第五章 三角函数高频重难点题型归纳（12大知识点+21大题型）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数高频重难点题型归纳 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 4 知识点一、任意角与弧度制 4 知识点二、任意角的三角函数 5 知识点三、三角函数的诱导公式 5 知识点四、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 6 知识点五、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 6 知识点六、正弦函数的平移和伸缩变换 7 知识点七、两角和与差公式 7 知识点八、二倍角公式 8 知识点九、降幂公式 8 知识点十、升幂公式 8 知识点十一、辅助角公式 8 知识点十二、和差化积公式 9 方法总结1：化简小技巧 9 方法总结2：整体思想 9 方法总结3：三角完全平方公式 11 方法总结4：齐次式转化 11 03 题型精讲 12 题型 01 扇形弧长与面积公式的应用 12 题型 02 依托三角函数定义的求值运算 12 题型 03 三角函数值的符号判定 13 题型 04 同角三角函数知一求二计算 13 题型 05 正余弦齐次式的化简求值应用 14 题型 06 sinα・cosα 与 sinα±cosα 的关系转化 14 题型 07 诱导公式在化简求值中的应用 14 题型 08 三角函数定义域的求解 15 题型 09 三角函数值域与最值的求解 16 题型 10 三角函数奇偶性的判定与应用 16 题型 11 三角函数周期性的判定与应用 17 题型 12 三角函数对称性的分析与应用 17 题型 13 三角函数单调性的分析与应用 18 题型 14 结合三角函数性质求参数 ω 的取值范围 19 题型 15 三角恒等变换之给角求值 19 题型 16 三角函数图象的平移与伸缩变换 20 题型 17 三角恒等变换之给值求值 21 题型 18 三角恒等变换之给值求角 21 题型 19 由三角函数图象推导函数解析式 22 题型 20 三角函数在实际场景中的应用 23 题型 21 三角函数性质综合应用 26 知识点一、任意角与弧度制 1、各种角的集合： 角的集合 角度制 弧度制 ①与角终边相同的角的集合(含角) ②终边在轴的非负半轴上的角的集合 ③终边在轴上的角的集合 ④终边在坐标轴上的角的集合 ⑤终边在第一(二三四)象限的角的集合 2、注意角与角及的象限关系． （1)图中序号表示角的象限，序号所在区域为角(或）的终边所在区域． （2）由角的象限推理角及的象限，列不等式对进行赋值判断即可． 3、角度与弧度的互化公式：①，②，③ 4、①弧长公式：， ②扇形面积公式：，其中． 知识点二、任意角的三角函数 1、任意角的三角函数的定义： (1)借助单位圆来定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点， 则：，，． (2)设角终边上任意一点的坐标为，它到原点的距离为， 则：，，． ①定义域、值域：，定义域都是，值域都是；定义域是，值域为． ②三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． ③点又可表示为，在已知或的情形下使用，这将给解题带来方便． 2、单位圆中的三角函数线(有向线段)：，，(如下图)． 3、同角三角函数的基本关系式： (1)平方关系：； (2)商数关系：． 知识点三、三角函数的诱导公式 1、诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 2、“奇变偶不变，符号看象限” (1)奇、偶是指中的奇偶．奇函数名改变，偶函数名不变 ①正弦和余弦互相变， ②正切需先化为正弦余弦比值再进行诱导． (2)默认为第一象限角 (3)观察整个角度所在象限，从而判断该角度所对应三角函数的正负情况． 知识点四、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 知识点五、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 R R 值域 R 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 直线 直线 无 知识点六、正弦函数的平移和伸缩变换 函数的图象可以通过下列两种方式得到： 1、 2、 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：，的图像 定理：则平移单位为（注意平移方向） 知识点七、两角和与差公式 ①； ②； ③； ④； ⑤；变形公式：； ⑥；变形公式：． 知识点八、二倍角公式 ①； ②； ③ 知识点九、降幂公式 ①； ②； ③． 知识点十、升幂公式 ①， ②； ③， ④． 知识点十一、辅助角公式 ． ①其中辅助角是由方程，，．决定 ②正弦在前，余弦在后（确保系数，不会弄反） ③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限. ④保证，． 知识点十二、和差化积公式 1、积化和公式 ① ② ③ 2、和化积公式 ① ② ③ ④ 方法总结1：化简小技巧 ①1的代换：； ②． 方法总结2：整体思想 周期 定义域 R R 最大值 1，当取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 方法总结3：三角完全平方公式 ① ② ③ 方法总结4：齐次式转化 ①一次分式齐次同除以进行弦化切． ②二次整式齐次除以1，再除以进行弦化切． 题型 01 扇形弧长与面积公式的应用 【典例1】已知扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式1-1】（2026·高三·安徽淮南·阶段检测）已知一个扇形半径为4，圆心角为80°，现将该扇形的圆心角扩大为120°，半径不变，则扇形的面积扩大了（    ） A． B．4π C． D． 【变式1-2】（2026·高一·辽宁抚顺·期中）某扇形的圆心角为3，半径为2，则该扇形的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式1-3】（2026·重庆·三模）小明在一张半径为5dm的圆形竹编中，剪出一个半径为5dm的扇形用以制作圆锥状灯罩，如图若灯罩的高（顶点到底面的距离）为3dm，则需要用到的材料面积至少为（    ） A． B． C． D． 题型 02 依托三角函数定义的求值运算 【典例2】（2026·高三·云南·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高三·河南郑州·期中）已知角的终边经过点，则的值是（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-2】角的终边落在射线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高三·江苏南京·开学考试）已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 题型 03 三角函数值的符号判定 【典例3】（2026·高三·河北保定·阶段检测）若是第二象限角，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·北京·期末）若为第二象限角，则下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·北京延庆·期中）若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·北京·期中）在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 题型 04 同角三角函数知一求二计算 【典例4】（2026·高二·甘肃定西·阶段检测）已知，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）若且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·北京·期末）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高三·广东东莞·阶段检测）已知，则“”是“” 的（     ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 题型 05 正余弦齐次式的化简求值应用 【典例5】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·辽宁朝阳·期末）已知，则 A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高三·河北保定·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 题型 06 sinα・cosα 与 sinα±cosα 的关系转化 【典例6】（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【变式6-1】（2026·高二·浙江温州·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·云南玉溪·期中）已知，则 A． B． C． D． 题型 07 诱导公式在化简求值中的应用 【典例7】（2026·高三·天津东丽·阶段检测）已知，则（   ） A． B．-1 C． D．1 【变式7-1】（2026·高一·安徽六安·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·高一·安徽宣城·期末）设则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·高一·云南·开学考试）已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 题型 08 三角函数定义域的求解 【典例8】（2026·高一·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·高一·江西九江·阶段检测）函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·高一·安徽淮北·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·高一·吉林·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型 09 三角函数值域与最值的求解 【典例9】（2026·高一·广东茂名·期末）已知函数向左平移个单位长度后得到函数，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·高一·河南南阳·阶段检测）已知，函数，，若函数值域为，则常数（　　）． A．2或10 B．2 C．2或－10 D．10 【变式9-3】（2026·高一·湖北·阶段检测）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 题型 10 三角函数奇偶性的判定与应用 【典例10】（2026·高一·湖北武汉·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·高一·上海青浦·期末）下列函数中既是奇函数，最小正周期是的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】函数是（　　） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【变式10-3】（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型 11 三角函数周期性的判定与应用 【典例11】（2026·高一·湖北武汉·期末）函数是（     ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 【变式11-1】（2026·高二·山东枣庄·学业考试）已知是的一个周期，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式11-2】函数的周期是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2026·高二·云南文山·阶段检测）若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 题型 12 三角函数对称性的分析与应用 【典例12】（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）设函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2026·高一·河北承德·期末）已知函数，则下列关于该函数图象的对称性描述正确的是（    ） A．该函数图象关于直线对称 B．该函数图象关于直线对称 C．该函数图象关于点对称 D．该函数图象关于点对称 【变式12-2】（2026·高三·四川雅安·开学考试）已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2026·湖南张家界·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型 13 三角函数单调性的分析与应用 【典例13】下列函数在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2026·高二·天津南开·学业考试）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【变式13-2】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2026·高一·河南南阳·阶段检测）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型 14 结合三角函数性质求参数 ω 的取值范围 【典例14】（2026·高一·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2026·高一·江西上饶·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（2026·高一·北京·期末）设函数（），若对于任意的，都有，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型 15 三角恒等变换之给角求值 【典例15】（2026·高三·浙江·开学考试）的值是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（2026·高一·山东德州·期中）三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式15-2】（   ） A． B． C． D．2 【变式15-3】=（    ） A．16 B．32 C． D． 题型 16 三角函数图象的平移与伸缩变换 【典例16】（2026·高一·山东·期末）为了得到函数的图象，可作如下变换（    ） A．将y＝cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到 B．将y＝cosx的图象上所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变而得到 C．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到 D．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到 【变式16-1】（2026·高一·浙江湖州·期末）为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【变式16-2】已知函数()，为了得到函数的图像，只需将的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式16-3】（2026·高一·北京西城·阶段检测）为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 题型 17 三角恒等变换之给值求值 【典例17】（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）已知，，则____________________． 【变式17-1】（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）已知，，则______． 【变式17-2】（2026·高三·安徽·阶段检测）若，，则__________． 【变式17-3】（2026·高三·山东临沂·阶段检测）已知均为第一象限角，且，则___________． 题型 18 三角恒等变换之给值求角 【典例18】（2026·高一·江西宜春·阶段检测）若，，并且，则的值为_________. 【变式18-1】（2026·高一·上海闵行·阶段检测）设，，且，则_____________． 【变式18-2】若，且，则________． 【变式18-3】若，，且，，则______ 题型 19 由三角函数图象推导函数解析式 【典例19】（2026·高一·天津南开·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中点为函数图象的一个最高点，为函数的图象与轴的一个交点，为坐标原点.求函数的解析式___________. 【变式19-1】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）函数，其中,,的图象如图所示，求的解析式____ 【变式19-2】（2026·高一·上海浦东新·期中）函数的图象如下，求它的解析式__________. 【变式19-3】（2026·高一·上海·期中）函数的部分图像如图所示，则其解析式是______． 题型 20 三角函数在实际场景中的应用 【典例20】（2026·高一·陕西汉中·开学考试）如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转．若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为． (1)求的函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的值． 【变式20-1】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（单位：米）随着时间（，单位：时）成周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表： /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 /米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试在图中描出所给点； (2)观察（1）中所绘图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 【变式20-2】（2026·高一·广西北海·期末）北海园博园是国家级旅游景区，园区以“花海丝路·绿映珠城”为主题，融合北部湾滨海特色与园林园艺文化．园内标志性游乐设施一摩天轮，现结合该摩天轮建立数学模型，假设数据如下：摩天轮转盘直径为50米，配有36个轿厢，转盘中心距地面高度为35米，摩天轮沿逆时针匀速转动，旋转一周需10分钟，一名游客从最低点出发，开始转动t分钟后距离地面的高度为．已知（，，）. (1)求摩天轮在转动一周的过程中，高度关于时间t的函数解析式； (2)若游客在距离地面至少47.5米时获得最佳视觉效果，求摩天轮运行一周内，游客的最佳视觉效果的持续时间； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔5个座舱，从乙进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，求两人距离地面高度差的最大值及此时的时间． 【变式20-3】（2026·高一·辽宁大连·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 题型 21 三角函数性质综合应用 【典例21】（2026·高三·江苏常州·开学考试）已知． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围． 【变式21-1】（2026·高一·江苏无锡·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有两个零点，求的值． 【变式21-2】（2026·高三·山东济宁·阶段检测）已知 （1）求函数的单调增区间； （2）若关于x的不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围. 【变式21-3】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间和最值； （Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数高频重难点题型归纳 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 4 知识点一、任意角与弧度制 4 知识点二、任意角的三角函数 5 知识点三、三角函数的诱导公式 5 知识点四、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 6 知识点五、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 6 知识点六、正弦函数的平移和伸缩变换 7 知识点七、两角和与差公式 7 知识点八、二倍角公式 8 知识点九、降幂公式 8 知识点十、升幂公式 8 知识点十一、辅助角公式 8 知识点十二、和差化积公式 9 方法总结1：化简小技巧 9 方法总结2：整体思想 9 方法总结3：三角完全平方公式 11 方法总结4：齐次式转化 11 03 题型精讲 12 题型 01 扇形弧长与面积公式的应用 12 题型 02 依托三角函数定义的求值运算 13 题型 03 三角函数值的符号判定 14 题型 04 同角三角函数知一求二计算 15 题型 05 正余弦齐次式的化简求值应用 16 题型 06 sinα・cosα 与 sinα±cosα 的关系转化 17 题型 07 诱导公式在化简求值中的应用 18 题型 08 三角函数定义域的求解 20 题型 09 三角函数值域与最值的求解 21 题型 10 三角函数奇偶性的判定与应用 23 题型 11 三角函数周期性的判定与应用 24 题型 12 三角函数对称性的分析与应用 26 题型 13 三角函数单调性的分析与应用 28 题型 14 结合三角函数性质求参数 ω 的取值范围 29 题型 15 三角恒等变换之给角求值 32 题型 16 三角函数图象的平移与伸缩变换 33 题型 17 三角恒等变换之给值求值 35 题型 18 三角恒等变换之给值求角 36 题型 19 由三角函数图象推导函数解析式 38 题型 20 三角函数在实际场景中的应用 41 题型 21 三角函数性质综合应用 45 知识点一、任意角与弧度制 1、各种角的集合： 角的集合 角度制 弧度制 ①与角终边相同的角的集合(含角) ②终边在轴的非负半轴上的角的集合 ③终边在轴上的角的集合 ④终边在坐标轴上的角的集合 ⑤终边在第一(二三四)象限的角的集合 2、注意角与角及的象限关系． （1)图中序号表示角的象限，序号所在区域为角(或）的终边所在区域． （2）由角的象限推理角及的象限，列不等式对进行赋值判断即可． 3、角度与弧度的互化公式：①，②，③ 4、①弧长公式：， ②扇形面积公式：，其中． 知识点二、任意角的三角函数 1、任意角的三角函数的定义： (1)借助单位圆来定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点， 则：，，． (2)设角终边上任意一点的坐标为，它到原点的距离为， 则：，，． ①定义域、值域：，定义域都是，值域都是；定义域是，值域为． ②三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． ③点又可表示为，在已知或的情形下使用，这将给解题带来方便． 2、单位圆中的三角函数线(有向线段)：，，(如下图)． 3、同角三角函数的基本关系式： (1)平方关系：； (2)商数关系：． 知识点三、三角函数的诱导公式 1、诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 2、“奇变偶不变，符号看象限” (1)奇、偶是指中的奇偶．奇函数名改变，偶函数名不变 ①正弦和余弦互相变， ②正切需先化为正弦余弦比值再进行诱导． (2)默认为第一象限角 (3)观察整个角度所在象限，从而判断该角度所对应三角函数的正负情况． 知识点四、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 知识点五、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 R R 值域 R 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 直线 直线 无 知识点六、正弦函数的平移和伸缩变换 函数的图象可以通过下列两种方式得到： 1、 2、 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：，的图像 定理：则平移单位为（注意平移方向） 知识点七、两角和与差公式 ①； ②； ③； ④； ⑤；变形公式：； ⑥；变形公式：． 知识点八、二倍角公式 ①； ②； ③ 知识点九、降幂公式 ①； ②； ③． 知识点十、升幂公式 ①， ②； ③， ④． 知识点十一、辅助角公式 ． ①其中辅助角是由方程，，．决定 ②正弦在前，余弦在后（确保系数，不会弄反） ③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限. ④保证，． 知识点十二、和差化积公式 1、积化和公式 ① ② ③ 2、和化积公式 ① ② ③ ④ 方法总结1：化简小技巧 ①1的代换：； ②． 方法总结2：整体思想 周期 定义域 R R 最大值 1，当取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 方法总结3：三角完全平方公式 ① ② ③ 方法总结4：齐次式转化 ①一次分式齐次同除以进行弦化切． ②二次整式齐次除以1，再除以进行弦化切． 题型 01 扇形弧长与面积公式的应用 【典例1】已知扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解析】由题得扇形的周长为. 【变式1-1】（2026·高三·安徽淮南·阶段检测）已知一个扇形半径为4，圆心角为80°，现将该扇形的圆心角扩大为120°，半径不变，则扇形的面积扩大了（    ） A． B．4π C． D． 【答案】D 【解析】因为扇形扩大部分也是扇形，此扇形的圆心角为，又， 所以扇形的面积扩大了． 【变式1-2】（2026·高一·辽宁抚顺·期中）某扇形的圆心角为3，半径为2，则该扇形的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】由扇形圆心角，半径，得该扇形的面积为. 【变式1-3】（2026·重庆·三模）小明在一张半径为5dm的圆形竹编中，剪出一个半径为5dm的扇形用以制作圆锥状灯罩，如图若灯罩的高（顶点到底面的距离）为3dm，则需要用到的材料面积至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】即求圆锥形灯罩的侧面积，该圆锥的高为，则底面半径为. 则侧面积为. 题型 02 依托三角函数定义的求值运算 【典例2】（2026·高三·云南·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因角的终边过点，由任意角的正切函数定义得：， 所以. 故选：D 【变式2-1】（2026·高三·河南郑州·期中）已知角的终边经过点，则的值是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由于， . 【变式2-2】角的终边落在射线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意在角终边上取一点， 则， ， 故选：A. 【变式2-3】（2026·高三·江苏南京·开学考试）已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 【答案】A 【解析】依题意得，又，所以. 题型 03 三角函数值的符号判定 【典例3】（2026·高三·河北保定·阶段检测）若是第二象限角，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是第二象限角，所以， ，故A错误； 若，则，故B错误； ，故C正确； ，即相当于一个在第四象限的角，所以，故D错误. 【变式3-1】（2026·高一·北京·期末）若为第二象限角，则下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若为第二象限角， ，A选项不符合题意； ，B选项不符合题意； ，C选项不符合题意； ，D选项符合题意； 【变式3-2】（2026·高一·北京延庆·期中）若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】角是第二象限的角，则，，，. 【变式3-3】（2026·高一·北京·期中）在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【答案】B 【解析】在中，为钝角，则为锐角. 所以，所以点在第二象限. 题型 04 同角三角函数知一求二计算 【典例4】（2026·高二·甘肃定西·阶段检测）已知，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知：，解得或. 因为，所以. 所以. 故选：B 【变式4-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， . 故选：B． 【变式4-2】（2026·高一·北京·期末）已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为为第二象限角，所以. 【变式4-3】（2026·高三·广东东莞·阶段检测）已知，则“”是“” 的（     ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【解析】充分性： 因为，，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件. 题型 05 正余弦齐次式的化简求值应用 【典例5】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，分子分母同时除以，可得： . 故选：B. 【变式5-1】（2026·高一·辽宁朝阳·期末）已知，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故答案选C 【变式5-2】（2026·高三·河北保定·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，得 . ； . 分子分母同除以 ，得 题型 06 sinα・cosα 与 sinα±cosα 的关系转化 【典例6】（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【解析】因为， 所以， 而，所以． 【变式6-1】（2026·高二·浙江温州·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，即，所以. 因为，所以，所以. 因为， 所以. 故选：D 【变式6-2】（2026·高一·云南玉溪·期中）已知，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，等式两边平方得，即， 解得. 故选：B. 题型 07 诱导公式在化简求值中的应用 【典例7】（2026·高三·天津东丽·阶段检测）已知，则（   ） A． B．-1 C． D．1 【答案】B 【解析】， 分子分母同除以得：，代入， . 【变式7-1】（2026·高一·安徽六安·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 【变式7-2】（2026·高一·安徽宣城·期末）设则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ，又 所以原式， 故选：A． 【变式7-3】（2026·高一·云南·开学考试）已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】． 题型 08 三角函数定义域的求解 【典例8】（2026·高一·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 解得， 所以函数的定义域为． 【变式8-1】（2026·高一·江西九江·阶段检测）函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，可得， 注意到，即，可得， 则，可得，整理可得， 解得或，， 所以函数的定义域为. 【变式8-2】（2026·高一·安徽淮北·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意得，, 解得, 解得. 故原函数的定义域为. 【变式8-3】（2026·高一·吉林·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得到，即或 故函数的定义域为 . 故选：B. 题型 09 三角函数值域与最值的求解 【典例9】（2026·高一·广东茂名·期末）已知函数向左平移个单位长度后得到函数，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， ， 又函数向左平移个单位长度后得到函数， 所以， 又，所以， 根据正弦函数的性质，可得， 所以在区间上的值域为． 【变式9-1】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减， 由，，故，即. 故选：C 【变式9-2】（2026·高一·河南南阳·阶段检测）已知，函数，，若函数值域为，则常数（　　）． A．2或10 B．2 C．2或－10 D．10 【答案】A 【解析】依题意，， 当时，，， 当时，，， 解得，，因此； 当时，，， 解得，，因此， 所以或. 故选：A 【变式9-3】（2026·高一·湖北·阶段检测）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故选：A. 题型 10 三角函数奇偶性的判定与应用 【典例10】（2026·高一·湖北武汉·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向右平移个单位长度后，即得函数： ， 由于该函数为上的奇函数，则，则， 解得 ，因为，取时，得到的最小正值为 . 【变式10-1】（2026·高一·上海青浦·期末）下列函数中既是奇函数，最小正周期是的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦函数、余弦函数、正切函数的性质可知： 为偶函数，最小正周期为，A错误； 为奇函数，最小正周期为，B错误； 为奇函数，最小正周期是，C正确； 为奇函数，最小正周期为，D错误. 【变式10-2】函数是（　　） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【答案】A 【解析】因为，所以是偶函数，周期. 【变式10-3】（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象向左平移个单位后得到函数. 因为是偶函数，则. 整理得， 因为，取时，得到最小正数. 因此的最小值为. 题型 11 三角函数周期性的判定与应用 【典例11】（2026·高一·湖北武汉·期末）函数是（     ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 【答案】C 【解析】因为， 而，所以，即为偶函数， 周期，所以是周期为的偶函数，故C正确. 【变式11-1】（2026·高二·山东枣庄·学业考试）已知是的一个周期，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】，最小正周期为， 则，故， 所以, 由于故 故使得, 则，解得，由于，故最小取2，因此的最小值为8， 故选：B 【变式11-2】函数的周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以函数的周期是. 故选:A. 【变式11-3】（2026·高二·云南文山·阶段检测）若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】A 【解析】最小正周期，解得， 则， ． 题型 12 三角函数对称性的分析与应用 【典例12】（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）设函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由辅助角公式得：， 因为该图象关于对称，所以令， 解得：， 因为，则. 【变式12-1】（2026·高一·河北承德·期末）已知函数，则下列关于该函数图象的对称性描述正确的是（    ） A．该函数图象关于直线对称 B．该函数图象关于直线对称 C．该函数图象关于点对称 D．该函数图象关于点对称 【答案】A 【解析】令，其中，所以，当时，，的图像关于直线对称，故A正确； 因为无整数解，故直线不是函数图像的对称轴，故B错误； 令，其中，所以，因为无整数解，故点不是函数图像的对称中心，同理也不是函数图像的对称中心.故CD错误. 【变式12-2】（2026·高三·四川雅安·开学考试）已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正弦函数的对称轴方程为， 所以令，可解得的对称轴方程为. 因为，即，可解得. 要使在区间上有且仅有2条对称轴，则符合条件的整数只能为， 因此需满足，解得， 故的取值范围是. 【变式12-3】（2026·湖南张家界·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得函数解析式为， 因为的图象关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值． 题型 13 三角函数单调性的分析与应用 【典例13】下列函数在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A：在上递增，上递减，在上不是减函数. 对于选项B：的单调递减区间为，取得，故在上是减函数. 对于选项C：时，在、上递增，在上不是减函数. 对于选项D：时，在上递增，在上不是减函数. 【变式13-1】（2026·高二·天津南开·学业考试）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【解析】令，得，. 当时可得的一个单调递减区间为. 令，得，. 当时可得的一个单调递增区间为. ， 在区间上单调递减. 【变式13-2】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 令，则． 所以函数的单调递减区间是. 【变式13-3】（2026·高一·河南南阳·阶段检测）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则. 若，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故A错误；. 若，则,所以函数在上单调递减，故B错误；. 若，则,所以函数在单调递减，在单调递增，故C错误；. 若，则,所以函数在单调递增，故D正确. 题型 14 结合三角函数性质求参数 ω 的取值范围 【典例14】（2026·高一·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 由题意得， 即，， ，， 联立得，其中且，解得， 所以，. 【变式14-1】（2026·高一·江西上饶·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，因为，且，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为余弦函数在上单调递减， 则，解得，所以的取值范围为. 【变式14-2】（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为对任意恒有，所以在处取得最值， 所以， 由，得， 所以， 令，则. 由在区间上有且只有一个使，所以， 所以， 所以，解得，又，， 若，则，此时取，可使成立， 当时，，其中或时，，不合题意，所以. 若，，此时取可使成立. 当时，，当且仅当时，，所以满足题意. 故的最大值为. 【变式14-3】（2026·高一·北京·期末）设函数（），若对于任意的，都有，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，因为，所以是的一个周期， 所以，即，其中； 令，则， 因为的图象在上存在对称轴，所以，即； 当时，不合题意；当时，解得，且为正整数， 所以的最小值为3，此时对称轴为，符合题意； 当时，解得，综上，的最小值为3. 题型 15 三角恒等变换之给角求值 【典例15】（2026·高三·浙江·开学考试）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 【变式15-1】（2026·高一·山东德州·期中）三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意，将代入， 可得 . 【变式15-2】（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 【变式15-3】=（    ） A．16 B．32 C． D． 【答案】B 【解析】由 故选：B 题型 16 三角函数图象的平移与伸缩变换 【典例16】（2026·高一·山东·期末）为了得到函数的图象，可作如下变换（    ） A．将y＝cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到 B．将y＝cosx的图象上所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变而得到 C．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到 D．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到 【答案】A 【解析】为得到的图象，可将的图象上所有点向左平移个单位长度， 然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到； 也可以将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到. 故选：. 【变式16-1】（2026·高一·浙江湖州·期末）为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【解析】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像. 故选：B 【变式16-2】已知函数()，为了得到函数的图像，只需将的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】∵可变形为， ∴平移函数的图像，向右平移个单位长度，即可得到的图像. 为了得到函数的图像，只需将的图像向左平移个单位， 故选：A. 【变式16-3】（2026·高一·北京西城·阶段检测）为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【解析】，， 故只需将函数的图象向左平移个长度单位． 故选：． 题型 17 三角恒等变换之给值求值 【典例17】（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）已知，，则____________________． 【答案】/ 【解析】因为，所以，，从而， 因为. 所以, 所以. 【变式17-1】（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）已知，，则______． 【答案】 / 【解析】因为，则， 又因为，所以 因为，所以. 【变式17-2】（2026·高三·安徽·阶段检测）若，，则__________． 【答案】 【解析】，则，故， 故， ， ． 【变式17-3】（2026·高三·山东临沂·阶段检测）已知均为第一象限角，且，则___________． 【答案】 【解析】因为均为第一象限角，， 所以，， 所以 ， 所以. 题型 18 三角恒等变换之给值求角 【典例18】（2026·高一·江西宜春·阶段检测）若，，并且，则的值为_________. 【答案】/ 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 则 ， 所以. 【变式18-1】（2026·高一·上海闵行·阶段检测）设，，且，则_____________． 【答案】 【解析】将代入已知等式得，交叉相乘并移项整理， 即. 由诱导公式可得 . 已知，因此，. 由于正弦函数在区间上单调递增，若两个角的正弦值相等，则两角相等， 即 ，移项得. 【变式18-2】若，且，则________． 【答案】 【解析】因为， 因为，所以，， 所以，且， 因为正切函数在上单调递增，所以，得． 因此. 【变式18-3】若，，且，，则______ 【答案】/ 【解析】由可得， 因，则， 又，则， 因，则， 故 ， 因为，，所以，故. 题型 19 由三角函数图象推导函数解析式 【典例19】（2026·高一·天津南开·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中点为函数图象的一个最高点，为函数的图象与轴的一个交点，为坐标原点.求函数的解析式___________. 【答案】 【解析】因为为函数图象的一个最高点，所以， 根据图象可知，得， 因为，所以，所以. 此时， 又，即，即， 所以，，即，， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 【变式19-1】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）函数，其中,,的图象如图所示，求的解析式____ 【答案】 【解析】， ，，解得， 则，因为函数过点， 所以，，解得 因为，所以， . 故答案为： 【变式19-2】（2026·高一·上海浦东新·期中）函数的图象如下，求它的解析式__________. 【答案】 【解析】由图象最高点可知,由点和可得周期,此时 将代入得,由于 ，所以取，故 故答案为：. 【变式19-3】（2026·高一·上海·期中）函数的部分图像如图所示，则其解析式是______． 【答案】 【解析】由图象可知，函数最大值为，所以， 因为，所以，而，，所以， 当时，，所以，， 因为，所以，故. 题型 20 三角函数在实际场景中的应用 【典例20】（2026·高一·陕西汉中·开学考试）如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转．若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为． (1)求的函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的值． 【解析】（1）由题意得，解得，故． （2）由（1），要使单调递增，只需单调递减， 令，，得，， 又，所以的单调递增区间为，． （3）由题意，的最小正周期，又，，，， 所以 . 【变式20-1】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（单位：米）随着时间（，单位：时）成周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表： /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 /米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试在图中描出所给点； (2)观察（1）中所绘图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 【解析】（1）描出所给点如图所示. （2）由（1）知选择较合适. 令. 由图知，所以， 把代入，得. 故所求拟合模型的解析式为. （3）由，得， 则， 即， 注意到，所以或或， 再结合题意可知，安排在11时到19时训练较恰当. 【变式20-2】（2026·高一·广西北海·期末）北海园博园是国家级旅游景区，园区以“花海丝路·绿映珠城”为主题，融合北部湾滨海特色与园林园艺文化．园内标志性游乐设施一摩天轮，现结合该摩天轮建立数学模型，假设数据如下：摩天轮转盘直径为50米，配有36个轿厢，转盘中心距地面高度为35米，摩天轮沿逆时针匀速转动，旋转一周需10分钟，一名游客从最低点出发，开始转动t分钟后距离地面的高度为．已知（，，）. (1)求摩天轮在转动一周的过程中，高度关于时间t的函数解析式； (2)若游客在距离地面至少47.5米时获得最佳视觉效果，求摩天轮运行一周内，游客的最佳视觉效果的持续时间； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔5个座舱，从乙进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，求两人距离地面高度差的最大值及此时的时间． 【解析】（1）由题意：，解得，又，则， 又时在最低点，最低点高度为米，故， 代入得，又，故， 所以， 化简得：； （2）由题意，代入解析式得， 得，解得， 令，，则， 由，得， 代入，解得，则， 故游客的最佳视觉效果的持续时间为分钟； （3）摩天轮共36个轿厢，相邻轿厢夹角为，两人间隔5个座舱， 圆心角， 设游客乙乘坐时间t（）分钟后，乙的高度， 则甲的高度， 他们的高度差为 ， 因为，当或，取得最大值1， 即当或时，高度差最大值为25米. 【变式20-3】（2026·高一·辽宁大连·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 【解析】（1）由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； （2）； （3）若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 题型 21 三角函数性质综合应用 【典例21】（2026·高三·江苏常州·开学考试）已知． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）化简得 ． 令，解得， 所以单调递增区间为． （2）由（1）可得， 时，恒成立， 若,即恒成立，只需要即可， ， 令，因为，则， 所以，所以， 当时， 对于函数， 当且仅当，即时等号成立， 故则 所以． 【变式21-1】（2026·高一·江苏无锡·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有两个零点，求的值． 【解析】（1） ， 正弦型函数的单调递减区间为， 则，解得， 的单调减区间为． （2）不等式在时恒成立，即，在内恒成立； 当时，， ，则， 当时，恒成立，； 当时，，的最小值为，故； 当时，，的最大值为，故； 综上，的取值范围是． （3）函数在区间上有两个零点，即， 当时，， 方程有两个解，则，即， 两解关于对称轴对称，故， ． 【变式21-2】（2026·高三·山东济宁·阶段检测）已知 （1）求函数的单调增区间； （2）若关于x的不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】（1） ， 令， 可得， 所以，， 所以函数的单调增区间为，； （2）由可得， 所以，所以， 所以由在恒成立可得： ，所以， 所以m的取值范围为. 【变式21-3】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间和最值； （Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 【解析】（Ⅰ） ， 令，，解得，， 故的单调递增区间为，， 易得的最大值为，最小值为； （Ⅱ）函数在有且仅有两个零点， 函数，与有且仅有2个不同的交点， 由（1）可知当时，在单调递增，在单调递减， 又，所以实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $