第七章 热点强化课7 空间几何体内切球与外接球问题（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 日跟踪训练 3.已知正四面体ABCD的表面积为2√3，且A,B,C,D 2.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面 四点都在球O的球面上，则球O的体积为 上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体 解析：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正 积为 四面体的棱长为a,所以该正四面体的表面积为S 解析：圆台的下底面半径为 5,故下底面在外接球的大圆 =4××aX2- a =√3a2,所以a=√2， 上，如图所示， 又正方体的面对角线可构成正四面体， 设球的球心为O,圆台上底面 若正四面体棱长为√2，可得正方体的棱长为1， 的圆心为O,则圆台的高 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所 O0=√0Q2-0Q2 52-4=3. 以外接球的直径为B,丰径为，所以球0的你无 据此可得圆台的体积V= 3πX3×(5+5×4+ 42)=61x. 答案：61x 者索。 [热点强化课7] 空间儿何体内切球与外接球问题学生用书四甜 题型1 空间几何体的内切球问题 解得r=号 上[命题点1等体积法 所以球O的表面积为S=4πr2=4π> 6π 将空间几何体拆分为以内切球球心为顶点的多个几 何体，再利用等体积法求出内切球半径，主要用于多 [答案]C 面体内切球问题. [例2]已知点O到直三棱柱ABCA1B,C1各面的 [例1]在三棱锥SABC中，SA⊥平面ABC, 距离都相等，球O是直三棱柱ABCA1B1C1的内切 ∠ABC=90°，且SA=3,AB=4,AC=5,若球O 球，若球O的表面积为16π，△ABC的周长为4，则三 在三棱锥SABC的内部且与四个面都相切（称 棱锥A,-ABC的体积为 ( ) 球O为三棱锥SABC的内切球)，则球O的表面 积为 ) A号 B.9 C D.166 3 A. B.智 c16 n [解析]设直三棱柱ABCA1B,C1的高为h,AB =c,BC=a,AC=b,内切球O的半径为r,则h [解析]因为SA⊥平面ABC,∠ABC=90°， =2r, ABC平面ABC,ACC平面ABC,BCC平面ABC, 由题意可知球O的表面积为16π=4πr2, 所以SA⊥AB,SA⊥AC,SA⊥BC, 解得r=2,.h=4, 又BC⊥AB,SA∩AB=A,SA,ABC平面SAB, 又△ABC的周长为4，即a十b十c=4, 所以BC⊥平面SAB,所以BC⊥SB, .连接OA,OB,OC,OA1,OB1, 所以△SAB,△ABC,△SAC,△SBC均为直角三 OC1,可将直三棱柱ABC 角形， A1B1C1分成5个棱锥， A 设球O的半径为r,则V sABC= 即三个以原来三棱柱侧面为底 面，内切球球心为顶点的四棱 SASAC+S△sBc)·r' 锥，两个以原来三棱柱底面为底 1 2X3×1×3×4=6 2 面，内切球球心为顶，点的三 棱锥， -SA·AB=6, 2 .由体积相等可得直三棱柱 1 SASAC=SASBC= 2 ×3X5=15 ABCA1B1C1的体积为S△BCh= 3ahr十 bhr+ 所以 3 6+6++》=6 ·200· 主题三第七章立体几何与空间向量 中45am=号a+6+ehr+等5am, 4r2=6π，解得球0的半径r=OE=E, 2 ∴.S△ABC=4, :三接维AABC的体积为号56mh=号X4X4 设AB=,则AE=号4D=-()-@ - [答案]B `.AO=VO=646 方法指导 2, 球内切多面体问题以球心为顶点，以多面体各面为 .OE⊥AE,.AE+OE2=AO, 底连行休积分制，可由公式行S,·R9 )+-。 二V多面体体表来计算内切球半径， 解得a=6VE=5X6=26。 ◆[命题点2]独立截面法 主要用于旋转体中，通过独立截面（过球心的截面）， “此三棱维的体积为V=子SAr·VE 在截面中求出内切球的半径. [例3]轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球， =号×2×6X6×sn60×26-18E 若圆锥的底面半径为2，求球的体积. [答案]D [解]如图，作出轴截面，圆O 和AC相切于点D, 题型2 空间几何体的外接球问题 因为△ABC是正三角形，所以 [命题点1]补形法（补长方体或正方体） OA=OB.AD-AC-2. (1)墙角模型（三条线两两垂直） 图示过程 5D=4×号-25 设内切球半径为R,在直角△AOD中可得，AO= AD2+OD2,所以(2√5-R)2=2十R2, 解得R=,v=专(2 3 323元，所以内切 27 图 图2 球体软为记 [例4]如图，在三棱锥VABC 02 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA K6-- =60°，VA=VB=VC,若三棱 锥VABC的内切球O的表面 0 图3 图4 积为6π，则此三棱锥的体积为 (2r)2=a2+b2+c2(其中r为长方体或正方体的 外接球半径). A.63 B.18√5 (2)对棱相等模型（补形为长方体） C.6√2 D.18√2 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相 [解析]连接VO,并延长交 等，求外接球半径(AB=CD,AD=BC,AC=BD) 底面ABC于点E,连接AE,并 图示过程如图： 延长交BC于点D, :在三棱锥VABC中， ∠AVB=∠BVC=∠CVA= 60°，VA=VB=VC, .三棱锥VABC是正四面体，.E是△ABC的中 心，.VE⊥平面ABC, ,三棱锥VABC的内切球O的表面积为6π， ·201· 高考总复习数学(BS) [例5]在三棱锥PABC中，PA=AB,PA⊥平面 [命题点2]外接球单面定球心法 ABC,∠ABC=受，AB+BC=6,则三棱锥PABC [例7]已知三棱锥PABC的各侧棱长均为2√3，且 AB=3,BC=√3，AC=2√3，则三棱锥P-ABC的外 外接球体积的最小值为 ( 接球的表面积为 A.8√6π B.16√6π 解析：如图1： C.24√6m D.32√6π [解析][根据题意三棱锥 PABC可以补成分别以BC, AB,PA为长、宽、高的长方 体，其中PC为长方体的对 角线， 则三棱锥PABC的外接球 图1 图2 过P点作平面ABC的垂线，垂足为M, 球心即为PC的中，点，要使三棱锥PABC的外接 则△PMA,△PMB,△PMC都是直角三角形， 球的体积最小，则PC最小 又因为PA=PB,.△PMA≌△PMB,同理可得 设AB=x,则PA=x,BC=6-x, △PMA≌△PMC,∴.MA=MB=MC, |PC|=√JAB+PA+BC=√3(.x-2)+24, 所以M点是△ABC的外心. 所以当x=2时，PCmn=2√6，则有三棱锥 又，AB2+BC=12=AC2, PABC的外接球的球半径最小为√6， △ABC是以AC斜边的直角三角形， ∴.2P在底面ABC的射影为斜边AC的中点M,如 所以V=青R=86x 图2： [答案]A 则PM=√PC-CM=√(2√5)2-(3)2=3， [例6]在三棱锥P-ABC中，PA=BC=4,PB=AC 设三棱锥PABC外接球的球心为O,半径为r, =5,PC=AB=√I,则三棱锥P-ABC的外接球的 则O在PM上，则OC2=OM+CM, 表面积为 即(3-r)2十（√3）2=r2,得r=2,外接球的表面积 A.26π B.12π C.8π D.24π 为4πr2=16元. [解析]在三棱锥P-ABC中，PA=BC=4,PB= 答案：16π [例8]在三棱锥A-BCD中，已知AC⊥BC,AC=BC AC=5,PC=AB=√11， 构造长方体，使得面上的对角 =2,AD=BD=√6，且平面ABD⊥平面ABC,则 三棱锥ABCD的外接球表面积为 ( 线长分别为4,5，√11，则长方 A.8π B.9π C.10π D.12x 体的对角线长等于三棱锥 [解析]如图，设外接球的半径为 D PABC外接球的直径，如图， R,取AB的中点O1,连接O1D,则 设长方体的棱长分别为x,y, 由AD=BD,得O1D⊥AB, 之，则x2+y2=16,y2+z2=25,x2+x2=11, 因为平面ABD⊥平面ABC, 0 则x2+y2+z2=26, 平面ABD∩平面ABC=AB,O,D 因此三棱锥P-ABC外接球的直径为√26， C平面ABD, 所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4π· 所以O1D⊥平面ABC,则球心O在直线O,D上. 连接OA,则OD=OA=R, √26 =26π. 2 因为AC⊥BC,AC=BC=2,所以AB=2√2； [答案]A 因为AD=BD=√6，所以AO1=√2，O1D=2. 方法指导 因为O1D>AO1,所以球心在线段OD上. 在Rt△O1OA中，由勾股定理， 外接球补形法 (1)墙角型：由一个顶点出发的三条棱两两互相垂 得OO+O1A=OA2, 直，可补形为长方体或正方体，再利用公式法求 即(2-R2+2=R,解得R=各 解外接球间题； 所以三棱锥ABCD的外接球表面积为4πR= (2)对棱相等型：如果一个多面体的对棱都相等，可 以补形为长方体，或正方体，再利用公式法求解 x()-9玩 外接球问题， [答案]B ·202· 主题三第七章立体几何与空间向量 方法指导 [例10]一边长为4的正方形ABCD,M为AB的 外接球单面定球心法 中点，将△AMD,△BMC分别沿MD,MC折起，使 第一步：选定一个底面（如图中底面三角形ABC), MA,MB重合，得到一个四面体，则该四面体外接 求出三角形ABC外接圆圆心O1, 球的表面积为 ( ) 如图，若△ABC为直角三角形，则外接圆圆心O, 在斜边的中点上； A警 B.48π ①若△ABC为正三角形，则外接圆圆心O1在重心 C.81π D.1957x 9 位置； 若△ABC为普通三角形，则利 [解析]如图所示， 由图可知在四面体ACDM中，由正方形ABCD, 用正弦定理A=2,确定出 M为AB的中点，可得MA⊥AD,MA⊥AC,AC∩ O1的位置； AD=A,故MA⊥平面ACD. ②第二步：过点O作出平面 A(B) 1)M ABC的垂线，如图为PO1,则 球心O在直线PO1上；③计算：在Rt△AOO中， 利用勾股定理求出外接球半径R. [命题点3]外接球双面定球心法 B [例]在边长为6的菱形ABCD中，∠A=专，现 将图形旋转得到如图所示的三棱锥MACD,其中 将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，当三棱锥 △ACD为等边三角形，过△ACD的中心O1作平 PBCD的体积最大时，三棱锥PBCD的外接球的 面ACD的垂线l1,过线段MC的中点O2作平面 表面积为 ( ) MAC的垂线l2由球内截面的性质可得直线L1与 A.60π B.45π C.30π D.20π l2相交，记L1∩l2=O,则O即为三棱锥MACD外 [解析]当三棱锥PBCD 接球的球心 的体积最大值时，平面PBD 设外接球的半径为R,连接OC,O1C,可得O1C= ⊥平面BCD,如图， 取BD的中点为H,连接 .00,=2MA=1, 3 PH,CH,则PH⊥BD 设O1,O2分别为△PBD, 在Rta00,C中.0c=00+0c=号=R, △BCD外接圆的圆心， 故该外接球的表面积S=4πR2=4rX19=76, O为三棱锥P-BCD的外接球的球心， 33π 则O1在PH上，O2在CH上，且PO1=2O1H= [答案]A 号PH=2 方法指导 外接球双面定球心法 且O2H⊥BD,OO1⊥平面PBD,OO2⊥平面BCD. ①第一步：选定一个底面（如底面三角形ABC), ,平面PBD⊥平面BCD,平面PBD∩平面BCD 求出三角形ABC外接圆圆心O, =BD, 若△ABC为直角三角形，则外接圆圆心O1在斜 PHC平面PBD,PH⊥BD, 边的中点上； .PH⊥平面BCD,PH∥O2O,同理CH∥O1O, 若△ABC为正三角形，则外接圆圆心O1在重心 四边形O1OO2H为平行四边形， ,PH⊥平面BCD,O2HC平面BCD, 位置； ∴.PH⊥O2H,即四边形OOO2H为矩形. 若△ABC为音道三角形，则利用正弦定理A 00,=0,H=5c0,=子×9×6=25， =2r,确定出O1的位置； ②第二步：过点O1作出平面ABC的垂线； ∴.外接球半径R=√OO+CO=√3+12=√/15， ③第三步：重复上述两步，再做一条垂线； ∴.外接球的表面积为4πR=60π. ④第四步：两条垂线的交点为球心O [答案]A ·203·