4.5.1 函数的零点与方程的解同步课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解 人教A版2019必修第一册 目录 C A T A L O G 01.零点的概念与三方对应 02.求函数的零点 03.零点所在的区间 04.零点的个数与参数 05.小结与随堂检测 导入新知 解方程 ，得 或 ； 画出二次函数 的图象（图 1）， 它与 轴有两个公共点， 公共点的横坐标 正好是方程的两个根。 方程的根藏在图象里。 问题：“方程的根”与“函数图象与 x 轴的公共点”是什么关系？一般的方程 f(x)=0 也都这样看吗？ 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　导入与目标　·　03/60 学习目标 1．结合二次函数的图象与一元二次方程的根，理解函数零点的概念， 　　能说出方程的实数根、函数的零点、图象与 轴的公共点三者之间的对应关系。 2．会用解方程的方法求一次、二次、简单指数型与对数型函数的零点， 　　会用零点存在定理判断零点所在的区间。 3．会借助函数的单调性与图象判断零点的个数，能由零点的个数或存在性 　　求参数的取值范围。 衔接：本节课先解决“有没有零点、在哪个区间”，下一节课再学把零点逐步逼近到精确度内。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　导入与目标　·　04/60 4.5.1 函数的零点与方程的解 01 零点的概念与三方对应 学习新知 一般地，对于函数 ，我们把使 的 实数 叫做函数 的零点。 函数 的零点是 和 ； 函数 的零点是 ，只有一个。 零点是实数，不是 点 ；它是图象与 轴公共点的 横 坐标。 求零点 ＝ 解方程 ＝ 读公共点的横坐标。 方程有几个 不同 的实数根，函数就有几个零点。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的概念与三方对应　·　06/60 应用新知 判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由） (1) 函数 的零点是点 和 。（　　） （1）×。零点取的是横坐标，是实数 和 ； 点 与 是图象与 轴的公共点，不能混为一谈。 (2) 函数 没有零点。（　　） （2）√。零点要求 ；任取一个数，如 ， 仍不等于 0。事实上 取任何实数时都有 ，方程无实数根。 所以图象与 轴没有公共点，函数没有零点。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的概念与三方对应　·　07/60 学习新知 二次函数 （ ）的零点个数， 由判别式 的符号决定。 三条抛物线只差常数项： 有两个根； 有两个相等根； 没有实数根。 Δ 的符号 方程的实数根 图象与 x 轴公共点 零点个数 Δ > 0 两个不相等的实数根 两个公共点 2 个 Δ = 0 两个相等的实数根 唯一公共点 1 个 Δ < 0 没有实数根 没有公共点 0 个 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的概念与三方对应　·　08/60 学习新知 对一般的函数 ，图象上纵坐标为 0 的点， 恰好就是使 的点，三方始终一致： 有实数根　⇔　函数有零点　⇔　 图象与 轴有公共点 由此得到一类常用转化：方程 的 实数根个数 ＝ 两条曲线 与 的 公共点个数 ＝ 函数 的零点个数。 说明：三种说法指的是同一批数。解不出来的方程，可以改画两条曲线数公共点，本讲第四节就用这个方法。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的概念与三方对应　·　09/60 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 方程 有两个相等的实数根， 所以函数 有两个零点。（　　） （1）×。两个根都是 ，取不同的值只有一个， 所以只有一个零点 ，图象与 轴只有公共点 。 (2) 若方程 没有实数根，则函数 的图象 与 轴没有公共点。（　　） （2）√。反过来说，若图象与 轴有公共点 ， 则 ，与“没有实数根”矛盾。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的概念与三方对应　·　10/60 例题精讲 考点：方程的根、零点与公共点三方对应 例 1　 （多选）已知函数 ，则（　　） A． 的零点是 和 B． 图象与 轴的两个公共点之间的距离等于 C． 不等式 的解集是 D． 方程 的两根之和为 A：√。 即 ，零点就是 、 。 B：√。公共点为 与 ，横坐标之差 。 C：×。开口向上时， 的解集在两根之间，是 。 D：√。由根与系数的关系，两根之和 。 本题把方程、图象、不等式串在一起：先解方程，再看图象，最后写解集。 答案　ABD 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的概念与三方对应　·　11/60 变式训练 考点：方程的根、零点与公共点三方对应 变式 1　 函数 的零点是（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 答案 B。 令 ，得 或 。 A、C 把零点写成了点的坐标，零点应该是实数； D 把两个因式的常数项直接抄成相反数，符号弄反： 给的是 ， 给的是 。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的概念与三方对应　·　12/60 方法归纳 考点：方程的根、零点与公共点三方对应 ① 零点是数，不是点：只求使 f(x)=0 的 x 的值。 ② 个数只看不同的根：重根只算一个零点；二次函数的零点个数由判别式决定。 ③ 三个等价互相转化：解方程、求零点、读图象与 x 轴公共点的横坐标。 辨析类题目一律回到定义：把给出的 x 代回 f(x) 看是否为 0；再说清“方程根的个数”“零点的个数”“公共点的个数”三者是否一致。凡出现点坐标的选项，先怀疑它把零点和公共点混了。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的概念与三方对应　·　13/60 4.5.1 函数的零点与方程的解 02 求函数的零点 学习新知 求函数的零点，就是解方程 。 常用的有两条路：代数法把方程解出来，几何法把图象画出来。 代数法：方程有几个不同的实数根，函数就有几个零点； 几何法：画出 的图象，读它与 轴公共点的横坐标。 以 为例： 代数法化为同底 得 ； 几何法看右图两图象的 公共点，横坐标也是 。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　求函数的零点　·　15/60 应用新知 口答下列函数的零点（在横线上写出答案） (1) 的零点是 (2) 的零点是 (3) 的零点是 (4) 分段函数要 分段 求解， 解出的根必须落在该段自变量的取值范围内，范围外的舍去； 解析式里含根式或对数时，先确定允许值范围，再逐根回代检验。 说明：(1) 中要求 a≠0，否则它不是一次函数。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　求函数的零点　·　16/60 例题精讲 考点：解方程求零点并检验允许值范围 例 2　 求下列函数的零点： (1) ；　(2) ； (3) 是下面的分段函数： (1) 令 ，即 ，得 或 ，所以零点是 1 和 3。 (2) 令 。因为 ， 所以 。检验： 。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　求函数的零点　·　17/60 例题精讲 考点：解方程求零点并检验允许值范围 (3) 当 时，由 得 ； 因 ，它在该段范围内； 当 时，由 得 ，也在该段范围内。 答：(1) 零点是 1 和 3；(2) 零点是 ；(3) 零点是 和 。 点评：三段解答都只写 x 的值；分段函数解出的根， 还要检查它落在哪一段的自变量范围内，范围外的必须舍去。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　求函数的零点（续）　·　18/60 变式训练 考点：解方程求零点并检验允许值范围 变式 2　 已知函数 （ ）的零点是 ， 求函数 的零点。 思路：零点给出 与 的一个等量关系，先把 用 表示，再解方程。 由 得 ，即 。 于是 。令 ，由 得 ，所以 或 。 答：零点为 和 。 检验： ， 。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　求函数的零点　·　19/60 例题精讲 考点：解方程求零点并检验允许值范围 例 3　 求方程 的实数根的个数。 解：由 得 ，即 。 原式为 0 当且仅当 或 。 由 得 ，其中 不在允许值范围内，舍去，只取 ； 由 得 。 答：方程共有 个实数根。 检验： 与 都使原式等于 0。 提醒：根式方程要回代检验。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　求函数的零点　·　20/60 变式训练 考点：解方程求零点并检验允许值范围 变式 3　 方程 的实数根的个数是 。 解：由 得 。 由 得 ，其中 舍去，取 ； 由 得 ，它恰好满足允许值范围。 答：实数根共有 个，是 3 和 -2。 点评：两个因式给出的候选根都要回到根号的允许值范围里核对；端点 x=-2 使根号为 0，是可以取的。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　求函数的零点　·　21/60 方法归纳 考点：解方程求零点并检验允许值范围 ① 先看允许值范围：含根式、对数、分段时，先弄清自变量能取哪些值。 ② 再解方程 f(x)=0：因式分解、求根公式、化为同底、化为对数式，四条常用变形。 ③ 最后逐根检验：分段函数看落点，根式方程看根号内是否非负，舍去范围外的根。 零点的个数等于方程不同实数根的个数：重根只算一个零点；增根或被范围舍去的根不能计入。求出根以后回代一次，是这类题最省事的自检。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　求函数的零点　·　22/60 4.5.1 函数的零点与方程的解 03 零点所在的区间 学习新知 ， ，两端一上一下； 图象连续不断，从下方走到上方必穿 轴， 交点的横坐标正是方程的根 。 零点存在定理：如果函数 在区间 上的图象是一条 连续不断 的曲线，且有 < ，那么它在 内 存在 零点，即方程 有实数根。 提醒：两个条件缺一不可，且只保证存在。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点所在的区间　·　24/60 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 函数 满足 ， ， 所以 在区间 内有零点。（　　） （1）×。少了“图象在 上连续不断”这一条。 反例：当 时 ；当 时 。两端异号，但两段上函数值都不为 0，区间内没有零点。 用定理之前，先回答两句：图象连不连续？两端是不是异号？ 易错：把“区间内有零点”与“区间内只有一个零点”混为一谈，是这类判断题最常见的坑。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点所在的区间　·　25/60 学习新知 定理只说“存在”。再看同号的情形： 时，区间内照样可能有零点。 看 在 上： ， ，两端同为正； 但 ， ， 区间 内有两个零点 1 和 3。 结论：零点存在定理是充分条件，不是必要条件。 示意图取自 。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点所在的区间　·　26/60 学习新知 考察 ： 与 都随 增大而增大，所以 在 上是增函数， 图象一直上升，与 轴至多有一个公共点。 ， ，两端异号，又连续不断， 所以在 内存在零点。 结论：连续不断、单调、两端异号， 在 上就 恰有 一个零点； 少一条“单调”，只能说“存在”，不能说“唯一”。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点所在的区间　·　27/60 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 函数 有且只有一个零点。（　　） （1）√。 与 都在 上单调递增，故 递增， 图象与 轴至多一个公共点。又 ， ， 所以恰有一个零点，它在 内。 (2) 函数 在区间 内有且只有一个零点。 （　　） （2）×。 ，在 内有三个零点： ， ， 。它在 上不单调，不能由端点异号推出“恰有一个”。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点所在的区间　·　28/60 例题精讲 考点：连续不断加端点异号锁定区间 例 4　 函数 的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 第一步定个数： 与 都递增，故 递增， 零点至多一个。 第二步算端点： ， 。 第三步用定理：图象在 上连续不断且两端异号，零点在 内。 由唯一性， 、 、 内都没有零点。 答案　C 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点所在的区间　·　29/60 变式训练 考点：连续不断加端点异号锁定区间 变式 4　 下列函数中，在区间 内存在零点的是（　　） A． B． C． D． 四个函数在 上都单调递增，零点各至多一个。 A： ，零点是 ，不在开区间 内； 　　且 时 ，所以区间内无零点。 B： ， ，图象连续不断， 内有零点； C：零点恰是 ；D：零点是 ，都不在 内。 答案　B 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点所在的区间　·　30/60 例题精讲 考点：连续不断加端点异号锁定区间 例 5　 函数 的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 递减： 递减、 递增，故 递减，零点至多一个。 ， 。 两端异号且图象连续不断，零点在 内。 答案 B。 注意 ，指数大的反而小。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点所在的区间　·　31/60 变式训练 考点：连续不断加端点异号锁定区间 变式 5　 已知函数 的零点所在的区间为 ，其中 为整数，求 的值。 解： 与 都递增， 故 在 上递增，零点至多一个。 ， ，由定理，零点在 内。 所以 ， 。 检验： 、 ， 零点确实只落在 内，所以 。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点所在的区间　·　32/60 方法归纳 考点：连续不断加端点异号锁定区间 ① 先看连续：一次、二次、指数、对数、幂函数在各自的定义区间上图象都连续不断。 ② 再看单调：单调保证零点至多一个，找到的区间才是“那个”区间。 ③ 最后算端点符号：取相邻的两个便于计算的自变量值，找出符号相反的一对。 底数在 0 与 1 之间时，指数越大函数值越小，估算端点符号要留意方向；端点的函数值正好等于 0 时，这个端点就是零点，不要误当成开区间内的零点。要说“恰有一个”，必须把存在与唯一两条都写出来。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点所在的区间　·　33/60 4.5.1 函数的零点与方程的解 04 零点的个数与参数 学习新知 方程解不出来时，把它改写成两个函数相等，再去数图象的公共点。 改写为 。 在同一坐标系中画两条曲线： 一直上升， 在 上 一直下降，公共点只有一个。 公共点个数 ＝ 方程 的 实数根个数 ＝ 函数的零点个数。 注意：数公共点要交代两条曲线各自的升降趋势，否则可能漏解。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　35/60 例题精讲 考点：把方程拆成两条图象数公共点 例 6　 判断函数 的零点的个数。 定义域是 。 与 在 上 都单调递增，所以 单调递增，零点至多一个。 ， 。 图象在 上连续不断且两端异号，由零点存在定理，零点存在。 答： 恰有 个零点，它在 内。 点评：图象法复核 一升一降，公共点也只有一个，两条路结论一致。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　36/60 变式训练 考点：把方程拆成两条图象数公共点 变式 6　 函数 的零点的个数是（　　） A． B． C． D． 解：令 ，即 ， 也就是 或 。 由对数式与指数式的互化， 或 。 定义域 ，两个值都在内且不相等， 所以零点有 个，选 。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　37/60 例题精讲 考点：把方程拆成两条图象数公共点 例 7　 求函数 的零点的个数。 解：令 ，去掉绝对值分成两支： 第一支　 ，即 ， ， 得 ，是两个不同的实数根； 第二支　 ，即 ，得 。 三个根 、 、 互不相等， 所以零点个数为 个。 回代检验： 时 ，成立。 右图：两条水平线 与曲线交三点。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　38/60 变式训练 考点：把方程拆成两条图象数公共点 变式 7　 已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则 的零点的个数是（　　） A． B． C． D． 上 单调递增，且 ， ，所以在 内有唯一零点，记作 。 偶函数满足 ， 故 也是零点；又 ， 两段各一个，共 个零点，选 。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　39/60 方法归纳 考点：把方程拆成两条图象数公共点 ① 解方程法：方程 f(x)=0 能直接求解时，有几个不同的实数根就有几个零点。 ② 存在定理加单调性：端点异号保证有，单调保证只有一个，合起来就是恰有一个。 ③ 图象法：把 f(x)=0 改写成 h(x)=p(x)，在同一坐标系里数两条曲线的公共点。 三条路各有适用面：能因式分解的用①；指数、对数混在一起的用②；带绝对值、或者一边是指数另一边是直线的用③。用③时，两条曲线都要说明升降趋势，公共点个数才敢说“只有几个”。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　40/60 学习新知 把条件从“求零点”换成“零点有几个”，就要反过来定参数。 常用的有两条路，外加两条要留心的规则。 直接法： 分段解出所有候选根，再按零点总个数 建立关于参数的不等式；分段处与端点要单独检验等号。 数形结合： 把 改写成 让含参数的式子单独在一边，数公共点的临界位置。 换元必须还原： 令 后 ，正 与实数 一一对应， 所以关于 的方程有几个正根，原函数就有几个零点。 对称则零点成对： 图象关于直线 对称时， 与 同为零点； 若只有一个零点，它只能是对称轴上的 。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　41/60 例题精讲 考点：由零点个数求参数的取值范围 例 8　 已知 ，函数 为 (1) 当 时，不等式 的解集是 ； (2) 若 恰有 个零点，求 的取值范围。 (1) 分两段解不等式。当 时，由 得 ； 当 时，由 得 ，与 取交集得 。两段合并，解集是 。 分段点 属于第一段，此时 ，所以 也在解集内。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　42/60 例题精讲 考点：由零点个数求参数的取值范围 (2) 候选零点全列出来：第一段 给 ，它算零点要求 ；第二段 给 、 ，要求分别是 与 。 ① ：第一段无零点，第二段 1、3，合； ② ：第一段 4、第二段 1 与 3，不合； ③ ：第一段 4、第二段只有 1，合； ④ ：只有 4 一个零点，不合。 答： 。 点评：分类数个数，边界代回判等号。 如 时零点为 4 与 1，恰两个。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数（续）　·　43/60 变式训练 考点：由零点个数求参数的取值范围 变式 8　 已知 ， 。若 存在 个零点，求实数 的取值范围。 左段 上 递增， 最大值是 ； 越小， 越小， 故左段有零点当且仅当 ，且只有一个。 右段 由负变正，恒有一个零点。 两段合计恰 2 个零点，须 ，即 。 时左段零点恰是 。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　44/60 例题精讲 考点：由零点个数求参数的取值范围 例 9　 若函数 有两个零点， 求 的取值范围。 思路：指数方程解不出 ，就换元化成整式方程。 零点即方程 的根。 因为 ，令 ， 则 ，即 。 换元后要还原： ，而且每一个 正 对应唯一的实数 ，根数不多算。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　45/60 例题精讲 考点：由零点个数求参数的取值范围 于是“ 有两个零点” 关于 的方程有两个不相等的正根。 由 得 或 ； 两根之和为 ，两根之积为 ，要两根都为正须 。 取交集得 ，即 的取值范围是 。 检验： 时 给 或 ，对应 、 ，恰两个零点。 边界： 时 是重根，只对应 一个零点，所以 舍去。 点评：换元把指数问题翻成二次方程根的分布， 正根的个数就是零点个数，能不能取等要单独看。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数（续）　·　46/60 变式训练 考点：由零点个数求参数的取值范围 变式 9　 若函数 在区间 内存在零点， 求实数 的取值范围。 解：区间内有零点 方程有解， 即 在 内能取到值。 设 ， 时最大。 两端 趋近 -3、 趋近 0，都取不到， 所以 的值域是 ，答： 。 检验： 时两根 3、-1 都不在区间内； 时根为 1，在区间内，可以取。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　47/60 方法归纳 考点：由零点个数求参数的取值范围 ① 列全候选根：把每一段上 f(x)=0 的根都解出来，先不管参数。 ② 按参数分类数个数：分段处、区间端点各成一类，列表对照零点个数的变化。 ③ 边界单独检验：等号能不能取，代回原式看它算不算零点。 数形结合时，把含参数的式子单独留在一边，让另一条曲线随参数平移，数公共点个数由“2 个”变到“3 个”的那一格就是临界位置；换元之后一定要还原，把关于新变量的根数翻译回原变量的零点个数。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　零点的个数与参数　·　48/60 4.5.1 函数的零点与方程的解 05 小结与随堂检测 课堂小结 栏目 核心内容 常用手段 零点的概念 使 f(x)=0 的实数 x，是数不是点 回代验算 三方对应 方程的根 ⇔ 零点 ⇔ 与 x 轴公共点 判别式、图象 零点所在区间 连续不断 + 端点异号 ⇒ 区间内有零点 再加单调性定唯一 零点个数与参数 解方程、定理加单调、数两条曲线公共点 分类讨论、数形结合 一条链： 先判“有没有”，再判“有几个”，最后判“在哪个区间”。 前两步靠解方程与单调性，第三步靠零点存在定理。 一句话： 零点问题就是方程的根的问题，图象把它说出来。 易错：零点写成点的坐标；重根算成两个；由两端同号就断定没有零点。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　小结与随堂检测　·　50/60 课堂小结 ① 二次函数 （ ）： 两个零点， 　　 一个零点， 没有零点。 ② 常见函数的零点： 的零点是 ； 的零点是 ； 的零点是 。 ③ 定理只给“存在”： 且图象连续不断， 才有零点；同号时中间照样可能穿过 轴两次。 ④ 图象关于 对称时零点成对： 与 同为零点； 若只有一个零点，它只能是 ；这一条在检测 7 里正好用上。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　小结与随堂检测　·　51/60 题后反思 ● 零点是实数，作答时只写 的值；写成 就错了。 ● 时方程有两个相等实根，但函数只有一个零点。 ● 用零点存在定理，必须同时交代“图象连续不断”与“两端异号”， 　只写一端异号就下结论，判不出“恰有一个”，还要补单调性。 ● 分段函数解出的根要落在该段范围内；根式、对数要先定允许值范围。 ● 数公共点时，两条曲线都要说明升降趋势，否则可能多数或漏数。 再提醒：“有零点”与“只有一个零点”是两件事；“存在”与“唯一”要分开论证。答案里写区间时，看清开闭：端点处取到 0 的，另算一个零点。 作答格式：先解方程，再说零点个数，最后写区间；端点取到 0 的要单独点明。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　小结与随堂检测　·　52/60 当堂检测 检测 1 求下列函数的零点：(1) ； (2) 。 检测 2 在区间 内存在零点的函数是（　　） A． 　　　　 B． C． 　　　　　　 D． 1．(1) 令 ， ，零点是 和 ； (2) 由 得 。 2．C。A、B 的零点是 1、3 与 -1、3，都不在 内； D 的零点是 ，不在区间内；C 的零点是 ，在 内。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　小结与随堂检测　·　53/60 当堂检测 检测 3 已知 的两个零点是 和 ， 求 、 的值，并写出 的单调区间。 解： 、 就是方程 的两根，由根与系数的关系 ， ，所以 ， 。于是 ，开口向上，对称轴 。 单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 答： 、 ；单调区间如上。 说明：“两个零点是 -1 和 3”与“图象与 x 轴交于 (-1,0)、(3,0)”是同一件事的两种说法。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　小结与随堂检测　·　54/60 当堂检测 检测 4 求证：方程 在区间 内有实数根， 并说明实数根的个数。 证明：设 ，原方程的实数根 就是 的零点。 与 都递增， 故 在 上递增，零点至多一个。 ， ，图象连续不断， 由零点存在定理， 内有零点； 再由唯一性，实数根恰有 个。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　小结与随堂检测　·　55/60 当堂检测 检测 5 求函数 的所有零点，并 求使 成立的 的集合。 解：令 ，即 ， 得 ，零点是 和 。 因为底数 ， 即 ，即 ，集合为 。 检验： ， ，符合。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　小结与随堂检测　·　56/60 当堂检测 检测 6 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 的零点的个数。 解：当 时 单调递增，且 ， ，所以在 内有唯一零点，记作 ； 奇函数满足 ，所以 0 也是一个零点； 当 时 与 等价，得 。 答：零点为 、 、 ，共 个。 奇函数若在 处有定义， 必定给出一个零点， 这一点常被漏掉；另一半零点由对称性搬过去，不必再解一次方程。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　小结与随堂检测　·　57/60 当堂检测 检测 7 已知函数 有唯一 零点，则 （　　） A． B． C． D． 思路：先把 写成只含 的式子； 括号里 也只含 。令 ，设 ，则 ，即 是偶函数。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　小结与随堂检测　·　58/60 当堂检测 偶函数的图象关于 对称，零点成对出现： 是零点， 也是零点。既然只有一个零点，它只能是 ，于是 ，得 。 回代检验： 时 。 因为 ，由基本不等式 ，当且仅当 取等号， 所以 ，等号只在 处取得。 故 只有零点 ，对应 ，与“有唯一零点”相符。 答案　 。其余三个值都使 ，零点必成对出现，不可能唯一。 点评：“唯一零点”配上对称图象，先怀疑对称中心就是那个零点，再用不等式说明它真的唯一。 4.5.1 函数的零点与方程的解　·　小结与随堂检测（续）　·　59/60 本节课到此结束 下节预告　4.5.2 用二分法求方程的近似解 人教A版2019必修第一册 $