2026-2027学年高二上学期数学期中模拟试卷1

高二数学上学期期中模拟试卷1 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．直线，直线，则“”是“”的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知圆与圆外切，则m的值为（    ） A．1 B．9 C．10 D．16 3．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 4．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 6．已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 7．已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 8．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线与圆C：，则下列说法正确的是（     ） A．直线过定点 B．直线被圆C截得的最短弦长所在直线方程为 C．若点是圆C上的点，则的最大值为 D．当时，圆C上有且仅有3个点到直线的距离为 10．已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．不存在点Q，使得 D．的最小值为 11．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（ ） A．异面直线与所成角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体一定存在外接球 D．此八面体的内切球表面积为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________. 13．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是________________ 14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于点、，若的角平分线交于点，且，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)若，直线与圆相交于两点，求的面积； (3)若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 16．已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． (1)证明：； (2)已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且． （i）证明：点为线段的中点； （ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 18．已知曲线是焦点在轴，长轴为4，离心率为的椭圆． (1)求曲线的方程； (2)过右焦点作斜率不为0的直线交曲线于，两点 （i）设点，求证：为定值； （ii）直线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标． 19．若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； (2)若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学上学期期中模拟试卷1 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．直线，直线，则“”是“”的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由可得，解得或， 当时，，即，， 两直线重合，故舍去， 所以“”是“”的充要条件. 2．已知圆与圆外切，则m的值为（    ） A．1 B．9 C．10 D．16 【答案】B 【详解】因为圆C与圆O外切，所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和，即，解得． 故选：B． 3．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 4．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 5．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为椭圆上顶点，所以， 因为为等腰直角三角形，所以， 因为，所以椭圆的长轴长. 故选：D 6．已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为， 则点到直线的距离为，所以， 又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆， 则，所以 故选：B 7．已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆， ，即圆心为，半径为2， 如图所示，    连接，，四边形的面积为， 要使最小， 则只需四边形的面积最小，即只需的面积最小， ，只需最小， ， 所以只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离， 此时，， 则此时四边形的面积为2，即的最小值为4． 故选：D． 8．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，， 当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值． 设点关于直线的对称点为， 则，解得，，    则， 当时，椭圆有最大离心率，此时，． 故选：B． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线与圆C：，则下列说法正确的是（     ） A．直线过定点 B．直线被圆C截得的最短弦长所在直线方程为 C．若点是圆C上的点，则的最大值为 D．当时，圆C上有且仅有3个点到直线的距离为 【答案】AC 【详解】圆C：的圆心为，半径. 对于选项A：因为直线即为，所以直线过定点，斜率为，故A正确； 对于选项B：因为，可知点在圆C内，直线与圆C相交， 当直线时，直线被圆C截得的弦长最短，此时，可得， 所以直线方程为，故B错误； 对于选项C：设，则，可得， 所以的最大值为，故C正确；对于选项D：若，直线， 圆心到直线的距离为， 所以圆C上有且仅有2个点到直线的距离为，故D错误. 10．已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．不存在点Q，使得 D．的最小值为 【答案】CD 对于A,由离心率公式可判断； 对于B，由即可判断； 对于C，由，即，即可判断； 对于D，由椭圆的定义有，然后利用基本不等式求解即可判断. 【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即， 对A：，故选项A错误； 对B：当时，有，则，故选项B错误； 对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点， 所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确； 对D：由椭圆的定义有， 所以，当且仅当时等号成立， 当时，,由于，则能取到，满足条件； 当时，,由于，则不能取到，此时, 综上选项D正确. 故选：CD. 11．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（ ） A．异面直线与所成角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体一定存在外接球 D．此八面体的内切球表面积为 【答案】ACD 【详解】连接、交于点，连接、， 因为四边形为正方形，则，又因为八面体的每个面都是正三角形，所以、、三点共线，且面，所以以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 对于A项，，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A项正确； 对于B项，，，， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故B项错误； 对于C项，因为， 所以为此八面体外接球的球心， 即此八面体一定存在外接球，故C项正确； 对于D项，设内切球的半径为， 则八面体的体积为， 又八面体的体积为， 所以，解得， 所以内切球的表面积为，故D项正确. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________. 【答案】或. 【详解】由题意：当切线斜率不存在时，方程为：，满足与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为：， 则：，解得，此时切线方程为：，即， 故答案为：或 13．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是________________ 【答案】 【详解】设军营关于直线的对称点为， 则线段的中点为,故，解得，故， 故总， 当、、共线时等号， 故最短路程为. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于点、，若的角平分线交于点，且，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【详解】如图所示，因为若的角平分线交于点，且， 则为的中点，且， 因为，即， 所以，，则， 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)若，直线与圆相交于两点，求的面积； (3)若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）圆的方程 可化为， 所以圆的圆心的坐标为  ，半径， 因为直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 所以，解得， （2）由（1）圆的圆心的坐标为  半径， 若，则直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以， 所以的面积， （3）设，， 因为， 所以，故， 由，消得， 方程的判别式， 由已知是方程的根， 所以，， 因为，由可得，结合， 可得，故，， 所以， 所以. 16．已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． (1)证明：； (2)已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明如下： 因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 而平面， 故． (2)（ⅰ）； （ⅱ）存在，. （2）由题意易知两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， （ⅰ）因为， 则，，，，，， 故，， 设为平面的法向量，则， 令，则， 可得为平面的一个法向量， 而，记直线与平面所成的角为， 则； （ⅱ）由题意， 设，， 故，， 设，，则， 而，， 若平面，则， 解得， 故当重合，点的坐标为时， 平面，此时． 17．设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且． （i）证明：点为线段的中点； （ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）设，由，所以的轨迹方程为； (2)（ⅰ）证明：由，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，设中点， 联立，得， 则，， ，则， 即中点在直线上， 又在直线上，则，重合， 所以为线段的中点； （ⅱ）由（ⅰ）知为中点，为线段的中点，又关于原点对称， ， 又，则， ，解得， ， 点到直线的距离， 故四边形的面积为定值．    18．已知曲线是焦点在轴，长轴为4，离心率为的椭圆． (1)求曲线的方程； (2)过右焦点作斜率不为0的直线交曲线于，两点 （i）设点，求证：为定值； （ii）直线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标． 【详解】（1），可得，，， ∴椭圆方程为 (2)（i）由小问1知：，故右焦点坐标为， 设直线，，， 可得， ， ，， . （ii）由小问1知：，故右焦点坐标为， 设直线，，，可得， ，直线交直线于点，可得， 过点作轴的垂线，垂足为，可得直线，令，， 故同理可得 ， ， 故中点横坐标为，故中点坐标为. 19．若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； (2)若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）. (2)，或， 【详解】（1）（ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2，所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以.所以的取值范围是. （2）设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值.所以，故，此时. 所以圆：.设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $