1.1.2 空间向量的数量积运算 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

年　级

高二年级

学　科

数学

授课教师

课　题

1.1.2 空间向量的数量积运算

教学

目标

数学抽象

类比平面向量数量积的定义，抽象并概括出空间向量数量积的定义，理解空间两个非零向量夹角的概念，体会由平面到空间推广过程中的类比思想，发展数学抽象素养。

逻辑推理

通过类比平面向量数量积的运算律，猜想并证明空间向量数量积的运算律与性质，辨析数量积运算中消去律不成立等问题，体会合情推理与演绎推理的价值，发展逻辑推理素养。

数学运算

能运用数量积的定义与运算律正确进行空间向量的数量积运算，会求空间向量的模与夹角，会判断两个向量的垂直关系，掌握将几何问题转化为向量运算的程序化方法，发展数学运算素养。

直观想象

借助图形直观理解夹角与投影向量的几何意义，能在长方体、正四面体等空间图形中识别向量的夹角，把立体几何中的长度、夹角、垂直问题转化为数量积运算，发展直观想象素养。

教学

重难点

1.空间向量的夹角与数量积的定义，数量积的运算律与三条性质（重点）。

2.投影向量的意义，利用数量积求向量的模与夹角、证明垂直（难点）。

教学过程

教师活动

学生活动

导入新课（约5分钟）

教师：前面我们已经系统学习了平面向量的数量积，请同学们回顾：平面向量的数量积是如何定义的？它满足哪些运算律？

学生预设回答：与的数量积为，满足交换律、数乘结合律与分配律。

教师：立体几何中，我们需要研究几何对象的长度、夹角与垂直关系。任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，那么平面向量的数量积能否推广到空间，成为研究空间几何问题的工具？本节课我们类比平面向量，学习空间向量的数量积运算。

学生回顾平面向量数量积的定义与运算律，思考教师提出的问题。

新课讲授

一、空间向量的夹角与数量积的定义

教师：【问题1】如何定义空间两个非零向量与的夹角？

已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫作向量与的夹角，记作，并且规定。

特别地，当时，向量与互相垂直，记作。

【情境】如图1，两个向量与的夹角为。思考：当两个向量同向共线或反向共线时，夹角分别是多少？

图1　空间两个向量的夹角

学生：同向共线时夹角为0，反向共线时夹角为π。

教师：【问题2】类比平面向量的数量积，如何定义空间向量的数量积？

已知两个非零向量，，则叫作与的数量积，记作，即

并规定：零向量与任意向量的数量积为0。

教师：由定义可以直接得到数量积的三条重要性质：

（1）设，是非零向量，则的充要条件是；

（2），即向量的模的平方等于向量与其自身的数量积，从而；

（3）。

学生结合图1观察思考，类比平面向量给出空间向量夹角与数量积的定义，归纳三条性质。

新课讲授

二、投影向量与数量积的几何意义

教师：数量积的几何意义是：等于的长度与在的方向上的投影的乘积。

【问题3】如图2，取与向量同方向的单位向量，向量在向量上的投影向量是什么？

学生结合图2动手作图，说明投影向量的作法，并归纳数量积的符号与夹角的关系。

图2　向量a在向量b方向上的投影向量

学生：将与平移到同一平面内，过的终点A作垂线，垂足为C，则与共线，且，这就是在上的投影向量。

教师：很好。数量积是一个实数，其符号由夹角决定：夹角为锐角时为正，夹角为钝角时为负，夹角为直角时为零。

新课讲授

三、空间向量数量积的运算律

教师：【问题4】类比平面向量数量积的运算律，你能猜想空间向量数量积满足哪些运算律吗？

学生猜想并证明：由于任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，平面向量数量积的运算律对空间向量仍然成立，即

（1）交换律：；

（2）数乘结合律：，其中；

（3）分配律：。

教师：【辨析】数量积运算满足结合律吗？能否由消去得到？请小组讨论。

学生讨论后回答：两个等式两边都是数量积运算，但与中括号内都是一个实数，它们分别表示实数与向量、的数量积，一般不相等，所以结合律不成立；又由只能得到，即与垂直或，不能消去，所以消去律也不成立。

教师：回答得很好。这说明数量积运算中，既没有结合律，也没有消去律，这一点与实数乘法不同，解题时要特别小心。

学生类比猜想运算律，分组讨论辨析结合律与消去律问题，小组代表发言。

新课讲授

四、空间向量数量积的简单应用

【例1】已知，，，求：（1）；（2）。

解：（1）。

（2），代入得，所以。

【例2】如图3，在长方体中，，，，求：（1）；（2）；（3）。

学生独立完成例1，小组合作探究例2、例3，展示解题过程，规范书写步骤。