精品解析：宁浙江波市第七中学2026-2027学年 八年级上学期期中数学试卷

宁波七中教育集团2026学年第一学期 初二数学学习效果自我评估试卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分100+10分，考试时间90分钟． 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 选择题部分 一.仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如图，自行车的车架由钢管拼接成三角形，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】B 【解析】 【详解】解：图中的自行车的几根梁合成了一个三角形，是运用了三角形的稳定性原理． 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 两边减5得，，故A错误． ， 两边乘得，，故B错误． ， 两边除以4得，，故C正确． 当时，不成立，故D错误． 4. 由下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理分析角的条件，利用勾股定理的逆定理分析边的条件，据此逐项验证即可． 【详解】解：A． ∵，， ∴，即，即为直角三角形，符合题意； B． ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，不符合题意； C． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，不符合题意； D． ∵，，， ∴，， ∴， ∴不是直角三角形，不符合题意． 5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 6. 点到x轴的距离是（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点的纵坐标为， ∴点到轴的距离为． 7. 如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线定义求，利用直角三角形两锐角互余求，作差即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴ ∵是边上的高 ∴ ∵ ∴ ∴ 8. 如图所示，．用直尺和圆规作图并保留作图痕迹，依据现有条件，得出的等腰三角形个数（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由作图痕迹可知：平分，，然后结合等腰三角形的判定以及三角形的内角和定理以及外角定理求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知：平分， ∵， ， ， ∴是等腰三角形 以为圆心，为半径画弧交于， ， ∴是等腰三角形 ∴． ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∵ ∴ ∴为等腰三角形， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴为等腰三角形， ∴等腰三角形有5个． 9. 关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式组得解集，根据4个整数解确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得：． 解不等式得：． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组恰有4个整数解． ∴整数解为． ∴． 10. 如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③证明，推出，的大小不会随着点D的移动而变化，故③说法错误；④先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断． 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， ∵等边，等边， ∴，，， ∴；故②正确； ③∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误； ④连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，可知，连接，，， ∵， ∴点在射线上移动； ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， ， 在中，， 所以当与重合时最小，即为的长， 此时，，故④说法错误； 故正确结论序号为①②． 非选择题部分 二.认真填一填（本题有8小题，每题3分，共24分） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，对顶角的定义，先根据原命题的题设得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角， 此逆命题为假命题． 故答案为：假． 12. 用不等式表示“的2倍与12的和小于7”为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据文字描述逐步转化为代数表达式，找准不等关系即可列出不等式． 【详解】解：∵的2倍与12的和小于7， ∴列出不等式为． 13. 点向上平移5个单位长度后的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由平移的方式确定点的坐标，熟知坐标的平移变化规律是解题的关键．根据坐标的平移变化规律：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减，即可解答． 【详解】解：点向上平移5个单位长度后的坐标为，即． 故答案为：． 14. 一个等腰三角形的两条边长分别是和，这个三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断能否构成三角形，舍去不成立的情况，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时： ∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴ 这种情况不能构成三角形，舍去； 当腰长为，底边长为时： ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴这种情况能构成三角形 ∴ 三角形的周长为； 综上所述，这个三角形的周长是． 15. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故答案为：10 16. 如图，是的角平分线，，，，的面积为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线定理，三角形面积公式直接计算即可． 【详解】解：过点作交于点，如图， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴的面积， ∴， ∵的面积为， ∴的面积， ∵， ∴． 17. 如图，在中，为边上的中线，M为上一点，连接并延长交于N，，若，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，证明，得到，，结合，，可得，推出，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 为边上的中线， ， 又 ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 18. 如图，在中，，点D是边上一点，将沿着直线翻折至所在平面内，得到，若，，，则______，点E到的距离是______． 【答案】 ①. 10 ②. ##8.64## 【解析】 【分析】连接，过点D作交于点F，过点E作交于点G，由勾股定理求得的值，再由求得和的值，进而由勾股定理求得的值；由翻折的性质可得出为等腰的中垂线，点A，D，F三点共线，，设，利用勾股定理列方程表示出，求解a的值即可得到，进而求得和的值，最后利用等面积法即可求得的值，即为点E到的距离． 【详解】解：如图，连接，过点D作交于点F，过点E作交于点G， ∵，，， ∴在中，， 又∵， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵沿着直线翻折至所在平面内得到， ∴，，为等腰的中垂线， 即点A，D，F三点共线， ∴， 设， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了勾股定理，翻折的性质，等腰三角形的三线合一定理及利用三角形面积求高． 三.全面答一答（共6题；第19～21每题6分，22题8分，23题9分，24题11分，共46分） 19. 解不等式或不等式组 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质求不等式的解集即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴． 【小问2详解】 解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴该不等式组的解集为． 20. 已知在如图所示的平面直角坐标系中． （1）写出，点的坐标； （2）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，，，并依次连接这三个点； （3）已知为轴上一点，点与点关于轴对称，若的面积是的面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）如图，即为所求． （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）确定点，，的坐标，描点，再顺次连接即可； （3）利用分割法求的面积；设的边上的高为，点的坐标为，根据面积公式求出h的值，进而求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意得：． 设的边上的高为，点的坐标为． 根据题意得：， 因为的面积是的面积的4倍， 所以， 解得． 当点在轴负半轴时，； 当点在轴正半轴时，； 综上，点的坐标为或． 21. 如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ （2）4 【解析】 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）根据，可得，由、可求出，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 第13届亚洲体操锦标赛和第19届亚洲青年体操锦标赛于2026年6月15日至29日在遵义市奥体中心体育馆举办，赛事组委会于6月1日在北京举行新闻发布会，发布赛事口号、赛徽、吉祥物和奖牌，其中吉祥物是“辣宝”、“茶宝”、“酱宝”． 素材一 购买1个“辣宝”和1个“茶宝”，共需25元． 购买2个“辣宝”和1个“茶宝”，共需35元． 素材二 轩轩计划购买“辣宝”和“茶宝”共10个，总费用不超过120元，且购买“辣宝”的数量不超过“茶宝”数量的4倍． 完成下列任务： （1）任务一：结合素材一，请求出“辣宝”“茶宝”的单价； （2）任务二：结合素材一和素材二，请帮轩轩求出有几种购买方案． 【答案】（1）“辣宝”单价10元，“茶宝”单价15元 （2）一共有3种购买方案 【解析】 【分析】（1）设“辣宝”单价为元，“茶宝”单价为元，依题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购买“辣宝”个，则购买“茶宝”个，依题意列出一元一次不等式组并求解即可． 【小问1详解】 解：设“辣宝”单价为元，“茶宝”单价为元，依题意，得 ， 解得， 答：“辣宝”单价10元，“茶宝”单价15元． 【小问2详解】 解：设购买“辣宝”个，则购买“茶宝”个，依题意，得 ， 解得 ． 为整数，． 方案1：购买辣宝6个，茶宝4个； 方案2：购买辣宝7个，茶宝3个； 方案3：购买辣宝8个，茶宝2个． 答：一共有3种购买方案． 23. 定义：如图1，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点P为关于点C的勾股点． （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则点P是不是关于点A的勾股点________（填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点D是外一点，且点C是关于点A的勾股点，，则的长为________； （3）如图4，是等边三角形，点P为内一点（不与点A、B、C重合），若，证明：点P是关于点A的勾股点． 【答案】（1）是． （2）． （3）证明：以 为边作等边三角形 ，使射线 在 的内部，连接 ． ∵ 是等边三角形， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．① ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在 与 中， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点 是 关于点 的勾股点． 【解析】 【分析】（1）由方格纸用勾股定理分别算出 、、，按定义检验 与 是否相等； （2）由定义得 ，由 得 ，结合 求出 ，再由等腰三角形三线合一得 ，在 中用勾股定理求 ； （3）以 为边构造等边三角形 ，把 的角拆出 ，使 、 成为同一个直角三角形的两条直角边，再用“SAS”证 ，把 转化为该直角三角形的斜边 ，从而 ． 【小问1详解】 解：由方格纸可知， 是直角边分别为 、 的直角三角形的斜边，、 都是直角边分别为 、 的直角三角形的斜边． ∵ ，，， ∴ ， ∴ 点 是 关于点 的勾股点， 故填：是． 【小问2详解】 解：∵ 点 是 关于点 的勾股点， ∴ ． ∵ ， 是 边上的中线， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 在 中，， ∴ 的长为 ． 【小问3详解】 略． 【点睛】本题考查新定义的理解、勾股定理、等腰三角形三线合一、等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质；解题关键是紧扣定义“到某顶点的距离的平方等于到另两个顶点的距离的平方和”进行转化；第三问通过构造等边三角形把 的角拆出 ，使 、 成为同一个直角三角形的两条直角边，再用“SAS”全等把 转化为该直角三角形的斜边，勾股定理得以直接应用． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． （1）求点A，B坐标； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，点C在第一象限，请直接写出点C的坐标． （3）如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？ 【答案】（1）， （2） （3）①证明：如图2，延长、，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②的大小不变，为定值 【解析】 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标； （2）过点C作轴于点G，过点A作于点F，证，得，，即可解决问题； （3）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：过点C作轴于点G，过点A作于点F， 可得四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 【小问3详解】 解：①略 ②解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的角平分线， ∴， 即的大小不变，为定值． 四.附加题（本题有2个小题，第25题4分，第26题6分，共10分） 25. “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．若，，则的面积为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、全等三角形的判定和性质、三角形的面积的计算、正方形的性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，再根据勾股定理和三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，解得：， ∴， ∴， ∴， 如图：连接交于M， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为． 26. 如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），点是上一个动点，始终保持．则当为直角三角形时，求的长． 【答案】的长为或 【解析】 【分析】分情况讨论：①当时，证明，然后根据三线合一的性质求解；②当时，过点作于点，则，根据勾股定理求出，证明，根据双勾股构造关于的方程求解即可． 【详解】解：①当时，如图①所示． 则， ， ， 又， ， ，， ； ②当时，如图②所示， 过点作于点， 同①可得， ， ，， ， ， ，， ，即， ； 综上，当为直角三角形时，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波七中教育集团2026学年第一学期 初二数学学习效果自我评估试卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分100+10分，考试时间90分钟． 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 选择题部分 一.仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，自行车的车架由钢管拼接成三角形，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 由下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 点到x轴的距离是（ ） A. 5 B. 3 C. D. 7. 如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，．用直尺和圆规作图并保留作图痕迹，依据现有条件，得出的等腰三角形个数（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 非选择题部分 二.认真填一填（本题有8小题，每题3分，共24分） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 12. 用不等式表示“的2倍与12的和小于7”为____________． 13. 点向上平移5个单位长度后的坐标为______． 14. 一个等腰三角形的两条边长分别是和，这个三角形的周长是______． 15. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是________． 16. 如图，是的角平分线，，，，的面积为，则_________． 17. 如图，在中，为边上的中线，M为上一点，连接并延长交于N，，若，则的长度是______． 18. 如图，在中，，点D是边上一点，将沿着直线翻折至所在平面内，得到，若，，，则______，点E到的距离是______． 三.全面答一答（共6题；第19～21每题6分，22题8分，23题9分，24题11分，共46分） 19. 解不等式或不等式组 （1）； （2） 20. 已知在如图所示的平面直角坐标系中． （1）写出，点的坐标； （2）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，，，并依次连接这三个点； （3）已知为轴上一点，点与点关于轴对称，若的面积是的面积的倍，直接写出点的坐标． 21. 如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得． （1）求证：； （2）若，求的长度． 22. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 第13届亚洲体操锦标赛和第19届亚洲青年体操锦标赛于2026年6月15日至29日在遵义市奥体中心体育馆举办，赛事组委会于6月1日在北京举行新闻发布会，发布赛事口号、赛徽、吉祥物和奖牌，其中吉祥物是“辣宝”、“茶宝”、“酱宝”． 素材一 购买1个“辣宝”和1个“茶宝”，共需25元． 购买2个“辣宝”和1个“茶宝”，共需35元． 素材二 轩轩计划购买“辣宝”和“茶宝”共10个，总费用不超过120元，且购买“辣宝”的数量不超过“茶宝”数量的4倍． 完成下列任务： （1）任务一：结合素材一，请求出“辣宝”“茶宝”的单价； （2）任务二：结合素材一和素材二，请帮轩轩求出有几种购买方案． 23. 定义：如图1，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点P为关于点C的勾股点． （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则点P是不是关于点A的勾股点________（填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点D是外一点，且点C是关于点A的勾股点，，则的长为________； （3）如图4，是等边三角形，点P为内一点（不与点A、B、C重合），若，证明：点P是关于点A的勾股点． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． （1）求点A，B坐标； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，点C在第一象限，请直接写出点C的坐标． （3）如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？ 四.附加题（本题有2个小题，第25题4分，第26题6分，共10分） 25. “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．若，，则的面积为 _____． 26. 如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），点是上一个动点，始终保持．则当为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $