2027届高考物理一轮复习（人教版2019）专题讲义（江苏专用）专题36 带电粒子在匀强磁场中的运动

专题36　带电粒子在匀强磁场中的运动　【江苏专用】 2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 专题36　带电粒子在匀强磁场中的运动 2027年高考物理一轮复习 人教版（2019）　江苏专用 建议用时：45 分钟 题量：31 题 难度：★★★★☆ 版本：解析版 ● 内容概览 ● 01 　洛伦兹力与圆周运动 　考点一　洛伦兹力的大小、方向与特点 　考点二　圆周运动的半径与周期 02 　有界磁场中的运动 　考点三　圆心、半径与时间的确定 　考点四　典型轨迹模型与多解问题 03 　综合练习 ▎学习目标 1．理解洛伦兹力，会用左手定则判断其方向，掌握大小计算与不做功的特点。 2．区分带电粒子在匀强磁场中的两种运动，会推导并应用半径公式与周期公式。 3．学会确定有界磁场中轨迹的圆心、半径与运动时间，能处理四类边界问题。 4．会用放缩圆、旋转圆、平移圆、磁聚焦模型分析问题，认识多解成因，了解极光、磁聚焦等实际应用。 ▎课标与考情 【课标要求】《普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）》要求：通过实验认识洛伦兹力，知道洛伦兹力的方向，会判断其大小，了解带电粒子在匀强磁场中的运动，认识其在科学技术中的应用，发展模型建构、科学推理与证据论证能力。 【考情分析】江苏高考物理自主命题，满分100分、考试时间75分钟：单项选择题10题（每题4分，共40分），非选择题5题（含1道实验题和4道计算题，共60分）。本专题在选择题中常考洛伦兹力方向、半径与周期的比较，计算题中常结合有界磁场、回旋加速器、磁聚焦、极光等真实情境，考查轨迹圆心、半径与时间的确定。复习时应把“定则判方向—公式算半径—几何定圆心时间”串成一条线，规范公式与轨迹图的书写。 ▎思维导图 图1　带电粒子在匀强磁场中的运动知识网络 考向一　洛伦兹力与圆周运动 本考向学习洛伦兹力的大小、方向与特点，以及带电粒子在匀强磁场中的两种运动和半径、周期公式。 考点一　洛伦兹力的大小、方向与特点 ▎知识梳理 1．洛伦兹力的定义 运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。通电导线所受的安培力，本质上是导线中大量定向移动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。 2．洛伦兹力的大小 当速度与磁场垂直时 F＝qvB；平行时不受洛伦兹力；速度与磁场夹角为 θ 时，取垂直于磁场的分量。 3．洛伦兹力的方向（左手定则） 操作部位 具体指向 记忆要点 掌心 让磁感线从掌心垂直进入 先看磁场方向 四指 指向正电荷运动方向（负电荷取反方向） 负电荷要反向 拇指 所指方向即洛伦兹力方向 F 同时垂直 v、B 图1　左手定则的操作要点 4．洛伦兹力的特点 洛伦兹力既垂直于速度又垂直于磁场，即垂直于二者决定的平面；它只改变速度方向、不改变速度大小，对粒子不做功。 ▎重难诠释 洛伦兹力的“两个垂直”要同时满足：F⊥v 且 F⊥B，画受力图时用这两条自查，方向就不会画偏。 安培力是洛伦兹力的宏观合力，二者都用左手定则判断；区别在于安培力可以做功，而洛伦兹力对单个电荷不做功。 记忆点：正电荷四指顺运动、负电荷四指反运动；洛伦兹力不做功，只负责让路径“拐弯”。 ▎热点·科技前沿 热点·极光与地磁暴 太阳风抛射出的带电粒子进入地球磁场后，因速度可分解为平行、垂直于地磁场的两个分量，会沿磁感线做螺旋运动，并在南北两极附近汇聚、激发高层大气发出极光。 2024年3月的特大地磁暴期间，地磁扰动使更多带电粒子涌入高纬上空，极光范围向低纬扩展。这正是洛伦兹力让带电粒子“绕着磁场走”的真实写照。 ◆ 例题·变式演练 【例题】在下列四个选项中，正确标明了带正电粒子所受洛伦兹力F方向的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据左手定则可知，A图中洛伦兹力方向应该垂直纸面向里；B图中洛伦兹力方向应该是垂直纸面向外；C图中洛伦兹力方向应该竖直向下；D图中洛伦兹力方向应该竖直向上，故D正确，ABC错误。 故选：D。 【易错点】　判断负电荷所受洛伦兹力时，四指要指向其运动的反方向，不能直接指向运动方向；洛伦兹力永远同时垂直 v 和 B。洛伦兹力始终与速度方向垂直，只改变速度方向、不改变大小，对粒子不做功，不能用它来改变粒子的动能。 【变式1】在如图所示的四幅图中，对通电直导线所受安培力F或带电粒子所受洛伦兹力F洛的方向判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：AB．根据左手定则，A选项中安培力F方向应向下，B选项中安培力F方向向下，故A错误，B正确； CD．根据左手定则，C选项中洛伦兹力F洛方向应向上，D选项中洛伦兹力F洛方向应向下，故CD错误。 故选：B。 【变式2】关于洛伦兹力和安培力的方向，下列各图中判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、磁场方向垂直纸面向外，负电荷向下运动，根据左手定则，四指指向负电荷运动的反方向（向上），磁感线穿手心（朝里），大拇指指向右，与图中洛伦兹力方向向右相符，故A正确； B、磁场方向水平向右，正电荷运动方向与磁场方向平行，洛伦兹力为零，图中存在向下的洛伦兹力，故B错误； C、磁场方向垂直纸面向外，电流方向向下，根据左手定则，磁感线穿手心（朝里），四指指向电流方向（向下），大拇指指向左，与图中安培力方向相反，故C错误； D、磁场方向垂直纸面向里，电流方向与磁场方向平行，安培力为零，故D错误。 故选：A。 【变式3】如图所示，示波管内的电子枪（图中未画出）射出的电子束射向荧光屏，若不加电场和磁场，电子束将沿图中虚直线垂直打在荧光屏上。现在于示波管的正下方放置一条形磁体，使磁体与虚直线在同一竖直平面（纸面）内，且条形磁体的N极靠近示波管，示波管中的电子束将（　　） A．向纸内偏转，速率不变 B．向纸外偏转，速率不变 C．向上偏转，速率减小 D．向下偏转，速率增大 【答案】A 【解答】解：如图，电子束通过的路径上有竖直向上的磁场；电子束由左向右运动，由左手定则可知，电子束受到的洛伦兹力方向垂直纸面向里，即电子束向纸面内侧偏转。洛伦兹力始终与速度方向垂直，只改变速度方向，不做功，粒子动能不变，速率不变。故A正确，BCD错误。 故选：A。 考点二　圆周运动的半径与周期 ▎知识梳理 1．两种运动情形 速度与磁场关系 受力情况 运动性质 v∥B 洛伦兹力为 0 匀速直线运动 v⊥B 洛伦兹力提供向心力 匀速圆周运动 图1　带电粒子在匀强磁场中的两种运动 2．半径与周期公式 垂直射入时，洛伦兹力提供向心力，由 qvB＝mv²/r 可推得半径；再结合圆周运动关系可推得周期。 可见半径随速率增大而增大，而周期与速率、半径均无关，只由比荷和磁感应强度决定，这是回旋加速器能够工作的前提。 物理量 决定公式 影响因素 半径 r m、q、B 一定时，与 v 成正比 周期 T 与 v、r 无关，只取决于比荷 角速度 ω ω＝2π/T＝qB/m 比荷相同、B 相同则 ω 相同 ▎重难诠释 “r 随 v 变、T 与 v 无关”是本考点最易混的结论：加速会让圆变大，但转一圈的时间不变。 比荷相同的粒子在同一磁场中周期、角速度都相同；比荷不同，周期才不同，比较时先看比荷。 记忆点：向心力方程 qvB＝mv²/r 是“总开关”，半径、周期都从它推导，不要死记结论。 ◆ 例题·变式演练 【例题】比荷相同的粒子a、b，以不同的速率从O点沿虚线方向垂直匀强磁场射入，运动轨迹如图所示。不计粒子间的作用力及粒子的重力，则（　　） A．粒子a和b的角速度大小相等 B．粒子a和b的加速度大小相等 C．粒子a带正电 D．洛伦兹力对粒子a做正功 【答案】A 【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝mω2r，其中v＝ωr，解得，两粒子的比荷相等，则两粒子a和b的角速度大小相等，故A正确； B、粒子的加速度a＝ω2r，由于角速度ω相等而轨道半径不同，则粒子a和b的加速度大小不相等，B错误； C、由左手定则可知，粒子a带负电，故C错误； D、洛伦兹力的方向与速度方向垂直，可知洛伦兹力对粒子a不做功，故D错误。 故选：A。 【易错点】　半径 r 与速率 v 成正比，速率越大半径越大；周期 T 与速率、半径无关，只取决于比荷，比荷相同则周期相同。v 与 B 平行时粒子不受力、做匀速直线运动，不要误用圆周运动公式；只有垂直时才做匀速圆周运动。 【变式1】质量和电荷量都相等的粒子a、b，以不同的速率从O点沿虚线方向垂直匀强磁场射入，运动轨迹如图所示，不计粒子间的作用力及粒子的重力，则（　　） A．粒子a带正电 B．洛伦兹力对粒子a做正功 C．粒子a的角速度大于粒子b的角速度 D．粒子a的加速度大于粒子b的加速度 【答案】D 【解答】解：A.磁场垂直纸面向里，粒子向右偏转，则洛伦兹力向右，由左手定则可知粒子a、b均带负电，故A错误； B.洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功，故B错误； C.粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 角速度与半径、速度无关，ωa＝ωb，故C错误； D.如图可知a粒子半径大于b粒子，根据 故a粒子速度大于b粒子，加速度 可得aa＞ab，故D正确。 故选：D。 【变式2】如图所示，在正方形abcd范围内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，两个相同的电子以不同的速率从a点沿ab方向垂直磁场方向射入磁场，其中甲电子从c点射出，乙电子从d点射出．不计电子重力，则甲、乙两电子（　　） A．速率之比为1：2 B．在磁场中运动的周期之比为1：2 C．速度偏转角之比为1：2 D．在磁场中运动时，动能和速度均不变 【答案】C 【解答】解：设正方形边长为L，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力： 可得 甲电子从c点射出：轨迹圆心在ad边上，根据几何关系得r甲＝L，速度偏转角为90°； 乙电子从d点射出：轨迹为半圆，轨道半径，速度偏转角为180°。 A．因，轨道半径r与速率v成正比，则v甲：v乙＝r甲：r乙＝2：1 故速率之比为2：1。 故A错误； B．带电粒子在匀强磁场中，根据周期公式 两个电子完全相同、磁场B一致，因此周期T相等，在磁场中运动的周期之比为1：1。 故B错误； C．甲偏转角为90°，乙偏转角为180°，故速度偏转角之比为90°：180°＝1：2。 故C正确； D．洛伦兹力不做功，因此电子动能不变，但速度是矢量，运动过程中速度方向不断改变，因此速度是变化的。 故D错误。 故选：C。 【变式3】如图甲所示，一点电荷（不计重力）在辐向电场中围绕圆心O做匀速圆周运动，轨迹所在处的电场强度大小均为E。如图乙所示，同一点电荷在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中做匀速圆周运动。已知点电荷两次做圆周运动的周期相等，轨迹的半径均为r。关于该点电荷，下列说法正确的是（　　） A．点电荷可能带带负电 B．两种情形点电荷一定都是逆时针转动 C．点电荷的比荷为 D．点电荷运动的周期为 【答案】C 【解答】解：A．图甲中，点电荷受到的电场力提供向心力，方向与场强方向相同，所以点电荷一定带正电，故A错误； B．图甲中，电场力指向圆心，与速度方向无关，点电荷顺时针或逆时针转动均可；图乙中，点电荷在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，点电荷带正电，根据左手定则判断，点电荷一定沿逆时针转动，故B错误； CD．已知点电荷两次做圆周运动的周期T相等，轨迹的半径均为r。 对图甲中点电荷做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得： 对图乙中点电荷做匀速圆周运动，同理有：qvB 联立解得：，，，故C正确，D错误； 故选：C。 考向二　有界磁场中的运动 本考向学习有界磁场中圆心、半径与时间的确定方法，以及放缩圆、旋转圆、平移圆、磁聚焦等模型和多解问题。 考点三　圆心、半径与时间的确定 ▎知识梳理 1．圆心的确定（三种方法） 方法 几何依据 适用情形 速度垂线交点 过两点作各自速度的垂线，交点即圆心 已知两点速度方向 弦垂直平分线 连接两点成弦，作弦的垂直平分线 已知两点位置 切点法线 轨迹与边界相切时，过切点作边界法线 存在相切临界 图1　确定圆心的三种几何方法 2．半径与时间的确定 半径由平面几何或解三角形求出；运动时间由圆心角决定，偏转角等于圆心角，弦切角与圆心角满足确定关系。 图2　圆心角、偏转角与弦切角的关系 3．四类常见有界磁场 边界类型 示意图 主要规律 直线边界 进出磁场具有对称性 平行边界 存在相切等临界条件 圆形边界 等角进出，沿径向必沿径向 多边形边界 速度不同，出射点与轨迹不同 图3　四类有界磁场的轨迹规律 ▎重难诠释 圆心确定后，半径、圆心角都要在同一几何图上求解，注意速度方向一定沿轨迹切线、半径与速度垂直。 偏转角＝圆心角，而弦切角是圆心角的一半，时间公式里代入的是圆心角，二者不要混用。 记忆点：先定圆心、再求半径、最后算时间；圆形边界“沿径向进、沿径向出”可快速定位。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，一质量为m的带电粒子从P点以垂直于磁场边界方向的速度v射入磁场，穿出磁场时，速度方向与入射方向夹角为θ。设磁感应强度为B、磁场宽度为d。粒子速度始终与磁场垂直，不计粒子所受重力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子做正功 B．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子的冲量为0 C．该粒子在磁场中运动的时间为 D．该粒子的比荷为 【答案】D 【解答】解：B、在粒子穿越磁场的过程中，速度大小不变但方向改变，则动量改变，根据动量定理可知，合外力冲量不为零，粒子仅受洛伦兹力作用， 则洛伦兹力对该粒子的冲量不为0，故B错误； A、在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力与粒子的速度方向始终垂直，则洛伦兹力对该粒子做的功为0，故A错误； C、粒子在磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，穿越磁场的过程中，水平方向速度大小由v一直减小，则该粒子在磁场中运动的时间大于，故C错误； D、粒子在磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据几何关系，联立解得，故D正确。 故选：D。 【易错点】　圆心要靠速度垂线、弦垂直平分线或切点法线确定，不能凭轨迹弧线随意点；偏转角等于轨迹对应的圆心角。运动时间用圆心角 t＝θT/2π 计算，注意圆心角与弦切角的关系，不要把弦切角当成圆心角代入。 【变式1】如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，∠AON＝60°，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，不计粒子的重力。则a、b两粒子进入磁场的速度之比为（　　） A．1：3 B．3：1 C． D． 【答案】A 【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示 由几何知识得raR，rbR 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v 两粒子的比荷相等，则，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式2】如图，边长为l的正方形OPQR内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。现由OP边的中点M沿纸面垂直OP依次射入速度不同的两个电子，分别从O、R两点射出。则从O、R射出的电子速度大小之比为（　　） A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．1：5 【答案】D 【解答】解：设从O点、R点射出的电子轨道半径分别为r1、r2。电子速度竖直向上、磁场垂直纸面向外，洛伦兹力指向左侧，圆心均在过M点的水平线上，且位于M点左侧。 由几何关系，电子从O点射出时有OM＝2r1，所以，电子从R点射出时，设圆心为C，则CM＝r2 ，由CR＝r2 整理得 解得，由 整理得 在同一匀强磁场中同种电子的速度大小与轨道半径成正比，所以vO：vR＝r1：r2＝1：5，则从O、R射出的电子速度大小之比为1：5，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式3】如图所示，直角△MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用不计正、负电子所受的重力。下列说法正确的是（　　） A．可能有正电子从M点射出磁场 B．负电子从D点离开磁场时的速度大小为 C．从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为 D．正电子在磁场中运动的最长时间为 【答案】C 【解答】解：A．根据粒子的运动轨迹可知，粒子不可能从M点射出磁场，故A错误； B．负电子从D点离开磁场时 解得 由洛伦兹力提供向心力可得负电子的速度大小为，故B错误； C．当正电子运动的轨迹与MN相切时从MN射出的时间最长，由几何关系可知圆心角为120°，则最长时间 故C正确； D．正电子从CM之间射出时用时间最长，则在磁场中运动的最长时间为，故D错误。 故选：C。 考点四　典型轨迹模型与多解问题 ▎知识梳理 1．四类常见轨迹模型 模型 示意图 特点（圆心分布） 放缩圆 方向一定、大小不同，圆心共线 旋转圆 大小一定、方向不同，圆心共圆 平移圆 入射点不同，圆心共线 磁聚焦 r＝R 时平行束汇聚到一点 图1　四类典型轨迹模型 2．磁聚焦与磁发散 当轨迹圆半径与磁场圆半径相等（r＝R）时，平行入射的粒子经圆形磁场后汇聚到同一点（磁汇聚）；反之，从一点发出的粒子可变为平行束（磁发散）。 3．多解问题的四类来源 多解来源 不确定因素 电性不确定 粒子带正电还是负电未知 磁场方向不确定 B 的方向未明确给出 临界状态不唯一 相切、穿出等存在多种临界 运动具有周期性 粒子可绕多圈后到达同一位置 图2　多解问题的四类来源 模型 变化量 不变量 放缩圆 速率 v、半径 r 速度方向、磁场 旋转圆 速度方向 速率、半径 平移圆 入射位置 速率、方向、半径 磁聚焦 入射方向 r＝R ▎重难诠释 区分四模型看“谁变谁不变”：放缩圆变大小、旋转圆变方向、平移圆变入射点，磁聚焦要求 r＝R。 多解题要把电性、磁场方向等各种组合枚举完整，再结合周期性判断，漏掉任一可能都会丢解。 记忆点：磁聚焦“半径相等才聚焦”；多解四来源按“电性—方向—临界—周期”顺序排查。 ▎热点·科技前沿 热点·磁聚焦霍尔电推进与离子注入 我国已完成在轨验证的磁聚焦霍尔电推进系统，利用磁聚焦把带电粒子流汇聚后高速喷出，为航天器提供推力，是磁聚焦原理在航天动力上的应用。 芯片制造中的离子注入机，先用加速电场给离子加速，再用磁场让其偏转、按半径精确“分选”，把指定离子注入硅片，同一套半径公式 r＝mv/(qB) 决定了注入的精度。 ◆ 例题·变式演练 【例题】（多选）如图所示，虚线AC上方区域和虚线DE下方区域均有垂直于纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小分别为B1、B2，AC与DE之间区域无磁场。一带电粒子以垂直于磁场方向的速度射入AC上方区域后，其运动轨迹呈现出“8”字形。图中，上部分圆形轨迹的半径比下部分圆形轨迹的半径小，粒子在无磁场区做匀速直线运动，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．上、下区域磁场方向相反 B．上、下区域磁场方向相同 C．B1＞B2 D．B1＜B2 【答案】AC 【解答】解：AB.设粒子带正电，由左手定则可判断上、下区域磁场方向相反，故A正确，B错误。 CD.由qvB 得r可知，上方磁感应强度比下方磁感应强度大，故C正确，D错误。 故选：AC。 【易错点】　磁聚焦成立的条件是轨迹圆半径等于磁场圆半径（r＝R），条件不满足时粒子不会汇聚到同一点。多解常源于电性、磁场方向、临界状态和运动周期四种不确定，审题时要逐一枚举，不能只算一种情况。 【变式1】（多选）如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量大小都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．粒子a带正电 B．粒子c的动能最大 C．粒子c在磁场中运动的时间最长 D．粒子b在磁场中运动时的向心力最大 【答案】ACD 【解答】解：A.分析粒子a的轨迹，由左手定则可知粒子a带正电，故A正确； BD.粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力： 解得轨迹半径 由于三粒子的比荷相同，且所处磁场B相同，则速度v与半径R成正比。由图可知Rb＞Ra＞Rc 则速度vb＞va＞vc 根据动能公式 可知粒子b的动能最大；根据向心力公式F＝qvB 可知粒子b受到的向心力最大，故B错误，D正确； C.粒子在磁场中运动的周期均相同。运动时间（θ为圆心角） 由图可知，粒子c运动轨迹对应的圆心角θ最大，故粒子c在磁场中运动的时间最长，故C正确。 故选：ACD。 【变式2】如图，直角三角形ACD区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，CD＝L，θ＝37°。质量为m、电荷量为q且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直AD边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，sin37°＝0.6，则粒子经磁场偏转后从AC边射出的粒子占射入到AD边总粒子数的百分比为（　　） A．2.5% B．12.0% C．30.0% D．47.5% 【答案】B 【解答】解：粒子在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力 可得r＝0.3L 当粒子的轨迹与AC边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的右侧临近点，设此时入射点为E，则 E→A之间入射的粒子经磁场偏转后从AC边射出，则粒子经磁场偏转后从AC边射出的粒子占射入到AD边总粒子数的百分比为 故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式3】（多选）半径为R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小在一定范围内的同种带电粒子。带电粒子质量为m，电荷量为q（q＞0）。现粒子沿正对cO中点且垂直于cO方向射入磁场区域，发现带电粒子仅能从bd之间的圆弧飞出磁场，不计粒子重力，其中sin15°，则（　　） A．从b点飞出的带电粒子的运动时间最长 B．从d点飞出的带电粒子的运动时间最长 C．粒子源发射粒子的最大速度为（1） D．在磁场中运动的时间为的粒子，其速度为 【答案】BD 【解答】解：AB、设粒子进入磁场的位置为P，离开磁场的位置为Q，轨迹半径为r，速度方向偏转角为θ。 正粒子进入磁场后，洛伦兹力指向右侧，粒子沿顺时针方向做匀速圆周运动。由入射位置可知，P点在圆心左下方，且∠POa＝30°。设∠dOQ＝φ，则0°≤φ≤90°。 由∠POQ＝120°+φ及等腰三角形的几何关系可知，弦PQ与入射速度方向的夹角为。该夹角等于轨迹圆心角的一半，因此θ＝120°﹣φ。 由洛伦兹力提供向心力，有；结合，解得，其中θ用弧度表示。因此偏转角越大，运动时间越长。 从d点飞出的粒子偏转角最大，为；从b点飞出的粒子偏转角最小，为。故A错误，B正确； C、对磁场边界圆和粒子轨迹圆，分别利用弦长公式，有，。结合θ＝120°﹣φ，解得。 在本题偏转角范围内，θ越小，轨迹半径越大，因此从b点飞出的粒子半径最大。 取θ＝30°，由上述半径关系，解得。再由，解得，故C错误； D、由，解得该粒子的偏转角为。由，解得。再由，解得，故D正确。 故选：BD。 ★ 综合练习 ★ 本部分精选15道题，覆盖洛伦兹力、半径与周期、有界磁场轨迹、典型模型与多解等内容，请在规定时间内独立完成。 1．如图所示，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，现将一电荷量为+q，质量为m的带电小球以初速度v0从地面竖直向上抛出，并且满足qv0B＝mg，不计空气阻力。在抛出后的运动过程中下列说法正确的是（　　） A．小球运动的轨迹为圆弧（圆的一部分） B．小球能够上升的最大高度为 C．小球上升到最大高度所需的时间为 D．小球运动过程中不会撞到地面 【答案】C 【解答】解：B.原运动可分解为两个运动的合成：水平向右的匀速直线运动，且qv1B＝mg 解得速度大小为v1＝v0，重力与该速度对应的洛伦兹力平衡；另一个分运动为v2的匀速圆周运动。由矢量合成可得，方向朝左上方45°方向，如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得 解得，当v2水平向左时，小球运动到最高点，则最大高度h＝r（1﹣cos45°） 联立解得，故B错误； A.小球的实际运动是水平匀速直线与匀速圆周运动的合运动，轨迹为摆线（旋轮线），不是圆弧，故A错误； C.上升最大高度时，v2偏转45°，则时间为，故C正确； D.由图对称可知，v2偏转90°时，小球会撞到地面，故D错误。 故选：C。 2．如图所示，在地球上同一个地区创设不同的条件进行单摆实验。图甲装置置于真空中，悬点处固定一带正电的小球，绝缘细线下端连接另一带正电小球，周期记为T1；图乙中，单摆的悬点在一向下加速的电梯顶端，周期记为T2；图丙中的摆球带正电，在如图所示的匀强磁场中进行摆动，周期记为T3；图丁中的摆球带正电，在如图所示的匀强电场中进行摆动，周期记为T4。若四个单摆的摆长一样长，则周期关系正确的是（　　） A．T1＞T2＞T4＞T3 B．T2＞T1＞T3＞T4 C．T3＝T1＞T4＞T2 D．T2＞T3＝T1＞T4 【答案】D 【解答】解：单摆甲所受的库仑力和单摆丙受的洛伦兹力总是沿半径方向的，不影响回复力大小，所以 根据等效重力加速度的求法，在平衡位置处，对丁有 T丁＝mg+qE 则 故， 对乙有 mg﹣T乙＝ma 解得 则有 综上比较四个单摆的周期可知 T2＞T3＝T1＞T4，故ABC错误，D正确。 故选：D。 3．极光（图甲所示）是太阳风中的带电粒子进入地球大气层和空气分子作用形成的。漠河因地处高纬度地区，是我国观测极光的核心区域。今年冬季是极光爆发期，红绿的极光交互舞动，吸引大量游客北上一睹为快。根据图乙信息，关于高纬才能看到极光的主要原因，下列说法正确的是（　　） A．太阳风吹向低纬的带电粒子少 B．在高纬地区空气密度小 C．太阳风中的带电粒子在高纬地区受到地球的洛伦兹力小 D．太阳风中的带电粒子在低纬度受到的洛伦兹力使其减速，故不能进入地球 【答案】C 【解答】解：A.太阳风是全方位扩散的，低纬度地区也有大量带电粒子，只是被地球磁场偏转阻挡，并非粒子数量少，故A错误； B.空气密度小不是极光出现在高纬的原因，极光需要带电粒子与大气分子碰撞发光，低纬度大气密度更高，反而更利于碰撞，故B错误； C.高纬度地区的地球磁感线与太阳风带电粒子的运动方向（径向指向地球）接近平行，根据洛伦兹力公式F＝qvBsinθ（θ为速度与磁感线的夹角），此时sinθ≈0，洛伦兹力很小，粒子可沿磁感线进入大气层，故C正确； D.洛伦兹力始终与粒子速度方向垂直，只改变速度方向、不做功，因此不会使粒子减速；低纬度地区粒子难以进入是因为洛伦兹力使其偏转（做圆周运动），而非减速，故D错误。 故选：C。 4．如图，示波管内存在垂直纸面向外的匀强磁场，则电子束进入示波管后（　　） A．向纸里偏转 B．向纸外偏转 C．向下偏转 D．向上偏转 【答案】D 【解答】解：由左手定则可知，电子束受到的洛伦兹力竖直向上，则电子束向上偏转，故D正确，ABC错误。 故选：D。 5．空间中有一磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现将一根横截面积为S、长度为L的铜导线垂直磁场方向放置，固定后通以电流I，如图所示。若铜单位体积内的自由电子数为n，则该铜导线中单个自由电子因定向移动所受洛伦兹力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题可知，导线中的自由电子定向运动的速率为 则洛伦兹力为，故B正确，ACD错误； 故选：B。 6．如图所示，在xOy坐标系中有一圆形匀强磁场区域，圆心在原点O，半径为L，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外。A点坐标为（﹣L，0），一粒子带正电，比荷为，第一次从A点在纸面内以速率沿着与x轴正方向成α角射入磁场，第二次从A点在纸面内以相同的速率沿着与x轴正方向成β角射入磁场，已知粒子第一次在磁场中的运动时间是第二次的3倍，则（　　） A．α+3β＝π B．3α+β＝π C． D．α+β＝π 【答案】A 【解答】解：带正电粒子以给定速率射入磁场，在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径为L 角速度为，由于运动圆与磁场圆半径相等，按两圆相交的几何关系，第一次入射在磁场内转过的圆心角为 第二次入射转过的圆心角为，正负号分别对应两次入射方向。因此，。由t1＝3t2，整理得 整理得α+3β＝π，故A正确，BCD错误。 故选：A。 7．如图，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为足够长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子速率均为，则接收板接收到离子的区域长度为（　　） A．h B． C．2h D． 【答案】D 【解答】解：粒子在垂直纸面向里的匀强磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 解得r＝h 如图所示接收板接收到离子的区域长度。故ABC错误，D正确。 故选：D。 8．如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，从圆上的A点沿AO方向以速度v射入一个不计重力的粒子。粒子从N点离开磁场。已知∠AON＝60°。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电荷 B．粒子做圆周运动的半径为R C．粒子的比荷为 D．粒子在磁场中的运动时间为 【答案】D 【解答】解：A、粒子向上偏转，在A点受洛伦兹力向上，根据左手定则可知，粒子带负电，故A错误； B、粒子的运动轨迹如图所示 粒子射出磁场时速度偏转角为120°，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系可得 解得粒子做圆周运动的半径为，故B错误； D、由几何关系可知∠AO1N＝120°，粒子在磁场中的运动时间为，故D正确； C、由洛伦兹力提供向心力可得 可得粒子的比荷为，故C错误。 故选：D。 9．如图所示，在直角坐标系xOy中，第一象限和第四象限内分别存在垂直纸面向外的匀强磁场，第四象限内磁场的磁感应强度大小为B，x轴为磁场分界线。一带正电粒子从y轴上P（0，L）点以初速度v沿x轴正方向射入第一象限，粒子从x轴上点第一次进入第四象限，且恰好不穿过y轴。已知粒子的电荷量为q，质量为m，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在第一象限做圆周运动的轨迹半径为L B．粒子在第四象限做圆周运动的轨迹半径为 C．粒子第一次在第四象限运动的时间为 D．粒子从P点到Q点的路程为 【答案】B 【解答】解：A、 设第一象限轨迹半径为R1，由几何关系 解得R1＝2L，故A错误； B、粒子进入第四象限时，速度方向与x轴正方向向下夹角为60°，恰好不穿过y轴说明轨迹与y轴相切，设第四象限轨迹半径为r2，由几何关系得 整理得，故B正确； C、由几何关系得粒子在第四象限运动的圆心角，第四象限周期 运动时间，故C错误； D、由几何关系得P到Q的圆弧圆心角，弧长（P到Q的路程）s＝R1θ，即，故D错误。 故选：B。 10．（多选）矿山、冶金行业的磁选机，用来分离带磁性或带电的矿石颗粒，原理如图所示，绝缘固定的斜面的剖面AD与水平面的夹角θ＝37°，点O、C为直线AD上的两点，OA段粗糙，OD段光滑，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场充满AD所在的空间，AD与磁场方向垂直。质量为m、电荷量为q的物块（未画出），在C点以某一初速度v0（未知）开始沿斜面AD向上运动，此时物块与斜面AD之间的相互作用力大小为0.6mg，已知OA、OC，OA段的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．物块带负电 B．物块在C点上滑的初速度大小为 C．物块在O点时的速度大小为 D．物块在OA段因摩擦产生的热量为 【答案】BD 【解答】解：A、若没有磁场，则物块对斜面的压力N＝mgcos37°＝0.8mg，由于物块与斜面AD之间的相互作用力的大小为0.6mg，所以洛伦兹力方向垂直于斜面向上，物块带正电，故A错误； B、在C点处垂直斜面方向受力平衡，根据qvB＝0.8mg﹣0.6mg＝0.2mg 得物块在C点上滑的初速度，故B正确； C、由 得，故C错误； D、向下运动到O处受到的洛伦兹力F＝qv1B 整理得，方向垂直于斜面向下 摩擦力f＝μ（F+mgcos37°） 整理得f＝0.6mg，开始匀速运动，所以物块在OA段因摩擦产生的热量为Q＝f•OA 解得，故D正确。 故选：BD。 11．（多选）如图所示，平面直角坐标系内充满垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B。点处放有一带负电小球，其质量为m，电荷量为q。从t＝0时刻起，小球受到一外力的作用，其大小恒为F。初始时刻外力沿y轴正方向，而后其方向与小球运动速度方向保持一致。下列说法正确的是（　　） A．小球将做匀加速运动 B．小球运动过程中，小球的运动半径r与速度方向角的改变量θ成正比 C．小球第一次经过x轴时的坐标为 D．小球第一次经过x轴时，经过的总路程 【答案】BC 【解答】解：A、洛伦兹力始终与速度垂直，外力始终沿速度方向，因此小球的切向加速度满足F＝mat，解得。 小球由静止开始运动，故。但洛伦兹力使速度方向不断改变，且其大小随速率增大而增大，小球的加速度并非恒定，故A错误； B、设小球轨迹在某时刻的曲率半径为r，即该时刻的运动半径。由洛伦兹力提供法向加速度，有，解得。 速度方向转动的角速度为，解得，为定值。设速度方向相对初始方向顺时针转过的角度为θ，则θ＝ωt。 结合，解得，所以运动半径与速度方向角的改变量成正比，故B正确； C、小球带负电，初始运动方向沿y轴正方向，故轨迹向右弯曲。为简化书写，令，则初始纵坐标为2R。 当速度方向顺时针转过θ时，速度分量为vx＝vsinθ、vy＝vcosθ。下面利用动量定理确定位置。 设外力在这段时间内的冲量分量为Ix、Iy。外力大小恒定，方向以角速度ω顺时针转动，其冲量可借助匀速圆周运动求出： 设一个质量同为m的辅助小球，以速率做角速度为ω的匀速圆周运动，其向心力大小满足mωu＝F。 令其初速度沿x轴负方向并顺时针转动，则其向心力与原小球所受外力始终相同。 由辅助小球的动量变化可得Ix＝μ（1﹣cosθ）、Iy＝μsinθ，即、。 原小球的洛伦兹力分量满足Fx＝qBvy、Fy＝﹣qBvx，因此这段时间内洛伦兹力的冲量分量分别为qB（y﹣2R）、﹣qBx。 分别取坐标轴正方向为动量的正方向，由动量定理有mvsinθ＝Ix+qB（y﹣2R）、mvcosθ＝Iy﹣qBx。结合，解得x＝R（sinθ﹣θcosθ）、y＝R（1+cosθ+θsinθ）。 当0＜θ＜π时，1+cosθ＞0且θsinθ＞0，故y＞0；当θ＝π时，首次有y＝0，此时x＝πR。所以小球第一次经过x轴时的坐标为，故C正确； D、小球第一次经过x轴时，由θ＝ωt，解得。由于小球的速率随时间均匀增大，总路程满足，解得，故D错误。 故选：BC。 12．在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理的简化示意图，一个粒子源在A处不断释放质量为m，带电量为+q（q＞0）的离子，其初速度视为零，经电压为U的加速电场加速后，沿图中半径为R1的圆弧形虚线通过圆弧形静电分析器（静电分析器通道内有均匀径向分布的电场）后，从P点沿直径PQ方向进入半径为R2的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向外。经磁场偏转，离子最后打在平行PQ放置且与PQ等高的硅片上，硅片到PQ的距离为，不计离子重力。求： （1）离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小v； （2）静电分析器通道内虚线处电场强度的大小E； （3）若匀强磁场的磁感应强度大小可以调节，要让从P点沿直线PQ方向进入圆形匀强磁场区域的离子全部打在硅片上，求磁感应强度大小的取值范围。 【答案】（1）离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小是； （2）静电分析器通道内虚线处电场强度的大小是； （3）磁感应强度大小的取值范围是B。 【解答】解：（1）离子在加速电场中加速，由动能定理得qU0，解得v （2）离子在静电分析器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，由牛顿第二定律得qE＝m 解得：E （3）要让离子全部打在硅片上，其临界运动轨迹如图所示 离子恰好打到硅片的最低点，根据几何关系得r1R2 离子恰好打到硅片的最高点，根据几何关系得r2R2 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m 解得B1，B2，则磁感应强度大小的取值范围是B 答：（1）离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小是； （2）静电分析器通道内虚线处电场强度的大小是； （3）磁感应强度大小的取值范围是B。 13．如图所示，一电荷量为q的带电粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角θ＝30°，求： （1）带电粒子电性； （2）带电粒子在磁场中运动的轨道半径r； （3）带电粒子的质量m； （4）带电粒子穿过磁场的时间t。 【答案】（1）带电粒子带正电。 （2）轨道半径为2d。 （3）粒子的质量为。 （4）穿过磁场的时间为。 【解答】解：（1）图中磁场方向垂直纸面向外，粒子入射速度水平向右，进入磁场后向下偏转，因此所受洛伦兹力方向向下。根据左手定则可知，粒子带正电。 （2）粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动。速度方向的偏转角等于轨道对应的圆心角，因此圆心角为θ＝30°。 由轨迹的几何关系有d＝rsinθ，解得轨道半径r＝2d。 （3）洛伦兹力提供向心力，根据，结合上述轨道半径，解得粒子的质量。 （4）粒子在磁场中做匀速圆周运动，经过的圆心角为。由弧长公式s＝rθ和运动时间公式，解得粒子穿过磁场的时间。 答：（1）带电粒子带正电。 （2）轨道半径为2d。 （3）粒子的质量为。 （4）穿过磁场的时间为。 14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，x轴上方区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场。原点O处有一粒子源，可在xOy平面内的x轴上方沿各个方向均匀发射质量为m、电荷量为q、速度大小为v的带正电的粒子。一足够长的粒子收集板PQ垂直于x轴放置，底端P位于坐标（x0，0）处，当粒子打到收集板时立即被吸收。当粒子沿与x轴正方向夹角为53°方向发射时，粒子恰好打在收集板上的P点。不计粒子所受重力和粒子间相互作用，粒子被吸收的过程中收集板始终不带电，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。 （1）求磁感应强度B的大小； （2）在一段时间内，粒子源发射的粒子不能打到收集板PQ上的数目占粒子总数的百分比； （3）粒子源发射的粒子中会有两个不同方向入射的粒子打在收集板PQ上的同一位置，求PQ上这种位置分布的区域长度。 【答案】（1）磁感应强度B的大小为； （2）在一段时间内，粒子源发射的粒子不能打到收集板PQ上的数目占粒子总数的百分比为50%； （3）粒子源发射的粒子中会有两个不同方向入射的粒子打在收集板PQ上的同一位置，PQ上这种位置分布的区域长度为。 【解答】解：（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子沿与x轴正方向夹角为53°方向发射时，粒子恰好打在收集板上的P点，此粒子的运动轨迹如图甲所示： 由几何关系可知，弦长OP＝x0，x0＝2r•sin53° 可得粒子运动的轨迹半径为：r 根据洛伦兹力提供向心力得：qvB＝m 解得：B （2）不能打到收集板PQ上的临界情况是粒子的轨迹恰好经过P点和恰好与PQ相切，与PQ相切的运动轨迹如图乙所示： 由几何关系可得：sinθ，可得：θ＝37° 可得粒子速度与x轴负方向的夹角θ＝37° 在一段时间内，粒子源发射的粒子不能打到收集板上的数目占粒子总数的百分比为：η100%＝50% （3）如图丙所示，粒子的轨迹恰好与PQ相切于N点，粒子打在PQ上与P点距离最远的位置为M点，OM为粒子轨迹的直径，两个不同方向入射的粒子打在收集板PQ上的同一位置在M、N之间，线段MN的长度即为所求。 由几何关系得：NP；MP MN＝MP﹣NP 联立解得：MN 答：（1）磁感应强度B的大小为； （2）在一段时间内，粒子源发射的粒子不能打到收集板PQ上的数目占粒子总数的百分比50%； （3）粒子源发射的粒子中会有两个不同方向入射的粒子打在收集板PQ上的同一位置，PQ上这种位置分布的区域长度为。 15．如图所示，空间存在方向垂直纸面的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大的绝缘平板MN的上方距离为d处，在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做圆周运动的半径大小为，求： （1）能打在板上的点与P点的最远距离； （2）到达板上的最长时间和最短时间； （3）能打在板上区域长度。 【答案】（1）能打在板上的点与P点的最远距离为。 （2）到达板上的最短时间为，最长时间为。 （3）能打在板上区域长度为。 【解答】解：设粒子的轨道半径为 ，以板上位于 P 点正下方的点为原点，沿板向右为横轴正方向，竖直向上为纵轴正方向，则 P 点的坐标为 （0，d）。 不妨设粒子沿顺时针方向运动；若转动方向相反，落点区域左右对称，各问结果均不变。以下均讨论粒子首次到达板面的情况。 （1）设粒子打在板上的点为 A。由于 P、A 在同一半径为 R 的圆上，弦长不超过直径，因此有 PA≤2R。 当 PA 恰好为轨道圆的直径时，粒子可以沿半圆轨迹首次到达板面，故最大距离能够取到。由 Lmax＝2R，解得 。 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，若到达板面时转过的圆心角为 φ，则运动时间满足 ，故只需确定圆心角的最小值和最大值。 先求最短时间。对于圆心角不超过 π 的轨迹，由弦长公式及两点的竖直距离可得 。 当落点恰为 P 点正下方、且粒子沿劣弧运动时取等号，因而 ，解得 。 圆心角大于 π 的轨迹所需时间显然更长。由 ，解得 。 再求最长时间。设轨道圆心为 C（a，h），用角度 θ 表示圆心位置，使 a＝Rsinθ、h＝d﹣Rcosθ。 轨迹能够到达板面，必须满足 h≤R，故 。 令 ，则﹣α≤θ≤α。 顺时针运动时，粒子首次到达板面的点位于圆心的右下方或正下方。设该落点处的半径与竖直向下方向的夹角为 β，则 β≥0。 由圆周运动的几何关系，粒子转过的圆心角为 φ＝π+θ﹣β，所以 φ≤π+α。 当 θ＝α 时，轨道圆与板相切，此时 β＝0，上述最大值可以取到。因此 。由 ，解得 。 其中反三角函数的角度均以弧度表示。 （3）设落点的横坐标为 x。由第一问的弦长限制，有 x2+d2≤4R2，因此右侧最远落点满足 ，解得 。 此时 PA 为直径，该落点可以到达。 对于左侧边界，由圆心到 P 点的距离为 R，有 a2+（d﹣h）2＝R2。又因 h≤R，可得 ，解得 。 顺时针运动时首次落点位于圆心右侧或正下方，其横坐标满足 ，故 。 当圆心位于左侧且轨道与板相切时取等号，即 。 随着发射方向连续变化，首次落点在上述两端之间连续变化，因此能打在板上的区域长度为l＝xmax﹣xmin，解得 。 答：（1）能打在板上的点与P点的最远距离为。 （2）到达板上的最短时间为，最长时间为。 （3）能打在板上区域长度为。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）· 江苏专用 · 专题36 带电粒子在匀强磁场中的运动 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题36　带电粒子在匀强磁场中的运动　【江苏专用】 2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 专题36　带电粒子在匀强磁场中的运动 2027年高考物理一轮复习 人教版（2019）　江苏专用 建议用时：45 分钟 题量：31 题 难度：★★★★☆ 版本：原卷版 ● 内容概览 ● 01 　洛伦兹力与圆周运动 　考点一　洛伦兹力的大小、方向与特点 　考点二　圆周运动的半径与周期 02 　有界磁场中的运动 　考点三　圆心、半径与时间的确定 　考点四　典型轨迹模型与多解问题 03 　综合练习 ▎学习目标 1．理解洛伦兹力，会用左手定则判断其方向，掌握大小计算与不做功的特点。 2．区分带电粒子在匀强磁场中的两种运动，会推导并应用半径公式与周期公式。 3．学会确定有界磁场中轨迹的圆心、半径与运动时间，能处理四类边界问题。 4．会用放缩圆、旋转圆、平移圆、磁聚焦模型分析问题，认识多解成因，了解极光、磁聚焦等实际应用。 ▎课标与考情 【课标要求】《普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）》要求：通过实验认识洛伦兹力，知道洛伦兹力的方向，会判断其大小，了解带电粒子在匀强磁场中的运动，认识其在科学技术中的应用，发展模型建构、科学推理与证据论证能力。 【考情分析】江苏高考物理自主命题，满分100分、考试时间75分钟：单项选择题10题（每题4分，共40分），非选择题5题（含1道实验题和4道计算题，共60分）。本专题在选择题中常考洛伦兹力方向、半径与周期的比较，计算题中常结合有界磁场、回旋加速器、磁聚焦、极光等真实情境，考查轨迹圆心、半径与时间的确定。复习时应把“定则判方向—公式算半径—几何定圆心时间”串成一条线，规范公式与轨迹图的书写。 ▎思维导图 图1　带电粒子在匀强磁场中的运动知识网络 考向一　洛伦兹力与圆周运动 本考向学习洛伦兹力的大小、方向与特点，以及带电粒子在匀强磁场中的两种运动和半径、周期公式。 考点一　洛伦兹力的大小、方向与特点 ▎知识梳理 1．洛伦兹力的定义 运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。通电导线所受的安培力，本质上是导线中大量定向移动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。 2．洛伦兹力的大小 当速度与磁场垂直时 F＝qvB；平行时不受洛伦兹力；速度与磁场夹角为 θ 时，取垂直于磁场的分量。 3．洛伦兹力的方向（左手定则） 操作部位 具体指向 记忆要点 掌心 让磁感线从掌心垂直进入 先看磁场方向 四指 指向正电荷运动方向（负电荷取反方向） 负电荷要反向 拇指 所指方向即洛伦兹力方向 F 同时垂直 v、B 图1　左手定则的操作要点 4．洛伦兹力的特点 洛伦兹力既垂直于速度又垂直于磁场，即垂直于二者决定的平面；它只改变速度方向、不改变速度大小，对粒子不做功。 ▎重难诠释 洛伦兹力的“两个垂直”要同时满足：F⊥v 且 F⊥B，画受力图时用这两条自查，方向就不会画偏。 安培力是洛伦兹力的宏观合力，二者都用左手定则判断；区别在于安培力可以做功，而洛伦兹力对单个电荷不做功。 记忆点：正电荷四指顺运动、负电荷四指反运动；洛伦兹力不做功，只负责让路径“拐弯”。 ▎热点·科技前沿 热点·极光与地磁暴 太阳风抛射出的带电粒子进入地球磁场后，因速度可分解为平行、垂直于地磁场的两个分量，会沿磁感线做螺旋运动，并在南北两极附近汇聚、激发高层大气发出极光。 2024年3月的特大地磁暴期间，地磁扰动使更多带电粒子涌入高纬上空，极光范围向低纬扩展。这正是洛伦兹力让带电粒子“绕着磁场走”的真实写照。 ◆ 例题·变式演练 【例题】在下列四个选项中，正确标明了带正电粒子所受洛伦兹力F方向的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在如图所示的四幅图中，对通电直导线所受安培力F或带电粒子所受洛伦兹力F洛的方向判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】关于洛伦兹力和安培力的方向，下列各图中判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，示波管内的电子枪（图中未画出）射出的电子束射向荧光屏，若不加电场和磁场，电子束将沿图中虚直线垂直打在荧光屏上。现在于示波管的正下方放置一条形磁体，使磁体与虚直线在同一竖直平面（纸面）内，且条形磁体的N极靠近示波管，示波管中的电子束将（　　） A．向纸内偏转，速率不变 B．向纸外偏转，速率不变 C．向上偏转，速率减小 D．向下偏转，速率增大 考点二　圆周运动的半径与周期 ▎知识梳理 1．两种运动情形 速度与磁场关系 受力情况 运动性质 v∥B 洛伦兹力为 0 匀速直线运动 v⊥B 洛伦兹力提供向心力 匀速圆周运动 图1　带电粒子在匀强磁场中的两种运动 2．半径与周期公式 垂直射入时，洛伦兹力提供向心力，由 qvB＝mv²/r 可推得半径；再结合圆周运动关系可推得周期。 可见半径随速率增大而增大，而周期与速率、半径均无关，只由比荷和磁感应强度决定，这是回旋加速器能够工作的前提。 物理量 决定公式 影响因素 半径 r m、q、B 一定时，与 v 成正比 周期 T 与 v、r 无关，只取决于比荷 角速度 ω ω＝2π/T＝qB/m 比荷相同、B 相同则 ω 相同 ▎重难诠释 “r 随 v 变、T 与 v 无关”是本考点最易混的结论：加速会让圆变大，但转一圈的时间不变。 比荷相同的粒子在同一磁场中周期、角速度都相同；比荷不同，周期才不同，比较时先看比荷。 记忆点：向心力方程 qvB＝mv²/r 是“总开关”，半径、周期都从它推导，不要死记结论。 ◆ 例题·变式演练 【例题】比荷相同的粒子a、b，以不同的速率从O点沿虚线方向垂直匀强磁场射入，运动轨迹如图所示。不计粒子间的作用力及粒子的重力，则（　　） A．粒子a和b的角速度大小相等 B．粒子a和b的加速度大小相等 C．粒子a带正电 D．洛伦兹力对粒子a做正功 【变式1】质量和电荷量都相等的粒子a、b，以不同的速率从O点沿虚线方向垂直匀强磁场射入，运动轨迹如图所示，不计粒子间的作用力及粒子的重力，则（　　） A．粒子a带正电 B．洛伦兹力对粒子a做正功 C．粒子a的角速度大于粒子b的角速度 D．粒子a的加速度大于粒子b的加速度 【变式2】如图所示，在正方形abcd范围内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，两个相同的电子以不同的速率从a点沿ab方向垂直磁场方向射入磁场，其中甲电子从c点射出，乙电子从d点射出．不计电子重力，则甲、乙两电子（　　） A．速率之比为1：2 B．在磁场中运动的周期之比为1：2 C．速度偏转角之比为1：2 D．在磁场中运动时，动能和速度均不变 【变式3】如图甲所示，一点电荷（不计重力）在辐向电场中围绕圆心O做匀速圆周运动，轨迹所在处的电场强度大小均为E。如图乙所示，同一点电荷在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中做匀速圆周运动。已知点电荷两次做圆周运动的周期相等，轨迹的半径均为r。关于该点电荷，下列说法正确的是（　　） A．点电荷可能带带负电 B．两种情形点电荷一定都是逆时针转动 C．点电荷的比荷为 D．点电荷运动的周期为 考向二　有界磁场中的运动 本考向学习有界磁场中圆心、半径与时间的确定方法，以及放缩圆、旋转圆、平移圆、磁聚焦等模型和多解问题。 考点三　圆心、半径与时间的确定 ▎知识梳理 1．圆心的确定（三种方法） 方法 几何依据 适用情形 速度垂线交点 过两点作各自速度的垂线，交点即圆心 已知两点速度方向 弦垂直平分线 连接两点成弦，作弦的垂直平分线 已知两点位置 切点法线 轨迹与边界相切时，过切点作边界法线 存在相切临界 图1　确定圆心的三种几何方法 2．半径与时间的确定 半径由平面几何或解三角形求出；运动时间由圆心角决定，偏转角等于圆心角，弦切角与圆心角满足确定关系。 图2　圆心角、偏转角与弦切角的关系 3．四类常见有界磁场 边界类型 示意图 主要规律 直线边界 进出磁场具有对称性 平行边界 存在相切等临界条件 圆形边界 等角进出，沿径向必沿径向 多边形边界 速度不同，出射点与轨迹不同 图3　四类有界磁场的轨迹规律 ▎重难诠释 圆心确定后，半径、圆心角都要在同一几何图上求解，注意速度方向一定沿轨迹切线、半径与速度垂直。 偏转角＝圆心角，而弦切角是圆心角的一半，时间公式里代入的是圆心角，二者不要混用。 记忆点：先定圆心、再求半径、最后算时间；圆形边界“沿径向进、沿径向出”可快速定位。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，一质量为m的带电粒子从P点以垂直于磁场边界方向的速度v射入磁场，穿出磁场时，速度方向与入射方向夹角为θ。设磁感应强度为B、磁场宽度为d。粒子速度始终与磁场垂直，不计粒子所受重力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子做正功 B．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子的冲量为0 C．该粒子在磁场中运动的时间为 D．该粒子的比荷为 【变式1】如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，∠AON＝60°，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，不计粒子的重力。则a、b两粒子进入磁场的速度之比为（　　） A．1：3 B．3：1 C． D． 【变式2】如图，边长为l的正方形OPQR内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。现由OP边的中点M沿纸面垂直OP依次射入速度不同的两个电子，分别从O、R两点射出。则从O、R射出的电子速度大小之比为（　　） A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．1：5 【变式3】如图所示，直角△MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用不计正、负电子所受的重力。下列说法正确的是（　　） A．可能有正电子从M点射出磁场 B．负电子从D点离开磁场时的速度大小为 C．从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为 D．正电子在磁场中运动的最长时间为 考点四　典型轨迹模型与多解问题 ▎知识梳理 1．四类常见轨迹模型 模型 示意图 特点（圆心分布） 放缩圆 方向一定、大小不同，圆心共线 旋转圆 大小一定、方向不同，圆心共圆 平移圆 入射点不同，圆心共线 磁聚焦 r＝R 时平行束汇聚到一点 图1　四类典型轨迹模型 2．磁聚焦与磁发散 当轨迹圆半径与磁场圆半径相等（r＝R）时，平行入射的粒子经圆形磁场后汇聚到同一点（磁汇聚）；反之，从一点发出的粒子可变为平行束（磁发散）。 3．多解问题的四类来源 多解来源 不确定因素 电性不确定 粒子带正电还是负电未知 磁场方向不确定 B 的方向未明确给出 临界状态不唯一 相切、穿出等存在多种临界 运动具有周期性 粒子可绕多圈后到达同一位置 图2　多解问题的四类来源 模型 变化量 不变量 放缩圆 速率 v、半径 r 速度方向、磁场 旋转圆 速度方向 速率、半径 平移圆 入射位置 速率、方向、半径 磁聚焦 入射方向 r＝R ▎重难诠释 区分四模型看“谁变谁不变”：放缩圆变大小、旋转圆变方向、平移圆变入射点，磁聚焦要求 r＝R。 多解题要把电性、磁场方向等各种组合枚举完整，再结合周期性判断，漏掉任一可能都会丢解。 记忆点：磁聚焦“半径相等才聚焦”；多解四来源按“电性—方向—临界—周期”顺序排查。 ▎热点·科技前沿 热点·磁聚焦霍尔电推进与离子注入 我国已完成在轨验证的磁聚焦霍尔电推进系统，利用磁聚焦把带电粒子流汇聚后高速喷出，为航天器提供推力，是磁聚焦原理在航天动力上的应用。 芯片制造中的离子注入机，先用加速电场给离子加速，再用磁场让其偏转、按半径精确“分选”，把指定离子注入硅片，同一套半径公式 r＝mv/(qB) 决定了注入的精度。 ◆ 例题·变式演练 【例题】（多选）如图所示，虚线AC上方区域和虚线DE下方区域均有垂直于纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小分别为B1、B2，AC与DE之间区域无磁场。一带电粒子以垂直于磁场方向的速度射入AC上方区域后，其运动轨迹呈现出“8”字形。图中，上部分圆形轨迹的半径比下部分圆形轨迹的半径小，粒子在无磁场区做匀速直线运动，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．上、下区域磁场方向相反 B．上、下区域磁场方向相同 C．B1＞B2 D．B1＜B2 【变式1】（多选）如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量大小都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．粒子a带正电 B．粒子c的动能最大 C．粒子c在磁场中运动的时间最长 D．粒子b在磁场中运动时的向心力最大 【变式2】如图，直角三角形ACD区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，CD＝L，θ＝37°。质量为m、电荷量为q且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直AD边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，sin37°＝0.6，则粒子经磁场偏转后从AC边射出的粒子占射入到AD边总粒子数的百分比为（　　） A．2.5% B．12.0% C．30.0% D．47.5% 【变式3】（多选）半径为R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小在一定范围内的同种带电粒子。带电粒子质量为m，电荷量为q（q＞0）。现粒子沿正对cO中点且垂直于cO方向射入磁场区域，发现带电粒子仅能从bd之间的圆弧飞出磁场，不计粒子重力，其中sin15°，则（　　） A．从b点飞出的带电粒子的运动时间最长 B．从d点飞出的带电粒子的运动时间最长 C．粒子源发射粒子的最大速度为（1） D．在磁场中运动的时间为的粒子，其速度为 ★ 综合练习 ★ 本部分精选15道题，覆盖洛伦兹力、半径与周期、有界磁场轨迹、典型模型与多解等内容，请在规定时间内独立完成。 1．如图所示，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，现将一电荷量为+q，质量为m的带电小球以初速度v0从地面竖直向上抛出，并且满足qv0B＝mg，不计空气阻力。在抛出后的运动过程中下列说法正确的是（　　） A．小球运动的轨迹为圆弧（圆的一部分） B．小球能够上升的最大高度为 C．小球上升到最大高度所需的时间为 D．小球运动过程中不会撞到地面 2．如图所示，在地球上同一个地区创设不同的条件进行单摆实验。图甲装置置于真空中，悬点处固定一带正电的小球，绝缘细线下端连接另一带正电小球，周期记为T1；图乙中，单摆的悬点在一向下加速的电梯顶端，周期记为T2；图丙中的摆球带正电，在如图所示的匀强磁场中进行摆动，周期记为T3；图丁中的摆球带正电，在如图所示的匀强电场中进行摆动，周期记为T4。若四个单摆的摆长一样长，则周期关系正确的是（　　） A．T1＞T2＞T4＞T3 B．T2＞T1＞T3＞T4 C．T3＝T1＞T4＞T2 D．T2＞T3＝T1＞T4 3．极光（图甲所示）是太阳风中的带电粒子进入地球大气层和空气分子作用形成的。漠河因地处高纬度地区，是我国观测极光的核心区域。今年冬季是极光爆发期，红绿的极光交互舞动，吸引大量游客北上一睹为快。根据图乙信息，关于高纬才能看到极光的主要原因，下列说法正确的是（　　） A．太阳风吹向低纬的带电粒子少 B．在高纬地区空气密度小 C．太阳风中的带电粒子在高纬地区受到地球的洛伦兹力小 D．太阳风中的带电粒子在低纬度受到的洛伦兹力使其减速，故不能进入地球 4．如图，示波管内存在垂直纸面向外的匀强磁场，则电子束进入示波管后（　　） A．向纸里偏转 B．向纸外偏转 C．向下偏转 D．向上偏转 5．空间中有一磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现将一根横截面积为S、长度为L的铜导线垂直磁场方向放置，固定后通以电流I，如图所示。若铜单位体积内的自由电子数为n，则该铜导线中单个自由电子因定向移动所受洛伦兹力的大小为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，在xOy坐标系中有一圆形匀强磁场区域，圆心在原点O，半径为L，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外。A点坐标为（﹣L，0），一粒子带正电，比荷为，第一次从A点在纸面内以速率沿着与x轴正方向成α角射入磁场，第二次从A点在纸面内以相同的速率沿着与x轴正方向成β角射入磁场，已知粒子第一次在磁场中的运动时间是第二次的3倍，则（　　） A．α+3β＝π B．3α+β＝π C． D．α+β＝π 7．如图，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为足够长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为m、带电荷量为+q的粒子，粒子速率均为，则接收板接收到离子的区域长度为（　　） A．h B． C．2h D． 8．如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，从圆上的A点沿AO方向以速度v射入一个不计重力的粒子。粒子从N点离开磁场。已知∠AON＝60°。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电荷 B．粒子做圆周运动的半径为R C．粒子的比荷为 D．粒子在磁场中的运动时间为 9．如图所示，在直角坐标系xOy中，第一象限和第四象限内分别存在垂直纸面向外的匀强磁场，第四象限内磁场的磁感应强度大小为B，x轴为磁场分界线。一带正电粒子从y轴上P（0，L）点以初速度v沿x轴正方向射入第一象限，粒子从x轴上点第一次进入第四象限，且恰好不穿过y轴。已知粒子的电荷量为q，质量为m，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在第一象限做圆周运动的轨迹半径为L B．粒子在第四象限做圆周运动的轨迹半径为 C．粒子第一次在第四象限运动的时间为 D．粒子从P点到Q点的路程为 10．（多选）矿山、冶金行业的磁选机，用来分离带磁性或带电的矿石颗粒，原理如图所示，绝缘固定的斜面的剖面AD与水平面的夹角θ＝37°，点O、C为直线AD上的两点，OA段粗糙，OD段光滑，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场充满AD所在的空间，AD与磁场方向垂直。质量为m、电荷量为q的物块（未画出），在C点以某一初速度v0（未知）开始沿斜面AD向上运动，此时物块与斜面AD之间的相互作用力大小为0.6mg，已知OA、OC，OA段的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．物块带负电 B．物块在C点上滑的初速度大小为 C．物块在O点时的速度大小为 D．物块在OA段因摩擦产生的热量为 11．（多选）如图所示，平面直角坐标系内充满垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B。点处放有一带负电小球，其质量为m，电荷量为q。从t＝0时刻起，小球受到一外力的作用，其大小恒为F。初始时刻外力沿y轴正方向，而后其方向与小球运动速度方向保持一致。下列说法正确的是（　　） A．小球将做匀加速运动 B．小球运动过程中，小球的运动半径r与速度方向角的改变量θ成正比 C．小球第一次经过x轴时的坐标为 D．小球第一次经过x轴时，经过的总路程 12．在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理的简化示意图，一个粒子源在A处不断释放质量为m，带电量为+q（q＞0）的离子，其初速度视为零，经电压为U的加速电场加速后，沿图中半径为R1的圆弧形虚线通过圆弧形静电分析器（静电分析器通道内有均匀径向分布的电场）后，从P点沿直径PQ方向进入半径为R2的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向外。经磁场偏转，离子最后打在平行PQ放置且与PQ等高的硅片上，硅片到PQ的距离为，不计离子重力。求： （1）离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小v； （2）静电分析器通道内虚线处电场强度的大小E； （3）若匀强磁场的磁感应强度大小可以调节，要让从P点沿直线PQ方向进入圆形匀强磁场区域的离子全部打在硅片上，求磁感应强度大小的取值范围。 13．如图所示，一电荷量为q的带电粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角θ＝30°，求： （1）带电粒子电性； （2）带电粒子在磁场中运动的轨道半径r； （3）带电粒子的质量m； （4）带电粒子穿过磁场的时间t。 14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，x轴上方区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场。原点O处有一粒子源，可在xOy平面内的x轴上方沿各个方向均匀发射质量为m、电荷量为q、速度大小为v的带正电的粒子。一足够长的粒子收集板PQ垂直于x轴放置，底端P位于坐标（x0，0）处，当粒子打到收集板时立即被吸收。当粒子沿与x轴正方向夹角为53°方向发射时，粒子恰好打在收集板上的P点。不计粒子所受重力和粒子间相互作用，粒子被吸收的过程中收集板始终不带电，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。 （1）求磁感应强度B的大小； （2）在一段时间内，粒子源发射的粒子不能打到收集板PQ上的数目占粒子总数的百分比； （3）粒子源发射的粒子中会有两个不同方向入射的粒子打在收集板PQ上的同一位置，求PQ上这种位置分布的区域长度。 15．如图所示，空间存在方向垂直纸面的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大的绝缘平板MN的上方距离为d处，在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做圆周运动的半径大小为，求： （1）能打在板上的点与P点的最远距离； （2）到达板上的最长时间和最短时间； （3）能打在板上区域长度。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）· 江苏专用 · 专题36 带电粒子在匀强磁场中的运动 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $