4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的应用同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 4.3.2 等比数列的前n项和公式 第课时 等比数列前n项和的应用 一、知识点自测 知识点　前n项和解决平面几何问题 1.把一个边长为的正方形等分成九个全等的小正方形,将中间的一个正方形挖掉(如图①);再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形,并将中间的一个正方形挖掉(如图②);如此继续下去. 图③中共挖掉了________个正方形; 第n个图形中,共挖掉了________个正方形,这些挖掉的正方形的面积之和是________. 2.如图,作一个边长为的正方形,再将各边的中点相连作第二个正方形,依此类推,共作了个正方形.设这个正方形的面积之和为,则（ ） A． B． C． D． 3.作边长为的正三角形的内切圆,然后作这个圆的内接正三角形,然后再作新三角形的内切圆.如此下去,则前n个内切圆的面积和为（ ） A． B． C． D． 知识点　前n项和研究增长率问题 1.某家庭打算以一年定期的方式存款,计划从年起,每年年初到银行新存入a元,年利率p保持不变,并按复利计算,到年年初将所有存款和利息全部取出,共取回多少元? 2.某市共有万辆燃油型公交车.有关部门于年投入辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加. 该市在年应该投入电力型公交车多少辆? 到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的? 知识点　递推公式在实际问题中的应用 1.为落实《中共中央、国务院关于进一步深化农村改革 扎实推进乡村全面振兴的意见》,某农村合作社拟引进先进技术提升某农产品的深加工工艺,以此达到年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的倍再减去的目标.已知第一年年)合作社该农产品的销售额为万元,则按照计划合作社从年到年该农产品的销售总额约为(参考数据:)（ ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 2.某企业年年初有资金千万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到.每年年底扣除下一年的消费基金千万元后,剩余资金投入再生产.设从年的年底起,每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为. 写出,并证明数列是等比数列; 至少到哪一年的年底,企业的剩余资金会超过千万元?(,) 二、课后练习 A组 夯实基础 .设首项为,公比为的等比数列的前n项和为,则（ ） A． B． C． D． .一个热气球在第一分钟上升了 m的高度,在以后的每一分钟,它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的,该热气球前分钟上升的总高度为（ ） A． m B． m C． m D． m .已知数列的前n项和,则数列的前项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比值为（ ） A． B． C． D． .如图,三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形,每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点.现用 m长的铁丝材料制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网,若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为 m,则最小的正三角形的边长为（ ） A． B． C． D． .设等比数列的前n项和为,且,则（ ） A． B． C． D． .设是公比为正数的等比数列,,.设的前n项和为,. 求与的通项公式; 求数列的前n项和; 设,求数列的前n项和. B组 能力提升　 .已知数列满足,在和之间插入n个,构成数列:,则数列的前项的和（ ） A． B． C． D． 多选)计算机病毒危害很大,一直是计算机科学家研究的对象.当计算机内某文件感染病毒后,该病毒文件就不断地传染其他未感染的文件.计算机科学家们研究的计算机病毒传染指数,即一个病毒文件在 min内平均传染的文件数.某计算机病毒的传染指数,一台计算机有个文件,若该计算机有一半以上文件感染,则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件,且未经杀毒处理,则下列说法中正确的有（ ） A．在第 min内,该计算机新感染的文件为个 B．经过 min,该计算机共有个病毒文件 C．后,该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前,每分钟内新感染的文件数成公比为的等比数列 .设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,,则（ ） A． B． C．是数列中的最大项 D．数列无最大项 .已知数列满足,前n项和为,,则等于（ ） A． B． C． D． .已知正项等比数列的前n项和为.若-,,成等差数列,则________,且的最小值为________. .去年某地产生的生活垃圾为万吨,其中万吨垃圾以填埋方式处理,万吨垃圾以焚烧方式处理.预计生活垃圾的总量每年递增,同时,通过焚烧方式处理的垃圾量每年增加万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列,每年以焚烧方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列. 求数列和数列的通项公式; 为了确定处理生活垃圾的预算,请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到万吨).(参考数据:,,) C组 思考题 在购买住房、轿车等商品时,一次性付款可能会超出一些买主的支付能力,贷款消费不失为一种可行的选择,但是也要量入为出,理智消费.某家庭计划在今年元旦从某银行贷款万元购置一辆轿车,贷款时间为个月.该银行现提供了两种可选择的还款方案:方案一是以月利率的复利计息,每月底还款,每次还款金额相同;方案二是以季度利率的复利计息,每季度末还款,每次还款金额相同.(注:复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金,再计算下一期的利息) 分别计算选择方案一、方案二时,该家庭每次还款金额为多少万元.(结果精确到小数点后三位,参考数据:,) 从每季度还款金额较少的角度看,该家庭应选择哪种方案?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修 第二册 4.3.2 等比数列的前n项和公式 第课时 等比数列前n项和的应用 一、知识点自测 知识点　前n项和解决平面几何问题 1.把一个边长为的正方形等分成九个全等的小正方形,将中间的一个正方形挖掉(如图①);再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形,并将中间的一个正方形挖掉(如图②);如此继续下去. 图③中共挖掉了________个正方形; 第n个图形中,共挖掉了________个正方形,这些挖掉的正方形的面积之和是________. 【答案】　； 【详解】设第n个图形共挖掉个正方形, 则, 所以. 故图③中共挖掉了个正方形; 第n个图形共挖掉了个正方形. 由于原正方形的边长为,其面积为,且第k次挖掉的正方形的边长为,面积为, 则这些被挖掉的正方形的面积之和为 . 2.如图,作一个边长为的正方形,再将各边的中点相连作第二个正方形,依此类推,共作了个正方形.设这个正方形的面积之和为,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意,第一个正方形的边长为,其面积为,再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形,依此类推每一个小正方形的面积都是前边正方形面积的, 这些正方形的面积组成以为首项,为公比的等比数列, 则这个正方形的面积和.故选B. 3.作边长为的正三角形的内切圆,然后作这个圆的内接正三角形,然后再作新三角形的内切圆.如此下去,则前n个内切圆的面积和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第n个正三角形的内切圆的面积为, 从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的, 则每一个正三角形的内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的,其面积为前一个正三角形内切圆面积的, 则数列是公比为的等比数列. 第一个正三角形的边长为,其内切圆的半径,其面积, 则前n个内切圆的面积和.故选B. 知识点　前n项和研究增长率问题 1.某家庭打算以一年定期的方式存款,计划从年起,每年年初到银行新存入a元,年利率p保持不变,并按复利计算,到年年初将所有存款和利息全部取出,共取回多少元? 【答案】 【详解】设从年年初到年年初每年存入a元的本利和组成数列, 则, 故数列是以为首项,为公比的等比数列. 所以年年初这个家庭应取出的钱数(单位:元)为 . 2.某市共有万辆燃油型公交车.有关部门于年投入辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加. 该市在年应该投入电力型公交车多少辆? 到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的? 【答案】（1）(辆)；（2）年. 【详解】每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列,其中,. 所以年应投入电力型公交车的数量为(辆). 设的前n项和为,则 . 由,得,即 , 解得. 所以该市到年年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. 知识点　递推公式在实际问题中的应用 1.为落实《中共中央、国务院关于进一步深化农村改革 扎实推进乡村全面振兴的意见》,某农村合作社拟引进先进技术提升某农产品的深加工工艺,以此达到年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的倍再减去的目标.已知第一年年)合作社该农产品的销售额为万元,则按照计划合作社从年到年该农产品的销售总额约为(参考数据:)（ ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】A 【详解】设该合作社在年,年,…,年的销售额分别为. 由题意,可得,则. 又因为,所以数列是首项为,公比为的等比数列, 则,即. 所以, 故从年到年该产品的销售总额约为万元.故选A. 2.某企业年年初有资金千万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到.每年年底扣除下一年的消费基金千万元后,剩余资金投入再生产.设从年的年底起,每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为. 写出,并证明数列是等比数列; 至少到哪一年的年底,企业的剩余资金会超过千万元?(,) 【答案】（1）见解析；（2）年 【详解】证明:由题意可知,. 因为,所以. 又因为,所以是首项为,公比为的等比数列. 由知,,所以. 令,即, 解得,所以, 所以至少到年的年底,企业的剩余资金会超过千万元. 二、课后练习 A组 夯实基础 .设首项为,公比为的等比数列的前n项和为,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在等比数列中,.故选B. .一个热气球在第一分钟上升了 m的高度,在以后的每一分钟,它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的,该热气球前分钟上升的总高度为（ ） A． m B． m C． m D． m 【答案】C 【详解】由题意可知,热气球每分钟上升的高度构成等比数列,且首项,公比, 则该热气球在前分钟里上升的总高度为m.故选C. .已知数列的前n项和,则数列的前项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时,,又, 即前项分别为, 所以,, 所以.故选C. .如图,三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形,每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点.现用 m长的铁丝材料制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网,若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为 m,则最小的正三角形的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知,该三角形蜘蛛网中正三角形的周长从大到小是以为首项,为公比的等比数列, 设最小的正三角形的边长为m,则 ,则,即,得, 故最小的正三角形的边长为m.故选A. .设等比数列的前n项和为,且,则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为q. 由,得, 即, 而,则. 因此, 所以.故选C. .设是公比为正数的等比数列,,.设的前n项和为,. 求与的通项公式; 求数列的前n项和; 设,求数列的前n项和. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【详解】由题意是公比为正数的等比数列,,. 设公比为,则,所以,解得, 故. 由的前n项和为,得当时,. 当时,. 也适合上式,故. 由题意可得 . 由得, 故. B组 能力提升　 .已知数列满足,在和之间插入n个,构成数列:,则数列的前项的和（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在和之间插入n个,构成数列, 则从到共有(个)数. 当时,,当时,. 由于,所以. 故选C. 多选)计算机病毒危害很大,一直是计算机科学家研究的对象.当计算机内某文件感染病毒后,该病毒文件就不断地传染其他未感染的文件.计算机科学家们研究的计算机病毒传染指数,即一个病毒文件在 min内平均传染的文件数.某计算机病毒的传染指数,一台计算机有个文件,若该计算机有一半以上文件感染,则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件,且未经杀毒处理,则下列说法中正确的有（ ） A．在第 min内,该计算机新感染的文件为个 B．经过 min,该计算机共有个病毒文件 C．后,该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前,每分钟内新感染的文件数成公比为的等比数列 【答案】ABC 【详解】设第之内新感染的文件数为,前n min内新感染的文件数之和为,则,且. 由,得当时,,两式相减得, 所以.又,. 所以每分钟内新感染的文件数构成以为首项,为公比的等比数列,所以. 在第 min内,新感染了(个)文件.故选项A正确. 经过 min,该计算机共有(个)病毒文件.故选项B正确. min后,该计算机感染病毒的文件总数为, 所以该计算机处于瘫痪状态.故选项C正确. 该计算机瘫痪前,每分钟内新感染的文件数成公比为的等比数列.故选项D不正确. 故选ABC. .设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,,则（ ） A． B． C．是数列中的最大项 D．数列无最大项 【答案】A 【详解】当时,,不成立; 当时,,,不成立. 故,且,故,故A正确; ,故B错误; 因为,所以是数列中的最大项,故C,D错误. 故选A. .已知数列满足,前n项和为,,则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在数列中,,由,得,, 则有, 因此数列是以为首项,为公比的等比数列, 数列是以为首项,为公比的等比数列,所以 . 故选B. .已知正项等比数列的前n项和为.若-,,成等差数列,则________,且的最小值为________. 【答案】　 【详解】由题意知,所以. 由为等比数列可知成等比数列, 所以, , 当且仅当时,等号成立. .去年某地产生的生活垃圾为万吨,其中万吨垃圾以填埋方式处理,万吨垃圾以焚烧方式处理.预计生活垃圾的总量每年递增,同时,通过焚烧方式处理的垃圾量每年增加万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列,每年以焚烧方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列. 求数列和数列的通项公式; 为了确定处理生活垃圾的预算,请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到万吨).(参考数据:,,) 【答案】（1）,；（2）见解析 【详解】由题意,从今年起每年生活垃圾的总量构成数列,每年以焚烧方式处理的垃圾量构成数列, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, 数列是以为首项,为公差的等差数列, 故,. 设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为,则 , 当时,,　 所以今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为万吨. C组 思考题 在购买住房、轿车等商品时,一次性付款可能会超出一些买主的支付能力,贷款消费不失为一种可行的选择,但是也要量入为出,理智消费.某家庭计划在今年元旦从某银行贷款万元购置一辆轿车,贷款时间为个月.该银行现提供了两种可选择的还款方案:方案一是以月利率的复利计息,每月底还款,每次还款金额相同;方案二是以季度利率的复利计息,每季度末还款,每次还款金额相同.(注:复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金,再计算下一期的利息) 分别计算选择方案一、方案二时,该家庭每次还款金额为多少万元.(结果精确到小数点后三位,参考数据:,) 从每季度还款金额较少的角度看,该家庭应选择哪种方案?请说明理由. 【答案】（1）(万元)，万元；（2）见解析 【详解】若选择方案一: 设该家庭每月应还款a万元,则, 即,解得 (万元); 若选择方案二: 设该家庭每季度应还款b万元,则有, 即,解得 万元. 因为, 所以从每季度还款金额较少的角度看,该家庭应选择第一种方案. 学科网（北京）股份有限公司 $