精品解析：福建厦门市海沧区北附学校2026-2027学年八年级上学期11月期中阶段性练习数学试题

厦门市海沧区北附学校2026～2027学年第一学期阶段性练习 八年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题 1. 厦门珠绣是国家级非遗，它曾亮相央视《非遗里的中国》，为了更好地推广非遗，文创店推出四种珠绣杯垫，下列四个杯垫是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，是直角，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，D，E分别是的边，延长线上的点，连接．若，，则下列角中度数为的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一根长厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形．如图，如果第一次在厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以截断处为（ ）． A. ①或② B. ②或③ C. ②或④ D. ③或④ 7. 如图，用圆规和直尺作图，不能把分成两个等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 如图，，，，则的度数为__________． 10. 如图，，点C在上，，，则的长为__________． 11. 如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（写出一个即可） 12. 如图，中边上的高为___________． 13. 如图，中，点D、E分别是BC，AD的中点，且的面积为8，则阴影部分的面积是______． 14. 根据命题“等腰三角形顶角的角平分线是底边上的中线”和如图，写出已知和求证（用数学符号表示）． 已知：________________________________________． 求证：________________________________________． 15. 图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为_________． 16. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 三、解答题 17. 按要求解题： （1）解方程组：； （2）解不等式：． 18. 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）存在点D，使与全等，直接写出点D的所有坐标． 20. 如图，在四边形中，，E为边上一点，连接，，，与交于点F．若，，且平分． （1）求证：≌； （2）若，，求的长． 21. 按要求解题： （1）尺规作图：在的边上求作一点D，使得D到点A，点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，于点E，连接，．若，求证． 22. 小王大学毕业后自主创业，用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元，其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． （1）小王购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）小王第二次以原进价购进甲、乙两种商品．购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8400元，乙种商品最低售价为每件多少元？ 23. 如图，为的角平分线，交的延长线于点E． （1）延长，交于点F，若，请补充图形，并说明是等边三角形； （2）若，求证：． 24. 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”； （2）如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线； （3）在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请画出示意图，并写出的度数． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，，，． （1）的形状是__________； （2）若点D为线段上一动点． ①如图2，以为边向右作等腰，且，设点G的坐标为，其中，试用关于x的代数式表示y； ②如图3，过B点作于E，交于F，且，试问代数式的值是否为定值？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市海沧区北附学校2026～2027学年第一学期阶段性练习 八年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题 1. 厦门珠绣是国家级非遗，它曾亮相央视《非遗里的中国》，为了更好地推广非遗，文创店推出四种珠绣杯垫，下列四个杯垫是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，判断是否存在对称轴． 【详解】解：A、选项中的图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形； B、选项中的图形找不到对称轴，不是轴对称图形； C、选项中的图形找不到对称轴，不是轴对称图形； D、选项中的图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 2. 在中，是直角，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵中，是直角，， ∴． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为， 故选：B． 4. 如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由中，，为边上的高，根据等角对等边与三线合一的性质，即可求得答案． 【详解】解：∵，为边上的高， ∴，，． 无法确定． 故A、C、D正确，B错误． 故选：B． 5. 如图，D，E分别是的边，延长线上的点，连接．若，，则下列角中度数为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 6. 将一根长厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形．如图，如果第一次在厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以截断处为（ ）． A. ①或② B. ②或③ C. ②或④ D. ③或④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据厘米为等腰三角形的腰或底分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵第一次在厘米处（剪刀处）截断，第一次截断后剩余：厘米， ∴当厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当厘米为底时，则腰为厘米，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； ∴第二次可以在②或③处截断． 7. 如图，用圆规和直尺作图，不能把分成两个等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，角平分线，垂直平分线，根据作图痕迹分辨尺规作图是解答本题的关键．根据角平分线，垂直平分线等尺规作图的作法，逐个分析即可． 【详解】A．尺规作图作的的角平分线， 由图可知，， ， ，， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故A不符合题意； B．尺规作图作的线段的垂直平分线， 由图可知，， ， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故B不符合题意； C．，， ，， 有尺规作图可得， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故C不符合题意； D．， ， 但不能说明为等腰三角形， 不能把分成两个等腰三角形，故D符合题意； 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及坐标与图形的关系，通过构造全等三角形将条件转化是解题关键．过点作轴于，可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于， 点， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 9. 如图，，，，则的度数为__________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 10. 如图，，点C在上，，，则的长为__________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 11. 如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定填写即可． 【详解】解：添加的条件为：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，中边上的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解答本题的关键．三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：根据三角形的高的定义可知中边上的高为． 故答案为：． 13. 如图，中，点D、E分别是BC，AD的中点，且的面积为8，则阴影部分的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知：是阴影部分的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，依此可求解． 【详解】解：点D、E分别是，的中点， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 14. 根据命题“等腰三角形顶角的角平分线是底边上的中线”和如图，写出已知和求证（用数学符号表示）． 已知：________________________________________． 求证：________________________________________． 【答案】 ①. 在中，，平分 ②. （或是边上的中线） 【解析】 【分析】把文字命题拆分为条件和结论，条件部分写已知，结论部分写求证，结合图形用符号语言表达． 【详解】解：已知：在中，，平分． 求证：（或是边上的中线）． 15. 图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于， 则 中，， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为， 故答案为：76． 16. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 三、解答题 17. 按要求解题： （1）解方程组：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法，将第一个方程两边乘2，消去未知数，先求出的值，再代入求的值． （2）按照解一元一次不等式的步骤，先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集． 【小问1详解】 解： 得 得 ， 解得， 把代入得 解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 18. 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE 【答案】 证明：在△ABE和△ACD中， ∵, △ABE≌△ACD (ASA)， ∴AE=AD， ∴BD=AB–AD=AC-AE=CE． 【解析】 【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论. 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）存在点D，使与全等，直接写出点D的所有坐标． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形，再根据图形写出各点坐标即可； （2）根据全等三角形的判定方法解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，点均符合题意，即为所求， ∴点的坐标为或或． 20. 如图，在四边形中，，E为边上一点，连接，，，与交于点F．若，，且平分． （1）求证：≌； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得，再根据角平分线求得，然后证得，得到，再证即可； （2）由（1）得到，然后即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 按要求解题： （1）尺规作图：在的边上求作一点D，使得D到点A，点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，于点E，连接，．若，求证． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用作一个角等于已知角，作； （2）过点作于点，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，则，据此即可证明． 【小问1详解】 解：根据作图可得， ∴； 【小问2详解】 略 22. 小王大学毕业后自主创业，用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元，其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． （1）小王购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）小王第二次以原进价购进甲、乙两种商品．购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8400元，乙种商品最低售价为每件多少元？ 【答案】（1）小王购进甲种商品200件、乙种商品120件 （2）110元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设小王购进甲种商品件、乙种商品件，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设乙种商品的售价为每件元，根据题意建立不等式，解不等式可得的最小值，由此即可得． 【小问1详解】 解：设小王购进甲种商品件、乙种商品件， 由题意得：， 解得， 答：小王购进甲种商品200件、乙种商品120件． 【小问2详解】 解：由题意得：小王第二次购进甲种商品的件数是（件），乙种商品的件数是120件， 设乙种商品的售价为每件元， 则， 解得， 答：乙种商品最低售价为每件110元． 23. 如图，为的角平分线，交的延长线于点E． （1）延长，交于点F，若，请补充图形，并说明是等边三角形； （2）若，求证：． 【答案】（1）补充图形如图， ∵为的角平分线，， ∴，则， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：如图所示，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，利用角平分线的定义结合直角三角形的性质求得，据此计算即可得到是等边三角形； （2）如图所示，过点作，利用平行线的性质结合等角对等边得到，，据此计算即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”； （2）如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线； （3）在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请画出示意图，并写出的度数． 【答案】（1）与；与 （2）证明：在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， 则， ∵，，，， ∴为的等角分割线； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意和三角形内角和定理即可求得“等角三角形”； （2）根据三角形内角和定理求出，根据为角平分线和“等角三角形”的定义即可证明； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 则与是“等角三角形”， ∵，， ∴， 则与是“等角三角形”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，， ∵是的等角分割线， ∴； ②当时，， ∵是的等角分割线， ∴， 则； ③当时，，则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，，，． （1）的形状是__________； （2）若点D为线段上一动点． ①如图2，以为边向右作等腰，且，设点G的坐标为，其中，试用关于x的代数式表示y； ②如图3，过B点作于E，交于F，且，试问代数式的值是否为定值？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）∵，， ∴ ， ， ∴ ，， ∴是等腰直角三角形； （2）①；②的值是定值，定值为2． 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式求出，，的长，根据勾股定理逆定理进行判断即可； （2）①根据全等三角形的性质求解即可； ②根据等腰直角三角形的性质求出和，代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①作于F， 由（1）知，， 过G作于E， ∴， 当D在上时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②在上截取，在上截取，连接，， ∵ ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $