1.1.1 空间向量及其线性运算 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学选择性人教A版必修第一册
1.1.1 空间向量及其线性运算
选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何
[学习目标]
1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量及其模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量的概念，会在简单几何体中辨认这些向量。
2．掌握空间向量的加法、减法与数乘运算及其运算律，能在平行六面体、空间四边形中进行向量化简与表示。
3．理解共线向量、共面向量的意义，掌握共线向量定理与共面向量定理，会用它们判断或证明三点共线、四点共面。
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必修二中，我们把平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，用有向线段表示。把研究对象从平面扩展到空间，同样需要刻画这样的量。如图 1，在正方体 
中，一个动点从顶点 
移动到顶点 
，位移由线段 
的长度与从 指向 的方向确定；从 移动到 
，位移的长度与方向都不同。这两个位移不在同一平面内的说法没有意义，它们都是空间中的位移，刻画方式与平面向量完全相同。
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图 1: 蓝色箭头表示位移 
，红色箭头表示位移 
(1) 定义：在空间，把具有
和的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的或长度。
(2) 表示：空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，箭头所指的方向表示向量的方向。以 为起点、 为终点的向量记作 
，也可记作 
；其模记作或。
(3) 与平面向量一样，空间向量只由大小和方向确定，与起点位置无关，可以自由平移。两个向量不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
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判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）
(1) 路程、温度都是既有大小又有方向的量，所以都是空间向量。（ ）
(2) 因为向量 的模大于向量 
的模，所以 
。（ ）
回到图 1。正方体的棱长都相等： 与 
方向相同、长度相等； 与 
方向相反、长度相等；动点从 出发又回到 ，位移的大小为 0。平面向量中规定的几种特殊向量，原样推广到空间。
(1) 零向量：模为的向量叫做零向量，记作 
，其方向是任意的。
(2) 单位向量：模为的向量叫做单位向量。
(3) 相等向量：方向且模的向量叫做相等向量， 与 相等记作 
。
(4) 相反向量：方向且模的向量叫做 的相反向量，记作 
；零向量的相反向量仍是零向量。
提醒： 相等向量只要求方向相同、模相等，与起点、终点的位置无关。图 1 中 
，它们表示的是同一个向量。
判断
(1) 若 ， 都是单位向量，则 。（ ）
(2) 零向量没有方向。（ ）
平面向量的加法用三角形法则或平行四边形法则进行。空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量，因此平面向量的加法、减法与数乘运算，连同它们的运算律，都可以直接推广到空间向量。图 2 的平行六面体中，底面上的 与 
按平行四边形法则相加得 
，再与 
按三角形法则相加得 
。
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图 2: 
，
（红色箭头）
(1) 加法：
按三角形法则，把 的起点平移到 的终点，和向量由 的起点指向 的；共起点的两个向量相加也可用平行四边形法则。
(2) 减法：
。把 ， 平移到共起点，差向量 
由 的终点指向 的。
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(3) 数乘：实数 
与 的积 
是一个，其模 
；当 
时方向与 ，当 
时方向与 ，当 
时 
。
(4) 加法、数乘满足交换律、结合律与分配律，完整式子见本节常用结论 2。
判断
(1) 实数 与非零向量 的积 是一个实数。（ ）
(2) 对任意实数 与任意向量 ，都有 
。（ ）
图 3 中，向量 ， 所在的直线 
与 
互相平行。把 连同 平移，可以与 重合，此时 与 方向相同，且 的长度是 的 1.5 倍，即 
。一般地，方向相同或相反的非零向量之间都存在这样的倍数关系。
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图 3: 所在直线互相平行的两个向量，平移后可以重合到同一条直线上
(1) 定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或，则这些向量叫做共线向量，也叫平行向量，记作 
。规定：零向量与任意向量共线。
(2) 共线向量定理：对任意两个空间向量 ，（
）， 的充要条件是存在的实数 ，使 
。
(3) 由定理可知，若 ，则 时 必可写成 的倍数；判断三个点 ，，
共线，只需验证 
且两向量有公共点 。
提醒： 定理中的条件 不能省略。若 
而 
，虽然 ，却不存在实数 使 
。
判断
(1) 若 ，则一定存在实数 ，使 。（ ）
(2) 共线向量所在的直线一定是同一条直线。（ ）
由知识点 3，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，所以任意两个空间向量都是共面向量。三个向量则不然：图 1 中共点 的三个向量 ，，，无论怎样平移都不能放进同一个平面。
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