2.2 【有理数的乘法与除法】 专项训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 培优题型专项训练 【有理数的乘法与除法】培优题型专项训练 （新教材人教版） 备注：本资料选题有一定难度，适合中等偏上学生，培优和拔尖需求！ 【题型1 两个有理数乘法运算】 1．已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 3．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C在数轴上所表示的数分别是a，b，c． (1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是______． (2)若点A，B所表示的数互为相反数，求c的值． (3)的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点之间的距离，那么的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数1的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上表示数a的点与表示数的点之间的距离． ①若，求b的值． ②若数轴上，表示数x的点P在点A和点B之间；且，．求a，b，c的值． 4．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 5．定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组． 例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组． (1)求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数． (2)若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数． (3)当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________． 6．探究并解决问题： 对有理数a，b定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”． 按照“乘减法”运算的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)请将下面整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 ；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：． (3)有理数加法和乘法都有结合律，结合律在有理数的“乘减”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举一反例即可）． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 1．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 2．已知a，b，c为三个互不相等的整数，且，则的最大值等于______________． 3．有4个不同的正整数、、、满足，那么的值为__． 4．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 5．（1）把分别填在图①中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是正数． （2）把分别填在图②中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是负数． 【题型3 有理数乘法的应用题】 1．某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 2．李经理的司机每天早上7：30到达李经理家接他上班．有一天李经理7点从家步行去公司，路上遇到按时来接他的车，再乘车去公司，结果早到5分钟． (1)李经理什么时候遇上汽车的？ (2)汽车速度是李经理步行速度的几倍？ 3．阿雅、阿礼、阿真、阿美、阿丽五个小朋友按顺序取出盒子中的糖果，取完后，他们依次说了下面的话： 阿雅：“大家取的糖果个数不同．” 阿礼：“我取了剩下的糖果的个数的一半．” 阿真：“我取了剩下糖果的．” 阿美：“我取了剩下的全部糖果．” 阿丽：“我取了剩下的糖果的个数的一半．” 请问： (1)阿雅是第几个取糖果？ (2)已知每个人都取到糖果，则这盒糖果最少有多少颗？ 【题型4 倒数】 1．已知，则的整数部分是______． 2．用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 3．先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 4．课堂上，老师出了一道计算题：． 小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为． 请你根据小丽的方法，计算：． 5．计算：． 小华发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题． (1)先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分． (2)前后两部分之间存在着什么关系？直接写出另一部分的结果． (3)根据以上分析，求出原式的结果． 6．我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． (1)计算： (2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 【题型5 有理数乘法运算律】 1．计算：______． 2．在学习了有理数的乘法之后，张老师出了两道题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1： ； 例2： ． 请你参照上述例1、例2，用运算律简便计算下列式子： (1) (2) ． 3．简化计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．已知m，n为有理数，如果规定一种新运算“#”，定义． (1)计算：； (2)计算：； (3)探索：任意选取两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列☐和◇内，并比较两个运算结果，你能发现什么？ ☐#◇和◇#☐ 【题型6 有理数除法运算】 1．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（    ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为的有理数，当时，则的值为或； ③已知，，是有理数，，，则； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 2．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（    ）个． ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．小天同学在课下研究两个有理数和，他发现若计算，，，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是（   ） A．1 B． C． D．0 4．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 5．已知，则的所有可能值为______． 6．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数是，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．数轴上在点B的右侧有一点P，它距离原点个单位长度，若将刻度尺向左平移使得刻度尺上的刻度2与数轴上点A对齐，此时与点P对齐的刻度尺上的刻度是______． 7．综合与实践 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究． 操作一： (1)折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，若使表示2的点与表示的点重合，解答以下问题． ①表示4的点与表示_______的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为16（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是______． 操作三： (3)在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点所有可能表示的数． 8．如图，甲、乙两人的对应点分别在数轴和6的位置上，两个点沿数轴做东西方向移动的游戏．每一局，两人先进行“石头，剪刀，布”的划拳，（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀），而后根据输赢结果进行移动，然后再进行下一局． 移动规则：①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 ．．． 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 ．．． 乙的手势 石头 布 布 ．．． (1)从如图所示位置开始，第一局结束后甲在数轴上代表的数为___________，乙在数轴上代表的数为___________； (2)若第四局结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，则乙第四局的手势是___________，此时甲与乙在数轴上的位置相距___________个单位长度． (3)从如图所示的位置开始，若进行了局后，甲与乙的位置相距2个单位长度，请直接写出的值：___________． 【题型7 有理数除法应用题】 1．2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 2．大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三．这些彩灯最少有_____盏． 3．A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是______小时，乙往返一趟所需时间是______小时； （2）出发后航行______小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 4．宁波某超市在国庆期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于100元 不予优惠 低于300元但不低于100元 按原价的八折给予优惠，并赠送一张满100减10元的消费抵用券供下次使用 300元或超过300元 其中300元部分给予八折优惠． 超过300元部分给予七折优惠，并送一张满200减30元的消费抵用券供下次使用 注：若原价达到消费券使用门槛，则可在最后实际付费的基础上再减相应的金额． (1)若王老师实际付款88元，那么王老师一次性购物可能是______元； (2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于300元但不小于100时，他实际付款______元，当大于或等于300元时，他实际付款______元（用含的代数式表示并化简）； (3)如果王老师连着两天去超市购物原价合计600元，第一天购物的原价为元（），用含的代数式表示：两天购物王老师实际一共最少付款多少元？当元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【题型8 有理数乘除混合运算】 1．下图为某邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为邮户，每个小长方形的长为米，宽为米．如果邮递员每分钟行米，在每个邮户停留半分钟，从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少要用（     ）分钟 A． B． C． D． 2．有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶125米，乙每秒钟行驶100米．至少经过________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶点上的情况，不符合要求．） 3．若“！”是一种运算符号，并且，，，，求． 4．计算，能简算要简算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题型9 有理数乘除的简便运算】 1．用适当方法计算 (1) (2) 2．计算： (1) (2) (3) (4) 3．计算题． (1) (2) (3) (4) 4．阅读下面的解题过程，再解答问题． 因为与互为倒数，所以在计算的值时可采用下列方法： 解： ， 所以原式． 根据上述方法，计算：． 【题型10 根据点在数轴的位置判断式子正负】 1．已知a，b为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上标出，的位置； (2)用“＞”或“＜”填空： 0， 0； (3)若，，求a，b的值． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．那么在数轴上表示A、B两点之间的距离记为，请你利用数轴回答问题： (1)在数轴上，如果a表示的是，b表示的是2，则两点之间的距离为_________； (2)判断正负，用“＞”或“＜”填空：_________0，_________0，_________0； (3)数轴上表示b和两点之间的距离为_________； (4)在数轴上，如果A表示，A、D两点之间的距离为3，则D表示的数是_________． 3．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 4．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：． 【题型11 数轴上的翻折】 1．如图1，在数轴上点、、从左到右依次排列、有理数a，b，c所对应的点别为点A、B、C，已知a，b满足，，请回答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)如图，为数轴上一动点，点表示的数为，现以P为折点，将数轴向右对折，（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 2．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是________． A．    B．    C．    D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是________． (2)翻折变换 ①如图1，以1所表示的点为折点，将数轴折叠，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示________的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示________，B点表示________． ③如图2，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 3．如图1，已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点A表示的数为，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C对应的数是______． (2)点A表示的数为，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求的值． (3)如图2，若数轴上有A，B，C三点，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点（点A的对应点）落在点C的右侧，且、B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少？ 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 52 页 第 1 页 共 52 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 培优题型专项训练 【有理数的乘法与除法】培优题型专项训练 （新教材人教版） 备注：本资料选题有一定难度，适合中等偏上学生，培优和拔尖需求！ 【题型1 两个有理数乘法运算】 1．已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值的几何意义求出两个绝对值和的最小值，结合乘积为确定的取值范围，进而求得的最小值． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上点到1和4的距离之和． 当时，距离和取得最小值，即， 同理，表示数轴上数对应的点到5和的距离之和． 当时，距离和取得最小值，即， ，且， ，． ，． 当，时，的最小值为． 2．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘法．先根据数轴的性质可得，再根据有理数的乘法法则逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，． 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项A不符合题意； 如果，则同号，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项B不符合题意； 如果，则，所以，所以一定会有，故选项C符合题意； 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C在数轴上所表示的数分别是a，b，c． (1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是______． (2)若点A，B所表示的数互为相反数，求c的值． (3)的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点之间的距离，那么的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数1的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上表示数a的点与表示数的点之间的距离． ①若，求b的值． ②若数轴上，表示数x的点P在点A和点B之间；且，．求a，b，c的值． 【答案】(1)7 (2)5 (3)①的值为6或14；② 【分析】（1）由题意在刻度尺上的距离等于在数轴上的距离，根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据互为相反数的两个数在原点的两侧且到原点的距离相等，得到原点的位置，再根据两点间的距离进行求解即可； （3）①分两种情况进行讨论求解即可；②根据绝对值的几何意义，得到当表示数x的点P在点A和点B之间时，，进而得到，结合，求出，再根据两点间的距离求出a，b的值即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，， ∴点表示的数为； （2）解：∵点A，B所表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即在刻度处， ∴； （3）解：①由题意，， 到2的距离的2倍等于到2的距离， 当2在之间时，则到2的距离为，到2的距离为， ∴4刻度处表示2， ∴的值为6； 当2在的左侧时，则到2的距离等于的长， ∴，； 综上：的值为6或14； ②∵表示数x的点P在点A和点B之间， ∴， ∵， ∴， ∴或， 又∵，且在的左侧， ∴当时，均为负数，不符合题意； ∴， ∵， ∴. 4．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算各式即可； （2）根据定义的运算法则计算即可； （3）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可； （4）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后确定a，b的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 5．定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组． 例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组． (1)求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数． (2)若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数． (3)当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________． 【答案】(1)2，4，8，16，32 (2)或 (3)5； 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算： （1）根据有理数乘法计算法则求出这4个数两两相乘的结果即可得到答案； （2）二维数组中有0，则这几个有理数中必定有一个数为0，假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足，则可推出一定是二维数组中的每个数，再由，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方，可得这几个有理数都是整数；若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数，则此时必有一个有理数为，再由二维数组中有24和18，此时必有有理数为和，这与假设矛盾，当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数，此时必有一个有理数为，再由二维数组中有24和18，得到此时必有有理数为和，这与假设矛盾；当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数，可得此时必有一个有理数为，进而推出此时必有有理数4和6，则有理数满足题意，同理有理数也满足题意； （3）要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0，根据4个数两两相乘一共有6种结果，则当剩下的4个数两两相乘的结果要最少，由1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数，故当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少，据此求解即可． 【详解】（1）解：，，，，，， ∴1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数为2，4，8，16，32； （2）解：∵二维数组中有0， ∴这几个有理数中必定有一个数为0， 假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足， ∴一定有一个数满足，一定有一个数满足， ∴一定是二维数组中的每个数， ∵，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方， ∴这几个有理数都是整数； 若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数， ∵， 此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24和18， ∴此时必有有理数为和，这与假设矛盾， ∴没有有理数1， 当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数， ∵， ∴此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24和18， ∴ 此时必有有理数为和，这与假设矛盾； 当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数， ∵， ∴此时必有一个有理数为， ∵二维数组中有24，且， ∴此时必有有理数4和6， ∵， ∴这时有理数满足题意， 同理有理数也满足题意； （3）解：∵0乘以任何数为0， ∴要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0， ∵4个数两两相乘一共有6种结果， ∴当剩下的4个数两两相乘的结果要最少， ∵1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数， ∴当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少， 综上所述，5个不同的数相乘时不同的结果最少为5个，即，此时满足题意的有理数可以为， 故答案为：5；． 6．探究并解决问题： 对有理数a，b定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”． 按照“乘减法”运算的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)请将下面整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 ；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：． (3)有理数加法和乘法都有结合律，结合律在有理数的“乘减”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举一反例即可）． 【答案】(1)正；负；用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2) (3)不适用，例如：，而，两者不相等 【分析】（1）根据题中的“乘减法”的算式，归纳出其计算得法则即可； （2）根据“乘减法”的运算法则计算即可； （3）举例，，即可判断结果． 【详解】（1）解：根据题意，“乘减法”法则为：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正；负；用较大的绝对值减去较小的绝对值；0． （2）解： ； （3）解：不适用． 例如：，而，两者不相等． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘法，有理数的加法，有理数加法的结合律，有理数乘法的结合律，正确理解新定义运算的法则是解题的关键． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 1．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可． 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 2．已知a，b，c为三个互不相等的整数，且，则的最大值等于______________． 【答案】 【分析】设，，，将问题转化为把分解为三个互不相等整数的乘积，求的最大值，即可得到的最大值． 【详解】解：设，，， 则，且为互不相等的整数， 可得， 因此要使最大，只需使最大 ∵，负因数个数为奇数，要使和最大，负因数个数应为1个，且负因数尽可能大， ∴取负因数为， 此时剩余两个正整数的乘积为， 将分解为两个不同正整数的乘积，可得和两种情况， 当三个整数为时，和为， 当三个整数为时，和为， 其他分解方式得到的和均小于， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 3．有4个不同的正整数、、、满足，那么的值为__． 【答案】8100 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，根据，可得的和，即可求得． 【详解】解：设，，，， 则、、、是四个不同的整数，且， 要将4分解成四个不同整数的乘积， 只能是， 则、、、的组合是， ． 故答案为：8100． 4．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【答案】(1)同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加；结果等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，反例看解析 (4) 【分析】本题考查定义新运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键： （1）由给出的算式，得到两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）根据新运算的法则，进行计算即可； （3）不适用，举出一个反例即可； （4）根据，定义一种新运算即可． 【详解】（1）解：两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）解：； （3）不适用，例如：，，， 故结合律在有理数的“”运算中不适用； （4）∵，， 故可以定义． 5．（1）把分别填在图①中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是正数． （2）把分别填在图②中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是负数． 【答案】 （1）如图所示，答案不唯一： 3 6 9 （2）如图所示，答案不唯一： 2 3 4 6 7 8 【分析】本题考查了有理数的乘法符号规则，掌握几个有理数相乘，负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，利用此规则排列数字使每行、每列及对角线的积符合要求是解题的关键． （1）要让积为正，需保证每行、每列、每条对角线上负因数个数为偶数． （2）要让积为负，需保证负因数个数为奇数． 【详解】（1）已知有共6个负数，共3个正数。 按照每行、每列、每条对角线上负因数个数为偶数(如2个)的原则排列， 此时每行、每列、每条对角线上负因数个数均为2个，积为正． （2）已知有共3个负数，共6个正数。按照每行、每列、每条对角线上负因数个数为奇数(如1个)的原则排列， 此时每行、每列、每条对角线上负因数个数均为1个，积为负． 【题型3 有理数乘法的应用题】 1．某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 【答案】 【分析】第一问，分别计算只装同一种农产品时，每箱最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值；第二问，根据每种农产品最多装2包的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）对于每箱只装同一种农产品的情况： 农产品A：总价值元； 农产品B：总价值元； 农产品C：总价值元； 农产品D：总价值元； 比较可知，一箱农产品的总价值最大为240元； （2）设装A，B，C，D的包数分别为a，b，c，d，满足，，，，a，b，c，d为非负整数， 且， 总价值，计算得： 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 其余符合重量限制的组合，总价值均小于223，因此第二问最大总价值为223元． 2．李经理的司机每天早上7：30到达李经理家接他上班．有一天李经理7点从家步行去公司，路上遇到按时来接他的车，再乘车去公司，结果早到5分钟． (1)李经理什么时候遇上汽车的？ (2)汽车速度是李经理步行速度的几倍？ 【答案】(1) 7时27分30秒 (2) 11倍 【分析】(1)汽车早到5分钟，是因为省去了从相遇点到李经理家再返回相遇点的时间，所以汽车从相遇点到李经理家单程需要(分钟)，即2分30秒，可得相遇时间为7时27分30秒； (2)开车2分30秒的路程李经理走了 27分30秒， 可得车速是李经理步行速度的11倍． 【详解】（1）解：汽车从相遇点到李经理家单程需要：(分钟)， 司机原计划7:30到家，故相遇时间为 7时30分 分 时27分30秒． 答：李经理是7时27分30秒遇上汽车的； （2）解：李经理步行时间为 7时27分30秒 时 (分钟)， 汽车速度是李经理步行速度的：． 答：汽车速度是李经理步行速度的11倍． 3．阿雅、阿礼、阿真、阿美、阿丽五个小朋友按顺序取出盒子中的糖果，取完后，他们依次说了下面的话： 阿雅：“大家取的糖果个数不同．” 阿礼：“我取了剩下的糖果的个数的一半．” 阿真：“我取了剩下糖果的．” 阿美：“我取了剩下的全部糖果．” 阿丽：“我取了剩下的糖果的个数的一半．” 请问： (1)阿雅是第几个取糖果？ (2)已知每个人都取到糖果，则这盒糖果最少有多少颗？ 【答案】(1)第一个 (2)16 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）先确定阿美是最后一个取糖果的，阿真是倒数第2个取糖果的，再推导出阿丽、阿礼都是取了剩下的糖果的一半，都不是第1个取的，因此阿雅是第1个取糖果的，即可解答． （2）要使这盒糖果最少，则倒数第1个取1颗，倒数第2个取2颗，倒数第3个、第4个取的数量依次为3颗，6颗，阿雅取的糖果不能和其他人相同，且要尽可能少，则为4颗，总数为（颗），即可解答． 【详解】（1）解：∵阿美取了剩下的全部糖果， ∴阿美是最后一个取糖果的； ∵阿礼和阿丽不能在倒数第2的位置，否则和最后1人的个数相同， ∴阿真是倒数第2个取糖果的； 而阿丽、阿礼都是取了剩下的糖果的一半，都不是第1个取的， 因此阿雅是第1个取糖果的． （2）要使这盒糖果最少，则倒数第1个取1颗，倒数第2个取（颗），倒数第3个、第4个取的数量依次为（颗），（颗），阿雅取的糖果不能和其他人相同，且要尽可能少，则为4颗，总数为（颗）． 【题型4 倒数】 1．已知，则的整数部分是______． 【答案】100 【分析】先确定中共有20个数，利用放缩法得到的取值范围，对不等式取倒数得到的取值范围，即可求出的整数部分． 【详解】解：对任意正整数满足，都有， .， 同理，对任意正整数满足，都有， ， 不等式各项均为正数， 对不等式取倒数得， 化简得：， 的整数部分为． 2．用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了新定义运算中的规律探究，熟练掌握从已知运算中总结对应规律并代入计算是解题的关键．先从已知运算结果中总结出正整数和分数对应的运算规律，再代入计算和，最后求差值． 【详解】解： 对于正整数，， ∴ ． ∵ 对于的整数，有” ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 3．先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子，可以求出所求式子的值． 【详解】（1）解：； （2）解：原式的倒数是： ， 则原式． 4．课堂上，老师出了一道计算题：． 小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为． 请你根据小丽的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，有理数的混合运算，乘法分配律．先求得，根据阅读材料求出，据此计算即可求解． 【详解】解： ； ∵与互为倒数，且， ∴， ∴． 5．计算：． 小华发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题． (1)先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分． (2)前后两部分之间存在着什么关系？直接写出另一部分的结果． (3)根据以上分析，求出原式的结果． 【答案】(1)先计算第二部分，计算结果为4； (2)互为倒数关系，另一部分的结果是； (3)． 【分析】（1）利用乘法分配律可先求第二部分； （2）根据倒数的定义可知，这两部分互为倒数，利用倒数的定义直接求解即可； （3）根据加法法则求解即可． 【详解】（1）解：先计算第二部分比较简便， ； （2）解：前后两部分互为倒数， 由（1）可知第二部分的结果为4， 则前部分的结果为； （3）解：根据以上分析，可知： 原式． 【点睛】本题考查的是有理数的乘除运算，解题的关键是能发现前后两部分互为倒数，从而达到简便运算． 6．我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． (1)计算： (2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）直接利用乘法对加法的分配律计算即可； （2）先计算的倒数，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键． 【题型5 有理数乘法运算律】 1．计算：______． 【答案】 【分析】观察算式结构，提取公共因数2027后，剩余部分符合分数裂项相消的特征，可通过拆分抵消简化计算，避免逐项通分的复杂运算． 【详解】解：原式 ． 2．在学习了有理数的乘法之后，张老师出了两道题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1： ； 例2： ． 请你参照上述例1、例2，用运算律简便计算下列式子： (1) (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把拆成，使用乘法分配律展开简便运算． （2）提取999，逆用乘法分配律，先计算括号内的加减，简化计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．简化计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解： ； （4）解： ． 4．已知m，n为有理数，如果规定一种新运算“#”，定义． (1)计算：； (2)计算：； (3)探索：任意选取两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列☐和◇内，并比较两个运算结果，你能发现什么？ ☐#◇和◇#☐ 【答案】(1) (2) (3) 我发现两个运算结果相等 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）解：， ． （3）选取，， 所以， ， 我发现两个运算结果相等．（取值不唯一） 【题型6 有理数除法运算】 1．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（    ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为的有理数，当时，则的值为或； ③已知，，是有理数，，，则； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可． 【详解】解：①根据题意得，或，或， ∴或或， ∴的值为或，故①正确； ②当时，异号， 当时，； 当时，； ∴的值为，故②错误； ③∵，， ∴中有1个负数，2个正数， 不妨设， ∴，故③正确； ④由得，， ∴中有1个负数，2个正数或3个都是负数， 当有1个负数，2个正数时，； 当3个都是负数时，； ∴的值为或，故④正确； ⑤由得，中有1个负数，2个正数或有2个负数，1个正数， 当有1个负数，2个正数时，； 当有2个负数，1个正数时，； ∴的所有可能的值为，故⑤正确； 综上，结论正确的是①③④⑤， 故选：A． 2．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（    ）个． ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了含字母的绝对值化简，相反数的几何意义，在数轴上比较有理数的大小，有理数的除法，熟练掌握在数轴上比较有理数的大小是解题的关键．由数轴可知，，，，即知①和②正确；同时可得，，，即可计算验证③正确；将，，也在数轴上表示出来，即可判断④错误． 【详解】解：由数轴可知，，，， ， 故①正确； 同时可得，， 故②正确； 由，，，可得，，， ， 故③正确； 将，，也在数轴上表示出来，如下图： 则， 故④错误； 正确的是①②③，共3个． 故选：C． 3．小天同学在课下研究两个有理数和，他发现若计算，，，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则，能够通过推理求出x、y的值是解题的关键． 由题意可知，则，再根据，，，有三个结果恰好相同，则或，分两种情况：（1）当时，由可得，解得，从而求得，代入计算即可求解；当时，由可得，解得，从而求得当时，则，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ∵，，，有三个结果恰好相同， 或， 因此，分以下两种情况： （1）当时， 由可得，解得， ①当时，则，无解，即不存在这样的有理数， ②当时，则，解得， 此时； （2）当时， 由可得，解得， ①当时，则，无解，即不存在这样的有理数， ②当时，则，解得， 此时； 综上，的值为， 故选：B． 4．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．已知，则的所有可能值为______． 【答案】3或7或 【分析】根据绝对值的性质，对a，b，c的正负性按负数个数分类讨论，分别计算代数式的值，即可得到所有可能结果． 【详解】解：根据绝对值的性质可知，对于非零数， 当时，，当时，， 按中负数的个数分类讨论如下. 1. 当a，b，c全为正数时，，则，，，， ∴原式； 2. 当a，b，c中有1个负数，2个正数时，， 则无论哪个数为负，， ， ∴原式； 3. 当a，b，c中有2个负数，1个正数时，， 则无论哪两个数为负，，， ∴原式； 4. 当a，b，c全为负数时，， 则，，，， ∴原式， 综上，所有可能值为3或7或． 6．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数是，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．数轴上在点B的右侧有一点P，它距离原点个单位长度，若将刻度尺向左平移使得刻度尺上的刻度2与数轴上点A对齐，此时与点P对齐的刻度尺上的刻度是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的减法和除法运算，列代数式： 先求出在数轴上点A和点C的距离为10，再由刻度尺上点A与点C的距离除以数轴上点A和点C的距离可得到该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，再得到在刻度尺上点P对齐刻度，进而可得答案． 【详解】解：∵数轴上点A和点C表示的数分别为，8， ∴在数轴上点A和点C的距离为， ∵在刻度尺上数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度， ∴该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， ∵在刻度尺上点B对齐刻度，且数轴上在点B的右侧有一点P，它距离原点个单位长度， ∴在刻度尺上点P对齐刻度， 若将刻度尺向左平移使得刻度尺上的刻度2与数轴上点A对齐，此时与点P对齐的刻度尺上的刻度是， 故答案为：． 7．综合与实践 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究． 操作一： (1)折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，若使表示2的点与表示的点重合，解答以下问题． ①表示4的点与表示_______的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为16（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是______． 操作三： (3)在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点所有可能表示的数． 【答案】(1)5 (2)①②， (3)或1或 【分析】（1）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为原点，即可求解； （2）根据题意可得折痕所过的数轴上的点为，①求出表示4的点与表示的点的距离，再根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等列式计算即可；②根据题意，先计算出 A，B到折痕的点的距离为8，再根据数轴的几何意义计算即可；（3）先计算出三段线段的长度，再分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别计算即可． 【详解】（1）解：表示1的点与表示的点重合， 折痕过原点， 表示的点与表示5的点重合； （2）解：表示2的点与表示的点重合， 折痕过表示的点， ①表示4的点与表示的点的距离为， ， 则表示4的点与表示的点重合； ②数轴上A，B两点之间的距离为16， A，B两点与表示的点的距离分别为， ，， 点A在点B的左侧， 则A点表示的数是，B点表示的数是； （3）解：三条线段的长度之比为，总长为8个单位长度， ，，， 即三条线段的长度分别为，，， 如图1，当时，则，，， 折痕处对应的点表示的数为； 如图2，当时，则，，， 折痕处对应的点表示的数为； 如图3，当时，则，，， 折痕处对应的点表示的数为； 综上所述，折痕处对应的点表示的数为或1或． 8．如图，甲、乙两人的对应点分别在数轴和6的位置上，两个点沿数轴做东西方向移动的游戏．每一局，两人先进行“石头，剪刀，布”的划拳，（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀），而后根据输赢结果进行移动，然后再进行下一局． 移动规则：①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 ．．． 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 ．．． 乙的手势 石头 布 布 ．．． (1)从如图所示位置开始，第一局结束后甲在数轴上代表的数为___________，乙在数轴上代表的数为___________； (2)若第四局结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，则乙第四局的手势是___________，此时甲与乙在数轴上的位置相距___________个单位长度． (3)从如图所示的位置开始，若进行了局后，甲与乙的位置相距2个单位长度，请直接写出的值：___________． 【答案】(1)；5 (2)布，4个单位长度 (3)7或5 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算： （1）利用规则：若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，即可得结论； （2）从前三局来看，甲一平一胜一负，根据规则分别计算出前三局结束后甲、乙表示的数，再根据第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，可得第四局游戏为平局，据此可得第四局乙的手势和第四局结合后甲、乙表示的数，进而可求出二者的距离； （3）根据规则可以推出甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度，再由最终甲与乙的位置相距2个单位长度，得到共需缩小个单位长度或个单位长度，据此可得答案。 【详解】（1）解：完成了第一局移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； 故答案为：；5； （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 根据规则三局之后甲对应的数为：， 根据规则三局之后乙对应的数为：， ∵第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2， ∴第四局游戏的结果使乙向西移动1个单位长度， ∴第四局游戏为平局， ∴乙第四局的手势是布，第四局游戏结束后甲表示的数为， ∴此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度； （3）解：刚开始甲乙两人相距个单位长度， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲、乙的距离缩小个单位长度， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度， 最终甲与乙的位置相距2个单位长度， 共需缩小个单位长度或个单位长度， ，， 的值为7或5． 【题型7 有理数除法应用题】 1．2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 【答案】104 【分析】全程比赛分两阶段计算，第一阶段小组循环赛按单循环场次计算，第二阶段淘汰赛按淘汰球队数加额外三四名决赛场次算，最后求和． 【详解】解：第一阶段：总共48支球队，每4支一组， 组数为：（组）， 每组单循环比赛的场次：（场）， ∴第一阶段比赛的总场次为：（场）． 第二阶段：∵晋级球队32支，采用单场淘汰赛决出冠军， ∴决出冠军需要淘汰的球队数量为：（支）， ∴淘汰赛场次为31场， 又∵半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛， ∴第二阶段比赛的总场次为：（场）． 全程总场次为：（场）． 2．大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三．这些彩灯最少有_____盏． 【答案】21 【分析】彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5．通过寻找3和7的公倍数，并结合其他条件求解．本题主要考查了整除的应用，灵活运用整除是解题的关键． 【详解】解：由题知彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5． ∵彩灯数量是3和7的公倍数，即21的倍数． ∴设数量为，k为正整数．   当时，， 余1，满足题意， 余5，即缺3，满足题意， ∴这些彩灯最少有21盏． 故答案为21． 3．A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是______小时，乙往返一趟所需时间是______小时； （2）出发后航行______小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 【答案】 2.5 3.2 80 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键． （1）分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，从而可求出乙往返的次数为，再结合题意可知为整数，且最小，则得出，进而可求出时间． 【详解】解：（1）甲船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 甲船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 乙船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 故答案为：2.5，3.2； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时， 所以乙往返的次数为． 因为甲、乙两船恰好首次同时回到A港口， 所以为整数，且最小， 所以x最小可取32， 所以航行时间为时． 故答案为：80． 4．宁波某超市在国庆期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于100元 不予优惠 低于300元但不低于100元 按原价的八折给予优惠，并赠送一张满100减10元的消费抵用券供下次使用 300元或超过300元 其中300元部分给予八折优惠． 超过300元部分给予七折优惠，并送一张满200减30元的消费抵用券供下次使用 注：若原价达到消费券使用门槛，则可在最后实际付费的基础上再减相应的金额． (1)若王老师实际付款88元，那么王老师一次性购物可能是______元； (2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于300元但不小于100时，他实际付款______元，当大于或等于300元时，他实际付款______元（用含的代数式表示并化简）； (3)如果王老师连着两天去超市购物原价合计600元，第一天购物的原价为元（），用含的代数式表示：两天购物王老师实际一共最少付款多少元？当元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【答案】(1)88或110 (2)； (3)当时，最少付款为元；当时，最少付款为元；一共节省了135元 【分析】本题考查列代数式，根据优惠方案，正确的列出代数式是解题的关键： （1）分购买总额少于100元和低于300元但不低于100元两种情况讨论求解即可； （2）根据优惠方案列出代数式即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，当王老师一次性购物金额刚好为88元时，满足题意， 当王老师的原付款金额低于300元但不低于100元时，（元）； 故答案为：88或110； （2）由题意，当小于300元但不小于100时，他实际付款为元； 当大于或等于300元时，他实际付款（元）； （3）当时，则， 最少付款为（元）； 当时，， 最少付款为：（元）； 当元时，王老师两天一共节省了（元）． 答：当时，最少付款为元；当时，最少付款为元；一共节省了135元． 【题型8 有理数乘除混合运算】 1．下图为某邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为邮户，每个小长方形的长为米，宽为米．如果邮递员每分钟行米，在每个邮户停留半分钟，从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少要用（     ）分钟 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 求最少的时间，所走路线不能重复，规划路线后计算即可． 【详解】解：最短路线如图所示： 总路程：（米）， 所用时间：（分）， 停留时间：（分）， 总时长：（分）， 故选：C． 2．有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶125米，乙每秒钟行驶100米．至少经过________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶点上的情况，不符合要求．） 【答案】 【详解】解：∵正方形的周长为4000米， ∴正方形的边长为米， ∵甲每秒钟行驶125米，乙每秒钟行驶100米，且， 初始乙在甲顺时针前方1000米，要两车在同一条边上，甲需要比乙多走超过2000米；若甲比乙多走3000米，则甲追上乙； ∴甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米， ∵，， ∴需要的时间满足大于秒，且小于秒， ∵甲每秒钟行驶125米，且， ∴甲每过8秒就从一个顶点运动到另一个顶点， ∴运动的时间一定要是8的倍数， ∴至少经过88秒钟后，两辆车在同一条边上行驶． 3．若“！”是一种运算符号，并且，，，，求． 【答案】 【详解】解：原式． 4．计算，能简算要简算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)499 (2)24 (3) (4) (5)7 (6) 【分析】（1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）把和分别运用等差数列的求和公式进行计算即可； （4）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （5）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （6）先将原式写成，再进行加法计算即可； 本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及拆项法是解题的关键. 【详解】（1）解：                                                                                                            ； （2）解： ； （3）解：      ； （4）解： ； （5）解：                   ； （6）解：                                  . 【题型9 有理数乘除的简便运算】 1．用适当方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式拆分为两部分求和，分别计算后作差得结果； （2）先化简找出规律，再用裂项相消法抵消中间项，计算剩余项得结果． 【详解】（1）解： ∵，，，，共项，和为， ，，，，共项，和为， ∴原式； （2）解：对于第项，， ∴分母乘积为， ∴第项为， ∴ ． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3)0 (4)10 【分析】该题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先将原式化为，再计算即可． （2）根据有理数加减法简便运算法则计算即可． （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律逆运用即可解答． （4）先将除法转化为乘法，百分数和小数转化为分数，再根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察算式可得算式中有个同分母的带分数，可将整数部分与整数部分相加，分数部分与分数部分相加，利用求和公式来简便计算； （2）观察算式发现、、相似，可通过乘数之间扩大和缩小将它们都变成，从而利用乘法分配律来简便计算； （3），，……，，用裂项相消的方法即可计算； （4）分子，分母，分子、分母即可先约分． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 4．阅读下面的解题过程，再解答问题． 因为与互为倒数，所以在计算的值时可采用下列方法： 解： ， 所以原式． 根据上述方法，计算：． 【答案】 【分析】根据给出的方法，解答即可． 【详解】解： ， 所以原式． 【题型10 根据点在数轴的位置判断式子正负】 1．已知a，b为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上标出，的位置； (2)用“＞”或“＜”填空： 0， 0； (3)若，，求a，b的值． 【答案】(1)在数轴上标出，的位置如图所示： (2)>，< (3)， 【分析】（1）根据相反数的概念求解即可； （2）根据数轴上点的位置即可求解； （3）根据数轴上点的位置，进而化简绝对值即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）中的数轴得， （3）解：∵，，且，，∴，． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．那么在数轴上表示A、B两点之间的距离记为，请你利用数轴回答问题： (1)在数轴上，如果a表示的是，b表示的是2，则两点之间的距离为_________； (2)判断正负，用“＞”或“＜”填空：_________0，_________0，_________0； (3)数轴上表示b和两点之间的距离为_________； (4)在数轴上，如果A表示，A、D两点之间的距离为3，则D表示的数是_________． 【答案】(1)8 (2)，， (3) (4)或1 【分析】（1）求两个数的差的绝对值即可； （2）根据a、b、c在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再判断出各式的符号即可； （3）利用绝对值的定义，再根据数轴上两点的距离解答即可； （4）根据题意分情况讨论点D的位置，即可得出点D表示的数． 【详解】（1）解：如果a表示的是，b表示的是2，则两点之间的距离为． （2）解：由题意可知，，， ∴，，． （3）解：b和两点之间的距离为． （4）解：由题意知，A表示，A、D两点之间的距离为3， 此时点D分情况讨论： ①当点D在点A左侧时， ∴D表示的数是； ②当点D在点A右侧时， ∴D表示的数是， 综上所述，点D表示的数是或1． 3．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据在数轴上的对应点的位置判定即可； （2）根据绝对值的性质即可得出结论； （3）根据绝对值的性质求出，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴上的排列顺序可得：； （2）解：∵， ∴，，； （3）解：∵，，且， ， ∴， ∴． 4．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴可得，再由得到，据此求解即可； （2）由数轴可知，据此化简绝对值并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 【题型11 数轴上的翻折】 1．如图1，在数轴上点、、从左到右依次排列、有理数a，b，c所对应的点别为点A、B、C，已知a，b满足，，请回答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)如图，为数轴上一动点，点表示的数为，现以P为折点，将数轴向右对折，（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【答案】(1)；； (2)①；②的值为或或． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性可得，再根据绝对值的定义可求得； （2）①对折后点与点重合，说明为两个数的中点，据此作答即可； ②根据题意，可知对折点在点左侧．然后分2种情况分类讨论即可，第一种情况：当点在之间；第二种情况：当点在之间． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴有理数a，b，c所对应的点别为点A、B、C，在数轴上点、、从左到右依次排列， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即； （2）解：①对折后点与点重合， ∵点表示的数为，点表示的数为，经点对折后点与点重合， ∴点表示的数为：，即； ②根据题意，可知对折点在点左侧．不妨设对折后点的对应点为，对折后点的对应点为． ∵点P在点A的右侧，现以P为折点，将数轴向右对折，点为， ∴折叠后点为， 第一种情况：当点在之间，此时折叠后动，和不动，且点到点和点的距离相等时，则折叠后点是的中点， 即， 解得； 此时不满足当点在之间，舍去； 第二种情况：当点在之间，此时折叠后动，动，不动， ①当折叠后点到点和点的距离相等时，则折叠后点是的中点， ∵点P在点A的右侧，现以P为折点，将数轴向右对折，点为， ∴折叠后点为， ∵折叠后点是的中点， ∴， ∴； ②折叠后点到点和点的距离相等时，则折叠后点是的中点， ∴， ∴； C点在折点的右侧，向右对折，C位置不变，仍然是6， ③折叠后点到点和点的距离相等时，则折叠后点是的中点， ∴， ∴； 综上所述，的值为或或． 2．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是________． A．    B．    C．    D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是________． (2)翻折变换 ①如图1，以1所表示的点为折点，将数轴折叠，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示________的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示________，B点表示________． ③如图2，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；②1011 (2)①；②；1012；③ 【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列算式计算； ②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①根据1所表示的点为折点，则重合的两点到1的距离相等，即可求解； ②先根据①得到的折痕处的点表示的数，两点间的距离，确定两点表示的数； ③先根据题意找到点表示的数，再根据点A、表示的数，即可求折点C表示的数． 【详解】（1）解：①根据移动过程可得：； ②如果向左为“”，向右为“”， 机器人跳动过程可以用算式表示为： ， ∴当机器人跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是1011； （2）解：①∵1所表示的点为折点，，， ∴表示5的点与表示的点重合； ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2022， ∴A、B两点到折痕1处的距离都是1011， ∵A在B的左侧， ∴B点表示数为1012，A点表示的数为； ③根据题意可知点表示的数为， ∵点A、表示的数分别是、10，点C为折点， ∴点C表示的数：． 3．如图1，已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点A表示的数为，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C对应的数是______． (2)点A表示的数为，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求的值． (3)如图2，若数轴上有A，B，C三点，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点（点A的对应点）落在点C的右侧，且、B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）先根据点A到原点距离求出点B表示的数，再利用点C是中点求点C表示的数； （2）先由平移算出m的值，再代入代数式，根据绝对值法则化简求值； （3）先分点在点B左侧或右侧两种情况算出点表示的数，再利用折叠后折点C是的中点求出点C． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为， ∴点A到原点O的距离为， ∵点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍， ∴点B到原点O的距离为， ∵点A在点B的左侧， ∴数轴上点B对应的数是； ∵点A表示的数为，数轴上点B对应的数是， ∴， ∵点C到点A、B的距离相等，， ∴点C对应的数是； （2）解：∵点A表示的数为，设点B表示的数为m，动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①当点在点B左侧时，点表示的数为，， 由折叠可知，点C为中点，， ∴点C表示的数是； ②当点在点B右侧时，点表示的数为，， 由折叠可知，点C为中点，， ∴点C表示的数是； 综上，C表示的数是或． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 52 页 第 1 页 共 52 页 学科网（北京）股份有限公司 $