1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年 1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题

高中数学人教A版选择性必修 第一册- 教学设计

一、【教学内容解析】

本节内容选自《普通高中教科书·数学（人教A版）选择性必修第一册》第一章“空间向量与立体几何”，是1.4节“空间向量的应用”中的1.4.2“用空间向量研究距离、夹角问题”。在1.4.1节用空间向量研究直线、平面的位置关系之后，本节进一步用向量方法解决立体几何中两类基本的度量问题——距离与夹角，是全章向量知识的综合应用，也是“用代数运算研究几何问题”这一思想的集中体现。

距离问题重点研究点到直线的距离与点到平面的距离：前者把垂线段长转化为连线向量与单位方向向量的投影运算，后者通过连线向量在法向量方向上的投影直接计算。夹角问题重点研究两条异面直线所成的角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角，共同思路是把空间角转化为两个向量的夹角，再用数量积求出。两类问题的核心工具都是直线的方向向量与平面的法向量。

从高考角度看，空间角与距离是立体几何解答题的常考内容，向量法以其程序化、可操作的特点成为解决此类问题的主要方法。学好本节内容，既能帮助学生形成规范求解空间度量问题的能力，也能为后续解析几何学习中“以数化形”的思想方法奠定基础。

二、【教学目标设置】

依据课程标准对本节内容的要求，结合数学学科核心素养的培育目标，制定如下教学目标：

1．经历用向量方法推导点到直线的距离、点到平面的距离公式的过程，理解公式的几何意义，能选择恰当的向量工具计算距离，发展数学运算与逻辑推理素养。

2．掌握两条异面直线所成角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角的向量求法，能建立空间直角坐标系，把空间角问题转化为向量夹角问题并规范表达，发展直观想象素养。

3．在真实情境的抽象与问题的解决过程中，体会化归与转化的思想，感受向量法“以算代找”的优势，激发学习兴趣，增强应用意识与创新意识。

三、【学生学情分析】

学生已经掌握空间向量的线性运算与数量积运算（1.1、1.2节），会建立空间直角坐标系并用坐标表示向量、计算向量的模与夹角（1.3节）；在1.4.1节中认识了直线的方向向量与平面的法向量，会用坐标法求方向向量与法向量，并研究了空间中直线、平面的平行与垂直。这为本节学习奠定了较好的知识基础。

学生的困难主要有三：一是对“距离与夹角为什么能转化为向量运算”缺乏理性认识，容易机械记忆公式；二是三类角的公式容易混淆，特别是把直线与平面的夹角公式中的正弦误记为余弦；

三是向量的坐标运算还不够熟练，运算的准确性与速度有待提高。因此，公式的推导过程与三类夹角公式的辨析是本节教学的关键。

四、【教学策略分析】

本节课以“低空经济中无人机巡检高压输电线路”的真实情境为主线导入，把“无人机到导线的距离”“机身前进方向与导线的夹角”抽象为本节课要研究的两类数学问题，让学生带着明确的任务进入学习。

教学中采用“情境引入—合作探究—例题巩固—方法归纳”的路径：先由学生按操作步骤合作推导距离公式，经历“几何条件向量化、向量运算代数化、运算结果几何化”的完整过程；再通过梯度例题覆盖距离与夹角的各类情形，其中例3设置“几何平移法与向量坐标法”的一题两解对比探究，让学生在比较中体会向量法的程序化优势；最后以动态最值问题实现能力提升。全程注重学生独立思考、板演展示与互评纠错，落实“学生为主体、教师为主导”。

五、【教学过程】

（一）创设情境、明确目标

情境导入：当前低空经济蓬勃发展，无人机电力巡检已成为电网运维的常规作业方式。巡检作业中，无人机悬停在高压输电导线附近的指定位置，机载系统需要实时回答两个问题：一是无人机到导线的距离是多少，以便保持安全距离；二是机身前进方向与导线的夹角是多少，以便规划巡航航线。

问题1：怎样求空间中一点到一条直线的距离？

问题2：空间中两条不相交的直线，它们的夹角怎样刻画？

教师引导：在1.4.1节中，我们用方向向量与法向量刻画了空间中的位置关系。今天我们继续沿用这一工具，研究距离与夹角这两类度量问题。

知识梳理：

①直线的方向向量：与直线平行的非零向量；平面的法向量：与平面垂直的非零向量。求法通常是建立空间直角坐标系，设出坐标并列出垂直（或平行）条件求解。

②空间向量的数量积：；向量夹角的取值范围是。

③本节各类问题的向量化路径如表1所示。

研究问题	向量化思路
点到直线的距离	求出点A与直线上一点Q的连线向量，利用在直线方向上的投影
点到平面的距离	求出连线向量与法向量，利用在方向上的投影
两条异面直线所成的角	分别取两条直线的方向向量与，转化为向量夹角

直线与平面的夹角	取直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量夹角后取其正弦
平面与平面的夹角	分别取两个平面的法向量与，转化为向量夹角

表1　距离与夹角问题的向量化路径

合作探究一（推导点到直线的距离公式）　　活动操作步骤：

①如图1，画出直线、直线外一点A、直线上一点Q与垂足H，并标出单位方向向量；

②把垂线段对应的向量用与表示出来；

③对所得等式两边取模并平方，整理出距离d的公式。

推导过程：因为，所以。又，其中与共线，可设。两边同时与作数量积，得，于是。两边取模并平方，得，即点到直线的距离为：

其中为直线的单位方向向量。

思考：若不是单位向量，公式应如何修正？（学生讨论后归纳：此时连线向量在直线方向上的投影长度为，故一般公式为：

图1　点到直线的距离

例1　已知正方体的棱长为2，以D为原点，DA、DC、DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求点A到直线的距离。

解析过程：

第一步（写坐标）：由题设得。

第二步（取向量）：取直线的一个方向向量，则；取点Q为，连线向量，则。