4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 数列的概念 第课时 数列的递推公式及前n项和 一、知识点自测 知识点1 通项公式的应用 .已知数列的通项公式为. 数列中为负数的项的个数是________; 该数列的最小项为________. 【答案】　 【详解】令,即,得-. 又因为,所以n的值为,…,,所以数列从第项至第项均为负数,共项. 方法一)是关于n的二次函数,图象的对称轴方程为,所以当时,递减;当时,递增. 所以当或时,最小,即是数列中的最小项,且. (方法二)设为数列中的最小项,则 即 解得. 又因为,所以当或时,最小,即是数列中的最小项,且. .已知数列的通项公式为. 求这个数列的第项和第项. 是该数列的第几项? 是该数列的项吗? 【答案】见解析 【详解】根据,得,. 令,即,解得或(舍去).所以-是该数列的第项. 令,即,解得,均不是正整数,所以不是数列中的项. 知识点2 数列的递推公式简单使用 1.若数列满足,,则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为,所以,,,,…,所以是周期为的数列,故.故选A. 2.已知数列满足,,写出数列的前项. 【答案】 【详解】由题意,得, 又,所以. 同理,, , . .已知在数列中,,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为,,所以,,,…,可知数列是以为周期的周期数列.因为,所以.故选B. 4.已知数列满足,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为,,所以,,,…, 所以数列的各项依次为,周期为. 因为,所以.故选B. .在数列中,若,,且,写出数列的前项. 【答案】 【详解】由题意得,,,,,. 知识点3 an与Sn的关系 .若数列的前n项和为,则= A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得,,所以.故选C. 2.已知数列的前n项和为,求数列的通项公式. 【答案】 【详解】当时,; 当时,. 由于也满足, 因此,数列的通项公式是. .已知数列的前n项和. 求数列的通项公式; 求数列的前多少项和最大. 【答案】（1）；（2）前项的和最大 【详解】由数列的前n项和知, 当时,; 当时,. 在中,令,得,不满足. 所以数列的通项公式为 因为, 所以当时,有最大值为. 所以前项的和最大. 二、课后练习 A组 基础落实 .数列的前n项和,则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由,得.故选C. .数列的递推公式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列第一项是是通项公式的形式,故AB错误;观察数列可知,数列从第二项起,每一项是前一项的,所以递推公式为,故C正确,D错误.故选C. .已知数列对任意,满足,且,则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令,则. 令,则,解得.故选A. .在数列中,,且,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为,所以,,,…, 所以是以为周期的数列,则.故选B. 多选)符合递推关系式的数列可以是（ ） A．,… B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A,从第项起,每一项与前一项的差为,通项公式为;对于B,C,从第项起,每一项是前一项的倍,符合递推公式;对于D,不符合递推公式.故选BC.　 B组 能力提升 .已知数列的前n项和为.若它的第k项满足,则k（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时,,即; 当时,. 当时,,上式依然成立,故. 令,解得. 又,所以或.故选B. .在数列中,,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得, 即,,…,, 将上面个式子两端分别相加得,且,所以.故选A. .已知数列满足,则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时,有,所以, 当时,,, 两式相减得, 此时,,也满足该式, 所以的通项公式为.故选B. .已知斐波那契数列满足,,.若,则k（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由,得,因此.故选D. .下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列:,…,则该数列的一个递推公式是________. 【答案】 【详解】结合题图易知,,,,,所以. .若数列的前n项和为,且,则=________. 【答案】 【详解】已知, 当时,,即,进而得.因为,所以,即,故 . 因为,当时,,又,解得,所以.所以.又,满足上式,所以. .数列满足,. 写出此数列的前项. 由写出数列的一个通项公式. 实数是否为这个数列中的一项?若是,应为第几项? 【答案】见解析 【详解】由,得,即. 因为,所以, , , . 故此数列的前项为. 由可得数列中的每一项的分子均为,分母依次为,…,即首项为、公差为的等差数列,所以它的一个通项公式为. 实数是这个数列中的一项.令,解得,故是这个数列的第项. C组 自我超越 .设数列满足,,,,则满足的n的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得,.又,所以可将数列写出为,…. 容易看出,时,,;时,,.满足的n的最大值是.故选C. .在数列中,. 求数列的第项. 求证:此数列的各项都在区间内. 区间内有没有数列中的项?若有,有几项? 【答案】（1）；（2）见解析；（3）只有项，为 【详解】 . 证明:因为, 所以,故此数列的各项都在区间内. 区间内有数列中的项. 令,则,, 所以,即在区间内有且只有项数列中的项,为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修 第二册 数列的概念 第课时 数列的递推公式及前n项和 一、知识点自测 知识点1 通项公式的应用 .已知数列的通项公式为. 数列中为负数的项的个数是________; 该数列的最小项为________. .已知数列的通项公式为. 求这个数列的第项和第项. 是该数列的第几项? 是该数列的项吗? 知识点2 数列的递推公式简单使用 1.若数列满足,,则=（ ） A． B． C． D． 2.已知数列满足,,写出数列的前项. .已知在数列中,,,则（ ） A． B． C． D． 4.已知数列满足,,则（ ） A． B． C． D． .在数列中,若,,且,写出数列的前项. 知识点3 an与Sn的关系 .若数列的前n项和为,则=（ ） A． B． C． D． 2.已知数列的前n项和为,求数列的通项公式. .已知数列的前n项和. 求数列的通项公式; 求数列的前多少项和最大. 二、课后练习 A组 基础落实 .数列的前n项和,则（ ） A． B． C． D． .数列的递推公式可以是（ ） A． B． C． D． .已知数列对任意,满足,且,则（ ） A． B． C． D． .在数列中,,且,,则（ ） A． B． C． D． 多选)符合递推关系式的数列可以是（ ） A．,… B． C． D． B组 能力提升 .已知数列的前n项和为.若它的第k项满足,则k（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 .在数列中,,,则（ ） A． B． C． D． .已知数列满足,则的通项公式为（ ） A． B． C． D． .已知斐波那契数列满足,,.若,则k（ ） A． B． C． D． .下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列:,…,则该数列的一个递推公式是________. .若数列的前n项和为,且,则=________. .数列满足,. 写出此数列的前项. 由写出数列的一个通项公式. 实数是否为这个数列中的一项?若是,应为第几项? C组 自我超越 .设数列满足,,,,则满足的n的最大值是（ ） A． B． C． D． .在数列中,. 求数列的第项. 求证:此数列的各项都在区间内. 区间内有没有数列中的项?若有,有几项? 学科网（北京）股份有限公司 $