精品解析：天津市第四十五中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年度第一学期 九年级 数学学科练习卷2 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 氢、氧、碳、氮是重要的化学元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中可以看作是中心对称图形，但不能看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的两根之和为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，将等腰绕点O逆时针旋转，得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（ ） A. 18 B. C. D. 9. 如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 2.67 B. 2.56 C. 2.39 D. 2.26 10. 在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 如图，正方形的边长为6，动点M沿的路径移动，过点M作交正方形的一边于点N，则的面积y与点M运动的路程x之间形成的函数关系图像大致是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 13. 若方程的两根之积为，则为______. 14. 已知点，点关于原点对称，则的值为_________． 15. 已知反比例函数的图象上有两点，，且，则______（填“”、“”或“”） 16. 已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 17. 若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 18. 如图1，是等边的边上一点（不与点，重合），连接，以为边向右作等边，连接．已知的面积（）与的长（）之间的函数关系如图所示，若该抛物线顶点的纵坐标为，则等边的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共46分） 19. 解下列一元二次方程： （1）（x﹣5）2﹣9＝0； （2）3x2+2x﹣2＝0． 20. 如图，△ABO的顶点坐标分别为A（3，2），B（3，0）． （1）请画出△ABO关于点O成中心对称的△A1B1O，并写出点A1，B1的坐标． （2）四边形AB1A1B的面积为 　 　． 21. 如图，已知是一次函数和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C．求： （1）反比例函数和一次函数的解析式； （2）不等式的解集（直接写出答案）． 22. 已知关于的一元二次方程有实数根， （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且点B的坐标为，点C的坐标为，一次函数的图象过点A、C两点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标； （3）结合图象，直接写出时自变量x的取值范围． 24. “互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店出售一款电子玩具，其成本为每件80元，当售价为每件140元时，每月可销售100件．为了扩大销量，该网店采取降价措施，据市场调查：销售单价每降低1元，每月可多销售5件，设每件电子玩具的售价为x元（x为正整数），每月销售量为y件． （1）直接写出y与x之间的函数关系式__________________；（不需解答过程） （2）设该网店每月销售这款产品获得的利润为w元，求当销售单价降低多少元时，每月销售这款产品获得的利润最大，最大利润是多少元； （3）该网店店主决定每月从这款产品的销售利润中捐出500元资助贫困学生，为保证捐款后这款产品的每月销售利润不低于5500元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格？请说明理由． 25. 已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是线段上方抛物线上的一个动点，连结、．设的面积为．点的横坐标为． ①试求关于的函数关系式； ②请说明当点运动到什么位置时，的面积有最大值？ ③过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 九年级 数学学科练习卷2 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 氢、氧、碳、氮是重要的化学元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中可以看作是中心对称图形，但不能看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D． 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：一元二次方程要求二次项系数不为 0，即， 解得 ． 3. 一元二次方程的两根之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系直接计算两根之和． 【详解】解：一元二次方程中， ，， 根据根与系数的关系，两根之和为． 4. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据形如（）的函数是反比例函数可知： A，B，D都不符合的形式，所以不是反比例函数．C中，符合反比例函数定义． 5. 若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故选：B． 6. 如图，将等腰绕点O逆时针旋转，得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出角的度数，再根据旋转的性质得出角的度数即可求解． 【详解】解：是等腰三角形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故选：C 7. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线有最低点，得出，再解不等式即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点，则二次函数图象开口向上， ∴， 解得：． 8. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，根据题意，得，根据对称，得，根据三角形的面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的解析式确定，三角形面积计算，熟练掌握面积计算是解题的关键． 【详解】解：设点，根据题意，得， 根据对称，得，根据三角形的面积，得, 故， 故选：C． 9. 如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 2.67 B. 2.56 C. 2.39 D. 2.26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 10. 在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：设参加比赛的球队数量为支． ∵ 单循环赛中每两支球队之间进行一场比赛． ∴ 总比赛场数为． 由题意得． 整理得． 得，（不符合实际意义，舍去）． ∴参加比赛的球队数量是． 11. 如图，正方形的边长为6，动点M沿的路径移动，过点M作交正方形的一边于点N，则的面积y与点M运动的路程x之间形成的函数关系图像大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当点M在上时，根据三角形的面积公式可得y与x的关系式；当点M在上时，根据表示出y与x的关系式，最后根据函数解析式确定图像即可． 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴， 当点M在上时，即，，函数图像以y为对称轴，开口向上； 如图：点M在上时，即，则， ∴ ∴，函数图像以为对称轴，开口向下． 故选：B． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图像问题，根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解答本题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据抛物线图象确定参数的取值即可； ②根据对称轴确定点坐标，然后当时，确定函数值的取值即可； ③根据对称轴确定参数的数量关系即可； ④根据抛物线顶点坐标即可确定不等式． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴右侧， ∴异号， ∴； ∵抛物线交轴于正半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②∵对称轴为直线，且， ∴， 结合抛物线图象可得，当时，， 即， 故②正确； ③∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ④∵抛物线开口向下， ∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 当时，， 当时，， ∴， 即， 故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 13. 若方程的两根之积为，则为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 14. 已知点，点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出与的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：点，点关于原点对称， ，， ． 15. 已知反比例函数的图象上有两点，，且，则______（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数，以及，即可求解． 【详解】反比例函数的图象上有两点，，且 随的增大而增大 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的增减性的知识点，熟悉掌握以上知识点是解决此题的关键． 16. 已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 即， ∴． 17. 若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题需分类讨论函数类型，分时函数为一次函数、时函数为二次函数两种情况，分别根据一次函数和二次函数与轴交点的性质求解的值即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数解析式为，是一次函数，一次函数的图象与轴有且仅有一个交点，符合题意，因此满足条件． 当时，函数是二次函数，若二次函数的图象与轴有且仅有一个交点，则根的判别式． 对于一元二次方程，其中，，，可得： 令，即， 解得，即或，均满足，符合题意． 综上，的值为或或． 18. 如图1，是等边的边上一点（不与点，重合），连接，以为边向右作等边，连接．已知的面积（）与的长（）之间的函数关系如图所示，若该抛物线顶点的纵坐标为，则等边的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交延长线于，设，，然后可以求得，，结合函数图像，最大值为是在处取得，从而求得的值，然后据此根据等边三角形的性质，即可求得等边的面积． 【详解】解：过点作，交延长线于，设，，过点作于点． ∵，，， ∴， ∴（）， ∴，， ∴•， ∴， ∵， ∴当时，的值最大， ∵该抛物线顶点的纵坐标为， ∴， 解得， ∵在中，，， ∴， ∴ ∴等边的面积为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，等边三角形的性质，三角函数，三角形面积公式，解题的关键在于根据面积最大求得的值． 三、解答题（本大题共7小题，共46分） 19. 解下列一元二次方程： （1）（x﹣5）2﹣9＝0； （2）3x2+2x﹣2＝0． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据公式法解一元二次方程即可 【小问1详解】 （x﹣5）2﹣9＝0 即 解得： 【小问2详解】 3x2+2x﹣2＝0 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 如图，△ABO的顶点坐标分别为A（3，2），B（3，0）． （1）请画出△ABO关于点O成中心对称的△A1B1O，并写出点A1，B1的坐标． （2）四边形AB1A1B的面积为 　 　． 【答案】（1）见解析，A1（-3，-2），B1（-3，0）；（2）12 【解析】 【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用三角形的面积公式，先求得△AB1B的面积即可得出答案． 【详解】解：（1）△A1B1O如图所示， 点A1的坐标为：（-3，-2），点B1的坐标为：（-3，0）； （2）∵A（3，2），B（3，0）， ∴A、B的横坐标相同，则AB⊥B1B， ∴△AB1B的面积为B1BAB=， ∴四边形AB1A1B的面积为12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，三角形的面积等知识，正确得出对应点位置是解题关键． 21. 如图，已知是一次函数和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C．求： （1）反比例函数和一次函数的解析式； （2）不等式的解集（直接写出答案）． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点，可以求得m的值，进而求得n的值，即可解答本题； （2）根据函数图象以及点的横坐标即可求解． 【小问1详解】 解：∵A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点， ∴4，得：m＝4， ∴y， ∴﹣2，得：n＝﹣2， ∴点A（﹣2，﹣2）， ∴， 得：， ∴一次函数解析式为y＝2x+2， 即反比例函数解析式为，一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A（﹣2，﹣2），点B（1，4）， ∴不等式即的解集是：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 22. 已知关于的一元二次方程有实数根， （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1），且 （2），另一根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）由于方程有实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零； （2）将代入方程求得，再根据根与系数的关系求得另一个根即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得，，且； 【小问2详解】 ∵该方程的一个根为， ∴ 解得， ∴原方程为 设另一个根为， ∴， ∵， ∴，即另一根为． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且点B的坐标为，点C的坐标为，一次函数的图象过点A、C两点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标； （3）结合图象，直接写出时自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得，， 解得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，得， 解得，， 此二次函数的图象与轴的另一个交点A的坐标为； 【小问3详解】 解：观察图象可知， 当或时，一次函数的图象在二次函数的图象下方，即． 24. “互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店出售一款电子玩具，其成本为每件80元，当售价为每件140元时，每月可销售100件．为了扩大销量，该网店采取降价措施，据市场调查：销售单价每降低1元，每月可多销售5件，设每件电子玩具的售价为x元（x为正整数），每月销售量为y件． （1）直接写出y与x之间的函数关系式__________________；（不需解答过程） （2）设该网店每月销售这款产品获得的利润为w元，求当销售单价降低多少元时，每月销售这款产品获得的利润最大，最大利润是多少元； （3）该网店店主决定每月从这款产品的销售利润中捐出500元资助贫困学生，为保证捐款后这款产品的每月销售利润不低于5500元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格？请说明理由． 【答案】（1）； （2）当销售单价降低20元时，每月获得的利润最大，最大利润是8000元； （3）销售单价定为100元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【解析】 【分析】（1）根据题意销售单价每降1元，则每月可多销售5件，即可写出y与x的函数关系式； （2）根据销售问题公式：销售利润=单件利润×销售量即可列出二次函数解析式，再根据二次函数的顶点式即可求解； （3）根据（2）所列函数解析式，把w=5500+500代入即可求解． 【小问1详解】 由题意可得：； 【小问2详解】 由题意，得， w=（x-80）（-5x+800） =-5（x-120）2+8000， ∵-5＜0， ∴当x=120时，w有最大值，最大值为8000， ∴应降价140-120=20（元）． 答：当销售单价降低20元时，每月获得的利润最大，最大利润是8000元． 【小问3详解】 由题意，得， -5（x-120）2+8000=5500+500， 解得：x1=100，x2=140， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=120， ∴当100≤x≤140时，捐款后这款产品的每月销售利润不低于5500元， 而为了让顾客得到最大实惠，故x=100． 答：销售单价定为100元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题公式：销售利润=单件利润×销售量． 25. 已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是线段上方抛物线上的一个动点，连结、．设的面积为．点的横坐标为． ①试求关于的函数关系式； ②请说明当点运动到什么位置时，的面积有最大值？ ③过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①，②当m=3时，S有最大值，③点P的坐标为（4,6）或（，）． 【解析】 【分析】（1）由 ，则-12a=6，求得a即可； （2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D，先求出AB的表达式y=-x+6，设点 ，则点D（m，-m+6），然后再表示即可； ②由在中，＜0，故S有最大值； ③△PDE为等腰直角三角形，则PE=PD，然后再确定函数的对称轴、E点的横坐标，进一步可得|PE|=2m-4，即求得m即可确定P的坐标． 【详解】解：（1）由抛物线的表达式可化为， 则-12a=6，解得：a=， 故抛物线的表达式为：； （2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D， 由点A(0,6)、B的坐标可得直线AB的表达式为：y=-x+6， 设点 ，则点D（m，-m+6）， ∴； ②∵，＜0 ∴当m=3时，S有最大值； ③∵△PDE为等腰直角三角形， ∴PE=PD， ∵点，函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m， 则|PE|=2m-4， 即， 解得：m=4或-2或或（舍去-2和） 当m=4时，=6； 当m=时，=． 故点P的坐标为（4,6）或（，）． 【点睛】本题属于二次函数综合应用题，主要考查了一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等知识点，掌握并灵活应用所学知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $