1.4.1 充分条件与必要条件教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课题

1.4.1 充分条件与必要条件（第1课时）

教材版本

人教A版《普通高中教科书·数学·必修第一册》

所属章节

第一章 集合与常用逻辑用语

课型

新授课

课时安排

1课时（45分钟）

授课年级

高一年级

学科

数学

教学环节

教师活动

学生活动

环节一　情境导入（约5分钟）

【情境创设】学校本周举办校园科技节，入馆参观实行预约制，馆规写着："只有持预约码的观众，方可进入科技馆参观。"李明没有预约却被拦在馆外，他不服气地说："我的数学成绩全班第一，

阅读情境，思考并回答两个问题；同桌交流"少了行不行""有了够不够"的判断结果，初步感

为什么不能进？"工作人员微笑着摇了摇头。

问题1：工作人员拦下李明有道理吗？"持预约码"与"进入科技馆参观"之间是什么关系？

问题2：再来看一个判断——"如果明天台风登陆我市，那么学校停课"。"台风登陆"是"学校停课"必不可少的条件吗？

【引导】教师引导学生借助两个通俗标准展开讨论：少了行不行？——指向"必不可少"；有了够不够？——指向"足够保证"。并把这两个标准写在黑板一角，留给新课使用。

【学生预设】学生能直观感受到"没有预约码一定进不去"，但难以用准确的数学语言说清"必不可少"与"足够"的区别；教师此时不急于给出定义，只把两种感受对应板书，形成认知悬念。

【设计意图】以学生身边的科技节预约制情境切入，用两个通俗标准分别指向"必要"与"充分"，为概念的抽象概括积累直观经验，激发学习兴趣。

受"必不可少"与"足够保证"两种不同的条件关系。

环节二　新知探究一：从命题真假到推出关系（约15分钟）

1.复习铺垫：能判断真假的陈述句叫做命题。考察"若p，则q"形式的命题时，条件p与结论q之间最重要的联系就是：由p能否推出q。

2.规定符号：若命题"若p，则q"为真命题，即由p可以推出q，记作；若由p不能推出q，记作。

3.实例辨析：判断下列命题的真假，并思考条件与结论之间的关系：

命题①：若x>1，则x>0；命题②：若四边形是正方形，则它的对角线互相垂直；

命题③：若x=1，则；命题④：若a>b，则。

4.概念生成：命题①②③都是真命题，都有。这时我们说：p是q的充分条件，q是p的必要条件。

用导入中的两个标准解读：有了p，q就一定成立——p"足够保证"q成立，所以p是q的充分条件；q不成立时p必不成立——q是p成立"必不可少"的条件，所以q是p的必要条件。

命题④是假命题（当c=0时，），即，此时p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件。可见，判断条件关系的根基是命题的真假。

5.回扣导入："持预约码"是"入馆参观"的必要条件——缺少它

独立判断四个命题的真假，尝试用符号语言表述判断结果；在概念生成环节用自己的话复述"充分""必要"的含义；独立完成例1后小组互评，纠正表述中方向颠倒的问题。

一定不行，但有了它还须通过安检，未必立刻参观；"台风登陆"是"学校停课"的充分条件。

6.例1（当堂示范）：指出下列命题中，p是q的充分条件还是必要条件，并说明理由：

（1）p：x=3，q：。

（2）p：两个三角形全等，q：这两个三角形的面积相等。

（3）p：x>5，q：x>1。

【解析】（1）当x=3时，成立，即，故p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）全等三角形的对应边相等，所以面积相等，，故p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（3）当x>5时，显然有x>1，，故p是q的充分条件；反过来，当x=2时满足x>1，但x>5不成立，即。不过这并不影响"q是p的必要条件"——只要"x>5不成立时x>1必不成立"这一层必不可少的关系成立即可。

【设计意图】从真命题的共性中抽象出概念，落实数学抽象；借假命题④反衬"推出关系是判断的根基"，防止学生只背定义不看真假；例1逐题示范规范表述，突破"方向"难点。

环节三　新知探究二：用集合观点看条件关系（约12分钟）

1.探究问题：设，，当"若p，则q"是真命题时，集合A与集合B之间有什么关系？

引导学生分析：意味着所有使p成立的对象都使q成立，即集合A中的元素都在集合B中，故。由此得到判断条件关系的第二条路径——集合等价法。

【配图】如图1所示，用集合的包含关系直观呈现充分条件的几何意义：当表示条件p的集合A是表示结论q的集合B的子集时，"落在A中"足以保证"落在B中"。

完成探究并动手画出相应的Venn图；独立完成例2后与同桌核对；参与方向辨析活动，互编互评生活命题，体会"同一推出关系的两个侧面"。