1.1.2 空间向量的数量积运算讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 1.1.2　空间向量的数量积运算

 选择性必修第一册　第一章 空间向量与立体几何

[学习目标]

1．理解空间向量夹角的含义，掌握空间向量数量积的定义、性质与运算律，会由模与夹角计算数量积。

2．会用数量积求空间向量的模，会用数量积证明两个向量垂直。

3．理解投影向量的含义，会用数量积求两个向量的夹角与投影向量。

[链接教材 · 夯基固本] 落实主干 · 激活技能

 1．空间向量的夹角

在正方体 - 中，棱 与棱 不在同一个平面内。把 平移，使起点与点 重合，它就成为 ，而 与 的夹角是 。平移不改变向量的方向，所以两条不共面的棱，也能借助一个角来刻画方向关系（图 1）。

图 1: 从顶点 出发的三条棱给出两两垂直的向量 ，，；红色线段为

(1) 已知两个非零向量 ，，在空间任取一点 ，作 ，，则 叫做向量 与 的，记作 。它的取值范围是。

(2) 当 时， 与 同向；当 时， 与 反向；当 时，称 与 垂直，记作 。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 两个空间向量的夹角只由它们的方向决定，与公共起点的位置无关。（　　）

(2) 若 ，则 。（　　）

 2．数量积的定义

平面内两个向量的数量积等于它们的模与夹角余弦的乘积。这个定义只用到模与夹角，与两个向量是否在同一个平面内无关，所以在空间中照用。如图 2，把 ， 移到公共起点 ，夹角为 ，则 。

图 2: 把 ， 平移到公共起点 ，它们的夹角为

(1) 已知两个非零向量 ，，则 叫做 与 的，记作 ，即 。两个向量的数量积是一个，不是向量。

(2) 规定：零向量与任意向量的数量积为，即 。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 若 ，则 或 。（　　）

(2) 两个向量的数量积可以为负数。（　　）

 3．数量积的性质

由定义可以直接读出几条性质：两个向量同向时余弦为 1，得到模的平方；两个向量垂直时余弦为 0，得到数量积为零。这样，长度与垂直这两种关系都化成了数量积的运算。

(1) 若 是与 同方向的单位向量，则 ；特别地，。

(2) ；反过来，若 ，且 ， 都是非零向量，则 。

(3) ，等号当且仅当 与 共线时成立。

(4) 若 ， 都是非零向量，则 。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 对任意空间向量 ，，都有 。（　　）

(2) 若 ，则 。（　　）

 提醒： 由 判断垂直，必须确认 ， 都是非零向量。零向量与任意向量的数量积都是 0，但零向量没有确定的方向。

 4．数量积的运算律

数量积的运算律与平面向量相同。设 ，， 是任意空间向量， 是实数，则：

(1) 。

(2) 。

(3) 。

注意 是一个与 共线的向量， 是一个与 共线的向量，两者一般不相等，所以数量积不满足结合律；由 也不能直接消去 得到 。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 对任意空间向量都成立。（　　）

(2) 若 ，且 ，则 。（　　）

 提醒： 数量积不满足结合律： 与 共线， 与 共线，两者一般不相等。

 5．投影向量

如图 3，把 ， 移到公共起点 ，过 的终点 作直线 的垂线，垂足为 。 落在直线 上，它刻画的正是 在 所在方向上的分量；夹角为钝角时，它与 反向。

图 3: 在 上的投影向量是 ；夹角为钝角时它与 反向

(1) 已知两个非零向量 ，，在空间任取一点 ，作 ，，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则向量 叫做向量 在向量 上的。

(2) 设 是与 同方向的单位向量，，则 。又 ，所以 。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 向量 在向量 上的投影向量一定与 同向。（　　）

(2) 若 在 上的投影向量为 ，则 。（　　）

[常用结论]

1. 数量积与模的关系：；；。

2. 三个向量和的模：。