山西大学附属中学校2026-2027学年高三上学期数学一轮复习周测回顾卷2

山西大学附中高中数学（一轮复习）单元回顾 1、 选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。） 1.已知函数则（    ） A．7 B．10 C．13 D．16 2.条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围( ) A． B． C． D． 3.已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 4.已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 6.为正实数，且，当取最小值时，的展开式中项的系数为 （    ） A． B． C． D． 7.设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 8.某高中举办校运动会，计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名体育特长生，担任4个不同比赛项目的裁判工作，每个项目至少安排1名裁判，其中甲、乙必须安排在同一个项目的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分。） 9.记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 10.下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若复数满足，则的最大值为 D．方程有两个虚根，它们的实部都为 11.已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.函数的定义域为___________． 13.记的内角的对边分别为．已知，，，则_____． 14.已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则________． 四、解答题（本题4小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知函数． (1)求的单调递增区间；(2)求函数在时的值域． 16.匹克球是一种集网球、乒乓球、羽毛球技术特点于一体的隔网对抗性拍球运动，因其上手快、趣味性强且老少皆宜而广受欢迎．某校随机调查了100名男生和100名女生对匹克球的爱好程度，现统计得出样本中爱好匹克球的人数占样本总数的50%，其中爱好匹克球的女生有45人． 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 女生 45 合计 200 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析爱好匹克球是否与性别有关； (2)现从这100名男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，然后从这20人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中爱好匹克球的人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17.抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，求零点的个数； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（一轮复习）单元回顾 1、 选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。） 1.已知函数则（    ） A．7 B．10 C．13 D．16 【答案】C 【详解】由题意可得：，所以. 2.条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 3.已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和函数单调性的定义判断得到结果； 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. ，故是奇函数. ，因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 4.已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 5.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍，根据题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为，则，即， 则, 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. 6.为正实数，且，当取最小值时，的展开式中项的系数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用基本不等式求出当取最小值时的值，再利用二项式的展开式的通项公式求解即可. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此， 由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当取最小值，有， 由，解得， 所以，其展开式的通项公式为， 令，解得，所以项的系数为，故B正确. 7.设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 8.某高中举办校运动会，计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名体育特长生，担任4个不同比赛项目的裁判工作，每个项目至少安排1名裁判，其中甲、乙必须安排在同一个项目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分每组人数为或两种情况讨论，根据古典概型结合排列数、组合数运算求解. 【详解】将这6名体育特长生分成四组，再分配到不同比赛项目当裁判. 若裁判人数为,则不同的安排方法种数为：； 若裁判人数为,则不同的安排方法种数为：. 故不同的安排方法共有种. 将这6名体育特长生分成四组，再分配到不同比赛项目当裁判，甲、乙安排在同一个项目, 若裁判人数为,则不同的安排方法种数为：种； 若裁判人数为,则不同的安排方法种数为：种， 故不同的安排方法共有种. 所以所求事件的概率为 二、多选题（本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分。） 9.记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为d，依题意得，解得， 所以，． 10.下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若复数满足，则的最大值为 D．方程有两个虚根，它们的实部都为 【答案】BCD 【分析】根据复数的模、复数的几何意义、复数的概念判断各选项. 【详解】A，等式左边是实数，右边是虚数，不可能相等，A错； B，若，则，即，所以，，B正确； C，若复数满足，则对应的点在以为圆心，1为半径的圆上， 而可理解为圆上的点到的距离，由图知，C正确； D，由得，所以或， 由解得，D正确. 11.已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.函数的定义域为___________． 【答案】且 【详解】结合具体函数的定义域、对数型复合函数的定义域求法列出不等式求解即可. 【分析】由题得， 解得且． 故答案为：且 . 13.记的内角的对边分别为．已知，，，则_____． 【答案】 【分析】先利用余弦定理建立关于的一元二次方程，解出，再根据向量数量积公式计算得到结果． 【详解】由，得， 化简得，解得， 所以． 14.已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则________． 【答案】 【分析】通过关于的对称性以及奇函数的性质求解的周期，进而对化简求解. 【详解】因为，， 所以， ，故关于直线对称. ，，又因为为奇函数， 所以，周期为. 设，， ，，，，，， 所以，又因为，所以得到，即， ，. 四、解答题（本题4小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求函数在时的值域； 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以在上的值域为. 16.匹克球是一种集网球、乒乓球、羽毛球技术特点于一体的隔网对抗性拍球运动，因其上手快、趣味性强且老少皆宜而广受欢迎．某校随机调查了100名男生和100名女生对匹克球的爱好程度，现统计得出样本中爱好匹克球的人数占样本总数的50%，其中爱好匹克球的女生有45人． 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 女生 45 合计 200 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析爱好匹克球是否与性别有关； (2)现从这100名男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，然后从这20人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中爱好匹克球的人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 55 45 100 女生 45 55 100 合计 100 100 200 在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为爱好匹克球与性别有关 (2)的分布列为 的数学期望为 【分析】（1）首先完善列联表，计算的值，然后进行判断；（2）确定随机变量的取值及概率，列出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）依题意可得列联表如下： 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 55 45 100 女生 45 55 100 合计 100 100 200 ， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为爱好匹克球与性别有关． （2）依题意，从爱好匹克球的男生中抽取人， 从不爱好匹克球的男生中抽取人， 则的可能取值为， 则， ， 则的分布列为 所以的数学期望为． 17.抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) ，准线方程为 (2)（i）或；（ii）32 【分析】（1）解法一：联立直线与抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用抛物线定义计算可得，即可得抛物线的准线方程；解法二：借助点差法与中点弦性质计算可得，即可得抛物线的准线方程； （2）解法一：（i）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形的面积，再利用基本不等式计算即可得解；解法二：（i）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形的面积，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】（1）解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线 与直线交于，， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组，整理得，故， 所以，解得 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32．    18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，求零点的个数； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，，则在定义域上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立， 所以在定义域上单调递减， 综上所述：当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在定义域上单调递减. （2）若，则的定义域为， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在内单调递减，则， 且，，可知在上各有一个零点， 又因为，所以有两个零点. （3）由分离参数可得，即在上恒成立， 令，， 则， 令，，则， 因为，则，可知在上单调递减， 则，且， 可知，满足，即， 可得，， 当时，，即；当时，，即； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 可得，所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $