1.3.2空间向量运算的坐标表示教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

年级

高中二年级

学科

数学

教师

课题

1.3.2　空间向量运算的坐标表示

教学目标

数学抽象

类比平面向量的坐标运算法则，经历由平面到空间的推广过程，抽象概括出空间向量加、减、数乘与数量积运算的坐标表示，发展数学抽象素养。

逻辑推理

依托单位正交基底，推导空间向量数量积的坐标表示公式与空间两点间的距离公式，体会演绎推理的严谨性，发展逻辑推理素养。

数学运算

能熟练运用坐标公式进行空间向量的线性运算与数量积运算，会求向量的模与夹角，能处理垂直、平行的坐标判定问题，发展数学运算素养。

直观想象

通过建立空间直角坐标系，把立体几何问题转化为向量运算问题，体会几何与代数的互译，发展直观想象素养。

教学重难点

重点：空间向量加、减、数乘、数量积运算的坐标表示，向量的模、夹角公式与空间两点间的距离公式。

难点：数量积坐标表示的推导；选择恰当的空间直角坐标系，运用坐标运算解决简单的立体几何问题。

教学过程

教师活动

学生活动

导入新课

情境创设：低空经济蓬勃发展，无人机物流配送已走进现实。如图1，某配送无人机从配送站O起飞，保持速度做匀速直线飞行，10 s后到达取件点P。

教师：提问①在平面内，我们是如何用坐标表示向量并进行运算的？②空间中的向量，能否也用坐标来运算？无人机10 s内飞行的直线距离，能否用坐标快速算出？

教师：引导学生回顾平面向量的坐标运算法则，鼓励学生大胆类比、合理猜想空间向量坐标运算的法则，并板书本课课题。

学生：回顾平面向量的坐标运算法则，发现加、减、数乘都是对应坐标相加、相减、数乘。

学生：观察情境图，发现无人机的位移可以看作空间向量，飞行距离就是向量的模；提出类比猜想，明确本课要研究的问题。

图1　低空物流无人机飞行情境示意图

新课讲授　一、空间向量线性运算的坐标表示

教师：提问：设，，类比平面向量，你能写出，，的坐标吗？

教师：组织学生独立推导、同桌交流，随后师生共同归纳（其中）：

教师：一个空间向量的坐标，等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。设点，点，则

例1　已知，，求与。

答案　，

解析　，

思考：向量线性运算的结果仍然是向量，那么两向量的数量积用坐标怎样表示呢？

学生：独立完成推导并交流，发现空间向量线性运算的坐标法则与平面向量一致，只是多了一个坐标。

学生：两名学生板演例1，其余学生独立完成并订正；思考并回答：线性运算的结果仍是向量。

新课讲授　二、空间向量数量积的坐标表示

教师：引导学生用单位正交基底推导：设，，展开数量积：

教师：提醒学生注意：其中⋅，⋅，⋅，交叉项如⋅、⋅等均为0，于是得到数量积的坐标表示：

即两向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。

学生：跟随教师逐项展开推导，体会单位正交基底中交叉项为零的作用，归纳数量积的坐标公式。

学生：完成例2，比较两种方法，体会先化简再运算的作用，并概括出结论：数量积的结果是数量。

例2　已知，，求：(1)⋅；(2)⋅。

答案　；(2)

解析　，

方法一：，，⋅；

方法二：先求得⋅，⋅，所以⋅。

新课讲授　三、空间向量的模、夹角与垂直的坐标表示

教师：引导学生由⋅继续推导，师生归纳：

(1)模：；

(2)夹角（如图3）：

其中；

图3　两向量夹角示意图

(3)垂直：对非零向量与，⊥⋅；

(4)平行：当时，∥，使，即。

例3　已知，，求与。

答案　，

解析　，；，，，所以

回扣情境：现在可以解决导入中的问题了：，所以无人机10 s内飞行的距离为。

学生：推导模公式、夹角公式与垂直、平行的坐标判定条件，并用坐标方法完成例3。

学生：运用模公式解决导入情境问题，感受坐标法求模的便捷，体会前后呼应的学习乐趣。

新课讲授　四、空间两点间的距离公式

学生：建立坐标系，写出相关点的坐标，独立完成例4；一