专题05 图形的位似［挑战压轴题］导图知识卡片+9个题型讲练+优选题拔尖练 共42题-2026-2027学年北师大版数学九年级上册典型题培优系列
|
5份
|
99页
|
33人阅读
|
0人下载
精品
内容正文：
null
专题05 图形的位似［挑战压轴题］
「思维导图+9个题型讲练+优选题拔尖练 共42题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（原卷版）】
【高频压轴题型举一反三变式训练】 2
题型一 位似图形相关概念辨析 2
题型二 位似图形的识别 3
题型三 判断位似中心 4
题型四 求两个位似图形的相似比 6
题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 7
题型六 求位似图形的对应坐标 9
题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 10
题型八 在坐标系中画位似图形 12
题型九 在坐标系中画位似中心 14
【优选题拔尖练】 15
题型一 位似图形相关概念辨析
【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点三点在同一条直线上
C． D．
【变式训练1】（25-26九年级上·河南郑州·期中）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．
例如：如图1，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．
(1)如图2，在中，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是____________（填写所有符合条件的序号）；
(2)如图3，已知经过自位似轴对称变换得到，若，，连接和，点是的中点，在变化过程中，试猜想和的数量关系和位置关系是否变化，如果变化，请给出变化范围；如果不变，请写出和的数量关系和位置关系，并就图3的情况说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，当时，请直接写出的长．
【变式训练2】平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．
(1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号）
(2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求；
(3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：．
题型二 位似图形的识别
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比；四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比．四边形和四边形是位似图形吗？如果是，那么位似比是多少？如果不是，请说明理由．
【变式训练1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）在中，作图如下：①以点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，与交于，与的延长线交于，如图．已知，，下列结论错误的是（ ）
A．平分 B．
C．与是位似图形 D．
【变式训练2】下列说法错误的有（ ）个．
①所有的矩形都相似．②三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．③一个角为30°的直角三角形的三边之比为．④两个位似图形一定是相似图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型三 判断位似中心
【典例精讲】（26-27九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．
(1)画出将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的；
(2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出与位似的，使它与的相似比为；
(3)请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标．
【变式训练1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点．
(1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出；
(2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由．
【变式训练2】（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，其中三个顶点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形．
(1)请仅用无刻度的直尺，画出点P的位置（保留作图痕迹），并写出点P的坐标________；
(2)以原点O为位似中心，请仅用无刻度的直尺，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为．
题型四 求两个位似图形的相似比
【典例精讲】（26-27九年级上·北京延庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为___________．
【变式训练2】（2025九年级·全国·专题练习）如下图，正方形中，对角线交于点，分别延长到点，连接．若，且与的相似比为，则以点为位似中心，和它位似的三角形的相似比为多少？
题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【典例精讲】（26-27九年级上·宁夏银川·期中）在由边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）．
(1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）．
(2)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹）
【变式训练1】（26-27九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的；
(2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2；
(3)若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标：
【变式训练2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出；
(2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似．
(3)图3中，在线段上画一个点，使．
题型六 求位似图形的对应坐标
【典例精讲】（26-27九年级上·福建莆田·期中）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为．
(1)以O为位似中心，画出的位似图形，相似比为，且位于位似中心异侧；
(2)在x轴负半轴上找一点E，使得，求点E的坐标．
【变式训练1】（26-27九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．
(1)以原点为位似中心，在轴上方画出，使与位似，且相似比为，点的对应点为，点的对应点为．
(2)在（1）的条件下，边上任意一点在边上的对应点的坐标为_________．
【变式训练2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________．
题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【典例精讲】（26-27九年级上·湖南衡阳·期中）在如图边长均为的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，已知三个顶点坐标分别为、、．
(1)如图，点是点以原点为位似中心的对应点，画出以原点为位似中心的位似图形，其中点、点分别为点、点的对应点；
(2)经过（1）的位似变换后，与四边形的面积比为_____________．
(3)若点为内部一点，点经过（1）的位似变换后的对应点的坐标为__________．
(4)在线段上找一点，使，直接写出点的坐标：_________．
【变式训练1】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使；
(2)在图②中，在边上取一点F，；
(3)在图③中，在内部取一点G，连结，使．
题型八 在坐标系中画位似图形
【典例精讲】（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
(1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为；
(2)直接写出点的坐标_______；与的周长比是_______；与的面积比是_______；
【变式训练1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在图中作出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，且点在第三象限．
【变式训练2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图是的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
(1)在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为；
(2)在第二象限内格点上找一点，使与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点坐标是_______；
(3)以坐标原点为位似中心，画出的位似图形，使与相似比为（画出一个即可）
题型九 在坐标系中画位似中心
【典例精讲】（26-27九年级上·甘肃白银·期中）在如图所示的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，是的边上一点．
(1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似图形，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标；
(2)将向右平移5个单位长度后得，判断与能否是以某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
【变式训练1】（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，小明利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)在图中标出和的位似中心点M的位置，则点M的坐标为___________；
(2)若以点为位似中心，请在方格图中画出的位似图形，且与的相似比为，则点的对应点的坐标为___________．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
(1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的；
(2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的；
(3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标．
1．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且．若点C的坐标为，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·江西宜春·二模）如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形面积等于矩形面积的，则点的坐标为________．
7．（26-27九年级上·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，那么点的坐标为______．
8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________．
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______．
10．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是，点A的坐标是，且线段是由线段以位于y轴右侧的点P为位似中心放大3倍得到的，则点P的坐标是______．
11．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在单位长度为的平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图．
(1)在线段上找一点，使得：
(2)以原点为位似中心，将缩小为原来的，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出点的对应点坐标 ．
12．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）按要求回答问题
(1)如图①，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点的坐标分别为．以点为位似中心，画出的位似图形，使其与的相似比为；
(2)在图②中，仅用无刻度直尺在线段上画一个点，使．
13．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，是正三角形，正方形的顶点E，F在边上，顶点N在边上．
(1)在正三角形三边及其内部，以点A为位似中心，画出正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大；（不写画法，但要保留画图痕迹）
(2)若，求（1）中所画正方形的边长．
14．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）剪拼是平面几何中转化图形、推导性质的实用方法．它通过裁剪、拼接，将不规则或陌生图形转化为矩形、三角形等熟悉图形；同时，剪拼还可直观验证图形的全等、相似关系，辅助解决面积计算、图形分割与拼接问题，是连接直观操作与几何推理的桥梁．
(1)【用数学的眼光观察】如图1，王林任意剪了矩形纸片，在边上任意确定一点E，分别找到边的中点M，N，连接．分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．连接，则与的关系为______．
(2)【用数学的思维分析】在（1）的基础上继续探究，若的面积为a，请用含a的代数式表示四边形的面积（写出推理过程）．
(3)【用数学的语言表达】如图2，在矩形纸片中，点G为边上一点，M，N分别为的中点，分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．通过测量发现，，．求线段和的长．
15．（2026·四川甘孜·中考真题）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，．
【初步感知】
(1)如图1，连接，，则 度；
【变化探寻】
(2)如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等．
【深入探究】
(3)如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点．
①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由；
②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示）
第 1 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司
$
专题05 图形的位似［挑战压轴题］
「思维导图+9个题型讲练+优选题拔尖练 共42题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（解析版）】
【高频压轴题型举一反三变式训练】 2
题型一 位似图形相关概念辨析 2
题型二 位似图形的识别 8
题型三 判断位似中心 11
题型四 求两个位似图形的相似比 16
题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 18
题型六 求位似图形的对应坐标 23
题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 26
题型八 在坐标系中画位似图形 32
题型九 在坐标系中画位似中心 35
【优选题拔尖练】 41
题型一 位似图形相关概念辨析
【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点三点在同一条直线上
C． D．
【答案】C
【思路引导】根据位似图形性质，相似比为，对应边比为，对应点连线过位似中心，对应边互相平行，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此选出错误选项．
【规范解答】由题意知，与是位似图形，把放大为原图形的2倍得到，
因此相似比为．
选项A、因为相似图形的对应边成比例，所以，选项A正确；
选项B、因为位似图形的对应点的连线经过位似中心，因此点在同一直线上，选项B正确；
选项C、因为位似图形的周长比等于相似比，所以，选项C错误；
选项D、因为位似图形的对应边互相平行，所以 ，选项D正确．
【变式训练1】（25-26九年级上·河南郑州·期中）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．
例如：如图1，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．
(1)如图2，在中，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是____________（填写所有符合条件的序号）；
(2)如图3，已知经过自位似轴对称变换得到，若，，连接和，点是的中点，在变化过程中，试猜想和的数量关系和位置关系是否变化，如果变化，请给出变化范围；如果不变，请写出和的数量关系和位置关系，并就图3的情况说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)①②
(2)不变，且
(3)
【思路引导】（1）根据自位似轴对称的定义逐一分析；
（2）延长到，使，连接，易证和全等，得到，；结合自位似轴对称的性质推导出，，从而证得，进而利用相似三角形的性质求得与的数量和位置关系；
（3）利用平行性质和勾股定理，结合（2）中结论，即可计算的长．
【规范解答】（1）解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图；
②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图：
③与不成自位似轴对称，
故答案为：①②；
（2）解：不变，且，理由如下，
延长到，使，连接，
∵是的中点，
∴，
又∵，，
∴；
∴，，
∴，
∴；
∵和成自位似轴对称，
∴，且
∴，，
∴，，
∴，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即．
（3）解：∵，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴．
【考点剖析】本题考查自位似轴对称的定义，位似的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解新定义，通过构造全等三角形推导线段和角的关系，从而证得相似三角形．
【变式训练2】平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．
(1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号）
(2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求；
(3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：．
【答案】(1)①②；
(2)；
(3)
证明：如图4，
延长，交于F，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵点D是的中点，
，
，
．
【思路引导】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似．
（2）如图，根据轴对称性质得出，再证得，根据对应边成比例，算出结果．
（3）延长，交于F，得出，利用三角形的外角定理得出，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案．
【规范解答】（1）解：如图1，
故答案为：①②
（2）解：由题可知，， 为对称轴所在直线，
是公共角，，
，
，
．
，，
，
，
．
，
．
将代入得
，
解得．
（3）略
【考点剖析】本题考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点．
题型二 位似图形的识别
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比；四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比．四边形和四边形是位似图形吗？如果是，那么位似比是多少？如果不是，请说明理由．
【答案】是，位似比为2
【思路引导】根据位似图形的定义和性质，进行判断即可.
【规范解答】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，
四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，
∴四边形四边形，四边形四边形，且对应点连线均过点，
∴四边形四边形，且对应点连线均过点，
∴四边形和四边形是位似图形，
∵四边形和四边形的位似比，四边形和四边形的位似比，
∴四边形和四边形的位似比为2.
【变式训练1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）在中，作图如下：①以点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，与交于，与的延长线交于，如图．已知，，下列结论错误的是（ ）
A．平分 B．
C．与是位似图形 D．
【答案】D
【思路引导】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，位似图形的定义．根据作图，即可判断A选项，根据平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质即可得出，即可判断B，根据得出，得出，即与是关于的位似图形，根据相似三角形的性质，得出，即可求解．
【规范解答】解：由作法得平分，所以A选项正确，不符合题意；
四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
，
，所以B选项正确，不符合题意；
∵
∴
∴
又∵与相交于一点，
∴与是位似图形
，所以D选项错误，符合题意．
故选：D．
【变式训练2】下列说法错误的有（ ）个．
①所有的矩形都相似．②三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．③一个角为30°的直角三角形的三边之比为．④两个位似图形一定是相似图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【思路引导】①根据对应角相等对应边成比例的多边形是相似多边形来判断．②三角形三条边上中线的交点叫三角形的重心，根据平行线分线段成比例的性质求解．③根据勾股定理逆定理可得三边之比为的三角形是直角三角形，再根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可判断．④根据位似的定义判断．
【规范解答】①因为所有矩形的角都是90度，但是所有矩形的边不一定对应成比例，因此所有矩形不一定都相似．故①这种说法是错误的；
②证明：如图所示，在中，点D、E、F分别是边BC、AB、AC的中点，AD、CE、BF三条中线交于点O， O点就是ABC的重心，
过点E作EHBF，
∵AE=BE，EHBF，
∴AH=FH=．
又∵AF=CF，
∴HF=CF，
∵EHBF，
∴，
∴OE=OC，
∴OE=CE，
同理可证OD=AD，OF=BF，故②这种说法是正确的；
③因为直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以这样的直角三角形三边比为，故③这种说法是正确的；
④位似图形的定义是：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心．根据位似图形的定义，相似图形一定是位似图形．故④这种说法是正确的．
故选：A．
【考点剖析】此题考查了相似的定义、位似的定义、三角形重心的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是掌握这些知识的含义．
题型三 判断位似中心
【典例精讲】（26-27九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．
(1)画出将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的；
(2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出与位似的，使它与的相似比为；
(3)请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标．
【答案】(1)解：根据题意，画图如下：
则即为所求．
(2)解：根据题意，画图如下：
则即为所求．
(3)解：根据题意，画图如下：
则点即为所求．且点的坐标为．
【思路引导】（1）根据平移的原则，画图解答即可；
（2）根据位似的性质，确定，，顺次连接三个点得到即可．
（3）根据位似的性质，对应点连线的交点即为所求，解答即可．
【变式训练1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点．
(1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出；
(2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由．
【答案】(1)；
(2)与位似；位似中心的坐标为原点；相似比为
【思路引导】（）先根据“横坐标、纵坐标都乘”的规则，分别计算出点的坐标，再在坐标系中描出这三个点并依次连线，即可得到；
（）根据位似的定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或在同一直线上)，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比；判断与是相似的，再观察对应顶点连线的交点确定位似中心，最后通过坐标的比例关系求出位似比，从而得出结论．
【规范解答】（1）解：∵点，
∴点的横坐标、纵坐标都乘，得
的横纵坐标分别为，即；
的横纵坐标分别为，即；
的横纵坐标分别为，即；
在坐标系中画出，再依次连接这三个点，即可得到，图略；
（2）解：如图，连接与、与、与，三条连线都经过原点，
各对应顶点的横、纵坐标的绝对值的比都是，所以相似比（位似比）为，
因此，与位似，位似中心的坐标为，位似比为．
【变式训练2】（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，其中三个顶点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形．
(1)请仅用无刻度的直尺，画出点P的位置（保留作图痕迹），并写出点P的坐标________；
(2)以原点O为位似中心，请仅用无刻度的直尺，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为．
【答案】(1)
点的位置如图所示：
(2)
如图所示：即为所求．
【思路引导】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点，再连接即可．
题型四 求两个位似图形的相似比
【典例精讲】（26-27九年级上·北京延庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引导】根据位似图形的性质解答即可．
【规范解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为2，
∴点的对应点的坐标为，即．
【变式训练1】（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为___________．
【答案】
【思路引导】根据位似变换的性质，以原点为位似中心的两个图形，对应点的坐标比等于位似比．由点和点的坐标求出位似比，再利用位似比计算点的对应点的坐标．
【规范解答】解：与是以原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为，
位似比．
点的坐标为，且点是点的对应点，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
【变式训练2】（2025九年级·全国·专题练习）如下图，正方形中，对角线交于点，分别延长到点，连接．若，且与的相似比为，则以点为位似中心，和它位似的三角形的相似比为多少？
【答案】
【思路引导】设，利用正方形的性质和相似三角形的性质可得到，由题意，以点为位似中心，与位似，进而可求解．
【规范解答】解：四边形是正方形，
，．
，
．
与的相似比为，
．
设，则，
，
．
，
以点为位似中心，与位似，即，
相似比为．
【考点剖析】本题考查正方形的性质、相似三角形的性质、位似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义，得到位似是解答的关键．
题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【典例精讲】（26-27九年级上·宁夏银川·期中）在由边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）．
(1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）．
(2)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹）
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)如图，点即为所求．
【思路引导】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，然后画图即可．
（2）利用平行线分线段成比例和网格构造平行线，满足，，即可得解．
【规范解答】（1）略
（2）解：过点、作，且满足，，连接，与的交点即为所求的点；
∵，
∴，
∴．
【变式训练1】（26-27九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的；
(2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2；
(3)若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标：
【答案】(1)
(2)
(3)
位似中心的坐标为．
【思路引导】（1）因为点平移后对应点为，所以可确定平移规则为向左平移3个单位、向上平移1个单位；将的三个顶点按此规则平移，得到对应点坐标后顺次连接，即可画出平移后的．
（2）因为以为位似中心、在轴右侧作相似比为2的位似图形，所以可利用位似变换的坐标规律，将原三角形各顶点的横、纵坐标同时乘以2，得到对应点坐标后顺次连接，即可画出．
（3）因为位似中心是两组对应顶点连线的交点，所以连接与两组对应顶点，两条连线的交点即为位似中心，再根据坐标系读出的坐标．
【规范解答】（1）解：由点平移后得到，
可知平移规则是：所有点向左平移3个单位，向上平移1个单位．
根据原顶点坐标、、，
计算平移后对应点坐标：
，，，
在坐标系中描出三点并顺次连接，就得到．
（2）解：以原点为位似中心，在轴右侧作相似比为2的位似图形，
位似变换规则是将原图形各点横、纵坐标都乘2：
可得，
，
点坐标保持不变，
描出三点顺次连接，就得到符合要求的．
（3）解：位似图形的位似中心是两组对应顶点连线的交点：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴延长到Q使，
再延长，，
这三条线交于点Q，点就是位似中心，
∵，
∴轴，，
∴，
∴．
【变式训练2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出；
(2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似．
(3)图3中，在线段上画一个点，使．
【答案】(1)
解：即为所求；
(2)
解：即为所求；
(3)
解：点即为所求．
【思路引导】本题考查了作图一位似变换：掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．
(1)延长到使，延长到使，点在点，则满足条件；
(2)在上找一点，使得，即可使；
(3)构建相似三角形求解即可．
题型六 求位似图形的对应坐标
【典例精讲】（26-27九年级上·福建莆田·期中）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为．
(1)以O为位似中心，画出的位似图形，相似比为，且位于位似中心异侧；
(2)在x轴负半轴上找一点E，使得，求点E的坐标．
【答案】(1)所作如图所示：
(2)
【思路引导】（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，D的对应点，再顺次连接，即可；
（2）设点E的坐标为，则，根据得到关于m的方程，即可求解．
【规范解答】（1）略
（2）解：设点E的坐标为，则，
根据题意得：，，
∵点A的坐标为，的位似图形为，相似比为，
∴点，，
∴轴，，
∵，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为．
【变式训练1】（26-27九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．
(1)以原点为位似中心，在轴上方画出，使与位似，且相似比为，点的对应点为，点的对应点为．
(2)在（1）的条件下，边上任意一点在边上的对应点的坐标为_________．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】（1）根据位似图形的定义画出点，，再顺次连接点，，即可得；
（2）根据位似图形的性质即可得．
【规范解答】（1）略．
（2）解：在（1）的条件下，边上任意一点在边上的对应点的坐标为．
【变式训练2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________．
【答案】
【思路引导】过点C作轴于点E，可证明得到，据此可求出点C的坐标，再根据题意可得位似比为，结合正方形在第三象限可得答案．
【规范解答】解：如图所示，过点C作轴于点E，
∴，
∴；
∵A点坐标为，B点坐标为，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，
∴位似比为，
又∵正方形在第三象限，
∴点的坐标为，即．
题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【典例精讲】（26-27九年级上·湖南衡阳·期中）在如图边长均为的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，已知三个顶点坐标分别为、、．
(1)如图，点是点以原点为位似中心的对应点，画出以原点为位似中心的位似图形，其中点、点分别为点、点的对应点；
(2)经过（1）的位似变换后，与四边形的面积比为_____________．
(3)若点为内部一点，点经过（1）的位似变换后的对应点的坐标为__________．
(4)在线段上找一点，使，直接写出点的坐标：_________．
【答案】(1)如图，即为所求作的位似图形，其中、、．
(2)．
(3)．
(4)．
【思路引导】（1）由点与对应点的坐标定出位似比，把、的横、纵坐标都乘位似比得到、，再顺次连接三个对应点；
（2）位似图形的面积比等于位似比的平方，用的面积减去的面积得到四边形的面积，再求比；
（3）位似中心是原点时，对应点的横、纵坐标都是原来的位似比倍；
（4）在射线上取格点，在轴上取格点，连接交于点，由证两个三角形相似得到分点的比；再用待定系数法求直线与的解析式，由两图象交点的坐标得到点的坐标．
【规范解答】（1）解：∵，点、都在轴上．
∴位似比为．
∴点的对应点为，点的对应点为．
在网格中描出点、，顺次连接、、即为所求(如图)．
（2）解：连接、，并分别延长到点、，再连接(如图)．
∵，点到轴的距离为．
∴．
∵位似比为与位似．
∴．
∵点在上，点在上，．
∴四边形的面积为．
∴与四边形的面积比为．
（3）解：∵位似中心为原点，位似比为．
∴位似变换把每个点的横、纵坐标都乘．
∵点的坐标为．
∴对应点的坐标为．
（4）解：在射线上取格点，在轴上取格点，连接交于点(如图)．
∵．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
∴．
设直线的解析式为．
把、代入，得．
∴．
∴直线为．
设直线的解析式为．
把、代入，得．
∴．
∴直线为．
∵点是直线与的交点．
∴．
两边同乘，得．
∴．
∴．
把代入．
∴．
∴．
【变式训练1】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案．
【规范解答】解：∵四边形为矩形，，
∴，
∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，，
∴，，故B错误，C正确，
∴，
∴，故A正确，
∴，故D正确．
故选：B．
【变式训练2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使；
(2)在图②中，在边上取一点F，；
(3)在图③中，在内部取一点G，连结，使．
【答案】(1)
如图，点即为所作；
(2)
如图：连接，点即为所作；
(3)
如图：点即为所作；
【思路引导】本题考查作图，应用与设计作图、中位线的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
（1）根据题意，得到，再由相似比与面积比的关系可知，当时，，再作中点即可；
（2）根据面积比，作三等分点，连接就可；
（3）根据面积比，作四等分位置即可．
【规范解答】（1），，
，
当时，则，
故取分别为，中点即可，
（2），
，即，
题型八 在坐标系中画位似图形
【典例精讲】（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
(1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为；
(2)直接写出点的坐标_______；与的周长比是_______；与的面积比是_______；
【答案】(1)
(2)，，
【思路引导】（1）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用位似变换的性质求解．
【规范解答】（1）略
（2）解：根据位似变换的性质，得的坐标，且与的相似比为，
∴与的周长比等于，面积比为．
【变式训练1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在图中作出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，且点在第三象限．
【答案】
如图所示，即为所求
【思路引导】本题考查了画位似图形，根据题意可得，，，顺次连接即可求解．．
【变式训练2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图是的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
(1)在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为；
(2)在第二象限内格点上找一点，使与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点坐标是_______；
(3)以坐标原点为位似中心，画出的位似图形，使与相似比为（画出一个即可）
【答案】(1)
解：如图所示：平面直角坐标系即为所求；
(2)
(3)
解：如图所示，即为所求．
【思路引导】本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的判定及性质、画位似图形，关键是根据知识点画出符合题意的图形；
（1）根据两点的坐标建立直角坐标系即可；
（2）在的垂直平分线上找一点且腰长是无理数，则点坐标可求；
（3）以为位似中心，在的同侧和异侧分别画出求作图形即可．
【规范解答】（1）略
（2）解：如图所示：点即为所求；
故答案为：；
题型九 在坐标系中画位似中心
【典例精讲】（26-27九年级上·甘肃白银·期中）在如图所示的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，是的边上一点．
(1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似图形，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标；
(2)将向右平移5个单位长度后得，判断与能否是以某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
【答案】(1)， ，
(2)
【思路引导】（1）根据原点为位似中心、相似比、在轴左侧的条件，将点、点横纵坐标同时乘，得到，，再画出．
（2）先利用向右平移 5 个单位，横坐标加 5 纵坐标不变求出，，再延长两组对应顶点连线，交点就是位似中心．
【规范解答】（1）解：∵ 以原点为位似中心，在轴左侧作位似图形，相似比为，
∴ 对应点的横、纵坐标都乘．
∵ ，，，
∴ ，．
在方格中描出，，，连接得到．
（2）解：∵ 向右平移个单位长度得到，
平移规律：横坐标加，纵坐标不变．
连接对应顶点，对应直线交于一点，
∴ 与是以点为位似中心的位似图形，
据图可知，位似中心的坐标为．
【变式训练1】（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，小明利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)在图中标出和的位似中心点M的位置，则点M的坐标为___________；
(2)若以点为位似中心，请在方格图中画出的位似图形，且与的相似比为，则点的对应点的坐标为___________．
【答案】(1)
解：如图即为所求点：
点的坐标为
(2)
解：如图即为所求：
点的坐标为；
【思路引导】本题主要考查了平面直角坐标系中的位似变换，涉及位似中心的确定、位似图形的绘制以及根据位似关系确定点的坐标，熟练掌握对应知识点是解题的关键．
（1）连接、，交点即为M；
（2）根据位似变换的性质，以为位似中心，按照位似比确定、的位置，从而绘制出，根据图形即可确定点的坐标．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
(1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的；
(2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的；
(3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
解：根据题意，的顶点坐标分别为、、．
将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：
则即为所求．
(2)
解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：
则即为所求．
(3)是，Q点的坐标为
【思路引导】（1）根据平移规律，画图即可．
（2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可．
（3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可．
本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
【规范解答】（1）略
（2）略
（3）解：∵、、，、、．
∴直线为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得
故Q点的坐标为．
故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为．
1．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且．若点C的坐标为，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】利用位似图形的性质确定位似比，根据图形位置关系确定坐标变换规律．
【规范解答】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，且，
∴位似比为；
∵由图可知，点F与点C在位似中心O的两侧，
∴ 点F的横坐标为，纵坐标为，
∴点F的坐标为．
2．（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可．
【规范解答】解：∵，，
∴，，
∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形，
∴，即，
∴．
3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引导】过点作轴于，过点作轴于，利用位似比求出，的长，结合点的坐标即可求出点的坐标
【规范解答】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，
，，，
，，
和是以点为位似中心的位似图形，
，
位似比为，
，
，轴，
，，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，，
点在第二象限，
点的纵坐标为，
点在点的左侧，
点的横坐标为，
．
4．（2026·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】过点作轴的垂线，交轴于点，容易求得 ，进而可求得，得到点的坐标，即可求解．
【规范解答】解：如图，过点作轴的垂线，交轴于点，
由题意得，
∴ ，
∴．
，，
．
∴，
又∵，，
，．
．
∴点的坐标为．
．
5．（2026·江西宜春·二模）如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】根据位似比得出相邻两个三角形的相似比，进而得出与的相似比，利用面积比等于相似比的平方求解即可．
【规范解答】解：是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
与的相似比为，与的相似比为，…，与的相似比为，
与的相似比为，
，
，
，
当时，．
6．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形面积等于矩形面积的，则点的坐标为________．
【答案】或
【规范解答】解：∵矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形等于矩形面积的，
∴矩形与矩形位似，且位似比为，
∵，
∴或，
∴点的坐标为或．
7．（26-27九年级上·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，那么点的坐标为______．
【答案】
【思路引导】根据位似变换的性质，以原点为位似中心，若位似比为，则对应点的坐标等于原坐标乘以或．
【规范解答】解： 与关于点位似，且位似比为 ，
∴点的坐标是点的坐标乘以 ，
∵ ，
∴点的横坐标为 ，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标是．
8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________．
【答案】或
【思路引导】分两种情况讨论，一种是两个正方形在位似中心的异侧；另一种是两个正方形在位似中心的同侧．
【规范解答】解：正方形中、，
∴边长为，
∴，，
正方形中、，
∴边长为，
∴，，
分两种情况讨论：
情况1：两个正方形在位似中心的异侧
连接对应顶点和、和，
设直线和的解析式分别为，，
则，，
解得：，，
则直线和的解析式分别为，，
联立，，
解得：，
∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为；
情况2：两个正方形在位似中心的同侧
连接对应顶点和、和并延长，
设直线和的解析式分别为，，
则，，
解得：，，
则直线和的解析式分别为，，
联立，，
解得：，
∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为；
综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或．
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______．
【答案】6
【规范解答】解：连接，
∵平行四边形 与平行四边形是以点A 为位似中心的位似图形，
且相似比为，
∴A，G，C三点在同一条直线上，，，，
∵平行四边形 的面积为，
∴ 和 的面积都是，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，同理可得 ，
∴与的面积之和为，
故答案为．
10．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是，点A的坐标是，且线段是由线段以位于y轴右侧的点P为位似中心放大3倍得到的，则点P的坐标是______．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似图形的性质可得，据此可得，即点的坐标是．
【规范解答】解：∵线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：．
11．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在单位长度为的平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图．
(1)在线段上找一点，使得：
(2)以原点为位似中心，将缩小为原来的，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出点的对应点坐标 ．
【答案】(1)如图，点即为所求；
(2)如图，和即为所求，点对应点的坐标为或；
【思路引导】（1）取格点，，使且，连接交于点，则点即为所求；
（2）根据位似的性质作图，即可得出答案．
【规范解答】（1）略
（2）略
12．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）按要求回答问题
(1)如图①，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点的坐标分别为．以点为位似中心，画出的位似图形，使其与的相似比为；
(2)在图②中，仅用无刻度直尺在线段上画一个点，使．
【答案】(1)如下图所示，和均为所求作的三角形．
(2)解：如下图所示，为所求作的点．
【思路引导】（1）由位似图形的性质找出位似三角形的三个顶点坐标，连接三个顶点即可．
（2）借助网格构造相似三角形，由相似三角形的性质可以得到．
【规范解答】（1）解：作图略．
（2）解：作图略．
13．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，是正三角形，正方形的顶点E，F在边上，顶点N在边上．
(1)在正三角形三边及其内部，以点A为位似中心，画出正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大；（不写画法，但要保留画图痕迹）
(2)若，求（1）中所画正方形的边长．
【答案】(1)
如图，正方形为所作；
(2)
【思路引导】（1）连接交于点，再作于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，顺次连接，则四边形为所作；
（2）设正方形的边长为x，利用等边三角形的性质、直角三角形的性质求解即可．
【规范解答】（1）略
（2）解：设正方形的边长为x，则，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
即正方形的边长为．
14．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）剪拼是平面几何中转化图形、推导性质的实用方法．它通过裁剪、拼接，将不规则或陌生图形转化为矩形、三角形等熟悉图形；同时，剪拼还可直观验证图形的全等、相似关系，辅助解决面积计算、图形分割与拼接问题，是连接直观操作与几何推理的桥梁．
(1)【用数学的眼光观察】如图1，王林任意剪了矩形纸片，在边上任意确定一点E，分别找到边的中点M，N，连接．分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．连接，则与的关系为______．
(2)【用数学的思维分析】在（1）的基础上继续探究，若的面积为a，请用含a的代数式表示四边形的面积（写出推理过程）．
(3)【用数学的语言表达】如图2，在矩形纸片中，点G为边上一点，M，N分别为的中点，分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．通过测量发现，，．求线段和的长．
【答案】(1)且
(2)
(3)线段的长为，的长为，的长为
【思路引导】（1）根据三角形中位线即可证明关系；（2）根据证明，得出，即，即可求解；（3）求得，，证明，，利用三角函数可求得，进而根据已知求出，．
【规范解答】（1）解：分别是的中点，
是的中位线，
且；
（2）由（1）知，，
，，
即，；
（3）在中，，，
．
易知为的中位线，，，
，
，
在中，，，
在中，，，
，，
线段的长为9，的长为，的长为3．
【考点剖析】本题考查三角形中位线，相似三角形的判定和性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，锐角三角函数等，正确利用知识点解决问题是关键．
15．（2026·四川甘孜·中考真题）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，．
【初步感知】
(1)如图1，连接，，则 度；
【变化探寻】
(2)如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等．
【深入探究】
(3)如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点．
①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由；
②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)①，，理由如下：
如图，连接，
同（1）可得
∴，三点共线，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，，
∴，；
②．
【思路引导】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据可得，进而证，可得，又，可得；
（2）设，，则，，证明，得出，证明得出，即可求解；
（3）①连接，证明，，根据相似三角形的性质，即可得出结论；
②依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为，求得的面积，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
设，，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，在移动点的过程中，始终有与相等．
（3）①略
②由①可得，
依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为，
∵等腰直角三角形的边长为，面积为，
∴图形的面积为．
第 1 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司
$null2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
专题05图形的位似[挑战压轴题]
「思维导图+9个题型讲练+优选题拔尖练共42题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（原卷版)】
山且录导航
【高频压轴题型举一反三变式训练】
2
题型一位似图形相关概念辨析………
2
题型二位似图形的识别.…………………
3
题型三判断位似中心，，，，，.，.，.
A
题型四求两个位似图形的相似比…………………
6
题型五画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形.....7
题型六求位似图形的对应坐标.9
题型七在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比..
10
题型八在坐标系中画位似图形.12
题型九在坐标系中画位似中心.14
【优选题拔尖练】…15
山思维导图技巧点拨
北师大版数学九年级上册挑战压轴题专题05：《图形的位似》思维导图
特推出士拉，、
对应连线打一点
长度比等于系数
面积比等于k
1.位似的概念
2.位似的性质
3.位似的应用
如果两个相似多边形任意一维对应顶点P,P所在的直线
都经过同一点O,且有OP=k+OP(k≠0).那么这样的
①对应点的连线都经过位似中心：
例：如图，△ABC以点O为位似中心放大，使它与
△DEF位
且相似比为2D
两个多边形叫作位似多边形，点O叫作位似中心，叫作
②对应边互相平行：
位似比，
③对应角相等：
满足条件的
△DEF可以
④对应边的比都等于位似比k:
在点0的另
⑤对应面积的比等于位似比素的平方
(1)
(2)
解：如图，画射线O4,OB,OC;在射线OA,OB,OC上
特征：①对应点的连线相交于一点（位似中心)
若图形A与A”位似，位似比为k,则
分别取点D,E,F,使OD=2OA.OE=2OB,OF=2OC:
对边互相平行
③对应角相等
边长比=，而积比=k
用线段依次连接点D,E,F,D,则△DEF与△ABC
④对应边的比等于位似此k
位似，相似比为2。
4,平面直角坐标系中的位似
图形的位似
5.作位似图形的方法（放大/缩小）
6重要结论小结
方法一：横、纵坐标乘k
x.ky
》确定位似中心O:
点P(x,y)美于原点0(0,0)
四确定位似比（救大k>1,缩小0<<1）：
①位板比一盘路装
的位变换（位似比为）
②面积比=（边长比）=k2:
得到P严（红，y)
③若两国形位似。则对应边平行，对
面积比k2!
示意图
应角相等
方法二：横、纵坐标乘一★
0.
④位似中心唯一（除非两个图形重合）
点P(x,y)关于原点O(0,0)
的位似变换（位似比为一k】
7压轴颗解题技巧
8.易排结拨○
得到P(-红，y)。
点。我到文点：即为位中心
然易错1：位似中心不是对应边地中点
位似中心是应点连线的交
利用对应边长比=位似比，求未加边长
★一般地，若点P点O的位似比为
★。再边长面积
的芳一侧
×高：泥清边比与面积
而积比=
边长比=人。面积比=2。不是素
则P的坐标为(，：位似比为一表时，为（一k红，一）
在坐标系中，用横、纵坐标乘太发一k,快速基点坐标
×易错4：坐标变换待号出错
★技巧5：分类计论
(x,)→(x,)或(-x,一k),不能只乘
位似比青>0（同向）或k<0(反向).位置不同。
×易错5：对应点。对应边不清
★总结：位似是相似国形的特林变换，养住“点在射气，边平行、角相等，比相等
先确定对应关系，再列比成求值
灵语运用性项与方法，就能轻松解决各夷压袖题：
第1页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教杜]
山亮频压轴题型举一反三变式训练
题型一位似图形相关概念辨析
【典例精讲】(26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测)如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形
的2倍得到△A′B'C′，以下说法不正确的是(
A.AB:A'B′=1：2
B.点A,O,A'三点在同一条直线上
C.CAABC:C△A'B'c=1:4
D.BC II B'C
【变式训练1】(25-26九年级上·河南郑州·期中)在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似
中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后
的图形成自位似轴对称，
例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE,再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG,
则△ABC与△AFG成自位似轴对称，
D
图1
图2
图3
(1)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC,CD1AB,垂足为D,下列3对三角形：①△ABC与△ACD:
②△BAC与△BCD;③△DAC与△DCB.其中成自位似轴对称的是
(填写所有符合条件的序
号)；
(2)如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE,若∠BAC=90°，AB=4,AC=3,连接BD和CE,
点F是BD的中点，在△ADE变化过程中，试猜想AF和CE的数量关系和位置关系是否变化，如果变化，请给
出变化范围；如果不变，请写出AF和CE的数量关系和位置关系，并就图3的情况说明理由：
(3)在(2)的条件下，若AD=2,当AE∥DB时，请直接写出CE的长
第2页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」
【变式训练2】平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该
点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称.例如：如图1，先将△ABC
以点A为位似中心缩小，得到△ADE,再将△ADE沿过点A的直线1翻折，得到△AFG,则△ABC和△AFG
成自位似轴对称.
B
D
D
图1
图2
图4
(1)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC,CD1AB,垂足为D.下列3对三角形：①△ABC和△ACD:
②△BAC和△BCD:③△DAC和△DCB.其中成自位似轴对称的是_一一一：（填写所有符合要求的序号）
(2)在(1)答案最大序号图形中，AC=3,BC=4,设自位似轴对称变换的对称轴与CD交于点E,求CE:
(③)如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点，∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD,连接DE,
求证：DE II AC.
题型二位似图形的识别
【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形，位
似中心是点O,位似比k1=2:四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2是位似图形，位似中心是点O,位似比k2=
1.四边形ABCD和四边形A2B2C2D2是位似图形吗？如果是，那么位似比是多少？如果不是，请说明理由.
第3页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
D
B
D
A
B2
B
【变式训练1】(25-26九年级上·湖南岳阳·期末)在☐ABCD中，作图如下：①以点B为圆心，以合适的
长为半径作弧，分别与BA,BC交于点M,N:②分别以M,N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠ABC
内两弧交于点O;③作射线B0,与AD交于E,与CD的延长线交于F,如图.己知DE=2,AB=3,下列结
论错误的是(
A.BF平分∠ABC
B.AE=3
C.△DEF与△ABE是位似图形
.器=
【变式训练2】下列说法错误的有(
)个
①所有的矩形都相似.②三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的：③一个角为30°的直角三角
形的三边之比为1：V3:2.④两个位似图形一定是相似图形
A.1
B.2
C.3
D.4
题型三判断位似中心
【典例精讲】(26-27九年级上·河南周口·期中)如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点坐标分别为
0(0,0),A(2,1),B(1,-2).
第4页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
!
0
(1)画出将△0AB先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△01A1B1:
(2)以原点0为位似中心，在y轴的右侧画出与△OAB位似的△OA2B2,使它与△OAB的相似比为2：1：
(3)请在图中标出△01A1B1和△0A2B2的位似中心点M,并写出点M的坐标.
【变式训练1】(2026九年级上·全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别
为A(-2,1),B(-4,-1),C(-3,-3).将点A,B,C的横坐标、纵坐标都乘-2，得到点A',B',C'.
(1)请写出点A',B',C'的坐标，并在所给的坐标系中画出△A'B'C;
(2)△A'B'C′与△ABC位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比：否则，说明理由.
第5页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
【变式训练2】(25-26九年级上·江西宜春·期末)己知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，其
中三个顶点A,B,C的坐标分别为1,0)，(4，-1)，(3,2).△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图
形
o
B.
(1)请仅用无刻度的直尺，画出点P的位置（保留作图痕迹），并写出点P的坐标
(2)以原点O为位似中心，请仅用无刻度的直尺，在y轴左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2,使△A1B1C1
与△A2B2C2相似比为2：1.
题型四求两个位似图形的相似比
【典例精讲】(26-27九年级上·北京延庆·期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图
形，位似中心为点0.若点A(-2,1)的对应点为D(-4,2),则点C(-1,3)的对应点F的坐标为(
A.（-2,6)
B.(-3,5)
C.(2,-6)
D.(3,-5)
第6页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
【变式训练1】(26-27九年级上·湖南永州·期中)如图，在直角坐标系中，△0AB与△0CD是以原点0
为位似中心的位似图形.若点A(6,4)的对应点为C(-3,-2),则点B(4,0)的对应点D的坐标为
D
【变式训练2】(2025九年级·全国·专题练习)如下图，正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,分别
延长BD,CD到点E,F,连接EF.若EF I BC,且△DEF与△DAO的相似比为，则以点D为位似中心，△DEF
和它位似的三角形的相似比为多少？
0
题型五画已知图形放大或缩小倍后的位似图形
【典例精讲】(26-27九年级上·宁夏银川·期中)在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点
均在格点上（网格线的交点）·
(1)以点C为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△A1B1C(A的对应点是A1,B的对应点是B1)·
第7页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
②用无刻度的直尺在线段AB上找一点P,使得器=
.(保留作图痕迹)
【变式训练1】(26-27九年级上·河北保定·期中)如图，在平面直角坐标系中，△A0B的顶点坐标分别
为A(2,1),0(0,0),B(1,-2).
V体
2
(1)P(a,b)是△A0B的边AB上一点，△AOB经平移后点P的对应点为P2(a-3,b+1),请画出上述平移后的
△A101B1;
(2)以点0为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A20B2,使它与△A0B的相似比为2：
(3)若△A20B2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q,并写出点Q
的坐标：
第8页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
【变式训练2】(25-26九年级上·广东深圳·阶段检测)如图，在正方形网格中，点A,B,C都在格点上，
利用格点按要求完成下列作图.（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
B
(1)图1中，以C为位似中心，位似比为1：2，在格点上将△ABC放大得到△A1B1C1:请画出△A1B1C1:
(2)图2中，以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC相似.
(③)图3中，在线段AB上回一个点P,使铝-号
题型六求位似图形的对应坐标
【典例精讲】(26-27九年级上·福建莆田·期中)如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为(2,0)，
VA
61
5
B,4
65432,l可.234.6x
3
(1)以O为位似中心，画出△ABD的位似图形△A1B1D1,相似比为1：2，且位于位似中心异侧；
(②)在x轴负半轴上找一点B使得S△ADE-SAMA181,求点E的坐标.
第9页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」
【变式训练1】(26-27九年级上·江西抚州·期中)如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点A,B的坐
标分别为(-2，-3)，(2，-1).
A
(1)以原点0为位似中心，在x轴上方画出△0A1B1,使△OA1B1与△OAB位似，且相似比为2：1，点A的对应
点为A1,点B的对应点为B1
(2)在(1)的条件下，△OAB边上任意一点D(a,b)在△OA1B1边上的对应点D1的坐标为
【变式训练2】(25-26八年级下·江苏苏州·期末)如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(0,4)，B点
坐标为(2,0)，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形
A'B'CD',使其与正方形ABCD位似，且OA:OA'=2:1,则点C'的坐标是
题型七在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【典例精讲】(26-27九年级上·湖南衡阳·期中)在如图边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在
格点上，0为直角坐标系的原点，己知△ABC三个顶点坐标分别为A(0,1)、B(2,2)、C(3,1).
第10页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
9
8
7
6
5
B
A
012345678910元
(1)如图，点A1(0,3)是点A以原点O为位似中心的对应点，画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形
△A1B1C1,其中点B1、点C1分别为点B、点C的对应点：
(2)经过(1)的位似变换后，△0AC与四边形AA1C1C的面积比为
(3)若点M(a,b)为△ABC内部一点，点M经过(1)的位似变换后的对应点M'的坐标为
(④在线段AB上找一点P,使器=子直接写出点P的坐标：
【变式训练1】(25-26九年级上·湖南益阳·期末)如图，矩形ABC0与矩形0DEF是位似图形，点P是位
似中心，若点B的坐标为(2,3)，点E的横坐标为-1，则下列结论错误的是()
O
F O
-
C.EF-
D.SAPDE-3
第11页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
【变式训练2】(25-26九年级上·浙江宁波·期中)图①、图②、图③是6×6的正方形网格.每个小正
方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别
在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法。
图①
图②
图③
(①)在图①中，在边AB上取一点么在边AC上取一点区连结DE,使，E=手
S四形DBCE
(2)在图②中，在边AC上取一点RS△ABF=子S△ABC:
(③)在图③中，在△ABC内部取一点6，连结BG、CG,使SBC6=S6ABc
题型八在坐标系中画位似图形
【典例精讲】(26-27九年级上·宁夏银川·期中)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单
位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,1),B(-1,1),C(0,3)
B
-4-3-2-10
1
23456x
-
3
-6
(1)在第四象限画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1,△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2；
(2)直接写出点C1的坐标一一一；△ABC与△A1B1C1的周长比是一一；△ABC与△A1B1C1的面积比是
第12页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」
【变式训练1】(25-26九年级上·陕西汉中·期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别
为A(2,4),B(-2,2),C(4,-2).以原点O为位似中心，在图中作出△ABC的位似图形△A1B1C1（点A、B、
C的对应点分别是点A1、B1、C1),使得△A1B1C1与△ABC的相似比为1：2，且点A1在第三象限.
B
-5-4-3-2
【变式训练2】(25-26九年级上·河南南阳·期末)如图是7×7的正方形网格，请在所给网格中按下列
要求操作：
B
(1)在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-4,2)，B点坐标为(-2,4)：
(2)在第二象限内格点上找一点C,使C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C
点坐标是
(3)以坐标原点0为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC相似比为（画出一
个即可)
第13页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
题型九在坐标系中画位似中心
【典例精讲】(26-27九年级上·甘肃白银·期中)在如图所示的方格纸中，△0AB的顶点坐标分别为0(0,0)，
A(-2,-1),B(-1,-3),P(a,b)是△A0B的边AB上一点.
(1)以原点0为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似图形△OA1B1,使它与△0AB的相似比为2：1，
并分别写出点A,P的对应点A1,P1的坐标：
(2)将△0A1B1向右平移5个单位长度后得△02A2B2,判断△0AB与△02A2B2能否是以某一点M为位似中心
的位似图形，若是，请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标
【变式训练1】(25-26九年级上·河南开封·阶段检测)如图，小明利用几何画板软件，在平面直角坐标
系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1,
6
4
-654-3-2-10
1234567x
(1)在图中标出△ABC和△A1B1C1的位似中心点M的位置，则点M的坐标为
；
(2)若以点A1为位似中心，请在方格图中画出△A1B1C1的位似图形△A1B2C2,且△A1B1C1与△A1B2C2的相
似比为2：1，则点B1的对应点B2的坐标为
第14页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，△A0B的项点坐标分别为A(2,1)、O(0,0)、B(1,-2):
珠
○
B
(1)画出将△A0B向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A101B1:
(2)以原点0为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△A101B1放大后的△A202B2:
(3)判断△A0B与△A202B2,能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点Q的坐标.
山优选题拔尖练
2a=a=4===
1.(26-27九年级上陕西西安期中)如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且DE=2AB.若
点C的坐标为(-1，-3)，则点F的坐标为(
A.(-2,-6)
B.(-6,-2)
C.(2,6)
D.(6,2)
第15页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」
2.(26-27九年级上·广西贵港·期中)如图，四边形ABCD与四边形A′B'C'D'是以原点0为位似中心
的位似图形.若B'(2,0),B(4,0),A'B'=V5,则AB=(
D
B
A
A.8W5
B.65
C.4v5
D.2W5
3.(25-26八年级下·重庆·期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B的坐标
为(-3,0)，点C的坐标为(-1,0)，△ABC和△A'B'C'是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点A'在
直线AB同侧.若点A的对应点A'的坐标为(5，-3)，点B的对应点B'的坐标为(3,0)，则点A的坐标为
YA
A.（4)
B.（5
c.(-)
D.(-4,1)
4.(2026·山西晋中·二模)如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(4,8),C(3,0),以点A为中心，将△ABC
放大为△ADE,满足S△ABC:S△ADE=1:9.连接BE,则BE的长度为（)
B
A.V231
B.V233
C.√277
D.V281
第16页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」
5.(2026·江西宜春·二模)如图，△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,△An BnCn是以点O为位似中心
的位似图形，已知0=48===多△ABC的面积为1，则△A2025B202sC202s的面积是(
A10A20
An0
A.2202s
B.3202s
42025
C.
D.
92025
32025
22025
92025
42025
6.(26-27九年级上·辽宁铁岭·期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC的顶点坐标分别是0(0,0)，
A(6,0),B(6,4),C(0,4,已知矩形0A'B'C'与矩形0ABC位似，位似中心是原点O,且矩形0A'B'C'面
积等于矩形OABC面积的好则点B的坐标为
B
A
7.(26-27九年级上·上海金山·期中)如图，在平面直角坐标系中，△0AB的三个顶点坐标分别为O(0,0),
A(-6,3),B(-5,0).以点0为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为-的位似图形△0CD,那么
点C的坐标为】
D
C
8.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C,D的坐标分
别为(5,0)，(1,0)，正方形EFGH的顶点E,F的坐标分别为(-3，-1)，(-1，-1)，则这两个正方形的位似中
心的坐标为
第17页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
9.(2026·陕西榆林·模拟预测)如图，在平行四边形ABCD中，以点A为位似中心，作平行四边形ABCD
的位似平行四边形AEGF,且与原图形的相似比为3：4，连接BG,DG,若平行四边形ABCD的面积为32，则
△BEG与△DFG的面积之和为
B
10.
（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是(-2,3)，点A的
坐标是(0,1)，且线段CD是由线段AB以位于y轴右侧的点P为位似中心放大3倍得到的，则点P的坐标是
11.(26-27九年级上·广东深圳·期中)如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，△ABC的项点均在
格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图.
(1)在线段AB上找一点D,使得AD:BD=3:2:
(2)以原点0为位似中心，将△ABC缩小为原来的行，请在网格纸内画出缩小后的三角形，并直接写出A点的
第18页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
对应点坐标_
12.(26-27九年级上·宁夏银川·期中)按要求回答问题
9
8
7
6
5
4
3
41
2345678x
图①
图②
(1)如图①，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格格点上，且点A、B、C的坐标分别为
A(3,0),B(4,2),C(2,4).以点0为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1,使其与△ABC的相似比为2：1；
(②在图②中，仅用无刻度直尺在线段AB上画一个点P,使号=号
13.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测)如图，△ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E,F在边AB
上，顶点W在边AC上.
(1)在正三角形ABC三边及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N',且使
正方形E'F'P'N'的面积最大：（不写画法，但要保留画图痕迹）
第19页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
(2)若BC=3,求(1)中所画正方形EFP'N'的边长.
14.(25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末)剪拼是平面几何中转化图形、推导性质的实用方法.它
通过裁剪、拼接，将不规则或陌生图形转化为矩形、三角形等熟悉图形：同时，剪拼还可直观验证图形的
全等、相似关系，辅助解决面积计算、图形分割与拼接问题，是连接直观操作与几何推理的桥梁.
图1
图2
(1)【用数学的眼光观察】如图1，王林任意剪了矩形纸片ABCD,在AD边上任意确定一点E,分别找到AB,DC
边的中点M,N连接ME,NE.分别将△AME和△DNE剪下，贴合到△BMF和△CNG处，进而得到△EFG.连
接MN,则MN与FG的关系为_-一-·
(2)【用数学的思维分析】在(1)的基础上继续探究，若△EMN的面积为a,请用含a的代数式表示四边
形MNGF的面积（写出推理过程）·
(3)【用数学的语言表达】如图2，在矩形纸片ABCD中，点G为AD边上一点，M,N分别为AG,DG的中点，
分别将△ABM和△DCN剪下，贴合到△EGM和△EGN处，进而得到△EBC.通过测量发现BC=12,∠BEC=
90°，BE=V3CE.求线段AG,EG和DG的长.
第20页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材杜」
15.(2026·四川甘孜·中考真题)平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件.这种连杆在移动时，
两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动.如图，四边形AFDE是平行四边形，
CE =AF=k.
AE BF
【初步感知】
(1)如图1，连接BD,CD,则∠1+∠2+∠3=度：
BI-T
23
D
图1
【变化探寻】
(2)如图2，AB=10,AC=15,固定点D,当k为何值时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相等。
图2
【深入探究】
(3)如图3，固定点D,若移动点B到点B',则点C随之移动到点C'·
①判断线段CC'与BB'的位置关系与数量关系，并说明理由：
②在点B处安装一支描图针，在点C处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形L1
描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形L2,求图形L2的面积.（用含k的代数式表示）
图3
第21页共21页
资源预览图
