第二十六章二次函数 单元复习易错题专项训练（一）2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十六章 二次函数 易错题专项训练（一） 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于的函数中，一定是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.抛物线的开口向下，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.二次函数的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.若，点，，都在抛物线上，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】 解：抛物线的对称轴为轴，且开口向上， 在对称轴的左侧，随的增大而减小，， ， ． 5.将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，那么得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  6.二次函数的与的部分对应值如下表： 则的值是      ． A. B. C. D. 【答案】C  7.根据下表中自变量与函数值的对应关系，可判断二次函数的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  8.已知某学校航模小组制作设计的火箭的升空高度与飞行时间满足关系式，则下列说法正确的是(    ) A. 点火后和点火后升空高度相同 B. 点火后火箭落于地面 C. 点火后高度开始下降 D. 火箭升空最大高度为 【答案】D  9.已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  10.抛物线上有一动点，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知与的函数解析式满足下列条件：它的图象经过点当时，随的增大而减小写出一个符合条件的二次函数解析式：          ． 【答案】答案不唯一  12.用配方法将二次函数写成的形式是          ． 【答案】  13.已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为          填“”“”或“”． 【答案】  14.关于的二次函数在平面直角坐标系中的图象经过原点，则的值为          ． 【答案】  15.二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是          ． 【答案】且  16.廊桥是我国古老的文化遗产，某座抛物线形的廊桥示意图如图所示已知抛物线的函数解析式为，为保护廊桥的安全，在桥拱上距离水面的点，处要安装两盏警示灯，这两盏警示灯的水平距离是           【答案】  三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数． 求该函数图象与轴的交点坐标； 指出该函数图象如何平移后得到的函数图象的顶点是原点． 【答案】 (1) 解：令，得， 解得，. ∴该函数图象与x轴的交点坐标为和. (2)， ∴该函数图象的顶点坐标为，将该函数图象先向左平移2个单位长度， 再向上平移1个单位长度，得到的函数图象的顶点是原点.  18.本小题分 已知抛物线． 将化成的形式 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】 (1) 将y=-+4x+7整理, 得y=-(-4x+4)+4+7, y=-+. (2)y=-+11,a=-1<0, 抛物线开口向下,对称轴为x=2,顶点坐标为(). 19.本小题分 猕猴桃是西安的特色水果在销售旺季，某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价元箱与第周之间满足二次函数关系：；调查发现，第周时，售价为元箱；第周时，售价为元箱销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降． 求与之间的函数关系式，并求第周时，售价是多少． 若该段时间内每周猕猴桃的进价元箱与第周之间满足关系式，且平均每周销售箱，则该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？ 【答案】 (1)解：把，代入，得 解得 . 当时，. 第4周时，售价为28元/箱. (2)解：设第周的总利润为元.由题意，得 ， 当时，取最大值1800. 该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元. 20.本小题10分 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． 直接写出，，三点的坐标 是第四象限内抛物线上的一点，连接分别交，于，两点，若，求直线的解析式． 【答案】 (1) 解：A(-),B(),C(0,-3);  (2)过点B作AD的平行线交y轴于点G, FEC=GBC. FEC=FCE, FCE=GBC, CG=BG. 设OG=x,则CG=x+3, BG=CG=x+3. 在RtOGB中,+=, 即+=,解得x=, G(0,). B(6,0),G(0,), BG的解析式为y=-x+. ADBG, 设直线AD的解析式为y=-x+b. 把点A(-2,0)代入y=-x+b,得b=-, 直线AD的解析式为y=-x-.   21.本小题12分 某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体箱子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球，建立如图所示的平面直角坐标系长方形为箱子截面图轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，，小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面高的处抛出，即点的坐标为，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明的水平距离为时，达到最大高度． 求抛物线对应的函数解析式 判断小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明理由． 【答案】 (1)依题意,得P(),抛物线的顶点为(). 设抛物线对应的函数解析式为y=a+. 抛物线 y=a+2经过点P(), =a+. 解得a=-. 抛物线对应的函数解析式为 y=-+. (2)能.理由如下: 在y=-+2中, 当x=2时,y=>. 当y=0时,-+2=. 解得=-1(不合题意,舍去),=. 乒乓球在运行中,高于AB,并落在BC的中点处. 小明抛出的乒乓球能投入箱子. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学单元自测（人教版专用） 第二十六章二次函数易错题专项训练（一） 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是() A.y=(a+2)x2+1 By=2+1 C.y=(x+2)(x+1)-x2 D.y=2x2+3x 【答案】D 2.抛物线y=(1-m)xm2-2+2的开口向下，则m的值为() A.4 B.±2 C.2 D.-2 【答案】C 3.二次函数y=(&+1)2+3的顶点坐标为() A.(1,3) B.（-1,3) C.(1,-3) D.(-1,-3) 【答案】B 4.若a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在抛物线y=2x2-1上，则() A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 【答案】C 【解析】 解：抛物线y=2x2-1的对称轴为y轴，且开口向上， 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，a<-1, a-1<a<a+1<0, y3<y2<y1: 5将抛物线y=3x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，那么得到的抛物线的解析式为() A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3 D.y=3(&-2)2-3 【答案】A 1/7 6.二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表： -101234 ym212510 则m的值是( A.1 B.2 C.5 D.10 【答案】C 7.根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数y=x2+bx+c的解析式为() 0 2 A.y=x2+3x+5 B.y=x2+3x-5 C.y=-x2+3x-5 D.y=-x2-3x-5 【答案】B 8.已知某学校航模小组制作设计的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足关系式h=-t2+24t+1,则下列 说法正确的是() A.点火后9s和点火后13s升空高度相同 B.点火后24s火箭落于地面 C.点火后10s高度开始下降 D.火箭升空最大高度为145m 【答案】D 9.己知二次函数y=x2-3x+c的图象与x轴有交点，则c的取值范围是() Ac≤号 B.c<g C.c24 D.c 【答案】A 10.抛物线y=x2-2x-3上有一动点p(a,b),若0≤a≤5， 则b的取值范围是() A.-3≤b≤12 B.-4≤b≤12 C.0≤b≤12 D.-4≤b≤0 【答案】B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.己知y与x的函数解析式满足下列条件：①它的图象经过点(0,0)；②当x>1时，y随x的增大而减小 写出一个符合条件的二次函数解析式：一· 2/7 【答案】y=-x2/答案不唯一 12.用配方法将二次函数y=4x2-24x+26写成y=a(x-h)2+k的形式是 【答案】y=4x-3)2-10 13.已知点A(-1,y1),B(-4,y)在二次函数y=-2(x+3)2-1的图象上，则y1与y2的大小关系为 y1y3(填>“<”或=). 【答案】< 14.关于x的二次函数y=(a-3)x2+bx+a2-9在平面直角坐标系中的图象经过原点，则a的值为 【答案】-3 15.二次函数y=kx2-4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 【答案】k≤2且k≠0 16.廊桥是我国古老的文化遗产，某座抛物线形的廊桥示意图如图所示.己知抛物线的函数解析式为y=- 六x2+10,为保护廊桥的安全，在桥拱上距离水面AB6m的点E,F处要安装两盏警示灯，这两盏骛示灯 的水平距离EF是 m 【答案】8√10 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 己知二次函数y=x2-4x+3 (1)求该函数图象与x轴的交点坐标： (2)指出该函数图象如何平移后得到的函数图象的顶点是原点. 【答案】 (1)解：令y=0,得x2-4x+3=0, 解得x1=1,2=3 ∴.该函数图象与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0). (2y=x2-48+3=(x-2)2-1, 该函数图象的顶点坐标为(2，-1)，将该函数图象先向左平移2个单位长度， 3/7 再向上平移1个单位长度，得到的函数图象的顶点是原点 18.(本小题10分) 己知抛物线y=-x2+4x+7. (1)将y=-x2+4x+7化成y=a(区-h)2+k的形式， (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和项点坐标。 【答案】 (1)将y=-x2+4x+7整理， 得y=-(x2-4x+4)t4+7, y=-(K-2)2+11 (2)y=-(&-2)2+11,a=-1<0, 抛物线开口向下，对称轴为x=2,顶点坐标为(2,11)， 19.(本小题10分) 猕猴桃是西安的特色水果在销售旺季，某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内， 猕猴桃的每周售价y(元/箱)与第x周之间满足二次函数关系：y=ax2+bx+28(a≠0)：调查发现，第2周时， 售价y为32元/箱；第5周时，售价y为23元/箱（销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量 的增多售价逐渐下降)， (1)求y与x之间的函数关系式，并求第4周时，售价是多少. (2)若该段时间内每周猕猴桃的进价s(元/箱)与第x周之间满足关系式s=一2x+25,且平均每周销售150箱， 则该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？ 【答案】 (1)解：把(2,32)，(5,23)代入y=ax2+bx+28,得 4a+2b+28=32, 25a+5b+28=23, 解6 y=-x2+4x+28. 当x=4时，y=-16+16+28=28. ∴第4周时，售价为28元/箱 (2)解：设第x周的总利润为w元.由题意，得 w=150y-s)=150[-x2+4x+28-(-2x+25)]=150(-x2+6x+3)=-150(x-3)2+1800 -150<0, 4/7 当x=3时，w取最大值1800. ∴该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元 20.(本小题10分) 如图，抛物线y=x2-x-3交x轴于A,B两点，交y轴于点C. B (I)直接写出A,B,C三点的坐标： (2)D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD分别交BC,OC于E,F两点，若∠FEC=∠FCE,求直线AD 的解析式 【答案】 (1)解：A(-2,0),B(6,0),C(0,-3: (2)过点B作AD的平行线交y轴于点G, ·.LFEC=LGBC ,∠FEC=∠FCE ∴.∠FCE=∠GBC, .CG-BG. 设OGX,则CGx+3, :BG-CG-x+3 在Rt△OGB中，OG2+OB2=BG2 即x2+62-+3y,解得x号 00,3 B(60,G0, BG的解析式为y=子+号 .AD//BG, 517 设直线AD的解析式为y=xb, 把点A2,0)代入y+b,得b号 直线AD的解析式为y号 B x D 21.(本小题12分) 某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体箱子放在水平地面上，从箱外向箱内投 乒乓球，建立如图所示的平面直角坐标系（长方形ABCD为箱子截面图x轴经过箱子底面中心，并与其一组 对边平行，AB=CD=1m,OB=BC=2m).小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5m高的P处抛出， 即点P的坐标为(O,1.5),乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明的水平距离为1m时，达到最大高度2m. y/m 0 B C x/m (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)判断小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明理由. 【答案】 (1)依题意，得P(0,1.5),抛物线的顶点为(1,2)， 设抛物线对应的函数解析式为y=a(区-1)2+2 抛物线y=a(x-1)+2经过点P(0,1.5), ∴1.5=at2. 解得a=0.5. 抛物线对应的函数解析式为y=-0.5(8-1)2+2 (2)能.理由如下： 在y=-0.5x-1)2+2中， 617 当x=2时，y=1.5>1. 当y=0时，-0.5(x-1)2+2=0. 解得x1一1（不合题意，舍去），x2=3. 乒乓球在运行中，高于AB,并落在BC的中点处 小明抛出的乒乓球能投入箱子 7/72026-2027学年九年级上册数学单元自测（人教版专用） 第二十六章二次函数易错题专项训练（一) 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是( A.y=(a+2)x2+1 By=+1 C.y=(x+2)&+1)-x2 D.y=2x2+3x 2.抛物线y=(1-m)xm2-2+2的开口向下，则m的值为( ) A.4 B.±2 C.2 D.-2 3.二次函数y=(区+1)2+3的顶点坐标为( A.(1,3) B.（-1,3) C.(1,-3) D.(-1,-3) 4.若a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在抛物线y=2x2-1上，则() A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 5.将抛物线y=3x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，那么得到的抛物线的解析式为( ) A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3 D.y=3(x-2)2-3 6.二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表： -101234 ym212510 则m的值是( A.1 B.2 C.5 D.10 7.根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数y=x2+bx+c的解析式为( -1 0 1 2 -7 -5 -1 A.y=x2+3x+5 B.y=x2+3x-5 C.y=-x2+3x-5 D.y=-x2-3x-5 1/4 8.已知某学校航模小组制作设计的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足关系式h=-tP+24t+1,则下列 说法正确的是( ) A.点火后9s和点火后13s升空高度相同 B.点火后24s火箭落于地面 C.点火后10s高度开始下降 D.火箭升空最大高度为145m 9.已知二次函数y=x2-3x+c的图象与x轴有交点，则c的取值范围是( A.c B.c<2 c.c≥ D.ex 10.抛物线y=x2-2x-3上有一动点p(a,b),若0≤a≤5，则b的取值范围是( A.-3≤b≤12 B.-4≤b≤12 C.0≤b≤12 D.-4≤b≤0 第IⅡ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.己知y与x的函数解析式满足下列条件：①它的图象经过点(0,0)；②当x>1时，y随x的增大而减小 写出一个符合条件的二次函数解析式： 12.用配方法将二次函数y=4x2-24x+26写成y=a(x-h)2+k的形式是 13.己知点A(-1,y1),B(-4,y)在二次函数y=-2x+3)2-1的图象上，则y1与y2的大小关系为 y1y2(填>6<'或=). 14.关于x的二次函数y=(a-3)x2+bx+a2-9在平面直角坐标系中的图象经过原点，则a的值为 15.二次函数y=kx2-4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 16.廊桥是我国古老的文化遗产，某座抛物线形的廊桥示意图如图所示.已知抛物线的函数解析式为y=- x+10,为保护廊桥的安全，在桥拱上距离水面AB6m的点E,F处要安装两盏警示灯，这两盏警示灯 的水平距离EF是m. B x 2/4 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)已知二次函数y=x2-4k+3. (1)求该函数图象与x轴的交点坐标： (2)指出该函数图象如何平移后得到的函数图象的顶点是原点. 18.(本小题10分)已知抛物线y=-x2+4x+7. (1)将y=-x2+4x+7化成y=a(x-h)2+k的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 19.(本小题10分)猕猴桃是西安的特色水果.在销售旺季，某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现， 在一段时间内，猕猴桃的每周售价y(元/箱)与第x周之间满足二次函数关系：y=ax2+bx+28(a≠0)：调查 发现，第2周时，售价y为32元/箱；第5周时，售价y为23元/箱（销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销 售中后期由于产量的增多售价逐渐下降)， (1)求y与x之间的函数关系式，并求第4周时，售价是多少. (2)若该段时间内每周猕猴桃的进价$（元/箱与第×周之间满足关系式s=一2x+25,且平均每周销售150箱， 则该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？ 3/4 20.(体小题10分)如图，抛物线y=x2-x-3交x轴于A,B两点，交y轴于点C. (1)直接写出A,B,C三点的坐标； (2)D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD分别交BC,OC于E,F两点，若∠FEC=∠FCE,求直线AD 的解析式 21.(本小题12分)某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体箱子放在水平地面上， 从箱外向箱内投乒乓球，建立如图所示的平面直角坐标系（长方形ABCD为箱子截面图.x轴经过箱子底面中 心，并与其一组对边平行，AB=CD=1m,OB=BC=2m).小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5m 高的P处抛出，即点P的坐标为(0,1.5)，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明的水平距离为1m时， 达到最大高度2m. y/m (1)求抛物线对应的函数解析式： (2)判断小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明理由. D 0 B x/m 4/4 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十六章 二次函数 易错题专项训练（一） 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于的函数中，一定是二次函数的是(     ) A. B. C. D. 2.抛物线的开口向下，则的值为(     ) A. B. C. D. 3.二次函数的顶点坐标为(     ) A. B. C. D. 4.若，点，，都在抛物线上，则(     ) A. B. C. D. 5.将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，那么得到的抛物线的解析式为(     ) A. B. C. D. 6.二次函数的与的部分对应值如下表： 则的值是      ． A. B. C. D. 7.根据下表中自变量与函数值的对应关系，可判断二次函数的解析式为(     ) A. B. C. D. 8.已知某学校航模小组制作设计的火箭的升空高度与飞行时间满足关系式，则下列说法正确的是(     ) A. 点火后和点火后升空高度相同 B. 点火后火箭落于地面 C. 点火后高度开始下降 D. 火箭升空最大高度为 9.已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 10.抛物线上有一动点，若，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知与的函数解析式满足下列条件：它的图象经过点当时，随的增大而减小写出一个符合条件的二次函数解析式：           ． 12.用配方法将二次函数写成的形式是           ． 13.已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为          填“”“”或“”． 14.关于的二次函数在平面直角坐标系中的图象经过原点，则的值为          ． 15.二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是          ． 16.廊桥是我国古老的文化遗产，某座抛物线形的廊桥示意图如图所示已知抛物线的函数解析式为，为保护廊桥的安全，在桥拱上距离水面的点，处要安装两盏警示灯，这两盏警示灯的水平距离是           三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分已知二次函数． 求该函数图象与轴的交点坐标； 指出该函数图象如何平移后得到的函数图象的顶点是原点． 18.本小题分已知抛物线． 将化成的形式 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 19.本小题分猕猴桃是西安的特色水果在销售旺季，某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价元箱与第周之间满足二次函数关系：；调查发现，第周时，售价为元箱；第周时，售价为元箱销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降． 求与之间的函数关系式，并求第周时，售价是多少． 若该段时间内每周猕猴桃的进价元箱与第周之间满足关系式，且平均每周销售箱，则该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？ 20.本小题分如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． 直接写出，，三点的坐标 是第四象限内抛物线上的一点，连接分别交，于，两点，若，求直线的解析式． 21.本小题分某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体箱子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球，建立如图所示的平面直角坐标系长方形为箱子截面图轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，，小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面高的处抛出，即点的坐标为，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明的水平距离为时，达到最大高度． 求抛物线对应的函数解析式 判断小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $