精品解析：宁夏回族自治区银川市兴庆区银川一中南熏路校区（银川十中）2026-2027学年度第一学期期中测试九年级数学试题

银川一中南熏路校区（银川十中）2026-2027学年度第一学期期中测试 九年级数学试题 （本卷共计120分共120分钟） 答案一律写在答题卡上，否则为无效答卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程＂只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程＂的定义． 根据一元二次方程的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． A、，当时，方程变为，是一元一次方程，因此不一定是一元二次方程； B、，含有两个未知数和，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程； C、，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时是整式方程，符合一元二次方程的定义； D、，其中是分式，不是整式方程，因此不是一元二次方程． 综上，只有选项C是一元二次方程． 故选：C． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出每组中长度最小和最大的线段，将二者的积与另外两条线段的积比较，若相等则四条线段成比例． 【详解】解：A、最小线段长，最大线段长，；另外两条线段长，，积相等，四条线段成比例； B和C、两组线段按长度排序后均为，最小与最大线段的积为，其余两线段的积为，积不相等，均不成比例； D、最小线段长，最大线段长，；另外两条线段长，，积不相等，不成比例． 3. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 4. 小云利用二次函数图象估计一元二次方程的近似解，下表是小云探究过程中的一些数据，根据表中数据可得，方程必有一个实数根在（ ） 1.5 2 2.5 3 3.5 1 3.25 A. 3和3.5之间 B. 2.5和3之间 C. 2和2.5之间 D. 1.5和2之间 【答案】B 【解析】 【详解】解：由表格数据得，当时，， 当时，， ∴方程必有一个实数根在和之间. 5. 已知是方程的两根，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系作答． 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为： 【详解】解：是方程的两根， ， 故选：C． 6. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必定是（ ） A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形 C. 正方形 D. 对角线相等的四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，得到答案． 【详解】解：如图，是四边形各边的中点， ∵四边形为矩形， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形的对角线互相垂直， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答． 7. 已知，且，那么k的值是（ ） A. 2 B. C. 2或0 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键，注意分类讨论． 当时，利用比的等比性质求解；当时，则，再代入求值即可． 【详解】解：①当时，由等比性质可得： 即：； ②当时，则， ∴， 所以k的值是2或， 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和，可知是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，即可判断①；根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可判断②；根据为直角三角形，可知，进一步可知，即可判断③；根据勾股定理可得，再根据三角形面积的求法即可判断④．从而得出答案． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，分别是，的中点， ， ， ，， ， 故①正确； 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 为直角三角形， ， ， 与不全等， 故③错误； ∵菱形，， ∴ ，，， 根据勾股定理，得， ， 故④正确， 故正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，已知，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，，，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 10. 已知，则与的面积比是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的顶点对应关系确定对应边，结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质求解． 【详解】∵，，， ∴相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比为． 即． 11. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为_________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与整条线段的比值为，代入的长度即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且 12. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________. 【答案】k＞－且k≠0 【解析】 【详解】由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根， 所以△＞0，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞0． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0， ∴k＞-1/4 且k≠0． 13. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人共握了33次手，设这次到会的有人，则可列方程为_________ 【答案】 【解析】 【详解】解：设这次到会的有人，由题意，可列方程为. 14. 如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由折叠和矩形的性质得到，，利用勾股定理得出的长度，进而得到的长，在中求解的长即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理可得： 即 解得：， ∴． 15. 如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，交于M，连接，根据正方形的性质可知点与点关于直线对称，故的长即为的最小值，利用勾股定理可求解． 【详解】解：连接交于M，连接，如图， ∵正方形 ∴点B与点D关于对称， ∴， ∴， 根据两点间线段最短，此时值最小，最小值等于， ∵正方形 ∴， ∵ ∴ 由勾股定理得：， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 16. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 三、解答题（共72分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）, （2）, 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， ∴, ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ∴, ． 18. 如图，中，D、E分别在上，且，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定定理． （1）借助平行线的性质得到，进而证明； （2）根据（1）中的相似三角形写出相似比求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ， 即， 解得． 19. 如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标． （1）画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； （2）内有一点在中的对应点的坐标为_________． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据题意，得到点的横纵坐标均为点的横纵坐标的倍，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴内有一点在中的对应点的坐标为. 20. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 如图，∵四边形为菱形， ∴；而，， ∴， ∴四边形是矩形． （2）14 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可； （2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴，，， 由勾股定理得： ，而， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 21. 某小区规划在一个长10m，宽8m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，如图，其余部分种草，若每块种草面积达到6m2，求：道路的宽. 【答案】道路的宽为1m 【解析】 【分析】本题可设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（10-2x）m，宽为（8-x）m．根据长方形面积公式即可列方程求出道路的宽． 【详解】设道路的宽为m， 由题意得 (10-2x)(8-x)=6×60， 解这个方程得x1=11(不合题意舍去)，x2=1， 答：道路的宽为1m. 【点睛】本题应熟记长方形的面积公式．另外求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 22. 如图，在四边形中，垂直平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为18，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴互为垂直平分， ∴四边形是菱形； （2）24 【解析】 【分析】（1）先证明，得到互为垂直平分，即可证明四边形为菱形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，再根据的周长为18，得出，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 23. 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】（1）旗杆的高度为6米 （2）小水坑F到小明的距离的长为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． 【小问2详解】 解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 24. 全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 【答案】（1）九、十月两月销量的月平均增长率是 （2）当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． （1）设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值即可； （2）设该苹果每箱降价y元，根据题意 列出一元二次方程，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得 （舍去）， 答：九、十月两月销量的月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设该苹果每箱降价y元，根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得 （舍去）． 故当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元． 25. 我们通常把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们可以做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最值问题． 例如：分解因式； ． 又例如：求代数式的最小值； ， 且， 当，即时，有最小值，最小值是． 利用“配方法”解答下列问题： （1）分解因式：________； （2）若多项式的最大值为，求的值； （3）已知，，是的三边长，且满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2） （3）是直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用配方法凑完全平方，再结合平方差公式分解因式即可； （2）先对多项式配方，利用平方数的非负性得到多项式的最大值，再结合已知最大值列方程求解即可； （3）先移项配方，利用非负数的性质求出三角形三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：对配方 ， ， ， 的最大值为， 多项式的最大值为， ， 解得； 【小问3详解】 解： 移项得，， 配方得， ， 即， 任意数的平方为非负数， ， 解得， ， 是直角三角形． 26. 综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理： （1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______． 问题解决： （2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：． （3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图，连接，过D作于M，作于N， ∵是等边三角形，D为的中点， ∴是的平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，证明，得到，即可求出结果； （2）连接，过D作于M，作于N，根据证明，再根据全等三角形的性质可得； （3）过点分别作于，于，根据勾股定理及中位线的性质可得，，根据矩形的性质可得，最后由相似三角形的判定与性质可得答案． 【详解】解：（1）∵在等边中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）略 （3）过点分别作于，于， 在中，， 是的中点， ， ，，， ，， 是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形综合题．需要掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，关键是找到图中关键的相似和全等三角形，比较典型，但有点难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中南熏路校区（银川十中）2026-2027学年度第一学期期中测试 九年级数学试题 （本卷共计120分共120分钟） 答案一律写在答题卡上，否则为无效答卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 4. 小云利用二次函数图象估计一元二次方程的近似解，下表是小云探究过程中的一些数据，根据表中数据可得，方程必有一个实数根在（ ） 1.5 2 2.5 3 3.5 1 3.25 A. 3和3.5之间 B. 2.5和3之间 C. 2和2.5之间 D. 1.5和2之间 5. 已知是方程的两根，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必定是（ ） A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形 C. 正方形 D. 对角线相等的四边形 7. 已知，且，那么k的值是（ ） A. 2 B. C. 2或0 D. 2或 8. 如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，已知，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，，，，则的长为_________． 10. 已知，则与的面积比是_________． 11. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为_________．（结果保留根号） 12. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________. 13. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人共握了33次手，设这次到会的有人，则可列方程为_________ 14. 如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 15. 如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为__________． 16. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 三、解答题（共72分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，中，D、E分别在上，且，，，． （1）求证：； （2）求的长． 19. 如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标． （1）画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； （2）内有一点在中的对应点的坐标为_________． 20. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 21. 某小区规划在一个长10m，宽8m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，如图，其余部分种草，若每块种草面积达到6m2，求：道路的宽. 22. 如图，在四边形中，垂直平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为18，求菱形的面积． 23. 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 24. 全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 25. 我们通常把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们可以做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最值问题． 例如：分解因式； ． 又例如：求代数式的最小值； ， 且， 当，即时，有最小值，最小值是． 利用“配方法”解答下列问题： （1）分解因式：________； （2）若多项式的最大值为，求的值； （3）已知，，是的三边长，且满足，试判断的形状． 26. 综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理： （1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______． 问题解决： （2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：． （3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $