2.5点、直线、圆与圆的位置关系同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5点、直线、圆与圆的位置关系同步练习含答案解析 一、直线与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 二、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 2．圆的切线及切线方程 (1)自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2)求过圆上的一点的圆的切线方程： ①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. ②重要结论： a.经过圆上一点P的切线方程为. b.经过圆上一点P的切线方程. c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程 . 3．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 三、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 3．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 1、 单项选择题 1. 若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（    ） A．0或2 B．0或-2 C．0或 D．-2或2 【答案】A 【详解】将圆的方程化为标准方程为：， 所以，圆心为，半径. 因为圆心到直线的距离为，所以，，即， 所以，所以或. 故选：A. 2. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因在圆外，则，得. 又表示圆，则，得.综上：. 故选：D 3. 坐标轴与圆的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆，即圆， 所以圆，半径， 因为圆心到轴的距离为1，且，所以圆与轴相交，即与轴有两个交点， 因为圆心到轴的距离为2，且等于半径，所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点， 综上坐标轴与圆有3个交点， 故选：C 4. 已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0. 故选：D. 5. 圆与圆的位置关系为（    ）． A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】B 【详解】由题意可得， 故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则， 易知，故两圆内切. 故选：B 6. 已知圆的弦过点P（1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得该直线与直线垂直，又，所以直线的斜率为，由点斜式可求得直线方程为，故选A. 7. 已知直线与圆相切于点，则圆C的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】将代，得. 易知圆心的坐标为，∴，，解得， 将代入圆的方程得，∴， ∴圆C的方程为，即，∴圆C的半径为. 故选：A 8. 直线被圆截的的弦长为（  ） A． B． C． D. 2 【答案】B 【详解】的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为， 则被圆截的的弦长为. 故选：B 2、 多项选择题 9. 已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，因为：，即， 令，即，得，所以直线过定点，故A正确；    对于B，因为， 所以定点在圆：内部，所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，因为圆：，可化为，圆心， 当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线距离取得最大值， 此时其值为，故C错误； 对于D，由弦长公式可知，当圆心到直线距离最大时，弦长取得最小值， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故D正确. 故选：AD. 10. 过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 11. 已知圆直线则（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线过定点 C．直线被圆所截得的弦长最小值为 D．圆与圆外切 【答案】BD 【详解】A.由圆的标准方程可知，圆心坐标为，半径为5，故A错误； B．直线， 联立，解得：，所以不管为何值时，点都满足直线的方程，即直线过定点，故B正确； C.因为直线过定点，且定点在圆内，所以当点是弦的中点时，此时弦长最小，并且设，此时是圆心到直线的距离，， 所以弦长的最小值为，故C错误； D.已知圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，两圆的圆心距，所以两圆相外切，故D正确. 故选：BD 3、 填空题 12. 已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为 . 【答案】 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 13. 圆与圆的位置关系为 ． 【答案】相交 【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为，半径分别为， 由，显然， 故圆与圆相交． 故答案为：相交. 14. 已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，-1)，圆C2：x2+y2=4，则圆C1，C2的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】 【详解】设圆的圆心为，则其标准方程为:, 将点代入方程，解得,故方程为:, 两圆,方程作差求得两圆公共弦所在直线方程为:，圆心到该直线的距离为, 因此公共弦长为。 4、 简答题 15. 已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意设圆心为， ，得， 故圆心为，， 圆M的标准方程为：， 圆M的一般方程为：. （2） 由于圆M和圆O的半径均为2， 公切线与OM平行，则，设公切线方程为， 则，得或， 故公切线方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5点、直线、圆与圆的位置关系同步练习 一、直线与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 二、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 2．圆的切线及切线方程 (1)自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2)求过圆上的一点的圆的切线方程： ①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. ②重要结论： a.经过圆上一点P的切线方程为. b.经过圆上一点P的切线方程. c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程 . 3．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 三、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 3．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 1、 单项选择题 1. 若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（    ） A．0或2 B．0或-2 C．0或 D．-2或2 2. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3. 坐标轴与圆的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4. 已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（     ） A． B． C． D． 5. 圆与圆的位置关系为（    ）． A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 6. 已知圆的弦过点P（1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为（ ）. A． B． C． D． 7. 已知直线与圆相切于点，则圆C的半径为（    ） A． B． C． D．5 8. 直线被圆截的的弦长为（  ） A． B． C． D. 2 2、 多项选择题 9. 已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 10. 过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 11. 已知圆直线则（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线过定点 C．直线被圆所截得的弦长最小值为 D．圆与圆外切 3、 填空题 12. 已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为 . 13. 圆与圆的位置关系为 ． 14. 已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，-1)，圆C2：x2+y2=4，则圆C1，C2的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 4、 简答题 15. 已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $