4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 4.3.2 等比数列的前n项和公式 第课时 等比数列的前n项和 一、知识点自测 知识点　等比数列的前n项和 1. 已知正项等比数列的前n项和为,若,,则的公比为（ ） A． B． C． D． 在等比数列中,若,,,求n和公比q. 多选)在公比q为整数的等比数列中,是数列的前n项和.若,,则下列说法正确的有（ ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为的等差数列 3.在等比数列中,其前n项和为.若公比,,则________. 4.在等比数列中,为其前n项和,解决下列问题: 若,求; 若,,求; 若,公比,,求和n. 知识点　等比数列前n项和的性质 1. 若等比数列的前n项和为,,,则为 A． B． C． D．或- 若等比数列共)项,其所有项的和为-,且奇数项的和比偶数项的和大,则公比q=________. 2. 若等比数列的前n项和为 ，,求. 3.若等比数列的前n项和为 公比,,求. 4.在等比数列中,公比,前项的和,则________. .若等比数列的前n项和,则________. 知识点　错位相减法求数列的和 1. 已知数列的前n项和为,且,则________; 求数列()的前n项和. 2.已知数列的前n项和为,满足. 求数列的通项公式; 若,求数列的前n项和. 二、课后练习 A组 夯实基础 .已知等比数列的前n项和为,若,,则（ ） A． B．- C．- D．- .设等比数列的前n项和为,若,则（ ） A． B． C． D． .在各项均为正数的等比数列中,,且成等差数列,记是数列的前n项和,则（ ） A． B． C． D． .（ ） A． B． C． D． .已知各项均为正数的等比数列的前项和为,前项和为,则该数列的前项和为（ ） A． B． C． D． .在等比数列中,已知,公比,前k项和(),则k的值为________. .在等比数列中,已知对任意正整数n,,则等于________. .已知数列的前n项和为,且满足,. 证明数列为等比数列,并求它的通项公式; 设,求数列的前n项和. B组 能力提升 .设等比数列的前n项和为,前n项的倒数之和为,则的值为（ ） A． B． C． D． 多选)已知是首项为的等比数列,是的前n项和,且,则（ ） A．公比 B． C．数列的前项和为 D． .设等比数列的前n项和为.若,,则等于（ ） A． B． C． D． .设等比数列的前n项和为,若,则等于（ ） A． B． C． D． .设等比数列的前n项和为,且,,则（ ） A． B． C． D． .设等比数列的前n项和为.若成等差数列,且,则的值为________. .已知等比数列共有项,若它的所有项的和是奇数项的和的倍,则公比q=________. .在等比数列中,公比,前项的和,求的值. .已知数列满足,数列满足,. 求数列的前项和; 求数列的前n项和. C组 思考题 .设数列的前n项和为,且,则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A． B． C． D． .已知是正项等比数列的前n项和,且,则的最小值为（ ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第二册 4.3.2等比数列的前n项和公式 第1课时等比数列的前n项和 一、知识点自测 知识点1等比数列的前n项和 1-1已知正项等比数列a,的前n项和为s。若S,=3S4=30则a,的公比为（） B. 1-2 C.2 D.3 【答案】D 【详解】血题意可知数列a,的公比g≠1符三-1-2=1+g2=10q=g因为g≥0所 S21-q 以q=3.故选D. 2在等比数列a,中，若a,+a,=34a,a1=64S,=62求n和公比g 〔答案】n=5,955或q=2 【详解】由等比数列的性质得a1an=a2an-1=64 因为a1+an=34,a1an=64, 所以a1,an为方程x-34x+64=0的两根. 又方程的两根分别为2,32， 所以a1=32,或a1=2, an=2an=32. 当a1=32,an=2时， s,=g9=2,9=号 1-q 由a,=a4q,得2=32×号P1,得n=5 当a,=2,a,=32时，由S,-01-09=62,得g=2 1-q 由a,=a1g-1,得32=2×2-得n=5 综上可知，n=5,q=2或q=2. 2.(多选)在公比g为整数的等比数列a中s,n是数列a,的前n项和.若a,+a4=9 a,+a,=6:则下列说法正确的有() A.q=2 B.数列S,+1是等比数列 C.Sg=255 D.数列lga,是公差为2的等差数列 【答案】ABC 【详解】因为a1+a4=9,a2+a3=6, 所以a,(1+g2)=9a(q+q2)=6 又公比q为整数，解得a1=q=2. 所以a,=2 11-2=2-1 Sn 1-2 所以s=2-1=255 因为S,+1=2所以数列S,+1是公比为2的等比数列 因为1ga,=n-1)lg2所以数列ga,J是公差为1g2的等差数列. 综上可得，A,B,C正确.故选ABC. 1 3.在等比数列a中，其前n项和为5m若公比q=-专S,=7,则a= 【答案】9 【详解】因为S, a1号 0=7所以a,=9 7 1-3 4在等比数列a,中，S为其前n项和，解决下列问恩： 1若a,=3求s 2若a1+a3=6,a4+a6=48,求S5: 3若Sn=510,公比q=2,an=256,求a1和n 【容案1)120：(2)1g5.en=a 【详解】设数列a的公比为a 1因为a,=3”=3×31,所以a1=3q=3 所以5，= ×(1-3 =120 1-3 2由题意，得a+a192=6, a19°+a1q°=48， 6 la-5' 解得 9=2. 从而5，-a1(1-g)11-9)=6×1-2=186 1-25 3)方法)血5.=11-g4,=a,q及已知条件，得 1-q 510=0,(1-2 1-2 256=a1*2-1, 解得a1=2, n=8. (仿法二)由公式5=1-0,9及己知条件， 1-q 得510=01-256×2 1-2 —,解得a1=2. 又由a,=a,g-1得256=2×2，解得n=8 知识点2等比数列前n项和的性质 11若等比数列a,的前n项和为s,S,=3S。=63则s,为 A.15 B.28 C.21 D.15或-12 2若等比数列a,共2mm∈N)项，其所有项的和为180：且奇数项的和比偶数项的和大 60,则公比q= 【答案】1)A;(2) 2 【详解】设等比数列a,的公比为a 因为a,为等比数列， 所以S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列， 即3，S4-3,63-S4成等比数列. 由S4-32=3×(63-54得S4=15或S4=-12 又因为s4=a,+a,+a,+a4=a,+a+a,q+a,q2=(a1+a,川1+q)=S2(1+q)>S 所以S4=15 2号根据婴痕得8g+5180, S奇-S偶=60， 所以S=-120, Sg=-60. S程=-60=1， 所以45-1202 2若等比数列a,的前n项和为S。’S,=3,S0=9求a1+a2+ag+a24+a5 【答案】48 【详解】设等比数列a,}的公比为a,因为S2-Sn=q'S, 所以50-5，=qS,所以g-3=3g所以q=2 所以a1+an+a+a4+a5=a1q”+a,q0+a390+a4”+a,9” =q2"(a1+a2+a+a4+a)=q”S5=24×3=48 3.若等比数列a的前n项和为S,公比q=3S,=4求s10 【答案】976 【详解】50=S+qS,=4+35×4=4+972=976 4在等比数列[a中，公比g=2前60项的和S0=36,则a,+a4+a。++a0=一 【答案】24 【详解】设A=a2十Q4十a6+…+a60, B=a1+Q3+a5+…+a59: 由会q-208= 2 又A+B=S0=36,所以3A=36,解得A=24 所以a2+a4+a6+…+Q60=24 5若等比数列a的前n项和s,=3×2+r则 【答案】-3 【详解】因为S,=3×2”+r 所以当n≥2时a,=Sn-S-1=3×2”+r-(3×21+r)=3×2-1 当n=1时，a1=S1=6+r. 因为a为等比数列，所以6+r=3解得，=-3 知识点3错位相减法求数列的和 1-1已知数列a]的前n项和为S。,且a,=nm2-,则S,=一： 2求数列(2n+1)a-a≠0的前n项和 n(n+2),a=1, 【答案】(1)Sn=(n-1)2+1:(2)Sm={3-(2n+1)a+2(a-a 1-a 1-aP,a*1. 【详解】1)因为a,=m2- 所以s,=1×2+2×2+3×2++n×2-0, 所以2S=1×2+2×2++(n-1)×2-1+n×2②， ①-②，得 8器2 =2"-1-n×2 =1-n)2"-1. 所以s.=(n-1)2"+1 2设数列(2n+1)a-的前n项和为S。 当a=1时，数列变成3,5,7,9，…，2n+1,…, 则s.-n3+2n+1=nin+2 2 当a≠1时，有s,=3+5a+7a2+9a2++(2n+1)a-1①， aSn=3a+5a2+7a3+9a4+…+(2n-1)a-1+(2n+1)a②. ①-②，得sn-aS,=3+2a+2a2+2a+…+2a1-(2n+1)a 所以1-aSn=3-(2n+1)a+2(a+a2+a3+…+a- =3-(2n+1)a+2×a1-a- 1-a =3-(2n+1)a+ 2(a-a” 1-a 又1-a≠0， 所以s,=3-2n+1ja2a-a 1-a 1-a2 综上所述， n(n+2),a=1, Sm=3-(2n+1)a+2(a-a ,a≠1. 1-a 1-a2 2已知数列a的前n项和为s,满足s。=n+2n 1求数列a的通项公式： 2若b,=2”a求数列b,的前n项和T, 【答案】（1)a,=2n+1（2》(2n-1)×2*1+2 【详解】1根据题意知s,=n+2n 当n≥2时，Sn1=n-1P+2(n-1 两式相减即得a,=n2+2n-[(n-12+2(n-1)]=2n+1 当n=1时，a1=3,满足上式，所以an=2n+1 2由1得b,=2”a,=(2n+1)2" 则T。=b,+b,+…+bn=3×2+5×2+…+(2n+1)×20 2Tn=3×22+5×23+…+(2n+1)×2m+1), 两式相减可得 -Tm=3×2+2×22+2×23+…+2×2-(2n+1)×2+1), 即-Tn=6+2×(22+23++2)-(2n+1)×2+1 =6+2×(2”+1-4)-(2n+1)×2m+1 =2n+2-2-(2n+1）×2"+1 =(1-2n)×2+1-2, 故T.=(2n-1)×2-1+2 二、课后练习 A组夯实基础 1已知等比数列a,的前n项和为S,若a,=-1a4=-27则s,=（） A.121 B.-13 C.-121 D.-242 【答案】c 【详解】设等比数列a,)的公比为，则a4=a192=-g2=-27解得g=3所以 5,-01-g.-1-2438=121故选c 1-q -2 2设等比数列a,的前n项和为S,若0=2则=（） 1a2 S3 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】根据题意，设等比数列a,的公比为4若8-2即g=2则 a, a1(1-q S6=1-9 S3 a1（1-q 1-q=1+q=3 1-q 1-q 故选C. 3在各项均为正数的等比数列a中a=1且a,04+1,a,成等差数列，记s,是数列a,的 前n项和，则S6=() A.126 B.124 C.64 D.63 【答案】D 【详解】设等比数列a的公比为q(q>0 因为a2,a4+1,a5成等差数列， 所以a,+a,=2(a4+1 所以a1q+a194=2(a193+1 即 +g=2g2+2整理得g-2g2+1)=0 解得q=2, 所以前6项和5。=1x1:2 =63故选D. 1-2 1+2+3++=） 4.3+g273” A.3+1-2n-3 B.3m+1-2n-3 C.3+1-2n+3 D.3”-2n-3 23” 43n 43” 43" 【答案】B 【详解1记宁号+易+…+学为5则5，-号+导+ 1.2.3 123 ++ 3n@ 3233 ①导付安字字品 2 3”3n+1, 2 3 1 1- 3n*7 3 所以s= 3+1-2n-3.故选B. 43” 5已知各项均为正数的等比数列的前5项和为2前15项和为14则该数列的前10项和为( ) A.4 B.6 C.8,D.10 【答案】B 【详解】设等比数列a,的前n项和为S,由等比数列前n项和的性质可得 S5,S10-S5,S15-S10也为等比数列. 又S,=2S16=14故可得S10-22=214-S10 解得S10=6或S10=-4. 因为等比数列的各项均为正数，所以S10=6.故选B. 6在等比数列a中，已知a1=-4公比g=-2前k项和S=20keN以，则k的值为 【答案】4 【详解】由题盒可得3，=-41-22乙，名4-2-1-20 1-（-2 3 解得-2=16则k=4 7在等比数列a中，已知对任意正整数na,+a,+a,++a,=3”-1则a++a++a 等于」 【类191 【详解】当n=1时a1=31-1=2 当n≥2时，a1+a2+a3+…+a=3”-1 a1+a2+a3+…+a-1=3m-1-1y 两式作差可得a,=3”-31=23-1 当n=1时，23°=2=a1 综上可得，数列a的通项公式为a=2-3-,故a=4-9, 则数列a是首项为4公比为g的等比数列， 其前n项和为a+g+a++0=41:g=号g-1 1-92 8已知数列a,}的前n项和为S,且满足a,=22a,=S。+2 1证明数列a,为等比数列，并求它的通项公式： 2设b,=a,求数列b.的前n项和T 【答案】(1)见解析：(2)Tm=(n-1)2”+1+2 【详解】1证明：由题意知2an+1=Sn+1+2,则2(an+1~an=an+, 整理得a+1=2a,即021-2 an 又a,=2≠0所以a,是首项为2：公比为2的等比数列，则a,=2” 2由1可得bn=n2, 则T。=1×2+2×2+3×23+…+r2, 所以2T。=1×22+2×2+3×2++(n-12”+m2, 所以T=2+2+22++2”-n2 所以T二 2(1-2 -2*1=2*1-2-m2*1), 1-2 所以T.=(n-12+1+2 B组能力提升 1设等比数列a,的前n项和为s,前n项的倒数之和为T,则三的值为《) T A.aan B.a C. a D. an an 【答案】A 【详解】设等比数列a的公比为a, 当q≠1时，则s,=11-g 1-9 1-(3n q-1 a 1.1 a1q-1(q-1 q 所以S=aan Tn 9=1时期聊，=05=n018 S=na=a=a1a成立 所以了。 a 综上所述，S=01a Tn 故选A. 2.多选)已知a,是首项为1的等比数列s,是a,的前n项和，且28S,=S。则（） 39-1 A.公比q=3 B.So=2 C.数列1的前5项和为121 D.6S3=S9 an 81 【答案】ABC 【详解】设等比数列a,的公比为q(q≠1 因为28S,=5。所以28×a1-q_01-g 1-9 1-q 所以28=1+q,所以9=3 商以5号号商就项AB正流 又6S,=6×31=78≠5放选项D不正确 2 易知1是等比数列，首项1=1公比为上=二 an a 93 设数列1 的前n项和为S an 1×(1- 1 所以S52 3 121,故选项C正确。 13 81 故选ABC. 3设等比数列a的前n项和为S.若S,=2S。=56则等于() A.3 B.5 c.31 D.244 【答案】D 【详解】设等比数列[a的公比为g(q≠1 因为s,=n1-q-25,1-=56 1-q 1-q 两式作商，得1+q=28,解得q=3. 所以50-1-9=1+q=1+3=24故选D S1-g3 4设等比数列a,的前n项和为s,若SoS,=1:2则S等于() S A. 【答案】A 【详解】因为等比数列a的前n项和为S,S0S,=1:2所以5o-S,:S,=-1:2 由等比数列的性质得S5-So:(S0-5):S,=1:(-2):4 所以So-S,P=S(S1s-5o 即s5:所s5w子 41 所以S15=S10+ S5_S+S5=3 4244 所以S15_3.故选A S54 5设等比数列a 的前n项和为5.且aa,-4a,a6=8则=《) Ss A.33 B.31 C.32 D.34 【答案】A 【详解】由等比数列的性质可得a3Q10=a6a2=8, 设a的公比为a,则q=as9-8=-2 q= a1(1-q 故50=1-9 a11-q 1-g99-1+q2=1+2=33 1-q 1-q 故选A. 6设等比数列a的前n项和为S。若S,5g,S。成等差数列，且a,=-4则a,的值为 【答案】8 【详解】设等比数列a,]的公比为a 因为S3,Sg,S6成等差数列， 所以2Sg=S3+S6. 显然公比q≠1， 所以2×1-g_a1-g+a1-g 1-q 1-q1-q 所以2g-g5-g=0所以g=号 所以a,=g=-4×-2)=8 7已知等比数列a,共有2n项，若它的所有项的和是奇数项的和的5倍，则公比Q一一 【答案】4 【详解】设等比数列Q的公比为a,由已知可得q≠则奇数项也构成等比数列，其公比为 q,首项为a1, 51-g5 a[1-(q2 1-q 1-92 白题在得1-g-5×41-g 1-q 1-q 所以1+q=5, 所以q=4. 8在等比数列1a,中，公比g=3前gg项的和sg=52:求a,+a6+a,+…+ag的值 【答案】36 【带解16仿法-一因为，1g-5记 1-q 所以a,+a6+a+…+ag=a,(1+q2+q+…+q =a9[1-(939] 1-q a192·(1-g9] (1-q)(1+q+q2 92 a1(1-g9 1+q+q 1-q 9 ×52=36. 1+3+9 (方法二)设b1=a1+a4+Q,+…+ag7, b2=a2+a5+ag+…+ag8y b3=a3+a6+ag+.+ag9, 则b19=b2,b29=b3且b1+b2+b3=52, 52 所以b,(1+q+q)=52,所以b1=1+3+94, b3=b192=4×9=36 即a3+a6+ag+…+ag=36. g已a致满，3-1业列o,满6，合兽+合=5ne 552 1求数列1a,的前15项和： 2求数列 an 的前n项和Tn 33-12n33 【答案】(1)216：(2) 16·5m16 【详解】1令an=3n-12≥0，解得n≥4， 所以a+a2+…+|a =-(a1+a2+a3)+a4+a5+…+a15 15(a1+a5-2× 。3(a1+a3 =S15-2S3= 2 2 _15×(-9+3.3×-9-3=180+36=216. 2 2当n=1时，b1=5. 因为b+55 +b2+b+…+ =5n 所以当n≥2时.b+亏+m+5 ,+b=5(n-1 ++ 两式相减，得b=5即b,=5” 57 又当n=1时，b1=5符合该式， 所以b=5 所以0n-3n-12 bn 5n T。=(-9×号+(-6)×号P++(3n-12x(, 枚号7，=-9)x号4(-6×号户++3n-15j×号， 两式相减得 号，=-9×号+3×+3×号++3×”-(3n-12)×r, 即 .9t3 1 -3n-12x号r, 33-12n33 化简得Tn三 165n16 C组思考题 1设数列na,的前n项和为S,且a,=3则使得S。<104成立的正整数n的最大值为 () A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【详解】因为a,=3,所以na=n-3”,所以 S,=1×3'+2×32+3×32++n-3n0, 3Sn=1×32+2×33+3×34++n3*1② ①-②，得 -2Sn=(32+32+…+3"）-n3+1 整理得s,=2n-131+3 4 由于s.<10,故2n-1301+ <10000 而n∈N,验证得n=6时.S,=11×3+3=6015<10 4 n=7时，5，=13×3+3=21324>10 4 得n的最大值为6.故选B. 2已知sn是正项等比数列a,的前n项和，且S。=4+4Sy则a,+0。+a,的最小值为（） A.20 B.24 C.28 D.48 【答案】D 【详解】由题意可得Sn>0,S6-S3=3S3+4, 由等比数列的性质可得S3,S6-S3,Sg-S6成等比数列， 则s,(Sg-S6)=(S6-5,2 所以a,+a。+ag=Sg-S。= S6-S323S3+4)2 S3 S3 +4+16≥9×(2×4+4)=48， =9(S+3gS 33 当且仅当S3 3时，等号成立 综上，a7+Q8+Qg的最小值为48.故选D.