2.5.1直线与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull2.5.1直线与圆的位置关系 人教A版选择性必修第一册第二章 温故知新 01 探究新知 02 学以致用 03 画龙点睛 04 目录 温故知新 01 温故知新 1. 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 ｜P1P2｜＝ . 2.点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 温故知新 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 温故知新 圆的标准方程 条件 圆心为A(a，b)，半径为r 标准 方程  　　　　　　 特例 圆心在原点，半径为r的圆的方程  　　　　　　 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2 温故知新 点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点 P(x0，y0)，设d＝｜PC｜＝ . 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2 　　r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2 　　r2 ＞ ＝ 温故知新 位置关系 d与r 的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2 　　r2 ＜ 温故知新 圆的一般方程 1. 圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程 　　　　　　 　　　　叫做圆 的一般方程，此时方程表示以 　　　　　　为圆心， 　　　 　　为 半径的圆. x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 　 温故知新 2. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 　 　　　　 D2＋E2－4F＞0 表示以 为圆心，以 为半径的圆 温故知新 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－ 4F＞0)，当点M在圆外、圆上、圆内时，x0，y0满足怎样的关系式？ 点M在圆外⇔ ＋ ＋Dx0＋Ey0＋F＞0； 点M在圆上⇔ ＋ ＋Dx0＋Ey0＋F＝0； 点M在圆内⇔ ＋ ＋Dx0＋Ey0＋F＜0. 探究新知 02 探究新知 直线与圆相交 直线的方程为 圆的方程为 几何法：设圆心到直线的距离 判断标准： 公共点：2个 动态探究：直线与圆的位置关系.ggb 探究新知 直线与圆相切 直线的方程为 圆的方程为 几何法：设圆心到直线的距离 判断标准： 公共点：1个 动态探究：直线与圆的位置关系.ggb 探究新知 直线与圆相离 直线的方程为 圆的方程为 几何法：设圆心到直线的距离 判断标准： 公共点：0个 动态探究：直线与圆的位置关系.ggb 探究新知 直线与圆相交 直线的方程为 圆的方程为 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ 判断标准：Δ>0 探究新知 直线与圆相切 直线的方程为 圆的方程为 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ 判断标准：Δ=0 探究新知 直线与圆相离 直线的方程为 圆的方程为 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ 判断标准：Δ<0 弦长公式 设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点，作 CM⊥l 于 M，则 M 是弦 AB 的中点，|CM|=d. 在直角三角形 CMA 中用勾股定理： |AB|=2|AM|= 几何法弦长公式： 弦长公式.ggb 弦长公式 若已知直线 y=kx+m 与圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)，联立消元后由韦达定理得 代数法弦长公式： 其中 a 是消元后二次项的系数. 用代数法时先确认 Δ>0， 再用 代入； 圆的切线 1. 过圆上一点的切线. 设 P(x0,y0) 在圆 (x−a)2+(y−b)2=r2 上，则过 P 的切线只有一条，且垂直于 CP. 由向量垂直（数量积为零）可直接写出： (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2 记忆方法：把标准方程中的"平方"拆成"一个动点、一个定点"相乘，右边仍为 r2. 特别地，对 x2+y2=r2 上的点 P(x0,y0)，切线就是 x0x+y0y=r2. 过圆上点的切线.ggb 圆的切线 2. 过圆外一点的切线. 设点为 Q，先算 |CQ| 与 r 比较，确认点在圆外； 再设切线为 y−y0=k(x−x0)（化为一般式）， 令圆心到它的距离等于 r，解出 k. 必须单独检验斜率不存在的情况： 若 x=x0 恰好满足 d=r，它也是一条切线，而点斜式永远写不出它. 过圆外点的切线.ggb 圆的切线 3. 切线长公式 从圆外一点 Q 引两条切线，切点为 P1,P2，则 切线长公式.ggb 圆的切线 4. 切点弦方程 两切点所在直线的方程 (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2 切点弦.ggb 学以致用 03 题型1：判断位置关系并求弦长 例1 已知圆 C:x2+y2−2x−4y+1=0，直线 l:3x−4y−3=0.判断直线 l 与圆 C 的位置关系；若相交，求直线 l被圆 C所截得的弦长. 解法1：配方得 (x−1)2+(y−2)2=4，故圆心 C(1,2)，半径 r=2. 圆心到直线的距离 因为 d= <2=r，所以直线 l 与圆 C 相交. 由弦长公式可得 例1.ggb 题型1：判断位置关系并求弦长 例1 已知圆 C:x2+y2−2x−4y+1=0，直线 l:3x−4y−3=0.判断直线 l 与圆 C 的位置关系；若相交，求直线 l被圆 C所截得的弦长. 解法2：联立直线 l 与圆 C 的方程 整理得25x2−98x+73=0，其中 a=25，b=−98，c=73. 判别式Δ=b2−4ac=(−98)2−4×25×73=2304>0 因为 Δ>0，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，即方程组有两组实数解. 故直线 l 与圆 C 相交，有两个公共点. 题型1：判断位置关系并求弦长 例1 已知圆 C:x2+y2−2x−4y+1=0，直线 l:3x−4y−3=0.判断直线 l 与圆 C 的位置关系；若相交，求直线 l被圆 C所截得的弦长. 解法2（续）：设方程的两根为 x1,x2，由韦达定理得 直线 l 的斜率 ，由弦长公式 代入数据，得 题型1：判断位置关系并求弦长 例2 已知直线l：x＋ay＋1-2a＝0和圆C：x2＋y2-2y-3＝0，则直线l与圆C的位置关系为(　　) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 解法1：直线方程整理为x＋1＋a(y－2)＝0， 即直线过定点P(－1，2)， 而(－1)2＋22－2×2－3＝－2＜0， 所以定点P在圆C内，所以直线l与圆C相交. 故选C. 题型1：判断位置关系并求弦长 例2 已知直线l：x＋ay＋1-2a＝0和圆C：x2＋y2-2y-3＝0，则直线l与圆C的位置关系为(　　) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 解法1：直线方程整理为x＋1＋a(y－2)＝0， 即直线过定点P(－1，2)， 而(－1)2＋22－2×2－3＝－2＜0， 所以定点P在圆C内，所以直线l与圆C相交. 故选C. 题型2　直线与圆相切的有关问题 例3 过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程和切线长. 解：由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50＞1，故点M在圆外. （1）当切线的斜率存在时，设切线方程是y－4＝k(x－2)， 即kx－y＋4－2k＝0.由于直线与圆相切， 故 ＝1，解得k＝ . 所以切线方程为24x－7y－20＝0. （2）当切线的斜率不存在时，直线x＝2与圆相切. 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2. 题型2　直线与圆相切的有关问题 例3 过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程和切线长. 解：由已知得圆心坐标为C(1，－3)，r＝1， ｜MC｜＝ ＝5 ， 设切点为N，则｜MN｜＝ ＝7. 故经过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，得到的切线长为7. 题型3　直线与圆相交问题 例4 过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果｜AB｜＝8，求直线l的方程. 解：将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25， 由圆的性质，得圆心到直线l的距离 d＝ ＝3. ①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意； 题型3　直线与圆相交问题 例4 过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果｜AB｜＝8，求直线l的方程. ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)， 即kx－y＋4k＝0. 由点到直线的距离公式，得3＝ ， 解得k＝－ ，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0. 画龙点睛 04 画龙点睛 直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数  　  　  　 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d 　 r d  r d 　 r 判定方法 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 　0 Δ 　0 Δ 　0 　　 　　 　　 2 1 0 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 感谢您的观看 $