第一章 空间向量与立体几何 期中复习导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何 学案 · 解析版 01 学习目标 1．能迅速把一道题归入某一类——线性运算、数量积、坐标运算、法向量、平行垂直、夹角、距离。 2．熟记共线定理与共面定理，会用“系数和为 1”判断四点共面。 3．会用 ·=||||cos〈,〉与坐标形式求模、求夹角、证垂直。 4．会用“两个方程一个自由变量”求平面法向量，赋值取整。 5．记住六种位置关系与“方向向量—法向量”的对应。 6．会用三条公式：线线角取余弦加绝对值、线面角取正弦、二面角取余弦再看图定号。 7．能独立完成期中大题三小问：第一问证明、第二问求角、第三问求距离，且书写规范。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·线性运算与共线共面判定 ·数量积与坐标运算 ·平面法向量的求法 ·六种平行垂直的向量判定 ·二面角与法向量夹角的符号关系（锐角还是钝角） ·线面角用正弦而不是余弦 ·建系原点的选择 ·综合大题的书写规范 易错清单 · 做题前先扫一遍 1．把“三个向量共面”与“四点共面”混为一谈——四点 P、A、B、C 共面须写成 =x+y+z 且 x+y+z=1。 2．把数量积当普通乘法用，写出 (·)=(·)——数量积不满足结合律。 3．求法向量只列一个方程就赋值，得到的向量并不垂直于整个平面。 4．线面角代余弦、二面角不看图就取法向量夹角，角的类型直接错。 5．建系不写“以……为原点，……为 x/y/z 轴”，坐标无法追溯，步骤分全丢。 6．距离公式分子不取绝对值，导致距离为负值。 03 知识结构图 ① 线性运算 · 共线共面 三条棱之和是体对角线；共面看系数和是否为 1 空间向量与立体几何 六 个 工 具 ④ 法向量 · 两个方程 两个不共线向量列两方程，赋值取整 ② 数量积 · 夹角与模 见模先自乘，见角先点乘，垂直 ⇔ 数量积为 0 ⑤ 平行垂直 · 六种判定 方向向量与法向量，点乘为零或成比例 ③ 坐标运算 · 距离 加减数乘照算，两点距离用平方和开方 ⑥ 夹角距离 · 三条公式 线线角余弦、线面角正弦、距离取绝对值 记忆要点：有垂直条件就建系，无垂直条件用几何法；求角先找方向向量与法向量，求距离先找法向量。 三条原则：①线线角、线面角都不超过 90°，公式中取绝对值；②二面角须结合图形定号，法向量夹角只是候选值；③距离公式的分子取绝对值。 04 基础自测 · 选择与填空 1．【基础】下列说法正确的是（　　） A．若 ·=0，则 =0 或 =0　　B．(·)=(·) C．若 ∥ 且 ≠0，则存在唯一实数 λ 使 =λ　　D．|·|=|||| 答案C 2．【基础】已知 =(1,2,-1)，=(-2,1,0)，则 ·=（　　） A．-4　　B．0　　C．4　　D．-2 答案B 3．【基础】在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，直线 A₁C 与平面 BDC₁ 的位置关系是（　　） A．平行　　B．垂直　　C．相交但不垂直　　D．A₁C 在平面内 答案B 4．【基础】已知 ||=1，||=2，〈,〉=60°，则 |-|=（　　） A．1　　B．　　C．　　D．3 答案B 5．【提升】直线 l 的方向向量 =(1,-1,2)，平面 α 的法向量 =(2,-2,4)，则 l 与 α 的关系是（　　） A．l∥α　　B．l⊥α　　C．l⊂α　　D．无法确定 答案B 6．【提升】二面角 α-l-β 的两个半平面的法向量分别为 =(1,0,0)，=(1,1,0)，且该二面角的平面角为钝角，则其余弦值为（　　） A．　　B．-　　C．　　D．- 答案D 7．【基础】已知 =(2,-1,3)，=(-4,2,-6)，则 a 与 b 的关系是　　　　（填“平行”“垂直”或“既不平行也不垂直”）。 答案平行 8．【基础】在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点 A 到平面 BDC₁ 的距离为　　　　。 答案 9．【提升】已知直线 l 的方向向量 =(1,1,0)，平面 α 的法向量 =(0,1,1)，则 l 与 α 所成角的正弦值为　　　　。 答案 10．【提升】在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA=2，则二面角 P-BC-A 的余弦值为　　　　。 答案 类型一 线性运算与共线共面 · 基础 模型特征 题干里出现“化简向量表达式”“用基底表示”“三点共线”“四点共面”“P 与 A、B、C 是否共面”，本质都是线性运算与共线、共面定理的判定，不需要建系。 通法三步 ①并：用三角形法则、平行四边形法则把同类基向量并成一项。 ②判共线：≠0 时，∥ ⇔ 存在唯一 λ 使 =λ；坐标形式即对应坐标成比例。 ③判共面： 与不共线的 、 共面 ⇔ 存在唯一 (x,y) 使 =x+y；四点用 =x+y+z 且 x+y+z=1。 要点：合并同类基，共线看比值，共面看系数和是否为 1。 核心结论（含推导） ·平行六面体中 ++=——三条棱出发的向量之和就是体对角线。 ·共线定理：≠0 时，∥ ⇔ 存在唯一 λ 使 =λ。 ·共面定理：、 不共线时， 与 、 共面 ⇔ 存在唯一 (x,y) 使 =x+y。 ·四点共面推论：O 为平面外一点，P、A、B、C 共面 ⇔ =x+y+z 且 x+y+z=1。 ·零向量与任意向量共线；但“两个向量必共面”不能推广到三个向量。 易错提醒 ·把“任意两个向量共面”当成“三个向量也共面”。 ·四点共面只写“可以表示”，漏掉 x+y+z=1。 ·共线比值写法遇到坐标为 0 时不单独讨论。 ·化简时把向量 与向量 的方向写反（相差一个负号），整式跟着变号。 例题精练 11．在平行六面体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，化简 +++ = 　　　　。 答案 2++。解：++=（对角线法则），又 =，故原式=+=2++。 12．已知 A、B、C 三点不共线，O 为平面外一点，若 =2-+k，且 P 与 A、B、C 共面，则 k = 　　　　。 答案 k=0。解：由 2-1+k=1，得 k=0。 本类小结 两题同一思路：先合并同类基向量，再按共线、共面定理判定，化简结果与系数和须逐一核对。 类型二 数量积与坐标运算 · 基础 模型特征 题干里出现“夹角”“模”“距离”“垂直”，或直接给出坐标；正方体、长方体这类有垂直条件的载体，优先建系转坐标。 通法三步 ①用定义：·=||||cos〈,〉。 ②自乘求模：||²=·，求 |+| 先平方再开方。 ③坐标代入：·=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃，||=。 要点：见模先自乘，见角先点乘，见坐标直接代入。 核心结论（含推导） ·数量积：·=||||cos〈,〉；⊥ ⇔ ·=0。 ·夹角余弦：cos〈,〉=，结果为负说明夹角是钝角。 ·坐标运算：±=(a₁±b₁,a₂±b₂,a₃±b₃)，λ=(λa₁,λa₂,λa₃)，·=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃。 ·两点距离：A(x₁,y₁,z₁)、B(x₂,y₂,z₂)，||=。 ·共线坐标条件：∥ ⇔ 对应坐标成比例（分母为 0 时单独讨论）。 易错提醒 ·数量积不满足结合律：(·) 与 (·) 一般不相等；它满足交换律与分配律。 ·求 |+| 忘记“先平方再开方”，或漏掉中间的 2·。 ·夹角余弦漏除两个模，所得结果不是余弦值。 ·坐标共线写成比值，遇到 0 不讨论，得出相反结论。 例题精练 13．已知 ||=2，||=3，〈,〉=120°，则 · = 　　　　，|+| = 　　　　。 答案 ·=-3；|+|=。解：·=2×3×cos120°=-3；|+|²=4+2×(-3)+9=7，故 |+|=。 14．已知 =(1,-2,3)，=(2,1,-1)，则 · = 　　　　，cos〈,〉 = 　　　　。 答案 ·=-3；cos〈,〉=。解：·=1×2+(-2)×1+3×(-1)=-3；||=，||=，cosθ==。 本类小结 数量积题只有两个入口：给出模与夹角用定义，给出坐标代公式；求模一律先平方再开方。 类型三 法向量与平行垂直判定 · 基础 模型特征 题干要求“证明平行或垂直”，或给出三点求平面法向量；载体有垂直条件（正方体、长方体、PA⊥底面、直棱柱）时，优先用向量法。 通法三步 ①在平面内找两个不共线向量 、。 ②列方程组 ·=0，·=0。 ③解方程组，给一个变量赋整数值（不取零）。 要点：两个方程、一个自由变量，赋值取整数。 核心结论（含推导） ·法向量四步：设 =(x,y,z) → 找两个不共线向量 → 列两方程 → 赋值求解。 ·线线平行 ∥ ⇔ =λ；线线垂直 ⇔ ·=0。 ·线面平行 ⊥ ⇔ ·=0，且直线不在平面内；线面垂直 ∥ ⇔ =λ。 ·面面平行 ∥；面面垂直 ·=0，且两平面相交。 ·法向量不唯一，整体取反仍是法向量；线面角、点面距取绝对值不受影响，二面角须结合图形定锐钝再定符号。 易错提醒 ·只列一个方程就赋值——该向量只垂直于一个方向，不是法向量。 ·线面平行只写 ·=0，漏掉“直线不在平面内”。 ·面面垂直漏掉“两平面相交”。 ·赋值全取 0，得到的是零向量。 例题精练 15．已知平面 α 内三点 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则平面 ABC 的一个法向量为 　　　　。 答案 (2,2,1)。解：=(-1,1,0)，=(-1,0,2)；设 =(x,y,z)，由 -x+y=0、-x+2z=0，令 x=2 得 =(2,2,1)。 16．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 为 AB 中点，F 为 A₁B₁ 中点，求证：EF∥AA₁。（用向量法证明） 答案 以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 为 x、y、z 轴，棱长设为 1。 A(0,0,0)，A₁(0,0,1)，E(,0,0)，F(,0,1)；=(0,0,1)，=(0,0,1)。 =1·，故 EF∥AA₁。证毕。 17．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：AC₁⊥BD。（用向量法证明） 答案 以 D 为原点，DA、DC、DD₁ 为 x、y、z 轴，棱长设为 1。 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C₁(0,1,1)：=(-1,1,1)，=(-1,-1,0)。 ·=1-1+0=0，故 AC₁⊥BD。证毕。 18．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：D₁A∥平面 BDC₁。（用向量法证明） 答案 以 D 为原点建系。平面 BDC₁ 中 =(1,1,0)、=(0,1,1)，设 =(x,y,z)，由 x+y=0、y+z=0 得 =(1,-1,1)。 =A-D₁=(1,0,-1)，·=1+0-1=0，故 D₁A⊥。 又 D₁ 不在平面 BDC₁ 内，所以 D₁A∥平面 BDC₁。证毕。 19．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：A₁C⊥平面 BDC₁。（用向量法证明） 答案 同上一题建系。=C-A₁=(-1,1,-1)=-(1,-1,1)，即向量 与平面 BDC₁ 的法向量 =(1,-1,1) 平行。 故 A₁C⊥平面 BDC₁。证毕。 20．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：平面 AB₁D₁∥平面 BDC₁。（用向量法证明） 答案 平面 BDC₁ 的法向量 =(1,-1,1)（由 =(1,1,0)、=(0,1,1) 求得）。 平面 AB₁D₁ 中 =(0,1,1)、=(-1,0,1)，同法得 =(1,-1,1)。 与 平行，两平面不重合，故平面 AB₁D₁∥平面 BDC₁。证毕。 21．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：平面 A₁ACC₁⊥平面 BDD₁B₁。（用向量法证明） 答案 平面 A₁ACC₁：=(-1,1,0)、=(0,0,1)，法向量 =(1,1,0)。 平面 BDD₁B₁：=(1,1,0)、=(0,0,1)，法向量 =(1,-1,0)。 ·=1-1+0=0，故两平面垂直。证毕。 本类小结 七题同一流程：先求平面的法向量，再用“点乘为零”或“坐标成比例”完成平行、垂直的判定。 类型四 线线角与线面角 · 提升 模型特征 题干里出现“异面直线所成角”“直线与平面所成角”，结果都落在 [0,] 内，一定非负。 通法三步 ①写出两条直线的方向向量 、。 ②线面角再求平面的法向量 。 ③代公式并取绝对值，最后写出角的范围。 要点：线线角用余弦，线面角用正弦，结论后注明范围 [0,]。 核心结论（含推导） ·线线角：cosθ=，θ∈[0,]。 ·线面角：sinθ=，θ∈[0,]——方向向量与法向量的夹角与线面角互余，所以用正弦。 ·等价的几何算法：sinθ 等于点到平面的距离除以该点到斜足的距离。 ·正方体中求角，棱长统一设为 1 或 2，坐标越简单越不出错。 易错提醒 ·线面角代了余弦公式，算出的值可能大于 1。 ·线线角不取绝对值，算出钝角。 ·法向量取反后忘记取绝对值，把符号带进结果。 ·不写 θ∈[0,]，结论不完整。 图 1　线面角与法向量：sinθ = 例题精练 22．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求异面直线 A₁B 与 AD₁ 所成角的余弦值。 答案 。解：以 D 为原点建系。=(0,1,-1)，=(-1,0,1)， cosθ==，即所成角为 60°。 23．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求直线 A₁B 与平面 AB₁D₁ 所成角的正弦值。 答案 。解：=(0,1,-1)，平面 AB₁D₁ 的法向量 =(1,-1,1)， sinθ===。 本类小结 两题均在正方体中完成，流程为“写方向向量→求法向量→代公式取绝对值”；线面角只能用正弦。 类型五 二面角 · 提升 模型特征 题干求“二面角 X-l-Y 的余弦值或大小”，也常是大题的第二问。二面角范围是 [0,π]，可能为钝角。 通法三步 ①分别求两个半平面的法向量 、。 ②算出 cos〈,〉作为候选值。 ③回图上判断两个半平面张开的方向，决定取正还是取负。 要点：法向量夹角只是候选值，正负由图判定。 核心结论（含推导） ·cosθ= 是二面角为锐角时的值；若图上为钝角，则取其相反数。 ·二面角与法向量夹角的关系：相等或互补，二选一，必须回到图上确认。 ·也可在棱上取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的向量，这两个向量的夹角就是二面角的平面角。 ·对称载体（正方体、正三棱锥）可先用几何法看出锐钝，再用向量验算。 易错提醒 ·直接取法向量夹角，把钝角写成锐角（或反之），符号全错。 ·把二面角的范围写成 [0,]。 ·仅凭图形直观定号，未给出判断依据。 ·两个法向量一个取反、一个不取反，符号混乱。 图 2　二面角的平面角 θ 与两法向量夹角 φ：锐角取正，钝角取负 例题精练 24．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求二面角 A-BD₁-A₁ 的余弦值。 答案 （二面角为 60°）。解：以 D 为原点、棱长为 1 建系，平面 ABD₁ 的法向量 =(1,0,1)，平面 A₁BD₁ 的法向量 =(0,1,1)， cos〈,〉==。取 BD₁ 的中点 M，把向量 、 中沿 BD₁ 的分量去掉， 得 =(1,-2,-1)、=(2,-1,1)，cos〈,〉==，故平面角∠AMA₁=60°， 即二面角为 60°，余弦值为 。 25．在正三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC=AB=2，求二面角 P-AB-C 的余弦值。 答案 。解：取 AB 中点 D，连 PD、CD。因 PA=PB=CA=CB=2，故 PD⊥AB，CD⊥AB，∠PDC 即二面角的平面角。 PD=CD=，PC=2，在△PDC 中由余弦定理：cos∠PDC==。 本类小结 二面角的难点集中在符号：法向量夹角给出候选值，须结合图形判断锐钝后才能定号。 类型六 距离公式 · 提升 模型特征 题干求“点到平面的距离”“异面直线的距离”“直线到平面的距离”，或综合大题的第三问。 通法三步 ①求出平面的法向量 。 ②在平面内取一点 A，再取平面外一点 P，得向量 。 ③代入 d=，分子结果取绝对值。 要点：一点在面内、一点在面外，投影长度即距离。 核心结论（含推导） ·点到平面：d=，分子必须取绝对值。 ·线到面、面到面：转化为“线上（面上）一点到平面的距离”。 ·异面直线：设公垂线的方向向量 =(x,y,z)，由 与两条方向向量都垂直列两个方程解出 ，再在各直线上取一点 A、B，d=。 ·棱长为 a 的正方体，体对角线为 a，可用来检验答案量级。 易错提醒 ·分子不取绝对值，算出负距离。 ·两个端点都取在平面内，代入得距离为 0。 ·异面直线距离用错 ：必须是同时垂直两个方向的公垂线方向。 ·忘记先求法向量，直接把某条线段长当成距离。 图 3　异面直线 AB、CD 的距离：d = 例题精练 26．在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求点 A₁ 到平面 AB₁D₁ 的距离。 答案 。解：以 D 为原点建系，棱长 2。=(0,2,2)，=(-2,0,2)，法向量 =(1,-1,1)； =(0,0,2)，d===。 27．在棱长为 1 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求异面直线 AC 与 BD₁ 的距离。 答案 。解：=(-1,1,0)，=(-1,-1,1) 是两直线的方向向量。设 =(x,y,z) 与两者都垂直，由 -x+y=0、-x-y+z=0，取 x=1 得 =(1,1,2)，||=； 取 A(1,0,0) 与 B(1,1,0)，=(0,1,0)，d===。 本类小结 距离题统一为“法向量 + 一个面内点”；异面直线只需把法向量换成公垂线方向。 类型七 综合大题 · 建系四步 · 提升 模型特征 三小问的大题，载体是正方体、三棱锥、四棱锥、直棱柱、菱形底面。第一问证明，第二问求角，第三问求距离。 通法四步 ①建系：找三条两两垂直的棱，写清原点和三个坐标轴的方向。 ②写点：把用到的每个点的坐标在图上标一遍。 ③求向量、求法向量。 ④分问作答，每问都以“由……得……”开头。 要点：建系—写点—求向量—代公式，四步齐全即为规范步骤。 核心结论（含推导） ·正方体：以一个顶点为原点，三条棱为 x、y、z 轴，棱长设为 a 或直接取 2。 ·PA⊥底面且底面为矩形（正方形）：以 A 为原点，AB、AD、AP 为 x、y、z 轴。 ·直棱柱：底面放在 xy 平面，侧棱为 z 轴，底面直角顶点作原点。 ·菱形、正三角形底面：先用 60°、120° 的三角值算清底面各点坐标，再向上升。 ·三问共享同一套点坐标与法向量，第二问求出的 常常直接给第三问用。 易错提醒 ·建系不写“以……为原点，……为 x/y/z 轴”，后面的坐标无处可依。 ·点坐标符号写错，尤其是 z 轴负方向与底面平移。 ·每问重算一遍法向量，前后结果不一致。 ·只写答案不写过程，证明题拿不到步骤分。 图 4　正方体建系：以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 为 x、y、z 轴 例题精练 28．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长为 2，E、F 分别为 BB₁、DD₁ 的中点。 （1）求证：平面 AEC₁F⊥平面 AA₁C₁C； （2）求直线 A₁B 与平面 AEC₁F 所成角的正弦值； （3）求点 B 到平面 AEC₁F 的距离。 第 28 题图　正方体中的截面 AEC₁F 答案 （1）以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 为 x、y、z 轴。平面 AA₁C₁C 的法向量 =(1,-1,0)（由 =(2,2,0)、=(0,0,2) 求得）； 平面 AEC₁F 的法向量 =(1,1,-2)（由 =(2,0,1)、=(0,2,1) 求得）。·=1-1+0=0，故两平面垂直。 （2）=(2,0,-2)，sinθ===。 （3）=(2,0,0)，d===。 第 28 题解析图　截面 AEC₁F 与两平面的法向量 29．在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2，D 为 BC 的中点。 （1）求证：AD⊥BC； （2）求二面角 B-PC-A 的余弦值； （3）求点 A 到平面 PBC 的距离。 第 29 题图　三棱锥 P-ABC，PA⊥底面 ABC，D 为 BC 的中点 答案 以 A 为原点，AB、AC、AP 为 x、y、z 轴。 （1）=(1,1,0)，=(-2,2,0)，·=-2+2=0，故 AD⊥BC。 （2）平面 PAC 的法向量 =(1,0,0)；平面 PBC 的法向量 =(1,1,1)（由 =(2,0,-2)、=(0,2,-2) 求得）。cosθ==，图上为锐角。 （3）=(2,0,0)，d===。 第 29 题解析图　建系与 AD⊥BC 30．在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，PA=AB=2，E 为 PC 的中点。 （1）求证：BD⊥平面 PAC； （2）求二面角 A-PC-B 的余弦值； （3）求点 D 到平面 PAB 的距离。 第 30 题图　四棱锥 P-ABCD，E 为 PC 的中点 答案 以 A 为原点，AB、AD、AP 为 x、y、z 轴。 （1）=(-2,2,0)，=(0,0,-2)，=(2,2,0)：·=0，·=-4+4=0，又 PA∩AC=A，故 BD⊥平面 PAC。 （2）平面 PAC 的法向量 =(1,-1,0)；平面 PBC 的法向量 =(1,0,1)。cosθ==，图上为锐角。 （3）平面 PAB 即 y=0，D(0,2,0)，故 d=2。 第 30 题解析图　BD⊥平面 PAC 与二面角 A-PC-B 31．如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为 AD 的中点，将△ABE 沿 BE 折起至△A₁BE，使 A₁ 在底面 BCDE 上的射影为 BE 的中点 O。 （1）求证：平面 A₁BE⊥平面 BCDE； （2）求二面角 A₁-BC-E 的余弦值。 图 5　折叠问题：沿 BE 折起，A₁ 的射影为 BE 的中点 O 答案 （1）见解析；（2）。 （1）在 Rt△ABE 中，AB=AE=2，故 BE=2；O 为 BE 的中点，由等面积法得 AO==。折叠后 A₁O=AO=， A₁ 在底面的射影为 O，故 A₁O⊥底面 BCDE；又 A₁O 在平面 A₁BE 内，所以平面 A₁BE⊥平面 BCDE。证毕。 （2）以 B 为原点，BC 为 y 轴、BA 为 x 轴，过 B 垂直底面的方向为 z 轴：A(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,4,0)，E(2,2,0)，O(1,1,0)，A₁(1,1,)。 =(0,4,0)，=(1,1,)，平面 A₁BC 的法向量 =(,0,-1)；底面 BCDE 的法向量 =(0,0,1)。 cosθ===，该二面角的平面角为锐角，故余弦值为 。 第 31 题解析图　折叠后建系与 A₁O⊥底面 32．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长为 2，E 为 BB₁ 的中点。问：在 DD₁ 上是否存在点 F，使得平面 AEF⊥平面 A₁ACC₁？若存在，求出 F 的位置；若不存在，说明理由。 第 32 题图　正方体，F 为棱 DD₁ 上的点 答案 存在，F 为 DD₁ 的中点（DF=1）。解：以 A 为原点建系，E(2,0,1)，设 F(0,2,t)。 =(2,0,1)，=(0,2,t)，平面 AEF 的法向量 =(-2,-2t,4)；平面 A₁ACC₁ 的法向量 =(1,-1,0)。 令 ·=0，即 -2+2t=0，得 t=1。故 F 为 DD₁ 中点。 第 32 题解析图　设 F(0,2,t)，平面 AEF 与平面 A₁ACC₁ 33．在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，底面是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，D 为 AB 的中点。 （1）求证：CD⊥平面 A₁ABB₁； （2）求直线 A₁C 与平面 A₁ABB₁ 所成角的正弦值； （3）求点 C 到平面 A₁BD 的距离。 第 33 题图　直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁，D 为 AB 的中点 答案 以 C 为原点，CA、CB、CC₁ 为 x、y、z 轴：A(2,0,0)，B(0,2,0)，A₁(2,0,4)，D(1,1,0)。 （1）=(1,1,0)，=(-2,2,0)：·=-2+2=0；·=(1,1,0)·(0,0,4)=0。CD 垂直于平面内两条相交直线 AB、AA₁，故 CD⊥平面 A₁ABB₁。 （2）平面 A₁ABB₁ 的法向量即 =(1,1,0)；=(-2,0,-4)，sinθ====。 （3）平面 A₁BD 的方程为 x+y=2（A₁、B、D 都满足），C(0,0,0)，故 d==。 第 33 题解析图　CD⊥平面 A₁ABB₁ 与点 C 到平面 A₁BD 的距离 34．在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面 ABCD，PA=AB=2，E 为 PD 的中点。 （1）求证：BD⊥平面 PAC； （2）求二面角 P-BE-A 的余弦值； （3）求点 E 到平面 PBC 的距离。 第 34 题图　四棱锥 P-ABCD，底面为菱形，E 为 PD 的中点 答案 以 A 为原点，AB 为 x 轴，底面内垂直 AB 的方向为 y 轴，AP 为 z 轴。∠ABC=60° ⇒ ∠BAD=120°， D=(-1,,0)，B(2,0,0)，C(1,,0)，P(0,0,2)，E=(,,1)。 （1）=(-3,,0)，=(0,0,-2)，=(1,,0)：·=0，·=-3+3=0，PA∩AC=A，故 BD⊥平面 PAC。 （2）平面 PBE 的法向量 =(,3,)，平面 ABE 的法向量 =(0,-2,)；cos〈,〉=，图上该二面角为钝角，故 cosθ==。 （3）平面 PBC 的法向量 =(,1,)，平面过 P(0,0,2)：x+y+z=2。代入 E 得 ，故 d==。 第 34 题解析图　平面 PBE 与平面 ABE 所成的二面角 本类小结 七题共用一套流程：先建系、再写点；三小问共用同一组坐标，法向量只需求一次。 类型八 参数 · 动点与存在性问题 · 拓展 模型特征 题干出现“求实数 λ（或 k）的值”“点在棱上运动”“是否存在点 P，使……”时，先设参数表示动点坐标，再把条件翻译成向量方程；解在允许范围内即为存在。 通法三步 ①设参：把动点坐标用参数 t（或 λ）表示，并注明取值范围。 ②列式：把垂直、平行、夹角、距离等条件写成含参的向量方程。 ③定解：解方程并按范围取舍；存在性问题须写明“存在”及点的位置，或说明不存在的理由。 核心结论（含推导） ·参数题的本质是“含参坐标 + 向量条件”，方程个数与参数个数相同即可解出。 ·动点轨迹：设动点坐标 (x,y,z)，由条件消去参数得方程，再与几何体表面求交，最后写清轨迹范围。 ·存在性：先假设存在、设参列式；有解且落在范围内则存在，无解或解不在范围内则不存在。 ·含参求角时先取绝对值得候选值，再按图形判断锐钝确定符号。 易错提醒 ·设参数不写取值范围，最后不检验，出现点在棱外的假解。 ·存在性问题只答“存在”，不写参数值或点的位置，步骤分不全。 ·动点轨迹只写方程不写范围（如只写 x=2，漏掉“线段 BC”）。 例题精练 35．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长为 2，点 E 在棱 BB₁ 上，且 BE=λ（0≤λ≤2）。若平面 AEC 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 ，求 λ 的值。 第 35 题图　正方体，E 在棱 BB₁ 上，BE=λ 答案 λ=。解：以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 为 x、y、z 轴，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，E(2,0,λ)。 =(2,2,0)，=(2,0,λ)，平面 AEC 的法向量 =(λ,-λ,-2)；平面 ABCD 的法向量 =(0,0,1)。 由 ==，得 λ²=2；又 λ∈[0,2]，故 λ=。 第 35 题解析图　平面 AEC 与底面 ABCD 所成的二面角 36．在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA=2，点 E 在棱 PD 上，且 PE∶PD=λ（0≤λ≤1）。若平面 EAC 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 ，求 λ 的值。 第 36 题图　四棱锥 P-ABCD，E 在棱 PD 上，PE∶PD=λ 答案 λ=。解：以 A 为原点，AB、AD、AP 为 x、y、z 轴，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， E(0,2λ,2-2λ)。=(2,2,0)，=(0,2λ,2-2λ)，平面 EAC 的法向量 =(1-λ,λ-1,λ)；底面 ABCD 的法向量 =(0,0,1)。 由 ==，得 3λ²=2(1-λ)²+λ²，即 λ²=(1-λ)²，故 λ=∈[0,1]。 第 36 题解析图　平面 EAC 与底面 ABCD 所成的二面角 37．在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点 M 在底面 ABCD 内运动，且满足 ||=||。求点 M 的轨迹。 第 37 题图　正方体，M 为底面 ABCD 内的动点 答案 点 M 的轨迹是线段 BC。解：以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 为 x、y、z 轴，设 M(x,y,0)（0≤x,y≤2），则 B₁(2,0,2)。 由 ||²=||² 得 x²+y²=(x-2)²+y²+4，即 4x=8，x=2。 又 M 在底面内，0≤y≤2，故轨迹为底面内直线 x=2 上的一段，即线段 BC。 第 37 题解析图　||=|| 的轨迹为线段 BC 38．在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点 M 在棱 CC₁ 上。判断是否存在点 M，使平面 ABM⊥平面 A₁BD；若存在，求出点 M 的位置，若不存在，说明理由。 第 38 题图　正方体，M 在棱 CC₁ 上 答案 存在，M 与 C₁ 重合。解：以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 为 x、y、z 轴，设 M(2,2,t)（0≤t≤2）。 =(2,0,0)，=(2,2,t)，平面 ABM 的法向量 =(0,-t,2)；=(-2,2,0)，=(-2,0,2)，平面 A₁BD 的法向量 =(1,1,1)。 令 ·=0，得 -t+2=0，即 t=2∈[0,2]。故存在点 M，且 M 与 C₁ 重合。 第 38 题解析图　平面 ABM⊥平面 A₁BD 时 M 与 C₁ 重合 本类小结 三类题共用一套流程：设参→列向量方程→解并按范围取舍；答案须回到“参数范围”与“点的位置”。 05 方法对照总表 类型 识别关键词 一句话做法 考频 一 线性运算与共线共面 化简、用基底表示、三点共线、四点共面 合并同类基；共线看比值，共面看系数和是否为 1 ★★★ 二 数量积与坐标运算 夹角、模、距离、垂直；直接给坐标 见模先自乘，见角先点乘，见坐标直接代 ★★★ 三 法向量与平行垂直 证明平行/垂直；给三点求法向量 两个方程一个自由变量，赋值取整 ★★★★ 四 线线角与线面角 异面直线所成角、直线与平面所成角 线线角余弦、线面角正弦，都取绝对值 ★★★★★ 五 二面角 二面角 X-l-Y 的余弦值或大小 法向量给候选值，正负看图定 ★★★★★ 六 距离公式 点到面、异面直线、线到面的距离 法向量 + 一个面内点，分子取绝对值 ★★★★ 七 综合大题 · 建系四步 三小问、正方体/棱锥/棱柱/菱形载体 建系—写点—求向量—代公式 ★★★★★ 八 参数 · 动点与存在性 求 λ、k；点在棱上运动；是否存在点 P 设参—列向量方程—解并按范围取舍 ★★★★ 06 答案速查 KEY 类型 1 2 3 4 5 6 7 一 2++ k=0 — — — — — 二 -3； -3；- — — — — — 三 (2,2,1) 证毕 证毕 证毕 证毕 证毕 证毕 四 — — — — — 五 — — — — — 六 — — — — — 七 见解析 见解析 见解析 见解析 见解析 见解析 见解析 八 λ= λ= 线段 BC M=C₁ — — — 表中 1–7 列依次对应该类中的第 1–7 题，题数不足的以“—”占位；第 1–10 题为选择、填空，答案见题后；第 28–38 题为多问综合题与拓展题，完整过程见逐题解析。 07 二级结论速查 结论 用途 正方体对角线 l=a 直接算体对角线 正方体中 A₁C⊥平面 BDC₁ 线面垂直直接用 正方体中 D₁A∥平面 BDC₁ 线面平行直接用 正四面体高 h=()a 算高或求体积 正四面体对棱互相垂直 线线垂直直接用 PA、PB、PC 两两垂直 可把 P 视为原点建系 正三棱锥底面中心在高线上 使底面中心落在 z 轴上 线面角的范围是 [0,] 判断角的类型（答题必写） 要点回顾：①按题干有无垂直条件，选几何法、坐标向量法或基底向量法；②向量法四步：建系、写点、求向量、代公式；③线线角、线面角不超过 90°，二面角结合图形定号，距离取绝对值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量与立体几何 学案 · 学生版 01 学习目标 1．能迅速把一道题归入某一类——线性运算、数量积、坐标运算、法向量、平行垂直、夹角、距离。 2．熟记共线定理与共面定理，会用“系数和为 1”判断四点共面。 3．会用 ·=||||cos〈,〉与坐标形式求模、求夹角、证垂直。 4．会用“两个方程一个自由变量”求平面法向量，赋值取整。 5．记住六种位置关系与“方向向量—法向量”的对应。 6．会用三条公式：线线角取余弦加绝对值、线面角取正弦、二面角取余弦再看图定号。 7．能独立完成期中大题三小问：第一问证明、第二问求角、第三问求距离，且书写规范。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·线性运算与共线共面判定 ·数量积与坐标运算 ·平面法向量的求法 ·六种平行垂直的向量判定 ·二面角与法向量夹角的符号关系（锐角还是钝角） ·线面角用正弦而不是余弦 ·建系原点的选择 ·综合大题的书写规范 易错清单 · 做题前先扫一遍 1．把“三个向量共面”与“四点共面”混为一谈——四点 P、A、B、C 共面须写成 =x+y+z 且 x+y+z=1。 2．把数量积当普通乘法用，写出 (·)=(·)——数量积不满足结合律。 3．求法向量只列一个方程就赋值，得到的向量并不垂直于整个平面。 4．线面角代余弦、二面角不看图就取法向量夹角，角的类型直接错。 5．建系不写“以……为原点，……为 x/y/z 轴”，坐标无法追溯，步骤分全丢。 6．距离公式分子不取绝对值，导致距离为负值。 03 知识结构图 ① 线性运算 · 共线共面 三条棱之和是体对角线；共面看系数和是否为 1 空间向量与立体几何 六 个 工 具 ④ 法向量 · 两个方程 两个不共线向量列两方程，赋值取整 ② 数量积 · 夹角与模 见模先自乘，见角先点乘，垂直 ⇔ 数量积为 0 ⑤ 平行垂直 · 六种判定 方向向量与法向量，点乘为零或成比例 ③ 坐标运算 · 距离 加减数乘照算，两点距离用平方和开方 ⑥ 夹角距离 · 三条公式 线线角余弦、线面角正弦、距离取绝对值 记忆要点：有垂直条件就建系，无垂直条件用几何法；求角先找方向向量与法向量，求距离先找法向量。 三条原则：①线线角、线面角都不超过 90°，公式中取绝对值；②二面角须结合图形定号，法向量夹角只是候选值；③距离公式的分子取绝对值。 04 基础自测 · 选择与填空 1．【基础】下列说法正确的是（　　） A．若 ·=0，则 =0 或 =0　　B．(·)=(·) C．若 ∥ 且 ≠0，则存在唯一实数 λ 使 =λ　　D．|·|=|||| 2．【基础】已知 =(1,2,-1)，=(-2,1,0)，则 ·=（　　） A．-4　　B．0　　C．4　　D．-2 3．【基础】在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，直线 A₁C 与平面 BDC₁ 的位置关系是（　　） A．平行　　B．垂直　　C．相交但不垂直　　D．A₁C 在平面内 4．【基础】已知 ||=1，||=2，〈,〉=60°，则 |-|=（　　） A．1　　B．　　C．　　D．3 5．【提升】直线 l 的方向向量 =(1,-1,2)，平面 α 的法向量 =(2,-2,4)，则 l 与 α 的关系是（　　） A．l∥α　　B．l⊥α　　C．l⊂α　　D．无法确定 6．【提升】二面角 α-l-β 的两个半平面的法向量分别为 =(1,0,0)，=(1,1,0)，且该二面角的平面角为钝角，则其余弦值为（　　） A．　　B．-　　C．　　D．- 7．【基础】已知 =(2,-1,3)，=(-4,2,-6)，则 a 与 b 的关系是　　　　（填“平行”“垂直”或“既不平行也不垂直”）。 8．【基础】在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点 A 到平面 BDC₁ 的距离为　　　　。 9．【提升】已知直线 l 的方向向量 =(1,1,0)，平面 α 的法向量 =(0,1,1)，则 l 与 α 所成角的正弦值为　　　　。 10．【提升】在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA=2，则二面角 P-BC-A 的余弦值为　　　　。 类型一 线性运算与共线共面 · 基础 模型特征 题干里出现“化简向量表达式”“用基底表示”“三点共线”“四点共面”“P 与 A、B、C 是否共面”，本质都是线性运算与共线、共面定理的判定，不需要建系。 通法三步 ①并：用三角形法则、平行四边形法则把同类基向量并成一项。 ②判共线：≠0 时，∥ ⇔ 存在唯一 λ 使 =λ；坐标形式即对应坐标成比例。 ③判共面： 与不共线的 、 共面 ⇔ 存在唯一 (x,y) 使 =x+y；四点用 =x+y+z 且 x+y+z=1。 要点：合并同类基，共线看比值，共面看系数和是否为 1。 核心结论（含推导） ·平行六面体中 ++=——三条棱出发的向量之和就是体对角线。 ·共线定理：≠0 时，∥ ⇔ 存在唯一 λ 使 =λ。 ·共面定理：、 不共线时， 与 、 共面 ⇔ 存在唯一 (x,y) 使 =x+y。 ·四点共面推论：O 为平面外一点，P、A、B、C 共面 ⇔ =x+y+z 且 x+y+z=1。 ·零向量与任意向量共线；但“两个向量必共面”不能推广到三个向量。 易错提醒 ·把“任意两个向量共面”当成“三个向量也共面”。 ·四点共面只写“可以表示”，漏掉 x+y+z=1。 ·共线比值写法遇到坐标为 0 时不单独讨论。 ·化简时把向量 与向量 的方向写反（相差一个负号），整式跟着变号。 例题精练 11．在平行六面体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，化简 +++ = 　　　　。 12．已知 A、B、C 三点不共线，O 为平面外一点，若 =2-+k，且 P 与 A、B、C 共面，则 k = 　　　　。 本类小结 两题同一思路：先合并同类基向量，再按共线、共面定理判定，化简结果与系数和须逐一核对。 类型二 数量积与坐标运算 · 基础 模型特征 题干里出现“夹角”“模”“距离”“垂直”，或直接给出坐标；正方体、长方体这类有垂直条件的载体，优先建系转坐标。 通法三步 ①用定义：·=||||cos〈,〉。 ②自乘求模：||²=·，求 |+| 先平方再开方。 ③坐标代入：·=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃，||=。 要点：见模先自乘，见角先点乘，见坐标直接代入。 核心结论（含推导） ·数量积：·=||||cos〈,〉；⊥ ⇔ ·=0。 ·夹角余弦：cos〈,〉=，结果为负说明夹角是钝角。 ·坐标运算：±=(a₁±b₁,a₂±b₂,a₃±b₃)，λ=(λa₁,λa₂,λa₃)，·=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃。 ·两点距离：A(x₁,y₁,z₁)、B(x₂,y₂,z₂)，||=。 ·共线坐标条件：∥ ⇔ 对应坐标成比例（分母为 0 时单独讨论）。 易错提醒 ·数量积不满足结合律：(·) 与 (·) 一般不相等；它满足交换律与分配律。 ·求 |+| 忘记“先平方再开方”，或漏掉中间的 2·。 ·夹角余弦漏除两个模，所得结果不是余弦值。 ·坐标共线写成比值，遇到 0 不讨论，得出相反结论。 例题精练 13．已知 ||=2，||=3，〈,〉=120°，则 · = 　　　　，|+| = 　　　　。 14．已知 =(1,-2,3)，=(2,1,-1)，则 · = 　　　　，cos〈,〉 = 　　　　。 本类小结 数量积题只有两个入口：给出模与夹角用定义，给出坐标代公式；求模一律先平方再开方。 类型三 法向量与平行垂直判定 · 基础 模型特征 题干要求“证明平行或垂直”，或给出三点求平面法向量；载体有垂直条件（正方体、长方体、PA⊥底面、直棱柱）时，优先用向量法。 通法三步 ①在平面内找两个不共线向量 、。 ②列方程组 ·=0，·=0。 ③解方程组，给一个变量赋整数值（不取零）。 要点：两个方程、一个自由变量，赋值取整数。 核心结论（含推导） ·法向量四步：设 =(x,y,z) → 找两个不共线向量 → 列两方程 → 赋值求解。 ·线线平行 ∥ ⇔ =λ；线线垂直 ⇔ ·=0。 ·线面平行 ⊥ ⇔ ·=0，且直线不在平面内；线面垂直 ∥ ⇔ =λ。 ·面面平行 ∥；面面垂直 ·=0，且两平面相交。 ·法向量不唯一，整体取反仍是法向量；线面角、点面距取绝对值不受影响，二面角须结合图形定锐钝再定符号。 易错提醒 ·只列一个方程就赋值——该向量只垂直于一个方向，不是法向量。 ·线面平行只写 ·=0，漏掉“直线不在平面内”。 ·面面垂直漏掉“两平面相交”。 ·赋值全取 0，得到的是零向量。 例题精练 15．已知平面 α 内三点 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则平面 ABC 的一个法向量为 　　　　。 16．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 为 AB 中点，F 为 A₁B₁ 中点，求证：EF∥AA₁。（用向量法证明） 17．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：AC₁⊥BD。（用向量法证明） 18．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：D₁A∥平面 BDC₁。（用向量法证明） 19．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：A₁C⊥平面 BDC₁。（用向量法证明） 20．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：平面 AB₁D₁∥平面 BDC₁。（用向量法证明） 21．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：平面 A₁ACC₁⊥平面 BDD₁B₁。（用向量法证明） 本类小结 七题同一流程：先求平面的法向量，再用“点乘为零”或“坐标成比例”完成平行、垂直的判定。 类型四 线线角与线面角 · 提升 模型特征 题干里出现“异面直线所成角”“直线与平面所成角”，结果都落在 [0,] 内，一定非负。 通法三步 ①写出两条直线的方向向量 、。 ②线面角再求平面的法向量 。 ③代公式并取绝对值，最后写出角的范围。 要点：线线角用余弦，线面角用正弦，结论后注明范围 [0,]。 核心结论（含推导） ·线线角：cosθ=，θ∈[0,]。 ·线面角：sinθ=，θ∈[0,]——方向向量与法向量的夹角与线面角互余，所以用正弦。 ·等价的几何算法：sinθ 等于点到平面的距离除以该点到斜足的距离。 ·正方体中求角，棱长统一设为 1 或 2，坐标越简单越不出错。 易错提醒 ·线面角代了余弦公式，算出的值可能大于 1。 ·线线角不取绝对值，算出钝角。 ·法向量取反后忘记取绝对值，把符号带进结果。 ·不写 θ∈[0,]，结论不完整。 图 1　线面角与法向量：sinθ = 例题精练 22．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求异面直线 A₁B 与 AD₁ 所成角的余弦值。 23．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求直线 A₁B 与平面 AB₁D₁ 所成角的正弦值。 本类小结 两题均在正方体中完成，流程为“写方向向量→求法向量→代公式取绝对值”；线面角只能用正弦。 类型五 二面角 · 提升 模型特征 题干求“二面角 X-l-Y 的余弦值或大小”，也常是大题的第二问。二面角范围是 [0,π]，可能为钝角。 通法三步 ①分别求两个半平面的法向量 、。 ②算出 cos〈,〉作为候选值。 ③回图上判断两个半平面张开的方向，决定取正还是取负。 要点：法向量夹角只是候选值，正负由图判定。 核心结论（含推导） ·cosθ= 是二面角为锐角时的值；若图上为钝角，则取其相反数。 ·二面角与法向量夹角的关系：相等或互补，二选一，必须回到图上确认。 ·也可在棱上取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的向量，这两个向量的夹角就是二面角的平面角。 ·对称载体（正方体、正三棱锥）可先用几何法看出锐钝，再用向量验算。 易错提醒 ·直接取法向量夹角，把钝角写成锐角（或反之），符号全错。 ·把二面角的范围写成 [0,]。 ·仅凭图形直观定号，未给出判断依据。 ·两个法向量一个取反、一个不取反，符号混乱。 图 2　二面角的平面角 θ 与两法向量夹角 φ：锐角取正，钝角取负 例题精练 24．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求二面角 A-BD₁-A₁ 的余弦值。 25．在正三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC=AB=2，求二面角 P-AB-C 的余弦值。 本类小结 二面角的难点集中在符号：法向量夹角给出候选值，须结合图形判断锐钝后才能定号。 类型六 距离公式 · 提升 模型特征 题干求“点到平面的距离”“异面直线的距离”“直线到平面的距离”，或综合大题的第三问。 通法三步 ①求出平面的法向量 。 ②在平面内取一点 A，再取平面外一点 P，得向量 。 ③代入 d=，分子结果取绝对值。 要点：一点在面内、一点在面外，投影长度即距离。 核心结论（含推导） ·点到平面：d=，分子必须取绝对值。 ·线到面、面到面：转化为“线上（面上）一点到平面的距离”。 ·异面直线：设公垂线的方向向量 =(x,y,z)，由 与两条方向向量都垂直列两个方程解出 ，再在各直线上取一点 A、B，d=。 ·棱长为 a 的正方体，体对角线为 a，可用来检验答案量级。 易错提醒 ·分子不取绝对值，算出负距离。 ·两个端点都取在平面内，代入得距离为 0。 ·异面直线距离用错 ：必须是同时垂直两个方向的公垂线方向。 ·忘记先求法向量，直接把某条线段长当成距离。 图 3　异面直线 AB、CD 的距离：d = 例题精练 26．在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求点 A₁ 到平面 AB₁D₁ 的距离。 27．在棱长为 1 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求异面直线 AC 与 BD₁ 的距离。 本类小结 距离题统一为“法向量 + 一个面内点”；异面直线只需把法向量换成公垂线方向。 类型七 综合大题 · 建系四步 · 提升 模型特征 三小问的大题，载体是正方体、三棱锥、四棱锥、直棱柱、菱形底面。第一问证明，第二问求角，第三问求距离。 通法四步 ①建系：找三条两两垂直的棱，写清原点和三个坐标轴的方向。 ②写点：把用到的每个点的坐标在图上标一遍。 ③求向量、求法向量。 ④分问作答，每问都以“由……得……”开头。 要点：建系—写点—求向量—代公式，四步齐全即为规范步骤。 核心结论（含推导） ·正方体：以一个顶点为原点，三条棱为 x、y、z 轴，棱长设为 a 或直接取 2。 ·PA⊥底面且底面为矩形（正方形）：以 A 为原点，AB、AD、AP 为 x、y、z 轴。 ·直棱柱：底面放在 xy 平面，侧棱为 z 轴，底面直角顶点作原点。 ·菱形、正三角形底面：先用 60°、120° 的三角值算清底面各点坐标，再向上升。 ·三问共享同一套点坐标与法向量，第二问求出的 常常直接给第三问用。 易错提醒 ·建系不写“以……为原点，……为 x/y/z 轴”，后面的坐标无处可依。 ·点坐标符号写错，尤其是 z 轴负方向与底面平移。 ·每问重算一遍法向量，前后结果不一致。 ·只写答案不写过程，证明题拿不到步骤分。 图 4　正方体建系：以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 为 x、y、z 轴 例题精练 28．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长为 2，E、F 分别为 BB₁、DD₁ 的中点。 （1）求证：平面 AEC₁F⊥平面 AA₁C₁C； （2）求直线 A₁B 与平面 AEC₁F 所成角的正弦值； （3）求点 B 到平面 AEC₁F 的距离。 第 28 题图　正方体中的截面 AEC₁F 29．在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2，D 为 BC 的中点。 （1）求证：AD⊥BC； （2）求二面角 B-PC-A 的余弦值； （3）求点 A 到平面 PBC 的距离。 第 29 题图　三棱锥 P-ABC，PA⊥底面 ABC，D 为 BC 的中点 30．在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，PA=AB=2，E 为 PC 的中点。 （1）求证：BD⊥平面 PAC； （2）求二面角 A-PC-B 的余弦值； （3）求点 D 到平面 PAB 的距离。 第 30 题图　四棱锥 P-ABCD，E 为 PC 的中点 31．如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为 AD 的中点，将△ABE 沿 BE 折起至△A₁BE，使 A₁ 在底面 BCDE 上的射影为 BE 的中点 O。 （1）求证：平面 A₁BE⊥平面 BCDE； （2）求二面角 A₁-BC-E 的余弦值。 图 5　折叠问题：沿 BE 折起，A₁ 的射影为 BE 的中点 O 32．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长为 2，E 为 BB₁ 的中点。问：在 DD₁ 上是否存在点 F，使得平面 AEF⊥平面 A₁ACC₁？若存在，求出 F 的位置；若不存在，说明理由。 第 32 题图　正方体，F 为棱 DD₁ 上的点 33．在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，底面是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，D 为 AB 的中点。 （1）求证：CD⊥平面 A₁ABB₁； （2）求直线 A₁C 与平面 A₁ABB₁ 所成角的正弦值； （3）求点 C 到平面 A₁BD 的距离。 第 33 题图　直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁，D 为 AB 的中点 34．在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面 ABCD，PA=AB=2，E 为 PD 的中点。 （1）求证：BD⊥平面 PAC； （2）求二面角 P-BE-A 的余弦值； （3）求点 E 到平面 PBC 的距离。 第 34 题图　四棱锥 P-ABCD，底面为菱形，E 为 PD 的中点 本类小结 七题共用一套流程：先建系、再写点；三小问共用同一组坐标，法向量只需求一次。 类型八 参数 · 动点与存在性问题 · 拓展 模型特征 题干出现“求实数 λ（或 k）的值”“点在棱上运动”“是否存在点 P，使……”时，先设参数表示动点坐标，再把条件翻译成向量方程；解在允许范围内即为存在。 通法三步 ①设参：把动点坐标用参数 t（或 λ）表示，并注明取值范围。 ②列式：把垂直、平行、夹角、距离等条件写成含参的向量方程。 ③定解：解方程并按范围取舍；存在性问题须写明“存在”及点的位置，或说明不存在的理由。 核心结论（含推导） ·参数题的本质是“含参坐标 + 向量条件”，方程个数与参数个数相同即可解出。 ·动点轨迹：设动点坐标 (x,y,z)，由条件消去参数得方程，再与几何体表面求交，最后写清轨迹范围。 ·存在性：先假设存在、设参列式；有解且落在范围内则存在，无解或解不在范围内则不存在。 ·含参求角时先取绝对值得候选值，再按图形判断锐钝确定符号。 易错提醒 ·设参数不写取值范围，最后不检验，出现点在棱外的假解。 ·存在性问题只答“存在”，不写参数值或点的位置，步骤分不全。 ·动点轨迹只写方程不写范围（如只写 x=2，漏掉“线段 BC”）。 例题精练 35．在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长为 2，点 E 在棱 BB₁ 上，且 BE=λ（0≤λ≤2）。若平面 AEC 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 ，求 λ 的值。 第 35 题图　正方体，E 在棱 BB₁ 上，BE=λ 36．在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA=2，点 E 在棱 PD 上，且 PE∶PD=λ（0≤λ≤1）。若平面 EAC 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 ，求 λ 的值。 第 36 题图　四棱锥 P-ABCD，E 在棱 PD 上，PE∶PD=λ 37．在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点 M 在底面 ABCD 内运动，且满足 ||=||。求点 M 的轨迹。 第 37 题图　正方体，M 为底面 ABCD 内的动点 38．在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点 M 在棱 CC₁ 上。判断是否存在点 M，使平面 ABM⊥平面 A₁BD；若存在，求出点 M 的位置，若不存在，说明理由。 第 38 题图　正方体，M 在棱 CC₁ 上 本类小结 三类题共用一套流程：设参→列向量方程→解并按范围取舍；答案须回到“参数范围”与“点的位置”。 05 方法对照总表 类型 识别关键词 一句话做法 考频 一 线性运算与共线共面 化简、用基底表示、三点共线、四点共面 合并同类基；共线看比值，共面看系数和是否为 1 ★★★ 二 数量积与坐标运算 夹角、模、距离、垂直；直接给坐标 见模先自乘，见角先点乘，见坐标直接代 ★★★ 三 法向量与平行垂直 证明平行/垂直；给三点求法向量 两个方程一个自由变量，赋值取整 ★★★★ 四 线线角与线面角 异面直线所成角、直线与平面所成角 线线角余弦、线面角正弦，都取绝对值 ★★★★★ 五 二面角 二面角 X-l-Y 的余弦值或大小 法向量给候选值，正负看图定 ★★★★★ 六 距离公式 点到面、异面直线、线到面的距离 法向量 + 一个面内点，分子取绝对值 ★★★★ 七 综合大题 · 建系四步 三小问、正方体/棱锥/棱柱/菱形载体 建系—写点—求向量—代公式 ★★★★★ 八 参数 · 动点与存在性 求 λ、k；点在棱上运动；是否存在点 P 设参—列向量方程—解并按范围取舍 ★★★★ 06 二级结论速查 结论 用途 正方体对角线 l=a 直接算体对角线 正方体中 A₁C⊥平面 BDC₁ 线面垂直直接用 正方体中 D₁A∥平面 BDC₁ 线面平行直接用 正四面体高 h=()a 算高或求体积 正四面体对棱互相垂直 线线垂直直接用 PA、PB、PC 两两垂直 可把 P 视为原点建系 正三棱锥底面中心在高线上 使底面中心落在 z 轴上 线面角的范围是 [0,] 判断角的类型（答题必写） 要点回顾：①按题干有无垂直条件，选几何法、坐标向量法或基底向量法；②向量法四步：建系、写点、求向量、代公式；③线线角、线面角不超过 90°，二面角结合图形定号，距离取绝对值。 学科网（北京）股份有限公司 $