1.3.1 空间直角坐标系 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学选择性人教A版必修第一册

 1.3.1　空间直角坐标系

 选择性必修第一册　第一章 空间向量与立体几何

[学习目标]

1．理解空间直角坐标系的构成，知道三条坐标轴两两垂直、方向按右手法则确定，能指出坐标轴、坐标平面与卦限。

2．理解空间中点的坐标与空间向量的坐标的定义，会由点的位置写出坐标，也能由坐标确定点的位置。

3．掌握坐标轴上、坐标平面上以及各卦限内点的坐标特征，掌握点关于坐标平面、坐标轴、原点对称的坐标规律。

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 1．空间直角坐标系

在平面内，两条具有公共原点且互相垂直的数轴组成平面直角坐标系，平面内的点与有序实数对一一对应。教室相邻的两面墙与地面交于一点，从这一点出发的三条棱两两垂直；用这三条棱作三条数轴，就能把空间中的点也用三个数表示出来。

(1) 如图 1，过空间任意一点 作三条两两垂直的数轴，它们都以 为原点，通常取相同的单位长度，这三条数轴分别叫做 轴、 轴、 轴，统称坐标轴，点 叫做坐标原点。这样建立的空间直角坐标系记作 。

(2) 三条坐标轴的方向按右手法则确定：让右手的拇指指向 轴正方向，食指指向 轴正方向，中指指向 轴正方向，符合这一规则的坐标系叫做，本讲义建立的都是这种坐标系。

(3) 每两条坐标轴确定一个平面，这样的平面叫做，分别叫做 平面、 平面、 平面。三个坐标平面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限，其中三个坐标都取正值的卦限叫做第一卦限。

图 1: 三条坐标轴两两垂直，每两条坐标轴确定一个坐标平面，三个坐标平面把空间分成八个卦限

 提醒： 坐标系由三条两两垂直的数轴确定，缺一不可。只说“三条数轴有公共原点”还不能构成空间直角坐标系。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 三条数轴只要有公共原点，就构成空间直角坐标系。（　　）

(2) 在空间直角坐标系中，把 轴与 轴的位置互换，得到的仍是右手直角坐标系。（　　）

 2．空间中点的坐标

在平面直角坐标系中，过点 分别作 轴、 轴的垂线，两个垂足对应的数就是 的横坐标与纵坐标。空间中多了一条 轴，过点 分别作垂直于三条坐标轴的平面，三个垂足在各自轴上的数同样可以确定 的位置。

(1) 如图 2，过点 分别作垂直于 轴、 轴、 轴的平面，依次交三条轴于点 、、。设 、、 在相应轴上的坐标分别为 、、，则有序实数组 叫做点 在空间直角坐标系中的，记作 ，其中 叫做横坐标， 叫做纵坐标， 叫做竖坐标。

(2) 反过来，在三条坐标轴上分别取坐标为 、、 的点 、、，过它们分别作垂直于相应坐标轴的平面，这三个平面交于唯一的一点 。所以空间中的点与有序实数组 之间是的。

(3) 以 为一个顶点、三条棱分别在三条坐标轴正半轴上的长方体，若三条棱长分别为 、、，则与 相邻的三个顶点为 、、，与 相对的顶点为 。

图 2: 过点 分别作垂直于三条坐标轴的平面，与三条轴交于 、、，则 的坐标为

判断

(1) 点 的竖坐标是 3。（　　）

(2) 空间中的点与有序实数组 一一对应。（　　）

 3．空间向量的坐标

上一讲的空间向量基本定理指出，三个不共面的向量可以作基底，任意空间向量都能唯一地表示成它们的倍数之和。在空间直角坐标系中，取与三条坐标轴正方向相同的单位向量 、、，它们两两垂直，构成单位正交基底，于是每个空间向量都有了坐标。

(1) 设 、、 分别是与 轴、 轴、 轴正方向相同的单位向量。对空间任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，则 叫做向量 的，记作 。

(2) 以原点 为起点、点 为终点的向量 ，其坐标就是点 的坐标；反过来，若 ，则 。因此点与以原点为起点的向量在坐标上是一回事。

(3) 三个单位向量的坐标为 、、，零向量的坐标为 (0,0,0)。

判断

(1) 若向量 的坐标为 (1,2,3)，则 。（　　）

(2) 若向量 的坐标是 (1,2,3)，则点 的坐标是 (1,2,3)。（　　）

 4．特殊位置点的坐标特征

由点的坐标定义，点 在 轴上的垂足为 ，在 轴、 轴上的垂足都是原点，所以 、。同样可以看出一条坐标轴上的点、一个坐标平面上的点，其坐标中有几个数为零。

(1) 轴上的点坐标为 ， 轴上的点为 ， 轴上的点为 ，原点为 (0,0,0)。

(2) 平面上的点竖坐标为 0，坐标为 ； 平面上的点横坐标为 0，坐标为 ； 平面上的点纵坐标为 0，坐标为 。

(3) 第一卦限内的点，三个坐标都；三个坐标的符号确定了点所在的卦限，具体对应见常用结论 3。

 提醒： 判断点在哪条轴或哪个坐标平面上，只看哪个坐标为 0，不要凭图形中的位置去猜。

判断

(1) 点 (2,0,−3) 在 平面上。（　　）

(2) 若点 满足 ，则 在第一卦限。（　　）

 5．关于坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称得到 ，关于 轴对称得到 ，关于原点对称得到 。空间中多了一条坐标轴，对称规律可以按同样的方法得到：关于哪个平面或哪条轴对称，就改变垂直于它的方向上的坐标的符号。

(1) 点 关于 平面对称的点为 ，关于 平面对称的点为 ，关于 平面对称的点为 。

(2) 点 关于 轴对称的点为 ，关于 轴对称的点为 ，关于 轴对称的点为 ，关于原点对称的点为 。