精品解析：广东省广州市培英中学2026～2027学年高一上学期期中考试数学试卷

11月份学情诊断高一数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟．请将答案填涂在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据全称命题的否定是特称命题得出结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“，”的否定为“，”， 故选：D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式确定集合，再根据交集定义求解. 【详解】根据题意，集合， 所以. 故选：C 3. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 或2 B. 2 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及单调性求出参数值. 【详解】由幂函数在上单调递减，得， 所以. 故选：C 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由或， 所以必有，但不一定有， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数单调性得到，求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. 所以的取值范围是， 故选：C 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确分段函数的解析式，结合函数的单调性和特殊点的函数值，利用排除法排除错误选项即可. 【详解】由函数， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，故排除BC； 当时，  ，故排除A，则D正确. 故选：D 7. 函数，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造辅助奇函数，利用奇函数的对称性质，结合已知函数值求解，即可求解． 【详解】设，， 因为，所以为奇函数， 由，得，则， 所以． 8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时.恒成立.且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得的单调性与对称性，结合，可解不等式. 【详解】当时，恒成立，所以， 所以在上为减函数， 又函数是定义域为的偶函数，所以关于对称， 所以在上为增函数， 所以，又，所以， 所以当时，；当时，； 当时，， 由，得或，所以或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错不得分． 9. 已知，则下列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的性质进行判断． 【详解】对于A项，根据不等式的性质，，故A选项成立； 对于B项，当时，满足，但不符合，故B项错误； 对于C项，当时，，所以，故C选项成立； 对于D项，当时，满足，但不符合，故D项错误． 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 定义在上的函数满足，则 C. 若函数值域为，则k的取值范围是 D. 若函数在区间和都是增函数，则在上是增函数 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：求出两函数定义域，对比即可判断；对于B：根据已知条件列出方程组，消元求解函数解析式；对于C：分与，结合二次函数性质与值域要求列式求解；对于D：举出反例，结合增函数定义判断正误. 【详解】对于A：定义域为， 定义域为，定义域不同，不是同一个函数，A错误， 对于B： 第一个式子乘：，与第二个式子相加， 得，B正确； 对于C：，值域为，能取到， 当时，，不能取； 当时，，解得，C正确； 对于D：举反例： ，在和都单调递增， 但，在上不是增函数，D错误. 11. 已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性逐一推理判断各选项即可. 【详解】对于A，由可得，故的图象关于中心对称，即A正确； 对于B，在中，取，，解得， 因是上的偶函数，故，故B正确； 对于C，因是上的偶函数，则， 由可得，故有， 假设是偶函数，则，故有， 即，也即恒成立，而由题意此式并不一定恒成立，故假设不成立，即C错误； 对于D，由，故为奇函数，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调减区间是_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解. 【详解】，则， 解得或， 所以函数的定义域为， 令， 所以函数的单调递减区间为， 又因为为增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 13. 设函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】判断函数为偶函数，再由单调性可脱去“f”，建立不等式求解. 【详解】由题意得的定义域为. 因为，所以是偶函数. 当时，单调递增， 因此当时，单调递减. 又因为， 所以由可得或， 即或. 故答案为： 14. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得函数的值域，由此可求得函数的值域. 【详解】当时，， 当且仅当即时，等号成立，此时； 当时，， 当且仅当即时，等号成立，此时； 当时，， 所以函数的值域为. 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，函数的值域为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. （1）求集合； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【小问1详解】 因为有实根， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求、的值，并求解不等式的解集； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），，解集为或． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出、的值，进而求解不等式； （2）根据基本不等式求出的最小值，结合不等式恒成立可得出关于的不等式，即可求出的范围． 【小问1详解】 由题意知，和是的两个根，且， 所以，解得， 将，代入可得，即， 解得或． 故不等式的解集为或. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 当且仅当，即当时，等号成立，所以的最小值为． 又恒成立，故恒成立，即，解得． 所以的取值范围为． 17. （1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再结合抽象函数定义域求出的定义域. （2）配方，借助二次函数性质求出值域. （3）利用换元法求出解析式. 【详解】（1）函数中，，解得， 函数的定义域为，则， 函数中，，解得， 所以函数的定义域. （2），当且仅当时取等号， 所以的值域是. （3）令，则， 由，得， 所以的解析式是. 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【解析】 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【小问1详解】 因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. 【小问2详解】 分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据这一结论，解决下列问题: 已知函数，函数为奇函数 （1）写出函数图象的对称中心，并求的值; （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; （3）已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称中心结论可求函数图象的对称中心，根据函数为奇函数列式求解； （2）根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增； （3）依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意可知，函数为奇函数，所以函数图象的对称中心为， 函数得，， 因为函数为奇函数，所以，即， 所以，解得. 【小问2详解】 函数在区间上单调递增； 证明：，且， ， 因为，所以， 所以， 所以，即. 所以在单调递增， 【小问3详解】 因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由（2）可知在上单调递增，又，所以， 又， 当时，在上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在. 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以， 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11月份学情诊断高一数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟．请将答案填涂在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 或2 B. 2 C. D. 或 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时.恒成立.且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错不得分． 9. 已知，则下列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 定义在上的函数满足，则 C. 若函数值域为，则k的取值范围是 D. 若函数在区间和都是增函数，则在上是增函数 11. 已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调减区间是_________． 13. 设函数，则不等式的解集为__________. 14. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则函数的值域为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. （1）求集合； （2）若，求的取值范围. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求、的值，并求解不等式的解集； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 17. （1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据这一结论，解决下列问题: 已知函数，函数为奇函数 （1）写出函数图象的对称中心，并求的值; （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; （3）已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $