重难点专题 解直角三角形及其应用（专项训练）数学新教材浙教版九年级下册

重难点专题 解直角三角形及其应用 题型1 解直角三角形的相关计算 固定解题模型：已知两个元素且至少有一条边，这个直角三角形就唯一确定，可以解出来。 解题步骤：① 画出图形，直角记为 C，把已知的边和角标在图上；② 求对边用正弦或正切，求邻边用余弦或正切，求斜边用正弦或余弦；③ 再用勾股定理回代校验。 核心数据：，，；A＋B＝90°，a²＋b²＝c²。 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）两个大小一样的矩形如图摆放，为， ，已知，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 3．（2026·浙江·模拟预测）传统弓弩的精准发射依赖于对称结构的稳定性．如图为某手工匠人制作的一张弓弩，已知弓臂，当弓弩张开时，工匠测得． (1)求证：． (2)连结，交于点E，若，，求的长． 4．（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 5．（2026·浙江·一模）如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，下列选项正确的是（    ） A． B． C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上 6．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． (1)作，垂足为，求的长； (2)求的值． 题型2 解非直角三角形 固定解题模型：没有直角就作高，把一个一般三角形拆成两个直角三角形，分别解完再加减。 解题步骤：① 从顶点向对边作高，尽量让垂足落在已知边上；② 在含已知角的直角三角形里求出高和线段；③ 在另一个直角三角形里补齐，用两段的和或差得到所求。 核心数据：S＝ah；作高后底边等于两段之和，钝角三角形时等于两段之差。 1．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，，，求BC的长． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，，． (1)求边的长； (2)求的值． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，已知，，，求的长． 4．（2026·安徽宣城·二模）如图，在中，是的弦，的半径为2，C为上一点，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 题型3 构造直角三角形求不规则图形 固定解题模型：四边形、梯形、组合图形，先补成矩形加直角三角形，再一块一块解。 解题步骤：① 过关键点向已知边作垂线；② 把图形拆成矩形与直角三角形；③ 矩形用对边相等，三角形用三角函数，最后合并。 核心数据：矩形对边相等；梯形上底与下底之差等于两条水平段之和；折叠问题先标出相等的线段。 1．（2026·山东济南·中考真题）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 2．（2025·山东聊城·一模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在矩形中，，，对角线，交于点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时点从点出发，以相同的速度沿射线运动，当点到达点时，点P，Q同时停止，设点运动的时间为（其中），的面积为，的面积为4，DE的长度为． (1)直接写出，与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 4．（2026·安徽合肥·一模）ISO A系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以A0为基础，通过等比例缩放的方式衍生出A1、A2、A3等规格．日常生活普遍使用的A4规格的打印纸，就是其中一种．A系列纸张形状为矩形，有如下特点：将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似．如图1，矩形表示某A系列纸张． (1)求； (2)已知，点为边的中点． （ⅰ）如图2，将绕点旋转，使得点的对应点在线段的延长线上，点的对应点为点，求的面积； （ⅱ）如图3，与关于直线对称，求证：． 题型4 仰角俯角与方位角问题 固定解题模型：仰角、俯角都是视线与水平线的夹角；方位角从正北或正南起算，一律先画水平线再搬角。 解题步骤：① 画出水平线与铅垂线，标出仰角或俯角；② 同一铅垂线上测两次的，用两次正切列出方程；③ 解方程求高或距离，别忘了加上测角仪的高度。 核心数据：仰角为 α 时 ，h 是竖直高差、l 是水平距离；俯角与仰角互余时用 90°−α。 1．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 2．（2026·浙江杭州·二模）科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜的正上方垂直上升至距地面30米的点处悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台点处．如图，若地面引导员在点处测得无人机悬停点的仰角与客户阳台点的仰角均为（参考数据：，，）． (1)求地面引导员与外卖柜的距离． (2)若无人机的速度为10米/秒，求无人机从悬停点处飞到客户阳台点处需要多少时间． 3．（2026·浙江温州·一模）如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 4．（2026·辽宁大连·二模）如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为，则该古塔的高度约为_____．（结果保留整数，参考数据：，，） 5．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，点到灯塔的距离为________米（结果保留根号）． 题型5 坡度坡比问题 固定解题模型：坡度是铅直高度与水平宽度的比，不是坡面长度；坡角的正切就等于坡度。 解题步骤：① 把坡面、坡高、水平宽放进同一个直角三角形；② 用 i 与坡角的正切求未知量；③ 多段坡分别算水平宽与铅直高，再相加。 核心数据：＝tanα；坡长＝；i＝1∶m 表示铅直比水平为 1 比 m。 1．（2026·浙江温州·二模）如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中． (1)如果楔子从木桩①的底端点打入，并沿水平方向前进了，那么木桩①上升了多少厘米？ (2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点和点打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升．求两个木桩之间的施工预留水平间隙（即两桩在楔子上的水平间距）． 2．（2026·浙江湖州·一模）如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，则小明上升的垂直高度为__________． 3．（2026·浙江丽水·模拟预测）一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是（     ）米． A． B．20 C． D． 题型6 其他问题 固定解题模型：情境题先翻译成直角三角形加两个已知元素；没有现成的直角，就作高或建立平面直角坐标系。 解题步骤：① 读题画图，把已知长度与角度标在图上；② 找出或造出含所求量的直角三角形；③ 用三角函数、勾股或相似列方程，按题目要求的精确度取近似值。 核心数据：≈1.414，≈1.732；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；结果按题目给的精确度四舍五入。 1．（2026·浙江·中考真题）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 2．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·二模）摩天轮是一种大型垂直转轮式机械游乐设施，由巨大转轮、悬挂座舱与支撑结构组成，供游客高空观景．如图，某摩天轮半径长，小慧从摩天轮的上客点（即最低点）进入座舱，当摩天轮匀速旋转时座舱运动至点处，即，则小慧在竖直方向上升了______m．（参考数据：，，）    4．（2026·浙江绍兴·二模）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧与墙平行，小汽车车门宽为1.2米．当车门打开角度至少为时，人方可顺利下车．为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是________米．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 5．（2026·浙江丽水·二模）如图，将一个直角三角形的楔子（）从木桩的底端点沿着水平方向打入木桩下，可以使木桩向上运动（如箭头所示）．已知楔子斜面的倾斜角，若木桩上升，则楔子沿水平方向前进大约 ______________（结果精确到．提示：，， ）． 6．（2026·上海徐汇·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 7．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）一把油纸伞，千年江南韵．油纸伞是汉族古老的传统用品之一．如图，油纸伞中轴截面可看作是抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离，已知． (1)求抛物线的表达式；（无需写出自变量的取值范围）． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若A，B间的距离为，且，求油纸伞锁扣到水平面的距离的长度．（参考数据：结果精确到） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 解直角三角形及其应用 题型1 解直角三角形的相关计算 固定解题模型：已知两个元素且至少有一条边，这个直角三角形就唯一确定，可以解出来。 解题步骤：① 画出图形，直角记为 C，把已知的边和角标在图上；② 求对边用正弦或正切，求邻边用余弦或正切，求斜边用正弦或余弦；③ 再用勾股定理回代校验。 核心数据：，，；A＋B＝90°，a²＋b²＝c²。 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）两个大小一样的矩形如图摆放，为， ，已知，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的转化． 由矩形可得，，再由正弦的定义即可求解． 【详解】解：由矩形可得，， ∴在中，， ∴， 故选：B． 2．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 【答案】 【分析】根据相似的性质得到，，，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵用12个相似的直角三角形组成的图案， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴． 3．（2026·浙江·模拟预测）传统弓弩的精准发射依赖于对称结构的稳定性．如图为某手工匠人制作的一张弓弩，已知弓臂，当弓弩张开时，工匠测得． (1)求证：． (2)连结，交于点E，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在与中， ， ． (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，证明垂直平分，即，，再根据锐角三角函数进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 垂直平分，即，，          ，， ， 解得，          ． 4．（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米； (2)风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 5．（2026·浙江·一模）如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，下列选项正确的是（    ） A． B． C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】由题意可分当点P在线段上时，当点P在线段上时，然后得出y与x的函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误； 当时，，说明此时点P与点B重合， ∴，故B错误； 当点P在线段上时，分别过点C、P作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，面积最大，最大值为，故C错误； ∴， ∴当时，，故D正确． 6．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． (1)作，垂足为，求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，用勾股定理求出，根据三角形面积求出的长； （2）过点作，交于，求出，，根据正切的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，作，垂足为， ∵交于点， ∴， 为的中点，， ． 又∵在直角三角形中，， ． 又， ∵， ； （2）解：过点作，交于， ， 又， ， ∴， ． 又，， ． 又， ． 在直角三角形中，， ，， ． 题型2 解非直角三角形 固定解题模型：没有直角就作高，把一个一般三角形拆成两个直角三角形，分别解完再加减。 解题步骤：① 从顶点向对边作高，尽量让垂足落在已知边上；② 在含已知角的直角三角形里求出高和线段；③ 在另一个直角三角形里补齐，用两段的和或差得到所求。 核心数据：S＝ah；作高后底边等于两段之和，钝角三角形时等于两段之差。 1．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】 【分析】过 作 于 ，构造两个直角三角形：在 Rt 中用 角性质求出 ；在 Rt 中由 设 、，用勾股定理建立 求解． 【详解】解：过 作 于 ． 在 中，， ∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半）， 在 中，， ∴ 设 ，（）， 由勾股定理，， ∴ ，， ∴ ． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，，． (1)求边的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，由，设，，利用勾股定理求出，，由，求出，最后由即可求出的长； （2）过点作，垂足为，由，求出，再由即可求出结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为， ，， 设，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴，， ， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点作，垂足为， ， ∴， ， ∴． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】是通过作辅助线将斜三角形转化为两个可解的直角三角形，先利用三角形内角和求出的度数，再分别在两个直角三角形中计算和的长度，最后求和得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 过点作于点，如图． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 4．（2026·安徽宣城·二模）如图，在中，是的弦，的半径为2，C为上一点，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得，再构造直角三角形，由垂径定理可得，且是等腰三角形，是直角三角形，可得，用三角函数计算出的长度，进而求出的长度． 【详解】解：连接、， 过O作于D， ，是所对的圆心角， ． ∵， ∵， ∴，且平分， ， 在中，， ． 题型3 构造直角三角形求不规则图形 固定解题模型：四边形、梯形、组合图形，先补成矩形加直角三角形，再一块一块解。 解题步骤：① 过关键点向已知边作垂线；② 把图形拆成矩形与直角三角形；③ 矩形用对边相等，三角形用三角函数，最后合并。 核心数据：矩形对边相等；梯形上底与下底之差等于两条水平段之和；折叠问题先标出相等的线段。 1．（2026·山东济南·中考真题）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 【答案】(1)甲同学的成绩是 (2)乙同学的成绩是 【分析】（1）过点作，在中，根据三角函数的定义求出，再证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，进而可得，即可得解． （2）过点作，垂足为点，交的延长线于点．在中，根据三角函数的定义求得．再证明四边形是矩形，则，．在中，根据三角函数的定义求得，由即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． ，， ， ， ． 又，即， 四边形是矩形， ， ． 答：甲同学的成绩是． （2）解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 在中，， ，， ． 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 在中，， ，， ， ． 答：乙同学的成绩是． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，以及三角函数的定义．将不规则图形分割成规则图形是解题的关键． 2．（2025·山东聊城·一模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【答案】(1)210米 (2)865.6米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用． （1）过点D作交的延长线于点F，由正弦的定义求解即可得出答案． （2）解直角三角形算出，，，进而求出，再根据围栏长度为代入计算即可． 【详解】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ， ， 步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，． 在中，， 围栏长度为： （米） 3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在矩形中，，，对角线，交于点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时点从点出发，以相同的速度沿射线运动，当点到达点时，点P，Q同时停止，设点运动的时间为（其中），的面积为，的面积为4，DE的长度为． (1)直接写出，与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2) 如图： 函数的性质：当时，随的增大而增大； (3)当时， 【分析】本题考查了解三角形、一次函数和反比例函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据矩形性质求得，，，，然后分当点在或上时两种情况讨论，然后即可求解； （2）根据（1）所得解析式进行描点作图，然后分析图像，即可得到函数的性质， （3）联立函数解析式得方程组，求出交点坐标，即可求解； 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，对角线，交于点， ∴，，， 作，，垂足分别为点和点，如图： ∴，， ∴，， 即， 解得：，， 当点在上时，，即， ，即， 当点在上时，作，垂足为，连接和，如图： ∴， 即，解得：， ，即， 综上所述：，； （2）解：函数的性质：当时，随的增大而增大， （3）解：联立函数：， 解得：， ∵， ∴，即和在第一象限的交点横坐标为， 联立函数：，解得：，， ∵，即和在第一象限的交点横坐标为， 综上所述：当时，； 4．（2026·安徽合肥·一模）ISO A系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以A0为基础，通过等比例缩放的方式衍生出A1、A2、A3等规格．日常生活普遍使用的A4规格的打印纸，就是其中一种．A系列纸张形状为矩形，有如下特点：将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似．如图1，矩形表示某A系列纸张． (1)求； (2)已知，点为边的中点． （ⅰ）如图2，将绕点旋转，使得点的对应点在线段的延长线上，点的对应点为点，求的面积； （ⅱ）如图3，与关于直线对称，求证：． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明：由轴对称性质得：，， ∵是中点，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，相似图形的性质，锐角三角函数的应用． （1）设，则对折后纸张长宽分别为，再利用相似矩形的性质建立方程求解即可； （2）（ⅰ）过点作，垂足为．易得，，再由旋转的性质可得，，根据，求出，再根据三角形面积公式即可解答； （ⅱ）由轴对称性质得：，，进而可得，从而得出，再利用三角形内角和和轴对称性质可得，，进而得出，由此证明． 【详解】（1）解：设，则对折后纸张长宽分别为． ∵对折前后的矩形相似， ∴， ∴， ∴，（负根舍去） 即． （2）（ⅰ）解：过点作，垂足为．如图2， ∵由（1）得，， ∴​， 在矩形中，，， ∴． ∴，， 由旋转性质可知，， 在中，． ∴ ∴ ∴ （ⅱ）略 题型4 仰角俯角与方位角问题 固定解题模型：仰角、俯角都是视线与水平线的夹角；方位角从正北或正南起算，一律先画水平线再搬角。 解题步骤：① 画出水平线与铅垂线，标出仰角或俯角；② 同一铅垂线上测两次的，用两次正切列出方程；③ 解方程求高或距离，别忘了加上测角仪的高度。 核心数据：仰角为 α 时 ，h 是竖直高差、l 是水平距离；俯角与仰角互余时用 90°−α。 1．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 【答案】744米 【分析】由已知条件在和中可求出长度，相加即可解决问题． 【详解】解：在中，（米）， 在中，（米）， 由题意可知，四边形为矩形， ∴米， ∴（米） 答：山高为744米． 2．（2026·浙江杭州·二模）科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜的正上方垂直上升至距地面30米的点处悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台点处．如图，若地面引导员在点处测得无人机悬停点的仰角与客户阳台点的仰角均为（参考数据：，，）． (1)求地面引导员与外卖柜的距离． (2)若无人机的速度为10米/秒，求无人机从悬停点处飞到客户阳台点处需要多少时间． 【答案】(1)米 (2)飞行时间为8秒 【分析】（1）解直角三角形，求出的值即可； （2）证明是等腰三角形，作，求出的长，再根据时间等于路程除以速度进行求解即可. 【详解】（1）解：在中，，， （米）． 答：地面引导员与外卖柜的距离为40米； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， 是等腰三角形， 作，则，四边形是矩形， ∴， （米）， ∴飞行时间为：（秒）. 3．（2026·浙江温州·一模）如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 【答案】31 【详解】解：如图，过点C作于点，则，，， ∴, ∴（米）． 4．（2026·辽宁大连·二模）如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为，则该古塔的高度约为_____．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 37 【分析】根据题意构建直角三角形模型，在中，利用锐角三角函数中正切的定义，结合已知边长和角度即可求出的长 【详解】解：根据题意可知，为直角三角形，且 ，， 在 中， ． 5．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，点到灯塔的距离为________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，过点A作于D，根据题意可求出，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 由题意得，，，米， ∴， 在中，米， 在中，米， 故答案为：． 题型5 坡度坡比问题 固定解题模型：坡度是铅直高度与水平宽度的比，不是坡面长度；坡角的正切就等于坡度。 解题步骤：① 把坡面、坡高、水平宽放进同一个直角三角形；② 用 i 与坡角的正切求未知量；③ 多段坡分别算水平宽与铅直高，再相加。 核心数据：＝tanα；坡长＝；i＝1∶m 表示铅直比水平为 1 比 m。 1．（2026·浙江温州·二模）如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中． (1)如果楔子从木桩①的底端点打入，并沿水平方向前进了，那么木桩①上升了多少厘米？ (2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点和点打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升．求两个木桩之间的施工预留水平间隙（即两桩在楔子上的水平间距）． 【答案】(1)上升了厘米 (2)厘米 【分析】（1）根据坡比的定义进行计算即可； （2）设楔子从P点开始前进的距离为，表示出两个木桩上升的高度，然后建立方程并求解即可． 【详解】（1）解：， 答：木桩①上升了2厘米． （2）解：设楔子从P点开始前进的距离为， 根据题意，可得：， 解得， 答：两个木桩之间的施工预留水平间隙为厘米． 2．（2026·浙江湖州·一模）如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，则小明上升的垂直高度为__________． 【答案】 【分析】根据题意得，由，设，，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， 设，， 由勾股定理得即， 解得或（舍去）， ∴小明上升的垂直高度为． 3．（2026·浙江丽水·模拟预测）一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦的定义，在中，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴这名运动员的高度下降了． 4．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是（     ）米． A． B．20 C． D． 【答案】B 【分析】利用坡比求出米，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：迎水坡的坡比是， 米， 米， （米）． 题型6 其他问题 固定解题模型：情境题先翻译成直角三角形加两个已知元素；没有现成的直角，就作高或建立平面直角坐标系。 解题步骤：① 读题画图，把已知长度与角度标在图上；② 找出或造出含所求量的直角三角形；③ 用三角函数、勾股或相似列方程，按题目要求的精确度取近似值。 核心数据：≈1.414，≈1.732；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；结果按题目给的精确度四舍五入。 1．（2026·浙江·中考真题）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 【答案】米 【分析】利用正切函数定义即可解答． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，且，，米， 在中，， （米）， 即智能车无法采样的距离为 2 米． 2．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，得出平分且为中点，从而求出的长和的度数，最后在中利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：，为形槽的深，即， 为等腰三角形，为底边上的高 ， ，， 在中，， ， ． 3．（2026·浙江杭州·二模）摩天轮是一种大型垂直转轮式机械游乐设施，由巨大转轮、悬挂座舱与支撑结构组成，供游客高空观景．如图，某摩天轮半径长，小慧从摩天轮的上客点（即最低点）进入座舱，当摩天轮匀速旋转时座舱运动至点处，即，则小慧在竖直方向上升了______m．（参考数据：，，）    【答案】 【分析】过点B作于点C，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出的长，再根据计算即可． 【详解】解：过点B作于点C，   ， 在中，，， ， 点A为最低点， 为竖直方向半径， 小慧在竖直方向上升的高度为：． 4．（2026·浙江绍兴·二模）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧与墙平行，小汽车车门宽为1.2米．当车门打开角度至少为时，人方可顺利下车．为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是________米．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】作，根据三角函数计算即可． 【详解】解：如图，作， ∵，， ∴． 5．（2026·浙江丽水·二模）如图，将一个直角三角形的楔子（）从木桩的底端点沿着水平方向打入木桩下，可以使木桩向上运动（如箭头所示）．已知楔子斜面的倾斜角，若木桩上升，则楔子沿水平方向前进大约 ______________（结果精确到．提示：，， ）． 【答案】 【分析】解即可． 【详解】解：由题意得，， 在中， ∴， 则锲子沿水平方向前进大约． 6．（2026·上海徐汇·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意，，，由，代入计算即可求解． 【详解】解：由题知：， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 7．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）一把油纸伞，千年江南韵．油纸伞是汉族古老的传统用品之一．如图，油纸伞中轴截面可看作是抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离，已知． (1)求抛物线的表达式；（无需写出自变量的取值范围）． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若A，B间的距离为，且，求油纸伞锁扣到水平面的距离的长度．（参考数据：结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，把代入求解即可； （2）连接AB交PQ于点E，可求出，可得A点的横坐标为，代入解析式可求出，在中，求出即可求解． 【详解】（1）解∶由题意得，抛物线的顶点坐标为， 所以可设抛物线的表达式为， 又因为图象过点， 所以． 所以． 所以抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点E， 所以由对称可得． 因为， 所以． 所以A点的横坐标为：． 所以当时，，即． 因为， 所以． 所以在中，． 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $