学的观点． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，正方形的边长为， ∵上、下各横排三个小长方形 ， ∴正方形的边长，  ∵中间每列各两个小长方形，且结合图形可知中间小长方形竖放， ∴正方形的边长， ∴， 解得， ∴小长方形的长与宽的比值为，该比值是定值，与正方形边长无关，故乐乐正确； ∵中间部分由若干列竖放的小长方形组成，且填满正方形宽度， ∴设中间有列， 则， ∵， ∴， 解得， ∴小长方形的总数量为（个）， ∴小长方形的数量是固定的，不随正方形边长的变化而变化，故小海错误． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，解题的关键是将转化为，再利用同底数幂的除法法则计算． 先将转化为与同底数的形式，再根据同底数幂的除法法则进行计算． 【详解】解：． ． 故答案为：． 8. 若分式的值为零，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，关键是牢记“分式值为零，需要分子为零且分母不为零”这一核心规则． 【详解】解：要使分式的值为零，需同时满足： 分子为零：，解得或； 分母不为零：，解得． 综上，的值为． 故答案为：． 9. 若无意义，则整式的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查零指数幂的意义及代数式求值，解题的关键是根据零指数幂无意义的条件求出的值． 先根据零指数幂无意义的条件（底数为0）求出的值，再将其代入整式计算． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 10. 利用负整数指数幂将写成不含分母的形式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】依据负整数指数幂的定义，将分式的分母整体转化为负整数指数幂形式，消去分母得到目标表达式． 【详解】解：． 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，根据分式的基本性质，结合因式分解化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解时有公因式先提取公因式，然后再考虑用公式法因式分解．先提出公因式，再利用平方差公式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 若关于的整式是某个整式的平方，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式，分析给定整式的结构，求出的值． 【详解】解：根据完全平方公式，对比，可得，则， 又因为，当时，，即， 当时，，即． 故答案为：． 15. 若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程转化为整式方程，结合分式方程无解的条件，判断整式方程的解为原方程增根时对应的值即可． 【详解】解：原分式方程的最简公分母为， 因此分式有意义的条件为， 增根满足，即 ∵ ∴原方程可变形为 方程两边同时乘以（），得 展开整理得 移项化简得 ∵原分式方程无解 ∴整式方程的解为原方程的增根（因整式方程为一元一次方程，的系数为，不存在整式方程本身无解的情况） 将增根代入，得 解得． 16. 在学校组织的一次汉字打字比赛中，欢欢输入1000个字的时间比小华输入1200个字的时间少2分钟，欢欢与小华平均每分钟打字个数之比是，设欢欢平均每分钟打字个数为个，根据题意可列方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两人的打字速度比例关系，由欢欢的打字速度表示出小华的打字速度，结合两人完成对应字数的时间差梳理等量关系列方程． 【详解】解：∵ 欢欢与小华平均每分钟打字个数之比为， 设欢欢平均每分钟打字个， 根据题意得到所列方程为． 17. 若一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，那么称该正整数为“可拆分”整数，并记可拆分的种类为．例如：正整数不是“可拆分”整数，因此；而正整数有三种拆分方法，即、、，因此；按照上述定义，__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据“可拆分”整数的定义，将 转化为 ，因此 等于 的因子对（因子均不小于 且不相等）的数量． 【详解】解：对于， ，是质数， 其因子只有和，无法满足因子均不小于 的条件， ， 对于，， 的因子对（均不小于 且不相等）有 、、、、，共 对， ， ． 故答案为：． 18. 已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，代数式求值，非负数的性质，根据题意可得和 ，代入方程得到关于和的方程，利用完全平方公式结合非负数的性质得到和，再求出和，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， 解得，． ∴，． ∴， 故答案为：． 三、简答题（本大题共6题，每题4分，共24分） 19. 计算：．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 21. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式  ． 22. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先利用完全平方公式因式分解得到，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 23. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 24. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 四、解答题（本大题共5题，第题每题5分，第27题6分，第28题7分，第29题11分，共34分） 25. 如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． （1）结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ （2）若分米，分米，求该物料的面积． 【答案】（1） （2）28平方分米 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解． （2）把a、b 的值代入计算即可， 【小问1详解】 解：∵图1中阴影部分的面积为；图②的面积可以表示为， ∴； 【小问2详解】 解：当，时， ， 即该物料的面积为28平方分米． 26. 以下是某同学解方程的过程： 解：原方程可以化为，即 ，矛盾 原方程无解． 老师在批阅这道题的时候，发现了其中的错误． （1）上述解答过程中，从第            步开始出现了错误（填入表示解题步骤的序号）； （2）请你写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）④ （2）原方程可以化为， 即， 整理得， 通分得， ∴， 方程两边同时乘以得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，当时，原方程的分母均不为， ∴原方程的解为. 【解析】 【分析】（1）根据解答过程，并结合等式的性质判断即可得出结果； （2）通过通分、去分母，转化为整式方程求解即可． 【小问1详解】 解：上述解答过程中，从第④步开始出现了错误； 【小问2详解】 解：原方程可以化为， 即， 整理得， 通分得， ∴， 方程两边同时乘以得， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，当时，原方程的分母均不为， ∴原方程的解为． 27. 我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，新能源汽车销量占新车总销量的比重已超过五成，全国充电基础设施总数突破2400万个，电动出行日益普及．相比传统燃油汽车，电动汽车在降低用车成本、保障能源安全、改善空气质量等方面优势明显．某机构对某款电动汽车和某款燃油车进行对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】这款电动汽车平均每公里充电费为元． 【解析】 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里充电费为元， 则燃油车平均每公里加油费为元， 由题意得， 解得， 检验：时，分母不为0，是原分式方程的解， 答：这款电动汽车平均每公里充电费为元． 28. 定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”； （1）求的“关联式”； （2）已知代数式组、、、、相邻两项均互为“关联式”，其中，为正整数．若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“关联式”的定义设未知代数式，列分式方程求解． （2）先由关联式定义推导相邻两项的递推关系，得出代数式组的周期规律，再结合求和条件列方程求解． 【小问1详解】 解：设的“关联式”为， ∵互为“关联式”的两个代数式的和与积相等， ∴， 整理得， 即， ∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵相邻两项互为“关联式”， ∴(为正整数)．变形得， ∴()， ∵， ∴．． ∴代数式组以2为周期循环，且每组两项的和为：． ∵， ∴， 由题意得， 化简得， 即， 因式分解得， 解得，， ∵为正整数，且代数式分母不为0， ∴． 29. 我国古代建筑大量使用榫卯结构，不用钉子，依靠构件咬合拼接．古人常通过面积计算设计木料，其中蕴含着数形结合思想．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 如图，有、、三种不同规格型号的卡片，每种卡片各有张．其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中．现在从这些卡片中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张）无缝隙、无重叠的拼成一个长方形． （1）观察推理：若取出型卡片                  张、型卡片                  张、型卡片                  张，可以拼成一个长为、宽为的长方形； （2）探究规律：若取出型卡片1张、型卡片6张，请先判断需要抽取几张型卡片才能拼成长方形，再选择一种拼法，画出拼成的长方形，并标记清楚每张卡片类型； （3）设计方案： 若将选取的卡片拼成一个正方形： ①若一共选取张卡片，能否拼成一个正方形？请说明理由． ②若，请用含b的代数式表示能拼成的正方形面积的最大值．请直接写出答案，不必说明理由． 【答案】（1）2，5，2 （2）5， （答案不唯一） （3）①不能拼成一个正方形，理由： 设选取张型卡片，张型卡片，张型卡片，拼成的正方形边长为（为正整数），则面积为， ，且，即， 50不是完全平方数，且为正整数， 不存在这样的，不能拼成一个正方形； ② 【解析】 【分析】（1）先求出长为、宽为的长方形面积，再根据三种卡片的面积确定各自的数量； （2）先根据型和型卡片的数量求出总面积的表达式，再通过因式分解确定长方形的长和宽，从而得出型卡片的数量； （3）①设出三种卡片的数量，根据正方形面积公式和卡片总数列出方程，判断是否有正整数解；②将代入，找出能拼成正方形的最大面积． 【小问1详解】 解：长方形的面积为． 型卡片面积为，型卡片面积为，型卡片面积为， 需要型卡片2张、型卡片5张、型卡片2张； 【小问2详解】 解：设需要张型卡片，面积为，则总面积为， 方法一：将其因式分解，， 需要5张型卡片，图略； 方法二：将其因式分解，， 需要7张型卡片，如图， 【小问3详解】 解：①略； ②当时： 型卡片面积为， 型卡片面积为， 型卡片面积为， 设拼成的正方形边长为（为正整数），则正方形面积为， 该面积可表示为张型卡片、张型卡片、张型卡片的面积和， 即（其中，且， 整理得， ， ， ∴取最大为14的整数， 当时，，存在可行解如（满足且）， 能拼成的正方形面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中质量检测初一年级数学试卷 （完卷时间：90分钟 分值：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 的系数是； B. 的次数是2次； C. 是二次三项式； D. 的一次项是． 2. 下列等式中，表示“同底数幂的乘法性质”的是（ ） A. （m、n是正整数）； B. （m、n是正整数）； C. （n是正整数）； D. （m、n是正整数）． 3. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右是因式分解的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 5. 已知分式，其中分子是关于、的整式．若将该分式中和的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值也扩大为原来的2倍．以下关于整式的描述正确的是（ ） A. 一定是关于、的一次式 B. 可能是关于、的二次三项式 C. 不可能是关于、的二次单项式 D. 可能是关于、的三次单项式 6. 如图，将一个正方形分成若干个完全相同的小长方形，上、下各横排三个小长方形，中间每列各两个小长方形，排成若干列． 小海认为：正方形边长越长，小长方形数量越多； 乐乐认为：小长方形的长与宽的比值与正方形边长无关． 关于以上两位同学的观点，下列判断正确的是（ ） A. 小海正确、乐乐正确 B. 小海错误、乐乐正确 C. 小海正确、乐乐错误 D. 小海错误、乐乐错误 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 计算：_____． 8. 若分式的值为零，则的值为_____． 9. 若无意义，则整式的值为__________． 10. 利用负整数指数幂将写成不含分母的形式为___________． 11. 计算：___________． 12. 化简：_______． 13. 因式分解：______． 14. 若关于的整式是某个整式的平方，那么__________． 15. 若关于的分式方程无解，则的值为___________． 16. 在学校组织的一次汉字打字比赛中，欢欢输入1000个字的时间比小华输入1200个字的时间少2分钟，欢欢与小华平均每分钟打字个数之比是，设欢欢平均每分钟打字个数为个，根据题意可列方程是____________． 17. 若一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，那么称该正整数为“可拆分”整数，并记可拆分的种类为．例如：正整数不是“可拆分”整数，因此；而正整数有三种拆分方法，即、、，因此；按照上述定义，__________． 18. 已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 三、简答题（本大题共6题，每题4分，共24分） 19. 计算：．（结果不含负整数指数幂） 20. 计算：． 21. 因式分解：． 22. 因式分解：． 23. 计算：． 24. 计算： 四、解答题（本大题共5题，第题每题5分，第27题6分，第28题7分，第29题11分，共34分） 25. 如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． （1）结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ （2）若分米，分米，求该物料的面积． 26. 以下是某同学解方程的过程： 解：原方程可以化为，即 ，矛盾 原方程无解． 老师在批阅这道题的时候，发现了其中的错误． （1）上述解答过程中，从第            步开始出现了错误（填入表示解题步骤的序号）； （2）请你写出你认为正确的解答过程． 27. 我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，新能源汽车销量占新车总销量的比重已超过五成，全国充电基础设施总数突破2400万个，电动出行日益普及．相比传统燃油汽车，电动汽车在降低用车成本、保障能源安全、改善空气质量等方面优势明显．某机构对某款电动汽车和某款燃油车进行对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 28. 定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”； （1）求的“关联式”； （2）已知代数式组、、、、相邻两项均互为“关联式”，其中，为正整数．若，求的值． 29. 我国古代建筑大量使用榫卯结构，不用钉子，依靠构件咬合拼接．古人常通过面积计算设计木料，其中蕴含着数形结合思想．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 如图，有、、三种不同规格型号的卡片，每种卡片各有张．其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中．现在从这些卡片中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张）无缝隙、无重叠的拼成一个长方形． （1）观察推理：若取出型卡片                  张、型卡片                  张、型卡片                  张，可以拼成一个长为、宽为的长方形； （2）探究规律：若取出型卡片1张、型卡片6张，请先判断需要抽取几张型卡片才能拼成长方形，再选择一种拼法，画出拼成的长方形，并标记清楚每张卡片类型； （3）设计方案： 若将选取的卡片拼成一个正方形： ①若一共选取张卡片，能否拼成一个正方形？请说明理由． ②若，请用含b的代数式表示能拼成的正方形面积的最大值．请直接写出答案，不必说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $