立体几何：空间几何体的表面积问题、体积问题、外接球问题复习讲义-2027届高三数学一轮

2027届高三数学一轮复习讲义 立体几何：空间几何体的表面积问题、体积问题、外接球问题复习讲义 考点目录 空间几何体的表面积问题 空间几何体的体积问题 空间几何体的外接球 考点一 空间几何体的表面积问题 核心本质 几何体的表面积是其所有表面的面积之和；多面体的表面积为各个面的面积和，旋转体的表面积为侧面积加底面积，本质是展开图的总面积。 注意：侧面积仅指侧面部分的面积，表面积（全面积）= 侧面积 + 所有底面面积。 核心公式 1. 多面体 · 棱柱/棱锥/棱台：表面积 = 各侧面面积 + 底面面积，需分别计算每个面的面积再求和。 · 正棱柱：侧面积 = 底面周长 × 高；表面积 = 侧面积 + 2×底面积。 · 正棱锥：侧面积 = × 单个侧面等腰三角形面积；表面积 = 侧面积 + 底面积。 2. 旋转体 几何体 侧面积公式 表面积（全面积）公式 核心参数 圆柱 为底面半径，为母线长（圆柱中母线长=高） 圆锥 为底面半径，为母线长 圆台 为上下底面半径，为母线长 球 为球的半径 解题通用步骤 1. 识别几何体类型，明确是求侧面积还是表面积； 1. 确定底面半径、母线长、高等核心参数； 1. 代入对应公式计算，组合体需减去重叠接触面的面积（避免重复计算）。 例1．（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，某广场摆放了石凳供大家休息，每张石凳是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的几何体，数学上称之为阿基米德多面体.设被截正方体的棱长是，则每张石凳的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形，利用三角形和正方形的面积公式，计算即得. 【详解】由题意，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形， 正方形及三角形的边长为， 则正方形的面积为，三角形的面积为， 所以每张石凳的表面积为. 例2．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为1和7，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，正三棱台的侧面是三个全等的梯形，上下底面分别是边长为1和7的等边三角形. 设棱台高为，梯形高为，上底面边长为，下底面边长为， 上底面内接圆圆心到边的距离为，下底面内接圆圆心到边的距离为. 则，同理， . 所以， 即. 例3．（26-27高三上·山东威海·开学考试）蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形构成，，设，则上顶的面积为______.（参考数据：） 【答案】 【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解. 【详解】依题意，由，得， 在菱形中，连接并取其中点，连接，则， 由正六边形的边长，得， 由蜂巢结构特征知，，又都垂直于平面，则， 于是四边形是平行四边形，有，则， 因此一个菱形的面积为， 所以上顶的面积为. 故答案为： 例4．（26-27高三上·湖南·期中）如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______． 【答案】 【分析】根据旋转所成的两个半球，且可合为一个半径为10的球体，即可求表面积. 【详解】由图象知，以直线为轴旋转，弧和线段旋转一周形成的面所围成的 几何体是两个半径均为10的半球，可合为一个完整的球， 故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积， 即． 故答案为： 变式1．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，母线长为的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和 【详解】等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体是两个同底的圆锥底面重合的组合体. 设等腰直角三角形为，，斜边， 由题可知：，且， 解得：， 设边上的高为，利用等面积法可得： ， 即，即， 因此，旋转后形成的两个圆锥底面半径，母线， 由圆锥的侧面积公式可得：， 两个圆锥的侧面积之和为：， 故所形成的几何体的表面积为. 变式2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为， 所以展开图弧长等于底面周长，即. 又圆锥的侧面积为. 解得. 圆锥的高为. 故圆锥的体积为. 变式3．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 【答案】/ 【分析】设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为，利用几何关系构建方程组解出，再求表面积即可. 【详解】 设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为， 由题意可得， 结合侧棱关系可得， 联立两方程可得， 所以正四棱台的斜高为， 所以，该几何体的表面积为. 故答案为：. 变式4．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积______； 【答案】/ 【分析】先计算正四棱锥的斜高，即可求得几何体的表面积. 【详解】题意得正四棱锥的斜高， 故几何体表面积为. 故答案为：. 考点二 空间几何体的体积问题 核心本质 体积是几何体所占空间的大小，柱体、锥体、台体、球体各有对应体积公式，不规则几何体可通过割补法、等体积法转化为规则几何体求解。 核心公式 几何体类型 体积公式 说明 柱体（棱柱、圆柱） 为底面积，为高 锥体（棱锥、圆锥） 为底面积，为高 台体（棱台、圆台） 为上下底面积，为台体的高 球 为球的半径 常用解题技巧 1. 公式法：规则几何体直接代入对应公式求解。 1. 割补法：将不规则几何体分割或补形为多个规则几何体，通过体积的和差求解。 1. 等体积法（换底法）： · 多用于三棱锥，通过更换底面和顶点，将不易求的高转化为易求的高； · 典型应用：求点到平面的距离，利用体积相等列方程求解距离。 解题通用步骤 1. 确定几何体类型，选择对应解法； 1. 找准底面积与对应高，保证底和高相互垂直； 1. 代入公式计算，不规则几何体先割补或等体积转化。 例1．（26-27高三上·江苏·学业考试真题）如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，其余部分为四个全等的底边边长为的等腰三角形．现裁掉阴影部分，将其余部分拼接成一个底面边长为的无盖正四棱锥形容器，则此容器的容积V（单位：）为（   ） A．36 B．48 C．60 D．144 【答案】B 【分析】根据题意确定正四棱锥的底面边长和侧面三角形的高，利用勾股定理求出棱锥的高，最后代入体积公式计算即可. 【详解】由题意可知，裁掉阴影部分后，剩余的四个全等的等腰三角形将作为正四棱锥的四个侧面， 这四个等腰三角形的底边长为，底边上的高为正方形边长的一半，即， 设正四棱锥的高为，底面边长为，正四棱锥的底面中心到边的距离为 ， 在正四棱锥中，高、侧面三角形的高 与底面中心到边的距离构成直角三角形， 由勾股定理得， 所以，该正四棱锥形容器的容积为 . 例2．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正四棱台体积公式： ，其中为棱台的高，、​分别为上下底面积. 上底面边长为2，故； 下底面边长为4，故. 正四棱台的上下底面均为正方形，上下底面对角线长分别为​、. 侧棱、高、上下底面对角线一半的差值构成直角三角形：上下底对角线一半的差为， 侧棱长为​，由勾股定理得：. 代入体积公式得. 例3．（2026·山西忻州·模拟预测）一个五面体满足，且这三条平行线两两之间的距离均为1.已知，，，则该五面体的体积为________________. 【答案】 【分析】采用“补形法”，将五面体补为三棱柱，通过三棱柱的体积和五面体体积的关系，计算体积. 【详解】用一个完全相同的五面体和已有的五面体拼接，拼接为一个三棱柱， 因为，且两两之间的距离均为1，且，，， 故该三棱柱与侧棱垂直的截面为边长为1的等边三角形，且侧棱长为， 因此. 例4．（2026·北京·三模）如图，两个完全相同的正四棱柱和“垂直贯穿”构成一个多面体，其中的侧棱与的侧棱垂直．的一组相对的侧棱与的一组相对的侧棱分别交于，，，四点，另外一组相对的侧棱与的另一组相对的侧棱分别交于，两点．已知和的底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为________ 【答案】/ 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可 【详解】如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I， 则多面体可以分成8个全等三棱锥， 则，且平面，， 则， 该“十字贯穿体”的体积即为. 变式1．（2026·贵州遵义·模拟预测）在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求上下底面正三角形面积与棱台的高，再代入棱台体积公式求解.正三棱台上下底面中心连线垂直底面，结合上下底面中心距与侧棱长，利用勾股定理求高. 【详解】正三角形面积公式：.下底面边长，；上底面边长，. 正三角形的重心（中心）到顶点距离：.下底面中心到顶点距离：； 上底面中心到顶点距离：； 上下底面中心在侧棱方向的水平距离：. 已知侧棱，设棱台高为，由勾股定理：. 代入棱台体积公式：. 变式2．（26-27高三上·浙江·阶段检测）如图，是古代用来盛粮食的小容器称为“升篓”，其形状是一个正四棱台，上、下底面边长分别为，．若从一个盛满米的“升篓”中取出610 g米后，米的高度下降一半，则剩余米的重量为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设“升篓”的高为，米的密度为， 可知上、下底面边长分别为，，则中截面的边长为， 则上底面面积为，下底面面积为，中截面面积为， 所以，解得， 则剩余米的重量为. 变式3．（26-27高三上·江苏徐州·期中）已知正八面体的棱长为1．设点到的各顶点的距离相等，直线经过的一个顶点及点．将绕着旋转得到几何体，则与重合部分的体积为___________． 【答案】 【分析】把旋转轴设为轴、中心设为原点建立空间直角坐标系，将两个几何体分别写成不等式；固定高度，体积问题化为同一高度上两个正方形截面的公共面积问题；公共面积随高度按平方规律缩小，重合体恰为上下两个四棱锥，直接用棱锥体积公式. 【详解】设正八面体的中心为原点，旋转轴为轴， 设中心到顶点的距离为，相邻两顶点如与之间的距离就是棱长1，故， 六个顶点为、、，于是， 对满足的任意高度，记， 则在该高度上的截面为，是一个对角线落在坐标轴上的正方形，对角线长为. 把截面内的点绕轴旋转，得、，令其满足，即， 利用恒等式，化简得，这是一个边平行于坐标轴的正方形，边长为. 两个截面正方形的中心重合，半对角线都等于（旋转后正方形的半对角线为），即二者同外接圆、边长相等、相对旋转45°. 截面 不等式 形状 关键尺寸 的截面 对角线在坐标轴上的正方形 对角线，半对角线 Ω ′ 的截面 边平行于坐标轴的正方形 边长，半对角线 公共部分为正八边形，利用四个象限对称，只算第一象限再乘4，第一象限内的约束为， 即从边长为的正方形中截去一个等腰直角三角形， 小正方形面积为，截去三角形的直角边长为，截去三角形面积：， 于是第一象限的公共面积为，整个截面上的公共面积为， 关于是二次函数，且在处取最大值，这说明公共几何体是由处截面作底面、顶点在的上下两个四棱锥拼成， 底面面积（时），， 每个棱锥的高，故. 变式4．（26-27高三上·北京朝阳·期中）如图所示的八面体由两个四棱锥拼接而成，其中四边形为正方形，，平面，，，则_______，三棱锥的体积为_______．    【答案】 【分析】 利用线面垂直的性质及勾股定理求解 的长；通过建立空间直角坐标系，利用向量法或等体积法求解三棱锥的体积. 【详解】 因为 平面 ，，所以 平面 ． 因为四边形 为正方形，，所以 ． 在 中，． 因为 平面 ，四边形 为正方形，所以 两两垂直． 以 为原点， 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ． 则，，，，． 因为八面体由两个四棱锥拼接而成，所以点与点位于平面 的异侧． 又，，所以． 所以，，． 设平面的法向量为， 则， 取，得． 点到平面的距离． 又（为边长的等边三角形）． 所以三棱锥的体积．    考点三 空间几何体的外接球问题 核心本质 外接球的定义：若一个几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球为几何体的外接球；球心到各个顶点的距离相等，均等于球的半径。 解题核心是确定球心位置、求出球的半径，核心工具是球的截面性质： 其中是截面圆的半径，是球心到截面的距离。 高频经典模型 1. 长方体（正方体）模型 · 结论：长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长度。 · 公式：设长方体长宽高为，则外接球半径 。 · 特例：正方体棱长为，则 。 · 衍生：墙角模型——若三棱锥的三条棱两两垂直，可将其补成长方体，二者外接球相同，直接用长方体公式计算。 2. 直棱柱模型 · 结论：直棱柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点。 · 公式：设底面外接圆半径为，棱柱的高为，则 · 特例：直三棱柱、正棱柱均适用，底面外接圆半径由正弦定理求解：。 3. 正棱锥模型 · 结论：正棱锥的外接球球心在棱锥的高线上（底面中心与顶点的连线上）。 · 公式：设棱锥高为，底面外接圆半径为，由勾股定理： 解方程可得半径。 4. 对棱相等模型 · 若三棱锥的三组对棱分别相等，可将其补成长方体，对棱对应长方体的面对角线，外接球与长方体外接球相同。 解题通用步骤 1. 分析几何体的结构特征，匹配对应的外接球模型； 1. 确定球心的位置，找到底面外接圆半径、球心到截面距离； 1. 利用截面性质公式列方程，求解球的半径； 1. 根据题目要求计算外接球的表面积或体积。 例1．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在中，，，D为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知：，平面.解法一：利用正弦定理可得的外接圆半径，结合直棱柱的外接球特征求外接球半径和表面积；解法二：建立空间直角坐标系，根据球的定义求球心和半径，即可得表面积. 【详解】在原中，，，则， 且点为中点，则，， 在四面体中，可得，， 且平面，，则平面. 解法一：因为，则， 可得的外接圆半径， 外接球的半径， 所以外接球的表面积为； 解法二：以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 由，得. 设外接球球心为，满足， 则， 解得，，，即， 则，所以外接球的表面积为. 例2．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置和球的半径，再由球的表面积公式求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以为直角三角形，为其斜边，为直角三角形，为其斜边， 取的中点为，则， 所以点是三棱锥的外接球的球心，球的半径， 所以外接球的表面积． 例3．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为_______． 【答案】 【分析】设出上下底面中心及外接球半径是，根据正棱台及球的性质列出方程组可得球的半径进而即得. 【详解】 设是下底面正方形中心， 是上底面正方形中心， 为棱台的高，外接球球心为， 则， ， ， ，， ，即 ， 设球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为， 外接球半径满足：， 解得， ， 所以正四棱台外接球的表面积是 . 例4．（25-26高一下·贵州黔东南·期末）已知圆锥SO的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为，AB为底面圆O的一条直径，C为圆O上的一个动点（不与A，B重合），则三棱锥的外接球表面积为_______． 【答案】 【分析】根据条件，求出圆锥底面半径和母线的值，进而可得圆锥的高，分析可得三棱锥的外接球球心在上，根据勾股定理，计算求解，可得外接球半径，代入表面积公式，即可求解． 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，则圆锥的高， 因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得， 又轴截面面积为，所以， 解得，则母线长，圆锥的高， 由题意三棱锥的外接球的球心在上，且设为，外接球半径设为， 连接，则，所以， 在中，，即， 则，解得， 则三棱锥的外接球的表面积． 变式1．（26-27高三上·海南海口·开学考试）在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“切西瓜”模型，分别找到外接圆圆心以及的外接圆圆心，然后分别作平面的垂线交点即为外接球球心，然后利用平面几何关系求得，进而外接球表面积为. 【详解】由题意可知， 又，平面， 所以平面，为二面角的平面角， 所以，又因为，所以为等边三角形， 如图，取的中点，则，则平面， 外接圆圆心为，连接，易证平面， 外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，则平面， 连接，则平面， 则四边形为矩形. 在等边中，，则，， 则， 在中，， 所以四面体的外接球的半径， 所以外接球表面积为. 变式2．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 取上下底面中心分别为，，则为正四棱台的高， 因为. 又， . 所以为四棱台外接球的球心，外接球半径为， 所以该四棱台外接球的表面积为. 变式3．（25-26高一下·吉林长春·期末）在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的表面积为_______________． 【答案】 【分析】求出上、下底面外接圆半径，设正四棱台上、下底面的中心分别为 、，外接球的球心为，半径为，则点在直线上，又，利用勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】正四棱台中，， ∴上、下底面外接圆半径分别为， 设正四棱台上、下底面的中心分别为 、，外接球的球心为，半径为. 则 必在​ 上，高， 设，则. 由得， 解得， ∴. 正四棱台的外接球的表面积为 变式4．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形.若，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心位置，再利用球的截面圆性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】由题意，如图所示，取中点，连接，， 因为与都是边长为的等边三角形，所以，， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以是等边三角形， 所以， 设与的外接圆圆心分别为，， 则，， 同理，， 分别过点，作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球球心一定是两条垂线的交点，记为点， 由对称性，，则， 所以，， 所以三棱锥外接球的表面积为，    2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 立体几何：空间几何体的表面积问题、体积问题、外接球问题复习讲义 考点目录 空间几何体的表面积问题 空间几何体的体积问题 空间几何体的外接球 考点一 空间几何体的表面积问题 核心本质 几何体的表面积是其所有表面的面积之和；多面体的表面积为各个面的面积和，旋转体的表面积为侧面积加底面积，本质是展开图的总面积。 注意：侧面积仅指侧面部分的面积，表面积（全面积）= 侧面积 + 所有底面面积。 核心公式 1. 多面体 · 棱柱/棱锥/棱台：表面积 = 各侧面面积 + 底面面积，需分别计算每个面的面积再求和。 · 正棱柱：侧面积 = 底面周长 × 高；表面积 = 侧面积 + 2×底面积。 · 正棱锥：侧面积 = × 单个侧面等腰三角形面积；表面积 = 侧面积 + 底面积。 2. 旋转体 几何体 侧面积公式 表面积（全面积）公式 核心参数 圆柱 为底面半径，为母线长（圆柱中母线长=高） 圆锥 为底面半径，为母线长 圆台 为上下底面半径，为母线长 球 为球的半径 解题通用步骤 1. 识别几何体类型，明确是求侧面积还是表面积； 1. 确定底面半径、母线长、高等核心参数； 1. 代入对应公式计算，组合体需减去重叠接触面的面积（避免重复计算）。 例1．（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，某广场摆放了石凳供大家休息，每张石凳是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的几何体，数学上称之为阿基米德多面体.设被截正方体的棱长是，则每张石凳的表面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为1和7，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·山东威海·开学考试）蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形构成，，设，则上顶的面积为______.（参考数据：） 例4．（26-27高三上·湖南·期中）如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______． 变式1．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 变式4．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积______； 考点二 空间几何体的体积问题 核心本质 体积是几何体所占空间的大小，柱体、锥体、台体、球体各有对应体积公式，不规则几何体可通过割补法、等体积法转化为规则几何体求解。 核心公式 几何体类型 体积公式 说明 柱体（棱柱、圆柱） 为底面积，为高 锥体（棱锥、圆锥） 为底面积，为高 台体（棱台、圆台） 为上下底面积，为台体的高 球 为球的半径 常用解题技巧 1. 公式法：规则几何体直接代入对应公式求解。 1. 割补法：将不规则几何体分割或补形为多个规则几何体，通过体积的和差求解。 1. 等体积法（换底法）： · 多用于三棱锥，通过更换底面和顶点，将不易求的高转化为易求的高； · 典型应用：求点到平面的距离，利用体积相等列方程求解距离。 解题通用步骤 1. 确定几何体类型，选择对应解法； 1. 找准底面积与对应高，保证底和高相互垂直； 1. 代入公式计算，不规则几何体先割补或等体积转化。 例1．（26-27高三上·江苏·学业考试真题）如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，其余部分为四个全等的底边边长为的等腰三角形．现裁掉阴影部分，将其余部分拼接成一个底面边长为的无盖正四棱锥形容器，则此容器的容积V（单位：）为（   ） A．36 B．48 C．60 D．144 例2．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·山西忻州·模拟预测）一个五面体满足，且这三条平行线两两之间的距离均为1.已知，，，则该五面体的体积为________________. 例4．（2026·北京·三模）如图，两个完全相同的正四棱柱和“垂直贯穿”构成一个多面体，其中的侧棱与的侧棱垂直．的一组相对的侧棱与的一组相对的侧棱分别交于，，，四点，另外一组相对的侧棱与的另一组相对的侧棱分别交于，两点．已知和的底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为________ 变式1．（2026·贵州遵义·模拟预测）在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·浙江·阶段检测）如图，是古代用来盛粮食的小容器称为“升篓”，其形状是一个正四棱台，上、下底面边长分别为，．若从一个盛满米的“升篓”中取出610 g米后，米的高度下降一半，则剩余米的重量为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·江苏徐州·期中）已知正八面体的棱长为1．设点到的各顶点的距离相等，直线经过的一个顶点及点．将绕着旋转得到几何体，则与重合部分的体积为___________． 变式4．（26-27高三上·北京朝阳·期中）如图所示的八面体由两个四棱锥拼接而成，其中四边形为正方形，，平面，，，则_______，三棱锥的体积为_______．    考点三 空间几何体的外接球问题 核心本质 外接球的定义：若一个几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球为几何体的外接球；球心到各个顶点的距离相等，均等于球的半径。 解题核心是确定球心位置、求出球的半径，核心工具是球的截面性质： 其中是截面圆的半径，是球心到截面的距离。 高频经典模型 1. 长方体（正方体）模型 · 结论：长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长度。 · 公式：设长方体长宽高为，则外接球半径 。 · 特例：正方体棱长为，则 。 · 衍生：墙角模型——若三棱锥的三条棱两两垂直，可将其补成长方体，二者外接球相同，直接用长方体公式计算。 2. 直棱柱模型 · 结论：直棱柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点。 · 公式：设底面外接圆半径为，棱柱的高为，则 · 特例：直三棱柱、正棱柱均适用，底面外接圆半径由正弦定理求解：。 3. 正棱锥模型 · 结论：正棱锥的外接球球心在棱锥的高线上（底面中心与顶点的连线上）。 · 公式：设棱锥高为，底面外接圆半径为，由勾股定理： 解方程可得半径。 4. 对棱相等模型 · 若三棱锥的三组对棱分别相等，可将其补成长方体，对棱对应长方体的面对角线，外接球与长方体外接球相同。 解题通用步骤 1. 分析几何体的结构特征，匹配对应的外接球模型； 1. 确定球心的位置，找到底面外接圆半径、球心到截面距离； 1. 利用截面性质公式列方程，求解球的半径； 1. 根据题目要求计算外接球的表面积或体积。 例1．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在中，，，D为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为_______． 例4．（25-26高一下·贵州黔东南·期末）已知圆锥SO的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为，AB为底面圆O的一条直径，C为圆O上的一个动点（不与A，B重合），则三棱锥的外接球表面积为_______． 变式1．（26-27高三上·海南海口·开学考试）在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·吉林长春·期末）在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的表面积为_______________． 变式4．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形.若，则三棱锥外接球的表面积为__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $