精品解析：山东青岛市崂山区麦岛中学 2026-2027学年度上学期九年级期中数学试题

2026-2027年9上数学期中（麦岛中学） （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 下列说法错误的是（　　） A. 平行四边形的对角相等 B. 正方形的对称轴有四条 C. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D. 菱形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵平行四边形的对角相等，∴A选项说法正确，不符合题意； ∵正方形沿对边中点连线、两条对角线对折都能重合，共有条对称轴，∴B选项说法正确，不符合题意； ∵矩形绕对角线交点旋转能与自身重合，沿对边中点连线对折能重合，因此矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，∴C选项说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直平分，并不一定相等，∴D选项说法错误，符合题意． 3. 一个袋子中装有12个球 (袋中每个球除颜色外其余都相同)． 其活动小组想估计袋子中红球的个数， 分10个组进行摸球试验， 每一组做400次试验， 汇总后， 摸到红球的次数为 3000次． 请你估计袋中红球接近（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】首先由分10个组进行摸球试验， 每一组做400次试验，可求得共进行试验的次数，再由摸到红球的次数为3000次得出口袋中红色球的概率，进而求出红球个数即可． 【详解】解：∵分10个组进行摸球试验， 每一组做400次试验， ∴共进行试验的次数为：(次)， ∵把结果汇总起来后，摸到红球的次数为3000次， ∴摸到红球的概率为：， ∴袋中红球接近(个)， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值求出概率是解题关键． 4. 若抛物线平移后的顶点坐标为，则在平移后的抛物线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质可得平移后的抛物线的解析式为，然后再逐项判断即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且平移后的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， ∴点在平移后的抛物线上，故A选项符合题意； 当时，， ∴点不在平移后的抛物线上，故B选项不符合题意； 当时，， ∴点不在平移后的抛物线上，故C选项不符合题意； 当时，， ∴点不在平移后的抛物线上，故D选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数平移的性质得到平移后的抛物线的解析式是解题的关键． 5. 根据下面表格中列出来的数据，猜想方程其中一个根可能是（ ） 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07 0.003 0.203 0.405 A. 9.023 B. 9.038 C. 9.049 D. 9.057 【答案】C 【解析】 【分析】观察表格数据，可得当时，的值为负，当时，的值为正，从而得到方程根在与之间，即可求解． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程的一个根在与之间， 选项中只有在此范围内． 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别将各点的横坐标代入求出相应的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：． ， ， ． ∵． ∴． 7. 包头市某中学开展“数学实践・校园微规划”活动，同学们测得校园内一块矩形空地长为，宽为．计划在空地上划分非机动车停车位，并留出宽度均相等的通行车道（布局如图所示）．若停车位的总占地面积为，设车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设车道的宽度为，利用“平移法”将分散的停车位进行拼接，则拼合后的停车位的长为，宽为，再结合面积列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：设车道的宽度为，则拼合后的停车位的长为，宽为， 由题意可得． 8. 已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，先由原图得出，，再分析函数的图象的开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴的负半轴，据此即可作答． 【详解】解：∵原图的二次函数的开口向上， ∴中的， ∵原图的一次函数经过第一、二、三象限， ∴一次函数中的， 则函数的开口向上， ∵， ∴， ∴函数与轴交于负半轴， ∵，， ∴，即函数的对称轴在轴的负半轴， ∴符合上述条件是C选项， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，是边上一点，将沿翻折至，延长交于点．若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在正方形中，是边上一点，将沿翻折至， ，， 连接， ，， ， ， 设， 则， ， 解得， 则的长是3． 10. 某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（ ）个 ①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口朝向可以确定a的符号，再根据抛物线经过原点，可得，根据对称轴确定a、b的数量关系，再逐项判断即可． 【详解】解：抛物线开口朝下，即有， 抛物线经过原点，即，则， 由图可知抛物线的对称轴为：，即， ∴， ∴，即①正确； ∵，， ∴，即②错误； ∵，， ∴，即③正确； ∵，， ∴，即④错误； 即正确的有2个． 第II卷（共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_________． 【答案】 且 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程的二次项系数不为0，以及方程有实数根对应的判别式非负两个条件，联立求解得到k的取值范围． 【详解】解：∵所给方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 即， 解得， 结合的限制条件，可得的取值范围为且． 12. 在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出白球的次数 55 618 3032 5957 30104 59995 摸出白球的频率 0.550 0.618 0.606 0.596 0.602 0.600 根据试验所得数据，估计白球有_______个． 【答案】15 【解析】 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值估计概率，结合球的总数关系列方程求解即可。 【详解】解：观察表格可知，随着摸球试验次数增加，摸出白球的频率逐渐稳定在附近，因此估计摸出白球的概率为； 设袋子中白球有个，根据题意可得：， 解方程得，经检验，是原方程的解，且符合题意； 因此估计袋子中白球有个． 13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形对角线互相平分且相等得出，结合等腰三角形性质求出，再在直角三角形中利用两锐角互余求解． 【详解】解： ∵四边形是矩形 ∴  ∴  ∵  ∴  ∵  ∴  ∴． 14. 抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；由抛物线与y轴交于点可求出c的值；直线过点C且平行于x轴，故可求得直线与抛物线的另一交点D的坐标，代入抛物线方程可求出b的值，从而求得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点， ∴当时，，即， 即， ∵过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为， ∴, 即， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， 故抛物线解析式为． 故答案为：． 15. 如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的面积． 故答案为：． 16. 如图，四边形是正方形，延长至点，使，连结．平分交于点，交于点．在上截取，连结交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据正方形的性质和线段垂直平分线的性质可证，进而判断为等腰直角三角形；利用证明，可得及对应角相等，结合角平分线定义和三角形内角和定理可证；通过计算角度可得，从而判断是否成立，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形      是线段的垂直平分线  ，故①正确          在和中      ，故②正确  平分       在中，  ，故③正确  是的外角    ，       不是等边三角形   ，故④错误 综上所述，正确的结论是①②③ 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17. 如图，已知正方形，请用尺规作图法，在正方形内部找一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：所作点如图所示： 【解析】 【分析】分别以为圆心，长为半径画弧交正方形内部于点，连接，推出为等边三角形，即，再作边的垂直平分线交于点，连接，即可作出满足，且的点． 【详解】略 18. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， 【解析】 【分析】（1）移项配方转化为完全平方式求解； （2）提取公因式因式分解求解； （3）代入一元二次方程求根公式计算求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 分解因式得， 即或， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ∴， 即， ∴，． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 20. 青岛是一座兼具山海风光与历史文化的城市，栈桥、崂山和八大关都是具有代表性的旅游景点．某校九年级开展“探寻青岛•山海文化”主题研学活动，准备了三张除文字外完全相同的卡片，分别写有“栈桥”、“崂山”、“八大关”． 现邀请甲、乙两名同学依次随机抽取一张卡片，确定各自负责介绍的景点．将三张卡片背面朝上，洗匀后甲随机抽取一张，记下内容后背面朝上放回，再由乙随机抽取一张． 请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学抽到的景点不同，且有一人抽到“崂山”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两名同学抽到的景点不同，且有一人抽到“崂山”的结果数有4种， ∴甲、乙两名同学抽到的景点不同，且有一人抽到“崂山”的概率为． 21. 如图，已知． （1）证明：． （2）连接，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ． （2） 选择条件①，则四边形是菱形． 理由如下：由（1）知， ， ， ∴． 又， 四边形是平行四边形， 点是对角线，的中点． ， ，即， 四边形是菱形． 选择条件②，则四边形是矩形． 理由如下：由（1）知， ， ， ∴． 又， 四边形是平行四边形， 点是对角线，的中点． ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）先证明，再结合已知条件可得，即可得到结论； （2）选择条件①，则四边形是菱形．先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到四边形是菱形． 选择条件②，则四边形是矩形．先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是关键． 22. 随着电商平台的增多和市场竞争的加剧，“双十一”活动的竞争变得更加激烈，到处都弥漫着促销的气息，为了吸引消费者，许多网店商家都会进行打折让利的促销活动．某家网店为了在“双十一”期间抢占商机，推出一系列的促销活动，在销售商品时，成本为20元，标价40元． （1）“双十一”购物活动当天，网店连续两次降价销售商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件商品的售价为元？ （2）经调查，该商品每降元，即可多销售10件．已知商品售价40元时，可以卖出500件．若该网店希望“双十一”当天获利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品的定价应为多少元？ 【答案】（1）平均每次降价率为 （2）该商品的定价应为元 【解析】 【分析】（1）根据连续两次降价后的售价列一元二次方程，结合降价率的实际意义取舍解． （2）根据总利润的等量关系列方程，结合扩大销售量的要求选取合适的解． 【小问1详解】 解：设平均每次降价率为． 解得，(不符合题意，舍去)． 答：平均每次降价率为． 【小问2详解】 解：设每件商品降价元．单件利润为元．销售量为(件)． 整理得 解得，． ∵要尽可能扩大销售量， ∴选择．定价为(元)． 答：该商品的定价应为元． 23. 我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”． （1）已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在平面直角坐标系网格内，坐标分别为，请你写出三个D点坐标，使得四边形是3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上（_____，____），（_____，____），（_____，____）； （2）如图2，长方形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； （3）如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 【答案】（1）2，4，4，4，4，2； （2） 解：四边形，是等邻四边形， 理由如下： 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形，是等邻四边形； （3）4或6或 【解析】 【分析】(1)分别以点A，点C为顶点，或为半径画弧，与网格交于格点，可得点D位置； (2)利用勾股定理可求的长，可得，可证四边形，是等邻边四边形； (3)分三种情况讨论，由“等邻边四边形”的性质和勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：如图所示： ， 故答案为：2，4，4，4，4，2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当时，， 如图，当时，连接，过点作于， ，，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，， ； 如图，当时，连接，过点作于， ，，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或6或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“等邻边四边形”的定义，并能运用是本题的关键． 24. 为展现青岛“红瓦绿树、碧海蓝天”的城市特色，某文化节计划在栈桥附近搭建一座海浪造型的拱形灯门，其轮廓可以近似看作抛物线的一部分．如图，灯门底部两端相距8米，以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知抛物线经过点，长度单位均为米． （1）求灯门轮廓所在抛物线的函数表达式． （2）为增强灯门的夜间观赏效果，工作人员计划在灯门两侧距离地面3.75米高的位置分别安装一盏装饰灯．求这两盏装饰灯之间的水平距离． （3）为进一步美化灯门，工作人员计划在拱形灯门内部设计一个矩形灯带框架，使矩形的底边位于上，顶点恰好位于抛物线上，且矩形关于灯门的对称轴对称．现仅沿矩形的上边和左右两条侧边安装灯带．当矩形的宽和高分别为多少米时，所需灯带的总长度最大？最大长度是多少米？ 【答案】（1） （2）2米 （3）当矩形宽为4米、高为3米时，灯带总长度最大，最大长度为10米 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求出两个点的横坐标，作差即可解答； （3）设矩形的高为（即侧边长度，对应G、F点的纵坐标），矩形的上边的长度为，得出G、F的横坐标分别为和，将代入抛物线方程，得，从而得出灯带总长度，再根据二次函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线过和，这两个点是抛物线与x轴的交点， 因此设抛物线的交点式为：， 将点代入上式得：， 解得：， 故抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：装饰灯高度为3.75米，即令，代入抛物线表达式得：​， 整理得：，解得：，， 两个点的横坐标差就是水平距离：， 因此两盏装饰灯的水平距离为2米； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵矩形关于对称轴对称， ∴设矩形的高为（即侧边长度，对应G、F点的纵坐标），矩形的上边的长度为，（底边的长度也为）， 则G、F的横坐标分别为和， 将代入抛物线方程，得：， 灯带总长度为两条侧边加上边的长度和：， 把代入得：， 这是开口向下的二次函数，当时，取得最大值， 此时， 此时矩形的水平宽度（宽）为米，高米， 即当矩形宽为4米、高为3米时，灯带总长度最大，最大长度为10米． 25. 如图，在矩形中，．动点从点出发，沿边向点匀速运动，速度为：同时，动点从点出发，沿边向点匀速运动，速度为．当点到达点时，两点同时停止运动．连接，设点的运动时间为． 请根据上述条件，解答下列问题： （1）当点运动到某一时刻，使得成为等腰直角三角形时，求此时的值． （2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的面积最大时的值及最大面积． （3）在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上？若存在，请直接写出所有符合条件的的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为4 （2），的面积最大时，，最大面积为 （3）存在符合条件的，值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得出直角要成为等腰直角三角形，只能是，据此列方程解答即可； （2）根据三角形面积公式列出与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）当点在线段的垂直平分线上时，，利用勾股定理求出，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，，, 根据题意得，则， ∴直角要成为等腰直角三角形，只能是两条直角边相等，即， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：根据题意得， 该抛物线开口向下，且, ∴当时，取得最大值,最大面积为； 【小问3详解】 解：若点在线段的垂直平分线上，则， 由勾股定理得：， ， 令，得：， 整理得：， 解得：（负值已舍去）， 故存在符合条件的，值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年9上数学期中（麦岛中学） （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（　　） A. 平行四边形的对角相等 B. 正方形的对称轴有四条 C. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D. 菱形的对角线相等且互相平分 3. 一个袋子中装有12个球 (袋中每个球除颜色外其余都相同)． 其活动小组想估计袋子中红球的个数， 分10个组进行摸球试验， 每一组做400次试验， 汇总后， 摸到红球的次数为 3000次． 请你估计袋中红球接近（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 4. 若抛物线平移后的顶点坐标为，则在平移后的抛物线上的点是（ ） A. B. C. D. 5. 根据下面表格中列出来的数据，猜想方程其中一个根可能是（ ） 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07 0.003 0.203 0.405 A. 9.023 B. 9.038 C. 9.049 D. 9.057 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 包头市某中学开展“数学实践・校园微规划”活动，同学们测得校园内一块矩形空地长为，宽为．计划在空地上划分非机动车停车位，并留出宽度均相等的通行车道（布局如图所示）．若停车位的总占地面积为，设车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，是边上一点，将沿翻折至，延长交于点．若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（ ）个 ①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_________． 12. 在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出白球的次数 55 618 3032 5957 30104 59995 摸出白球的频率 0.550 0.618 0.606 0.596 0.602 0.600 根据试验所得数据，估计白球有_______个． 13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，若，则的度数为_________． 14. 抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为______． 15. 如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为______． 16. 如图，四边形是正方形，延长至点，使，连结．平分交于点，交于点．在上截取，连结交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17. 如图，已知正方形，请用尺规作图法，在正方形内部找一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 解方程： （1）； （2）； （3）． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 20. 青岛是一座兼具山海风光与历史文化的城市，栈桥、崂山和八大关都是具有代表性的旅游景点．某校九年级开展“探寻青岛•山海文化”主题研学活动，准备了三张除文字外完全相同的卡片，分别写有“栈桥”、“崂山”、“八大关”． 现邀请甲、乙两名同学依次随机抽取一张卡片，确定各自负责介绍的景点．将三张卡片背面朝上，洗匀后甲随机抽取一张，记下内容后背面朝上放回，再由乙随机抽取一张． 请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学抽到的景点不同，且有一人抽到“崂山”的概率． 21. 如图，已知． （1）证明：． （2）连接，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由． 22. 随着电商平台的增多和市场竞争的加剧，“双十一”活动的竞争变得更加激烈，到处都弥漫着促销的气息，为了吸引消费者，许多网店商家都会进行打折让利的促销活动．某家网店为了在“双十一”期间抢占商机，推出一系列的促销活动，在销售商品时，成本为20元，标价40元． （1）“双十一”购物活动当天，网店连续两次降价销售商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件商品的售价为元？ （2）经调查，该商品每降元，即可多销售10件．已知商品售价40元时，可以卖出500件．若该网店希望“双十一”当天获利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品的定价应为多少元？ 23. 我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”． （1）已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在平面直角坐标系网格内，坐标分别为，请你写出三个D点坐标，使得四边形是3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上（_____，____），（_____，____），（_____，____）； （2）如图2，长方形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； （3）如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 24. 为展现青岛“红瓦绿树、碧海蓝天”的城市特色，某文化节计划在栈桥附近搭建一座海浪造型的拱形灯门，其轮廓可以近似看作抛物线的一部分．如图，灯门底部两端相距8米，以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知抛物线经过点，长度单位均为米． （1）求灯门轮廓所在抛物线的函数表达式． （2）为增强灯门的夜间观赏效果，工作人员计划在灯门两侧距离地面3.75米高的位置分别安装一盏装饰灯．求这两盏装饰灯之间的水平距离． （3）为进一步美化灯门，工作人员计划在拱形灯门内部设计一个矩形灯带框架，使矩形的底边位于上，顶点恰好位于抛物线上，且矩形关于灯门的对称轴对称．现仅沿矩形的上边和左右两条侧边安装灯带．当矩形的宽和高分别为多少米时，所需灯带的总长度最大？最大长度是多少米？ 25. 如图，在矩形中，．动点从点出发，沿边向点匀速运动，速度为：同时，动点从点出发，沿边向点匀速运动，速度为．当点到达点时，两点同时停止运动．连接，设点的运动时间为． 请根据上述条件，解答下列问题： （1）当点运动到某一时刻，使得成为等腰直角三角形时，求此时的值． （2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的面积最大时的值及最大面积． （3）在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上？若存在，请直接写出所有符合条件的的值：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $