3.1.1 函数的概念 同步课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第 3 章 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 人教A版2019必修第一册 目录 C A T A L O G 01.函数的概念 02.定义域、值域与区间 03.函数的定义域 04.函数值、值域与三要素 05.小结与随堂检测 导入新知 初中把函数说成两个变量之间的依赖关系：给定自变量的一个值，因变量就有唯一确定的值和它对应。 实例一　炮弹距地面的高度 对应关系由式子给出： 其中时间 。 实例二　空洞面积由图象给出。 实例三　恩格尔系数由表格给出。 共同点　每个时刻只对应一个高度。 三个实例的自变量取值范围本身就是数集，对应关系分别用式子、图象、表格给出。 3.1.1 函数的概念　·　导入与目标　·　03/48 学习目标 1．借助教材的三个实例，会用集合与对应的语言刻画函数，理解函数的定义。 2．理解定义域、值域与函数值的含义，理解区间的概念，会把连续实数集合用区间表示。 3．会求简单函数的定义域与函数值，能求简单函数的值域。 4．能按“任意、唯一”两条检验判断一个对应是否构成函数，会判断两个函数是否相同。 3.1.1 函数的概念　·　导入与目标　·　04/48 3.1.1 函数的概念 01 函数的概念 学习新知 三个实例涉及的数集与给出方式 实例 两个非空数集 对应关系由什么给出 一　炮弹高度 A={t｜0≤t≤26}，B={h｜0≤h≤845} 式子 二　空洞面积 A={t｜1979≤t≤2001}，B={S｜0≤S≤26} 图象 三　恩格尔系数 年份组成数集 A，系数值组成数集 B 表格 三个实例都涉及 两个 非空数集 与 。 按某种确定的对应关系， 中的每一个数在 中都有 唯一确定 的数和它对应。 变量说与对应说：依赖关系讲的是变化，集合与对应讲的是取值范围与唯一像。 3.1.1 函数的概念　·　函数的概念　·　06/48 学习新知 一般地，设 ， 都是 非空 的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ， 使对于集合 中的 任意 一个数 ，在集合 中都有 唯一 确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个 函数 。 记作 ， 。其中 叫做自变量， 叫做因变量。 两个关键词：“任意”——A 中每一个数都要有对应；“唯一”——对应的数只能有一个。 提醒：对应关系可以用式子、图象或表格给出，不局限于某一个式子；自变量与因变量都是数。 3.1.1 函数的概念　·　函数的概念　·　07/48 应用新知 判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由） (1) 设 ， ，把 中的 对应到满足 的数 。 这构成从 到 的函数。（　　） (2) 设 ， ，按对应关系 ， 构成从 到 的函数。（　　） （1）×。x=4 时 y=2 与 y=−2 都在 B 中，一个 x 对应两个 y，唯一性不成立。 （2）×。定义要求 A、B 都是非空实数集，A 为空集时这一前提不满足。 检验顺序：先看是不是非空数集，再看 A 中任意一个有没有对应，最后看对应得是否唯一。 3.1.1 函数的概念　·　函数的概念　·　08/48 例题精讲 考点：函数的判断（任意与唯一） 例 1　 设 ， ， 下列对应能构成从 到 的函数的是（　　） A． B． C． D． 满足 答案 C。每个 x 的像都在 B 中，且只有一个。 A：x=2 时 y=4 不属于 B，存在性检验不通过。 B：x=2 时 y=4 不属于 B，同样不通过。 D：x=1 时 y=1 与 y=−1 两个值，唯一性检验不通过。 3.1.1 函数的概念　·　函数的概念　·　09/48 变式训练 考点：函数的判断（任意与唯一） 变式 1　下列对应能否构成从集合 A 到集合 B 的函数？能的指出它的定义域与值域，不能的说清哪一条检验不通过。 (1) ， ， (2) ， ， (3) ， ， (4) ， ， (1) 能。定义域为 R，值域为 R。 (2) 不能。x=1 对应 1 与 −1，唯一性不成立。 (3) 能。定义域与值域都是 (0,+∞)，值域是 B 的真子集。 (4) 不能。x=0 时 y=0 不属于 B，存在性不成立。 3.1.1 函数的概念　·　函数的概念　·　10/48 方法归纳 考点：函数的判断（任意与唯一） ① 验非空：A、B 都要是非空数集，空集上的对应不是本节所说的函数。 ② 验任意：A 中每一个元素都要有对应，只要有一个落空就不是函数。 ③ 验唯一：一个 x 算出两个或两个以上的 y 就不是函数。 补充：B 中允许有元素没有原像，值域是 B 的子集；“多对一”可以，“一对多”不行。 3.1.1 函数的概念　·　函数的概念　·　11/48 3.1.1 函数的概念 02 定义域、值域与区间 学习新知 在定义中， 叫做 自变量 ； 的取值范围 叫做 定义域 。 与 的值相对应的 值叫做 函数值 ； 函数值的集合 叫做函数的 值域 ，它是 的 子集 。 实例一的记法：把对应关系写成 f(t)=130t−5t²。 于是 ， 。 提醒：f(x₀) 是一个常数，不是 f 与 x₀ 相乘。 看图：−2 与 2 都对应 4，“多对一”允许；B 中的 2、3、5、6 没有原像。 3.1.1 函数的概念　·　定义域、值域与区间　·　13/48 例题精讲 考点：用集合与对应的语言描述函数 例 2　一枚炮弹发射后经过 26 s 落到地面击中目标，射高为 845 m，炮弹距地面的高度 h（单位：m）随时间 t（单位：s）的变化规律是 h=130t−5t²。 求这个函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数。 定义域 ，即 值域 ，即 描述：对 A 中任意一个时刻 t，按对应关系在 B 中都有唯一确定的高度 h 和它对应，所以它是从 A 到 B 的一个函数。 3.1.1 函数的概念　·　定义域、值域与区间　·　14/48 变式训练 考点：实际问题中的定义域 变式 2　一个矩形的周长为 20，设它的一边长为 x，面积为 S。写出 S 关于 x 的对应关系，并指出这个函数的定义域。 另一边长为 ，所以 。 x 表示边长，必须 x>0； 另一边 10−x 也要大于 0，即 x<10。 定义域为 ，不是 。 提醒：实际问题中的函数，自变量还要符合实际意义；写成 R 就把没有实际意义的值也收了进来。 3.1.1 函数的概念　·　定义域、值域与区间　·　15/48 学习新知 设 ， 是两个实数，且 。 满足 的实数 的集合叫做 闭 区间，记作 ； 满足 的集合叫做 开 区间，记作 ； 只含一个端点的 与 叫做 半开半闭 区间。 读法：实心点表示端点取到，写方括号；空心圈表示端点取不到，写圆括号。 提醒：区间的左端点必须小于右端点，[3,1] 这样的写法本身不表示区间。 3.1.1 函数的概念　·　定义域、值域与区间　·　16/48 学习新知 读作正无穷大， 读作负无穷大，它们表示的是无限延伸，不是某个具体的数。 所以以无穷为一端的区间，在这一端一律写 圆括号 。 集合 名称 区间记号 {x｜x≥a}　{x｜x>a} 无穷区间 [a,+∞)　(a,+∞) {x｜x≤b}　{x｜x<b} 无穷区间 (−∞,b]　(−∞,b) 全体实数的集合 R 无穷区间 (−∞,+∞) 提醒：区间只表示连续的实数集合；{x｜x≠2} 要写成 (−∞,2)∪(2,+∞)。 3.1.1 函数的概念　·　定义域、值域与区间　·　17/48 例题精讲 考点：集合与区间的互译 例 3　用区间表示下列集合： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 (1) ；(2) (3) ；(4) 端点取到写方括号，取不到写圆括号；无穷一端一律圆括号。 说明：区间是集合的一种记号，不等式的解集与简单的连续实数集合都可以用区间表示。 3.1.1 函数的概念　·　定义域、值域与区间　·　18/48 变式训练 考点：集合与区间的互译 变式 3　 若区间 表示的集合存在，求实数 a 的取值范围。 区间表示的集合存在，须左端点小于右端点： ，各边减去 并加上 2： 解得 ，即 a 的取值范围为 。 易错：写成 a≤3 会把两端点重合的情形当成区间；只有一个点的集合应写成 {a}，不是 [a,a]。 3.1.1 函数的概念　·　定义域、值域与区间　·　19/48 3.1.1 函数的概念 03 函数的定义域 学习新知 若只给出对应关系 而不注明 的范围， 定义域就是指使这个式子 有意义 的实数的集合。 求定义域，就是把“有意义”翻译成不等式（组），再取 交集 。 式子结构 限制条件 例 整式 无限制，定义域为 R y=2x²−3x+1 分式 分母不等于零 含二次根号 被开方数大于或等于零 二次根号在分母上 被开方数大于零 提醒：几个条件必须同时成立，取交集，不能“或”起来。 3.1.1 函数的概念　·　函数的定义域　·　21/48 例题精讲 考点：求函数的定义域 例 4　 已知函数 (1) 求函数的定义域（用区间表示）。 二次根号： ，即 ； 分母： ，即 。 取交集，定义域为 数轴上 −3 处实心、−2 处空心：−2 使分母为零，必须挖去。 3.1.1 函数的概念　·　函数的定义域　·　22/48 变式训练 考点：求函数的定义域 变式 4　求下列函数的定义域（用区间表示）： (1) (2) (1) 由 得 ，由 得 ； (2) 由 得 ，由 得 。 (1) ； (2) 。 零次幂的底数不等于零，与二次根号在被开方数上的“大于零”要同时列出。 3.1.1 函数的概念　·　函数的定义域　·　23/48 方法归纳 考点：求函数的定义域 ① 列条件：分式看分母，二次根号看被开方数，零次幂看底数。 ② 取交集：各条件同时成立，把解集画在同一条数轴上取公共部分。 ③ 写区间：能写成区间的写区间，断开的集合写成几个区间的并。 易错：式子能约分、能合并的，都要在求出定义域之后再动。 例如 的定义域是 ， 而不是 R——约分之后 x=0 也有意义了，但原式在 x=0 处没有意义。 3.1.1 函数的概念　·　函数的定义域　·　24/48 例题精讲 考点：求函数的定义域 例 5　函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 二次根号整体在分母上，被开方数必须大于零： ，解得 。 答案 C。A 把端点收进来，此时分母为零，式子没有意义。 3.1.1 函数的概念　·　函数的定义域　·　25/48 变式训练 考点：求函数的定义域 变式 5　求下列函数的定义域（用区间表示）： (1) (2) (1) 由 与 得 ； (2) 由 与 得 。 (1) 定义域为 ；(2) 定义域为 。 两个根号同时出现，取的是两个条件的公共部分。 3.1.1 函数的概念　·　函数的定义域　·　26/48 例题精讲 考点：定义域的逆向问题 例 6　 已知函数 的定义域为 ， 求函数 的定义域。 2x−1 这个整体要落进 f 的已知定义域： ，各边加上 1： 各边除以 2 得 ，所以 的定义域为 。 思路：已知 f(x) 的定义域求 f(g(x)) 的定义域，就让 g(x) 整体落进已知范围，再解关于 x 的不等式。 3.1.1 函数的概念　·　函数的定义域　·　27/48 变式训练 考点：定义域的逆向问题 变式 6　 已知函数 的定义域为 ，求 与 的定义域。 ：由 得 ，定义域为 ：由 得 ，定义域为 追问　 若 的定义域为 ，求 的定义域。 这时 ，算出整体 的范围即为所求： ，所以 的定义域为 。 3.1.1 函数的概念　·　函数的定义域　·　28/48 3.1.1 函数的概念 04 函数值、值域与三要素 学习新知 求 就是把 整体代回对应关系中的自变量位置，结果是一个 常数 。 代入之前先确认这个值在 定义域 内。 设 f(x)=2x²−3x+1，则 ， ，其中 a 取任意实数。 提醒：括号里是一个式子时，要把整个式子括起来代进去。 例如求 ，就是把对应关系中的自变量整体换成 ，而不是把 代进去再减 1。 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素　·　30/48 例题精讲 考点：求函数值 例 7　 已知函数 (2) 求 与 的值； (3) 当 时，求 与 的值。 (2) ； (3) 当 时 且 ，两值都有意义： ， 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素　·　31/48 变式训练 考点：求函数值 变式 7　 已知函数 ，求 、 与 的值。 ； ； ，其中 。 定义域为 R，−1、2 与任意实数 a 都可以代入。 小结：求函数值＝先查定义域，再把整体代回对应关系，结果是一个数。 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素　·　32/48 学习新知 ① 一次型：由 x 的范围用不等式逐步放大，两端同时变化，得到 f(x) 的范围。 ② 二次型：配方定出对称轴，看顶点是否落在给定范围上，再比较两端点。 ③ 非负型：平方与二次根号都非负，直接写出下界或上界，并说明能否取到。 由 得 ， 时等号成立，值域为 。 说明：本节用不等式放大与图象的最高点、最低点确定值域。 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素　·　33/48 例题精讲 考点：求简单函数的值域 例 8　求下列函数的值域： (1) ， ； (2) ， ； (3) ， 。 (1) 一次型：由 依次得 ， ，值域为 。 (2)(3) 是二次型，先看对称轴与给定范围的位置关系。 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素　·　34/48 例题精讲 考点：求简单函数的值域 (2) 配方 ，对称轴 在 内，最低点 ； 端点处 时 ， 时 。 (3) 配方 ，对称轴 在 内，最高点 ； 端点处 时 ， 时 。 (2) 值域 ；(3) 值域 。 点评：顶点在范围内时，它的纵坐标就是值域的一端。 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素（续）　·　35/48 变式训练 考点：求简单函数的值域 变式 8　求下列函数的值域： (1) ； (2) ； (3) ， 。 (1) 由 得 ， 时取到，值域 ； (2) 由 得值域 ， 时取到。 (3) 配方 ，对称轴 不在 内； 时 ，值域为 。 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素　·　36/48 学习新知 构成函数的三个要素是 定义域 、 对应关系 与 值域 。 值域由定义域与对应关系决定，不需要另外指定。 当且仅当两个函数的 定义域 与对应关系分别相同， 它们才是同一个函数。 字母无关：对应关系与表示自变量的字母无关，f(x)=2x+1 与 g(t)=2t+1 是同一个函数。 提醒：图中两条曲线的对应关系同为 x→x²，蓝色定义域为 R，红色一段定义域为 [0,2]，不是同一个函数。 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素　·　37/48 例题精讲 考点：同一函数的判断 例 9　 下列函数中，与 表示同一个函数的是（　　） A． B． C． D． 答案 B。定义域同为 R，对应关系相同，只是字母不同。 A： ， 时 ，对应关系不同； C： 的定义域为 ； D：定义域为 [0,+∞)，与 R 不同；不能先化简再定定义域。 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素　·　38/48 变式训练 考点：同一函数的判断 变式 9（多选）　下列说法正确的是（　　） A．定义域与对应关系确定后，值域也就确定 B． 是 时对应的函数值，是一个常数 C．函数 的值域是集合 的子集 D．区间 中允许 答案 ABC。A、C 由值域的定义直接得到；B 中 f(a) 是一个具体的数。 D 错。区间 [a,b] 要求 a<b；a=b 时它不表示区间，单点集合写作 {a}。 值域相同也不足以判定同一函数，还要看定义域与对应关系。 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素　·　39/48 方法归纳 考点：同一函数的判断 ① 看定义域：先看两个函数的自变量取值范围是否相同。 ② 看对应关系：化到最简再比，对应规则一致才算相同。 ③ 不必多看：值域由前两条决定，字母不同也不影响判断。 易错：先约分、先化简会把定义域改掉；带绝对值或二次根号的要先化到最简。 如 化简后是 ，但 ，与 不同。 3.1.1 函数的概念　·　函数值、值域与三要素　·　40/48 3.1.1 函数的概念 05 小结及随堂检测 课堂小结 函数的定义 A、B 为非空数集，A 中任意一个数在 B 中都有唯一确定的数和它对应。 记作 ， 。 三要素与同一函数 定义域、对应关系、值域；值域由前两者决定，不需要另外指定。 定义域与对应关系都相同，才是同一函数。 图象是集合与对应关系的外衣，式子、图象、表格说的是同一件事。 一条主线：定义域管“x 能取哪些值”，对应关系管“怎么对应”，值域管“对应出来是哪些值”。 3.1.1 函数的概念　·　小结与随堂检测　·　42/48 课堂小结 三类基本运算 求定义域：列条件 → 取交集 → 写区间；断开的集合写成几个区间的并。 求函数值：先查定义域，再把整体代回对应关系。 求值域：一次型逐步放大，二次型看最高点与最低点，非负型用观察法。 判断一个对应是不是函数 验非空 → 验任意 → 验唯一；“多对一”可以，“一对多”不行。 B 中允许有元素没有原像，值域只是 B 的子集。 3.1.1 函数的概念　·　小结与随堂检测　·　43/48 题后反思 ● 把“存在一组值满足”当成“任意都满足”，判断就会出错。 ● 把值域当成集合 B：B 中元素可以没有原像，值域只是 B 的子集。 ● 无穷一端写成方括号，或把不连续的集合写成一个区间。 ● 先约分、先化简再定定义域，把不该取的点收了进来。 ● 逆向问题只代一个字母：应把 2x−1 这个整体圈进已知定义域。 自检：写出定义域后，回代两个端点检查式子是否有意义；写出值域后，检查端点能否取到。 3.1.1 函数的概念　·　小结与随堂检测　·　44/48 当堂检测 检测 1 用区间表示集合 与 。 与 。 左端 −1 取不到写圆括号，右端 4 取到写方括号；无穷一端一律圆括号。 检测 2 函数 的定义域是 。 由 得 ， 即定义域为 。 3.1.1 函数的概念　·　小结与随堂检测　·　45/48 当堂检测 检测 3 求函数 的定义域。 由 与 得 且 ； 两个条件取交集，定义域为 。 检测 4 已知 ，求 、 与 的值。 ， ， 所以 。定义域为 R，2 与 −2 都可以代入。 3.1.1 函数的概念　·　小结与随堂检测　·　46/48 当堂检测 检测 5 求函数 （ ）的值域。 由 得 ，故 ，值域为 。 检测 6 判断 （ ）与 （ ）是否为同一个函数。 不是同一个函数。两式的定义域分别为 [−2,2] 与 [0,2]，定义域不同。 f(−2)=4 有定义，g(−2) 没有意义；两式值域同为 [0,4]，仍不足以判定。 3.1.1 函数的概念　·　小结与随堂检测　·　47/48 本节课到此结束 下节预告　3.1.2 函数的表示法 人教A版2019必修第一册 $