精品解析：四川达州市渠县天关中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

四川省达州市渠县天关中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，9 D. 7，24，25 2. 下列实数中，最小的实数是（ ） A. 0 B. C. D. 3. 如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，．下列对于，，，四个点的表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是关于的一次函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 一个直角三角形一条直角边长为5，斜边长为13，则另一条直角边的长为 （ ） A. 12 B. 8 C. D. 6. 已知点和关于轴对称，则的值为（    ） A. B. C. D. 7. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. △ABC的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足，则△ABC最长边上的高（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一个直角三角形的两边长为6和8，则这个三角形的最长边是____． 10. 如图，请你在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”的坐标为，则“馬”所在点的坐标为______． 11. 已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，则关于的方程的解是____________． 12. 如图所示，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1，的对应点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，则的算术平方根为______． 13. 如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答题要有必要的文字说明） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，分别根据下列条件进行求解． （1）若点P在过点且与x轴平行的直线上，求此时a的值； （2）若点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点P的坐标． 16. 一个正数的两个平方根分别是和；且． （1）求； （2）求的平方根． 17. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，的垂直平分线交于点D，交于点C． （1）求点C的坐标； （2）求线段的长度． 18. 如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒． （1）出发秒后，求线段的长； （2）当为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使为等腰三角形的运动时间． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 20. 若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为_______ ． 21. 我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 22. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是___________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答题要有必要的文字说明） 24. 观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）___________． （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式 ． （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 25. 如图，在直角中，，，将绕B点逆时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． （1）如图，若P点为射线与线段交点时， ①求的度数； ②证明：； （2）当时，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线经过y轴负半轴上的点C，且． （1）求直线的函数表达式； （2）直线向上平移9个单位，平移后的直线与直线交于点D，连结，求面积； （3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为x轴上的一点，直线上是否存在点N（不与点D重合），使以点E，M，N为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县天关中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，9 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义判断即可； 【详解】解；A.,不是勾股数，不符合题意； B.不是勾股数，不符合题意； C. 不是勾股数，不符合题意； D. 是勾股数，符合题意； 故选择：D 【点睛】本题主要考查勾股数，解答此题要用勾股数组的定义，如果是正整数，且，那么，叫做一组勾股数． 2. 下列实数中，最小的实数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的比较大小，求一个数的算术平方根，熟练掌握实数的比较大小是解题的关键．先计算，即可得到答案． 【详解】解：， ， 最小的实数是． 故选：C． 3. 如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，．下列对于，，，四个点的表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用有序数对确定位置，首先根据点，的表示方法可知，有序数对的第一个数代表目标在第几个圆圈上，第二个数代表对应的角的度数；根据有序数对的确定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．，故原表示不正确； B．，故原表示不正确； C．，故原表示不正确； D．，正确． 故选D． 4. 若函数是关于的一次函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】∵函数是一次函数， ∴且， 解得． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的定义，一次函数的定义条件是：为常数，，自变量次数为1． 5. 一个直角三角形一条直角边长为5，斜边长为13，则另一条直角边的长为 （ ） A. 12 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵直角三角形一条直角边长为5，斜边长为13， ∴另一条直角边长为：． 6. 已知点和关于轴对称，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征求的值，代入计算乘方即可． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， ，， ． 7. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质．由中知随的增大而增大即可判断与的大小关系． 【详解】一次函数中， 随的增大而增大 ，中， ． 故选：C． 8. △ABC的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足，则△ABC最长边上的高（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且为斜边长，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：， ， 解得， ， 是直角三角形，且为斜边长， ，即， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一个直角三角形的两边长为6和8，则这个三角形的最长边是____． 【答案】或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①6是直角边，8是斜边，最长边为斜边8；②6、8均为直角边，可根据勾股定理求出斜边的长，斜边即为最长边． 本题考查了勾股定理的应用，解题关键是分类讨论以及明确直角三角形中斜边最长，且斜边的平方等于两个直角边的平方和． 【详解】解：①长为6的边是直角边，长为8的边是斜边时，最长边即为斜边8； ②长为6、8的边都是直角边时： 第三边的长为：， 此时，三角形的最长边为， 综上，三角形的最长边为8或． 故答案为：或． 10. 如图，请你在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”的坐标为，则“馬”所在点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“馬”的坐标． 【详解】解：如图所示：可得“炮”是原点， 则“馬”位于点． 故答案为：． 11. 已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，则关于的方程的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象与轴交点的横坐标是方程的解，即可得出答案． 【详解】∵一次函数的图象与轴相交于点， ∴方程的解是． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了图象法解一元一次方程，熟练掌握一次函数图象与轴交点的横坐标是方程的解，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 12. 如图所示，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1，的对应点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，则的算术平方根为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据点B到点A的距离为可得点C表示的数为，代入计算，即可求解． 本题考查了数轴与实数的对应关系，数轴上两点之间距离的计算，算术平方根的计算，正确地理解题意是解题的关键． 【详解】解：设点C所表示的数为x， 根据题意得， ， 的算术平方根为1， 故答案为：1 13. 如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：60． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答题要有必要的文字说明） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 15. 在平面直角坐标系中，已知点，分别根据下列条件进行求解． （1）若点P在过点且与x轴平行的直线上，求此时a的值； （2）若点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】（1）a的值为2 （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，点到坐标轴的距离． （1）由点在过点且与x轴平行的直线上，可得，再进一步求解即可． （2）由点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，可得，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在过点且与x轴平行的直线上， ∴， ∴． ∴此时a的值为2． 【小问2详解】 解：∵点P到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 16. 一个正数的两个平方根分别是和；且． （1）求； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值； （）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， 代入， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 17. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，的垂直平分线交于点D，交于点C． （1）求点C的坐标； （2）求线段的长度． 【答案】（1）点C的坐标为 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，涉及一次函数图象上点的坐标特征、垂直平分线的性质、勾股定理．运用方程思想，借助垂直平分线性质得到线段相等关系，结合勾股定理构建方程求解．解题关键是利用垂直平分线性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）与勾股定理建立联系．易错点为勾股定理计算易出错，或对垂直平分线性质应用不熟练，导致找不准线段等量关系． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征，求出A、B坐标；再利用垂直平分线性质，设C坐标，结合勾股定理在中列方程，求出C坐标； （2）用勾股定理求长，由垂直平分线性质得长；最后在中，用勾股定理求出长． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， ∴点，点． 连接，设点C坐标， ， ． 又是垂直平分线， 中，即， 解得． ∴点C的坐标为． 【小问2详解】 解：， 在中，， ． ． 在中，， 即的长为． 18. 如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒． （1）出发秒后，求线段的长； （2）当为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2） （3）秒，秒，秒 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，，再根据勾股定理求解即可； （2）由等腰三角形的定义结合勾股定理可列出关于的等式，解之即可； （3）分类讨论：①当时，②当时和③当时分别求解即可． 【小问1详解】 解：出发秒后，，， ∴； 【小问2详解】 解：当是等腰三角形时，只存在， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：分类讨论：①当时，如图， 则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴秒； ②当时，如图， ∵， ∴， 解得：秒； ③当时，过点作于点，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒． 综上可知当秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，勾股定理，一元一次方程的实际应用，等积法的应用等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的直线上的点的横坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的下边与上边两种情况求出点的纵坐标，即可得解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为，， ∴点在点的下边时，纵坐标为， 点在点的上边时，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 20. 若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，得出是解题的关键． 设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出的长，再结合直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴m的值为． 故答案为：． 21. 我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 22. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B′， ∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm， 根据两点之间线段最短，AB′==10cm． 故答案为：10 23. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可知，点的坐标每6次移动为一个循环周期，横坐标每经过一个周期增加，纵坐标按循环，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可得前几个点的坐标为： 观察发现，点的坐标变化以为周期，且每经过个点，横坐标增加， ， 点的纵坐标与相同，为， 点的横坐标为，且每经过一个周期横坐标增加， 点的横坐标为， 点的坐标是． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答题要有必要的文字说明） 24. 观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）___________． （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式 ． （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【小问1详解】 解：① ； ② ； ③ ， 故． 故答案为： ． 【小问2详解】 解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． 【小问3详解】 解：． 25. 如图，在直角中，，，将绕B点逆时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． （1）如图，若P点为射线与线段交点时， ①求的度数； ②证明：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）； 证明：延长至H，使，连接、 ， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）或 【解析】 【分析】（1）①如图所示，延长到点G使，连接，证明，得到是等边三角形，得，，，，故和都是等腰三角形，得，故； ②延长至H，使，连接、．由，得，，，设，得，，故，由，得，，故； （2）根据题意分两种情况讨论，当旋转角为时，过A作由，，得，故，，故为等腰直角三角形，得到，由旋转得，故为等腰直角三角形，得，，勾股定理得，故，当旋转角为时，同理求解即可． 【小问1详解】 ①解：如图所示，延长到点G使，连接 ，， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ 由旋转的性质得 ，， 和都是等腰三角形， ， ； ②略 【小问2详解】 如图所示，当旋转角为时，过A作， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ； 如图所示，当旋转角为时，过A作， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转， 为等腰直角三角形， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识， 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线经过y轴负半轴上的点C，且． （1）求直线的函数表达式； （2）直线向上平移9个单位，平移后的直线与直线交于点D，连结，求面积； （3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为x轴上的一点，直线上是否存在点N（不与点D重合），使以点E，M，N为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由点B的坐标可求得m的值，然后根据直线的解析式可以求得A的坐标，再结合得到C的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据直线的平移规律得到直线的解析式，从而求得D的坐标，然后根据即可求解； （3）先根据直线的解析式求出点E，根据勾股定理以及平行四边形的性质，分三种情况可得到点N的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 得到， ∴直线， 令，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 【小问2详解】 解：∵直线向上平移9个单位， ∴直线的解析式为， ∵平移后的直线与直线交于点D， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴ = =； 【小问3详解】 解：∵直线：与x轴交于点E， ∴点， ∴， 当时，过点N作x轴的垂线交x轴于一点F，如图所示： 设， 则，， 在中，， 即， 解得， ∴或； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴点E为的中点， ∵，， ∴， 综上，存在，此时点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像的平移、平面直角坐标系中求图形的面积、求两直线交点坐标，分类讨论，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $