专题5圆锥曲线考点题型突破专项-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题 5 圆锥曲线考点题型突破 回归教材知识点 一、椭圆的定义、方程、图形及性质 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 二、双曲线的定义、方程、图形与性质 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 三、抛物线的定义、方程、图形及性质 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 四、直线与曲线的联立 （1）椭圆与直线相交于两点，设， ， 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 注意： ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系． ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述． （2）抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析． 总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式． 根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件． （2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． （3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． （4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把b2换成－b2即可； 焦点在y轴的双曲线，把a2换成－b2即可，b2换成a2即可． （5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标． 五、弦长问题 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 注意：（1）上述表达式中，当为，时，； （2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． （3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． （4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单． （5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式． 中点弦问题 （1）是椭圆（a＞b＞0）的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得 所以 即，故 （2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线（a＞b＞0）的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则． 考点梳理 【考点题型一】椭圆，双曲线，抛物线定义辨析 【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程 【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值 【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题(周长问题) 【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题(面积问题) 【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题(其他问题) 【考点题型七】圆锥曲线中线段和差最值问题 【考点题型八】求圆锥曲线方程 【考点题型九】判断方程为椭圆、双曲线的条件 【考点题型十】圆锥曲线中的离心率 (定值) 【考点题型十一】圆锥曲线中的离心率 (最值 + 范围) 【考点题型十二】抛物线中的和差最值问题 【考点题型十三】抛物线中焦半径问题 【考点题型十四】抛物线的标准方程 【考点题型十五】圆锥曲线中新定义题 (小题) 【考点题型一】椭圆, 双曲线, 抛物线定义辨析 典例 1. 下列说法正确的个数是 ( ) ① 动点 满足 ，则 的轨迹是椭圆 ② 动点 满足 ，则 的轨迹是双曲线 ③动点 满足到 轴的距离比到 的距离小 1 ，则 的轨迹是抛物线 ④ 动点 满足 ，则 的轨迹是圆和一条直线( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 【解析】①, 表示点 与点 的距离和为 4, 而 两点的距离为 4,所以 点轨迹是 两点间的线段,①错误. ②, 表示点 与点 的距离和为 5, 而 两点的距离为 ，所以 点的轨迹是椭圆， ② 错误. ③,动点 满足到 轴的距离比到 的距离小 1 , 当点 在 轴左侧或在 轴上时则动点 满足到直线 的距离和到 的距离相等,则 的轨迹是抛物线; 当点 在 轴右侧时,此时 的轨迹是射线 ,③不正确. ④,动点 满足 ,则 或 , 表示的是直线 在 圆外和圆上的部分; 表示一个圆,所以 的轨迹是圆和两条射线,④ 错误. 所以正确的有 0 个. 故选: 变式 1. 一动圆与圆 外切，与圆 内切，则该动圆圆心的轨迹是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】 【解析】由 可得, ,圆心为 ,半径 ; 由 可得 ,圆心为 ,半径 . 设动圆的圆心为 ,半径为 , 由于动圆和 外切,根据两圆外切的性质, , 由于动圆和 内切,根据两圆内切的性质, , 于是 , 即动点到 的距离之和是 12,且 12 大于两定点间距离 6, 根据椭圆的定义,动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选: 变式 2. 设定点 ,动点 满足条件 ,则点 的轨迹是 ( ) A. 椭圆 B. 线段 C. 射线 D. 椭圆或线段 【答案】 【解析】因为 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立, 当 时, ,而 ,此时点 的轨迹是线段 ; 当 时, , 此时点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆. 综上所述,点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆或线段 . 故选: . 【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程 典例 2. 平面内,动点 的坐标 满足方程 ,则动点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由题意,点 到两个定点 的距离之和等于常数 , 故根据椭圆的定义可知: 此点的轨迹为焦点在 轴上的椭圆,且 , 故 ,故椭圆的标准方程为 . 故选: 变式 1. 已知点 ,若动点 满足 ,则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】设 ,因为 , 故 ,即 . 故点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的下支, 且 ,故 . 所以点 的轨迹方程为 . 故选: . 变式 2. 已知点 ，直线 ，若动点 到点 和到直线 的距离相等，则点 的轨迹方程是_____. 【答案】 【解析】根据抛物线定义可知，点 在以 为焦点，直线 为准线的抛物线上， 所以 ，抛物线方程为 . 故答案为: . 【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值 典例 3. (2023·河南郑州·一模) 设 ， 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，点 . 当 取最小值时, 的值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由双曲线定义得 , 故 如图示,当 三点共线,即 在 位置时, 取最小值, ,故 方程为 , 联立 ，解得点 的坐标为 ( 为第一象限上的一点)， 故 ，故选: 变式 1. 已知动点 在椭圆 上，若点 ，点 满足 ，且 ，则 的最小值为 ( ) A. B. 3 C. D. 【答案】 【解析】椭圆 中, . 如图,由 得 , 当 取最小值时, 最小. 由题意得,点 为椭圆右焦点,当点 为椭圆的右顶点时, , . 故选: . 变式 2. 设 为双曲线 的左右焦点, 为双曲线右支上一点,点 ,当 取最小值时, 的值为_____. 【答案】 【解析】由双曲线为 ,则 为双曲线右支上一点, 则 ,即 故 , 当且仅当点 三点共线,且点 在点 之间时,等号成立, 由题意可得 ,又 ,则 ,即 , 代入 得, ,化简得 , 故 或 ，由 ，故舍去， 则 ，即点 ，则 故答案为: . 【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题 (周长问题) 核心方法:圆锥曲线定义 + 余弦定理 典例 4. 经过椭圆 的右焦点 的直线 交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长是 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】 【解析】 为椭圆 的两个焦点, , 的周长为 . 故选: . 变式 1. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ， . 若点 在 上，则 的周长为_____. 【答案】 6 【解析】因为 在椭圆 上，所以 ，得到 ， 又 ，所以 ，又 ，所以 ， 由椭圆的定义知， ，所以 的周长为 ，故答案为:6. 变式 2. 设圆 与两圆 中的一个内切，另一个外切. (1) 求圆心 的轨迹 的方程; (2) 过曲线 上一点 作斜率为 的直线 ，与曲线 交于另外一点 . 试求 的周长. 【答案】 【解析】(1) 圆 与两圆 中的一个内切,另一个外切, 则 , 所以 的轨迹是以 为焦点,2 为实轴长的双曲线, 其标准方程 (2) 过曲线 上一点 作斜率为 的直线 ， 其方程 ，恰好经过 ， 在线段 上， ， 即 所以 的周长 【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题 (面积问题) 核心方法: 圆锥曲线定义 + 正、余弦定理 + 面积公式 + 基本不等式 典例 5. 设 是双曲线 的两个焦点, 为坐标原点,点 在 上且 ,则 面积为_____. 【答案】 3 【解析】由题意得双曲线中 ,则其焦点坐标 , 根据双曲线对称性,不妨假设点 在第一象限, 设 ，其中 ， 因为 ，则 ， 根据勾股定理知 ，即 ，解得 (负舍)， 则 ，则 面积为 . 变式 1. 已知点 在椭圆 上， ， 是椭圆的左、右焦点，若 ，且 的面积为 ，则 的最小值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 【解析】如图所示: 不妨设 , 则可知 , 两式相除可得 ，所以 ， 又 ，所以 ，可得 ， 由椭圆的定义，得 (当且仅当 时等号成立)， 所以 . 故选: . 变式 2. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，点 为双曲线上一点，若 到原点的距离 ，则 的面积是_____. 【答案】 16 【解析】如下图所示: 不妨取点 在双曲线的右支上，由 可得点 在圆 上， 又易知 ，所以 即为圆 的直径， 所以 ， 利用双曲线定义可得 ,利用勾股定理可得 , 所以 ,可得 , 因此 的面积为 . 故答案为: 16 【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题 (其他问题) 典例 6. (多选) (较难) 已知椭圆 上有一点 分别为左、右焦点, 的面积为 ,则下列选项正确的是 ( ) A. 若 ,则 B. 使得 为直角三角形的点 共 6 个 C. 若 为钝角三角形,则 D. 的最大值是 9 【答案】 【解析】对于 ,由 ,得 ,则 , 设 ,则由椭圆的定义 , 在 中, ,则余弦定理得 , ,所以 ,得 , 所以 的面积为 ,所以 正确, 对于 ,当 时, 为直角三角形的点 有 2 个,当 时, 为直角三角形的点 有 2 个, 设椭圆的上顶点为 ,则 ,在 中, 所以 为锐角,所以在 中 不可能为是直角, 综上,使得 为直角三角形的点 共 4 个,所以 错误, 对于 ,设 ,由选项 可知,当 时, 为钝角三角形, 当 时, ,得 , 所以 时, , 所以 ,即 ,所以 正确, 对于 ，因为 ，所以 ， 当且仅当 时取等号, 所以 ，当且仅当 时取等号， 所以 的最大值为 16 ，所以 错误，故选: 变式 1. (多选) 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上， 的面积为 6 ，则 ( ) A. 点 的横坐标为 B. 的周长为 16 C. 的内切圆的半径为 D. 的外接圆的半径为 【答案】 【解析】由题意知 ,则 . 对于 选项,因为 ,解得 ,又 , 则 ,故 错误; 对于 选项, 的周长为 ,故 正确; 对于 选项,设 的内切圆的半径 ,则 , 又 ,解得 ,故 正确; 对于 选项,在 中, 由 ,解得 , 又 , 即 , 整理得: ,即 ,即 , 又 ,解得 , 设 的外接圆的半径为 , 由正弦定理知: ,即 ,解得 ,故 正确. 故选: . 变式 2. (多选) 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ,且它们的离心率之积为 ,点 是 与 的一个公共点,则( ) A. 椭圆 的方程为 B. C. 为等腰三角形 D. 对于 上的任意一点 【答案】 【解析】 由双曲线 的方程可知,双曲线的焦点 , 离心率为 , 所以椭圆的焦点为 ,离心率为 , 所以椭圆中， ， ， ， 所以椭圆 的方程为 ， 正确； 因为点 是 与 的一个公共点， 所以点 在双曲线上， 所以根据双曲线的定义可知, ,且 , 所以 正确; 根据对称性,不妨设 ,则 , 又根据椭圆的定义可知, , 所以联立 ,解得 , ,所以 ,所以 为等腰三角形, 正确; 设 ,则 , 所以 , 解得 ,此时 , 所以存在点 的坐标为 或 或 或 , 使得 错误; 故选: . 【考点题型七】圆锥曲线中线段和差最值问题 典例 7. 已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，点 ， 是 上一点，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】设椭圆 的左焦点为 ，则由椭圆的定义知 ， 所以 . 当 三点共线时， ， 所以 的最小值为 . 故选: . 变式 1. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为 上任意一点， 为圆 上任意一点，则 的最小值为_____. 【答案】 5 【解析】 由椭圆 可知椭圆的实轴长 ， 圆 的圆心 ，半径 ， 由已知圆上任意一点 到 得距离 , 所以 , 又根据椭圆定义 ， 则 ， 当且仅当 都在线段 上时，等号成立，故答案为:5. 变式 2. 已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ， 为双曲线右支上一点，点 的坐标为 ， 则 的最小值为_____. 【答案】 【解析】 由双曲线方程知: ,则 , 由双曲线定义知: , (当且仅当 在线段 上时取等号), 又 . 故答案为: . 【考点题型八】求圆锥曲线方程 典例 8 . 一动圆与圆 和 都外切,则动圆的圆心的轨迹方程为_____. 【答案】 【解析】圆 的圆心 ,半径 , 圆 的圆心 ,半径 , 设动圆的圆心 ，半径为 ，依题意， ， 则 ， 因此动圆的圆心 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 6 的双曲线下支， 实半轴长 ，半焦距 ，虚半轴长 ，方程为 . 变式 1. 在直角坐标平面内，已知 ， ，若 ，则点 所在曲线的方程为_____. 【答案】 【解析】因为在直角坐标平面内,已知 , 所以点 满足双曲线的定义,到 与到 的距离的差是常数 2,轨迹是双曲线的一支. 由题意可知 ，所以 ， 所求的点 所在曲线的方程为: ，即 . 变式 2. 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点分别是 ，并且椭圆经过点 ； (2) 经过两点 . 【答案】 【解析】(1)法 1:由题意可知椭圆的焦点在 轴上，设它的标准方程为 ， 由已知得 ， 又因为 ，所以 ， 因为点 在椭圆上，所以 ，即 ， 从而有 ，解得 或 (舍去)， 因此 , 从而所求椭圆的标准方程为 . 法 2: 由题意可知椭圆的焦点在 轴上,且 , 所以 , 故 , 从而所求椭圆的标准方程为 . (2) 设椭圆的方程为 , 因为椭圆经过两点 , 所以 ,解得 , 即椭圆方程为 ，故椭圆的标准方程为: . 【考点题型九】判断方程为椭圆、双曲线的条件 典例 9. 已知曲线 . 下列正确的是 ( ) A. 若 ,则 是椭圆，其焦点在 轴上 B. 若 ，则 是圆，其半径为 C. 若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为 D. 若 ，则 是两条直线 【答案】 【解析】对于 ,若 ,则 化为 ,由 ,得 , 因此曲线 表示焦点在 轴上的椭圆, 正确; 对于 ,若 ,则 化为 , 此时曲线 表示圆心在原点,半径为 的圆, 错误; 对于 ,若 ,则 化为 ,此时曲线 表示双曲线, 由 得渐近线方程为 错误; 对于 ,方程 ,若 ,方程不表示任何曲线, 错误. 故选: 变式 1. (多选) 若方程 所表示的曲线为 ，则( ) A. 曲线 可能是圆 B. 若 ，则 不一定是椭圆 C. 若 为椭圆，且焦点在 轴上，则 D. 若 为双曲线，且焦点在 轴上，则 【答案】 【解析】对于 ,当 时,曲线 的方程为 ,所以曲线 可能是圆,不一定是椭圆故 正确; 对于 ,若 为椭圆,且焦点在 轴上,则 ,解得 ,故 正确; 对于 ,若 为双曲线,且焦点在 轴上,则 ,解得 ,故 错误. 故选: . 变式 2. (多选) 若方程 所表示的曲线为 ,则下列说法错误的是 ( ) A. 若 为椭圆，则 B. 若 为双曲线，则 或 C. 若 为椭圆，则焦距为定值 D. 若 为双曲线，则焦距为定值 【答案】 【解析】方程 ，由 ，解得 ，此时曲线是椭圆，所以 不正确. 由 得 或 ，此时表示的曲线是双曲线，所以 正确， 当 ，解得 ，此时曲线表示焦点在 轴上的椭圆， 故焦距为 ，不为定值，故 错误， 当 ，解得 时，此时曲线表示焦点在 轴上的双曲线， 则焦距为 ，不为定值，故 错误， 故选: . 【考点题型十】圆锥曲线中的离心率 (定值) 典例 10. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 过点 ,若点 关于 的对称点 恰好在双曲线 右支上,且 ,则 的离心率为( ) A. B. C. D. 2 【答案】 【解析】 设 , 由已知可得, , 根据双曲线的定义有 . 又 ,所以 . 在 中,由余弦定理可得, , 即 , 整理可得 , 等式两边同时除以 可得, , 解得 或 (舍去), 所以 . 故选: . 变式 1. 已知 分别为椭圆 的左、右顶点, ,直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，且 平分 ，则此椭圆的离心率为_____. 【答案】 【解析】如图，由题意可知 ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 平分 ，所以 ， 解得 ,所以 ,所以离心率 ,故答案为: . 变式 2. 已知双曲线 的左焦点为 ,过 的直线 交圆 于 两点，交 的右支于点 ，若 ，则 的离心率为_____. 【答案】 【解析】设 的半焦距为 ，如图，设 为坐标原点， 的中点为 ， 的右焦点为 ，连接 ， ， . 因为 ，所以 也是 的中点. 设 ， 由双曲线的定义得 ,所以 , 在 Rt 中,由 ,得 ,所以 , 在 Rt 中,由 ,得 . 故答案为: . 【考点题型十一】圆锥曲线中的离心率 (最值 + 范围) 典例 11. 已知 为坐标原点, 是椭圆 的左焦点. 若椭圆 上存在两点 满足 ,且 关于原点 对称,则椭圆 的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】设椭圆 的右焦点为 ,连接 . 由椭圆的性质得, ,即椭圆上存在点 ,满足 ,即以 为直径的圆与椭圆有公共点. 设椭圆 的半焦距为 ，所以只需 ，所以 ，即 ， 所以椭圆 的离心率的取值范围为 . 故选: 变式 1. 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点,且 ,若在直线 上存在 ，使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由题意可得 , 设直线 与 轴交于点 ,则 , 所以 即 ,即 ,故 , 又 ,所以 . 所以椭圆离心率的取值范围是 . 故选: . 变式 2. 已知双曲线 的左焦点为 ,若双曲线右支上存在点 满足 ( 为坐标原点),则双曲线 的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】设 ,则 , 则 , 令 , 则 在 上单调递增,所以当 时, , 要使双曲线右支上存在点 满足 ,则 . 故 ,即 ,又因为 ,所以双曲线 的离心率的取值范围是 . 故答案为: 【考点题型十二】抛物线中的和差最值问题 典例 12. 已知抛物线 的焦点为 . 点 是 上一个动点,则 的最小值为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】 【解析】 由题意得 ，准线为 ，点 在抛物线 的内部， 过点 作 垂直于准线，垂足为 ，过点 作 垂直于准线，垂足为 ， 则有 ， 当且仅当， 为 与抛物线的交点时，等号成立， 所以 的最小值为 6 . 故选: . 变式 1. 已知点 ，抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一动点，当 运动到 时， ，则 的最小值为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】 【解析】由抛物线的定义可知， ， 所以 ,所以抛物线的方程为 , 过点 作 垂直抛物线的准线,垂足为 , 则 , 当且仅当 和 三点共线时等号成立. 故选: . 变式 2. 已知抛物线 的准线为 ，点 的坐标为 ，点 在抛物线上，点 到直线 的距离为 ， 则 的最大值为 ( ) A. B. C. 1 D. 【答案】 【解析】抛物线 的焦点 ，依题意， ，则 ， 当且仅当点 共线,即点 为抛物线顶点时取 “ ”, 所以 的最大值为 . 故选: 【考点题型十三】抛物线中焦半径问题 典例 13. 已知 为抛物线 的焦点,点 在抛物线上, 为 的重心,则 ( ) A. 27 B. 18 C. D. 9 【答案】 【解析】由题意 , 设 是 的重心,则 , ,故选: . 变式 1. 点 抛物线 的焦点， 为抛物线上三点，若 ，则 ( ) A. 2 B. C. 3 D. 【答案】 【解析】设 , 由 ,得 ,所以 ,准线方程为 , 因为 ,所以 为 的重心, 所以 ,所以 , 所以 ,故选: 【考点题型十四】抛物线的标准方程 典例 14. 以 为焦点的抛物线的标准方程是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】因为抛物线焦点为 ,所以可设抛物线方程为 , 且 ，则 ，所以抛物线方程为 . 故选: . 变式 1. 已知抛物线 的顶点在原点，焦点 在坐标轴上，点 关于其准线的对称点为 ，则 的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由题意，设抛物线的方程为 ， 可得焦点坐标 ，准线方程为 ， 设焦点 关于准线 的对称点为 ，可得 ，解得 ， 因为点 关于其准线的对称点为 ，可得 ，解得 ， 所以抛物线的方程为 . 故选: . 变式 2. 已知点 到点 的距离比它到直线 的距离小 1，则点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由题意,点 到点 的距离等于它到直线 的距离, 则点 的轨迹是以 为焦点, 为准线的抛物线,则点 的轨迹方程为 ,故选: . 变式 3. 到点 的距离比到直线 的距离小 1 的动点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由题意可知,动点 到点 的距离等于到直线 的距离, 故点 的轨迹为以点 为焦点,以直线 为准线的抛物线,其轨迹方程为 . 故选: . 【考点题型十五】圆锥曲线中新定义题 (小题) 典例 15. 在平面直角坐标系中,定义 为两点 的 “切比雪夫距离”,又设点 与直线 上任意一点 ,称 的最小值为点 与直线 间的 “切比雪夫距离”,记作 ，给定下列两个命题:① 已知点 ，直线 ，则 ；② 定点 、 ，动点 满足 ，则点 的轨迹与直线 ( 为常数) 有且仅有 2 个公共点; 下列说法正确的选项是 ( ) A. 命题①成立，命题②不成立 B. 命题①不成立，命题②成立 C. 命题①②都成立 D. 命题①②都不成立 【答案】 【解析】设点 是直线 上一点,且 ,可得 由 ,解得 ,即有 , 由 ,解得 或 , 所以 故①正确； 对于②，定点 、 ，动点 满足 ， 则: ，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称， 故不妨设 ， 当 时，有 ，得: ； 当 时，有 ，此时无解； 当 时，有 ； 则点 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知,点 的轨迹与直线 ( 为常数) 有且仅有 2 个公共点,因此②正确. 故选: . 变式 1 . 如图,已知半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为 “果圆”,其中 . “果圆”与 轴的交点分别为 ,与 轴的交点分别为 ,点 为半椭圆 上一点 (不与 重合),若存在 ,则半椭圆 的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 (解法 1) 设 , 因为 ,所以 . ,所以 . 因为 ,所以 . 因为 ,所以 ,即 ,解得 . (解法 2) 设 , 因为 ,所以 , 所以 . 因为 ,所以 . 因为存在 ,所以 在 上有解. 因为 ,且 , 所以 在 上有解， 即 在 上有解. 因为 ，所以 ，即 解得 . 故选: . 变式 2. (较难) 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为 “四叶玫瑰线” (如图所示). 给出下列三个结论: ① 曲线 关于直线 对称; ② 曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ; ③存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，使曲线 在此正方形区域内 (含边界). 其中，正确结论的序号是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】 【解析】对于①，设点 是曲线 上任一点，则有 ， 易得 也成立,即点 也在曲线 上,故曲线 关于直线 对称,①正确; 对于②，不妨设点 为曲线 上的任一点， 则 ，化简得 ，当且仅当 时取等号， 于是 ，即得 ，故可得曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 2，故② 正确； 对于③，联立 ，解得 ， 从而可得四个交点坐标分别为 , 依题意满足条件的最小正方形是各边以 为中点,边长为 4 的正方形 (如图), 故不存在一个以原点为中心、边长为 的正方形,使曲线 在此正方形区域内 (含边界),即③ 错误. 故选: . 考点闯关 题目 1. (翰林高级期中) 吹奏乐器“损” (如图 1) 在古代通常是用陶土烧制的, 一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆 ( ， 且为常数) 和半圆 组成的曲线 如图 2 所示，曲线 交 轴的负半轴于点 ，交 轴的正半轴于点 ，点 是半圆上任意一点，当点 的坐标为 时， 的面积最大，则半椭圆的方程是( ) 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】 【解析】由点 在半圆上,所以 , 由椭圆可知图中 , 要使 的面积最大,可平行移动 ,当 与半圆相切于 时, 到直线 的距离最大,此时 ,即 , 又 , , 所以半椭圆的方程为 ,故选: . 题目 2. (东莞中学期中) 已知双曲线 的离心率为 ,则 渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】双曲线 的离心率为 , 故 ，则 ，故渐近线方程为 ，故选: 题目 3. (东莞五校联考) 抛物线 的焦点坐标为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】抛物线 化为标准方程可得 ,故 ,焦点坐标为 . 故选: . 题目 4. (东莞中学期中) 已知抛物线 的准线为 ，则 与直线 的交点坐标为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 的准线方程为 , 当 时， ，解得 ，故交点为 ，故选: 题目 5. (东莞五校联考) 已知椭圆 的右焦点为 是椭圆上任意一点，点 ，则 的周长的最大值为 ( ) A. B. 14 C. D. 【答案】 【解析】由椭圆方程 得 . 设椭圆的左焦点为 , , 则 的周长为 当且仅当 三点共线,且 在 的延长线上时取等号. 的周长最大值为 14 . 故选: . 题目 6. (东莞中学松山湖期中) 已知椭圆 ,点 为左焦点,点 为下顶点,平行于 的直线 交椭圆于 两点,且 的中点为 ,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】椭圆 ,左焦点 ,下顶点 , 设 , 的中点为 . . 由 , 两式相减得 , 可化为 , 得 ,即 ,两边平方得 , 化为: ,解得 , 又 ,解得 . 故选: . 题目 7. (翰林高级期中) 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 上,过点 作两条渐近线的垂线,垂足分别为 ,若 ,且 ,则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 2 【答案】 【解析】设 ,则 ,即 , 双曲线 的渐近线方程为 , 所以 , 又 ,平方后得 , 又在 中,由 可得 ,所以 , 两式相减,整理得 ,所以 , 因为 ,所以 ,解得 . 故选: . 题目 8 (东莞五校联考) 已知 是双曲线 的左、右焦点,过 的直线与 的左、右两支分别交于 两点. 若 ，则双曲线的离心率为() A. 2 B. C. D. 【答案】 【解析】因为 ，不妨令 ， ， ， 因为 ，所以 ， 又由双曲线定义得: , 所以 ,所以 , 所以 ,所以 , 在直角三角形 中, ,又 , 所以 ,所以双曲线离心率为 . 故选: . 题目 9. (东莞中学期中) 已知 是椭圆 上的动点: 若动点 到定点 的距离 的最小值为 1,则椭圆 的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由题意可设: , 则 令 ,则 , 当 ,则 , 可知 的图象开口向上,对称轴为 , 当 ,即 时,可知 在 上的最小值为 , 则 ,整理得 ,解得 ,不合题意: 当 ，即 时，可知 在 内的最小值为 ，符合题意； 综上所述: . 可得椭圆 的离心率 . 故选: . 题目 10. (东莞五校联考) (多选) 人教 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹: 椭圆》中探究得出椭圆 上动点 到左焦点 的距离和动点 到直线 的距离之比是常数 . 已知椭圆 为左焦点,直线 与 轴相交于点 ,过 的直线与椭圆 相交于 两点 (点 在 轴上方),分别过点 向 作垂线,垂足为 ,则 ( ) A. B. C. 直线 与椭圆相切时, D. 【答案】 【解析】 对 : 由条件知: ,故 ,故 正确; 对 : 作 轴于 ,则 , ,所以 ,故 正确; 对 : 同 知: , 因为 ,所以 , 所以 ,即 平分 , 由角平分线性质知 即 ,故 正确; 对 下面证明当且仅当 时 与椭圆相切, 因为 ，所以 时当且仅当 ，此时点 是唯一的，故 与椭圆相切 当 时， ，满足条件的 有两个，即点 有两个，此时 与椭圆相交， 故当且仅当 时 与椭圆相切，此时 ，故 错误. 故选: 题目 11. (东莞中学期中) (多选) 已知椭圆 的右焦点为 ，抛物线 以 为焦点，过 的直线 交抛物线 于 两点,下列说法正确的是 ( ) A. 若 ，则 B. ，直线 的倾斜角为 或 C. 若 为抛物线 上一点，则 的最小值为 D. 的最小值为 9 【答案】 【解析】 选项，由题意得 ，故抛物线方程为 , 由抛物线定义得 正确； 选项,由于直线 的斜率为 0 时,与抛物线只有一个交点,不合要求,舍去, 设直线 ,联立 ,得 , 设 ,由于 ,则 由韦达定理得 , 故 ,解得 , 故直线 的斜率为 ,倾斜角不为 或 错误; 选项,由题意得,准线方程为 ,过点 作 垂直于直线 于点 , 由抛物线定义得 ,故 , 要想求得 的最小值,则过点 作 垂直于直线 于点 , 故 的最小值为 ,最小值为 错误; 选项,由题意得 ,由于 ,故 , 因为 ,由基本不等式得 , 当且仅当 时,等号成立, 故 的最小值为 正确. 故选: 题目 12. (东莞五校联考) 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,且其右焦点为 ，则双曲线 的标准方程为_____. 【答案】 【解析】由题知双曲线 的焦点在 轴上，所以 ，即 ， 又 ，联立 ，求解得 ， ，所以双曲线 的标准方程为 . 故答案为: 题目 13. (翰林高级期中) 已知 分别是椭圆 的左、右焦点，若椭圆 上存在点 使得线段 的中垂线恰好经过焦点 ，则椭圆 离心率的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 如图, 线段 的中垂线经过 , ,即椭圆上存在一点 ,使得 . . 题目 14. (东莞中学期中) 已知 、 、 分别是椭圆 的左、右焦点和上顶点,连接 并延长交椭圆 于点 ，若 为等腰三角形，则椭圆 的离心率为_____. 【答案】 . 【解析】由 为等腰三角形,则有 ,而 , 又 , 若 ,则 , 所以 , 在 中 , 在 中 , ,即 ,整理得 ,则 . 故答案为: . 题目 15. (东莞中学松山湖期中) 已知点 是抛物线 上一点,点 是抛物线 的焦点, 为 上异于 的两动点,且 ,则 的最小值为_____. 【答案】 11 【解析】 因为 在抛物线 上, 所以 ,得 ,因此抛物线 令 ,则 因为 ,所以 , 化简得 ,令 ,则 , 结合二次函数性质,当 时,取得最小值, 即 的最小值为 ,故答案为: 11 . 题目 16. (东莞中学期中) 已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】当 时，曲线方程可化为 ； 当 时，曲线方程可化为 ； 当 时，曲线方程可化为 ，即曲线 不出现在第三象限； 当 时，曲线方程可化为 ， 作出曲线 的图形如下图所示: 设 ,即 , 由图可知,当直线 与圆 相切,且切点在第一象限时, 则 ,且 ,解得 , 由因为双曲线 的渐近线方程均为 , 当直线 与直线 重合时, , 所以, ,故 . 故答案为: . 学科网（北京）股份有限公司 遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存在斜率 遇到过轴上定点的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中有可能不存在斜率，但斜率一般不会为0，这样设一方面可以避免分类讨论，另一方面可以减少一些计算量 1正设法 6．（2020•辽宁模拟）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得，由题意可得公共弦长为直径，求得，进而得到所求椭圆方程； （2）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，结合基本不等式即可得到存在和的横坐标的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以， 由椭圆与圆的公共弦长为，恰为圆的直径， 可得椭圆经过点，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （Ⅱ）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，． 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则． 联立和，得，故， 所以，，因为，所以， 即，所以， 当时，，所以． 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为． 7．（2018•凉山州模拟）已知、分别是椭圆的左、右焦点． （1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【分析】（1）求得椭圆的，，，可得左右焦点，设，，，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得的坐标； （2）显然不满足题意，可设的方程为，设，，，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求的范围． 【解答】解：（1）椭圆方程为，知，，，可得，， 设，，，则， 又，联立，解得，即为； （2）显然不满足题意，可设的方程为， 设，，，，联立， 由△，得．，． 又为锐角，即为，即，， 又， 可得．又，即为，解得． 8．（2018•怀化三模）如图，椭圆的离心率为，点为椭圆上的一点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值． 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【解答】解：（Ⅰ），，①， 又椭圆过点，②由①②解得，， 所以椭圆的标准方程为； （Ⅱ）证明：设直线，联立得：， 设，，，，则有，． 易知，故 为定值． 9．（2017•山西二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得，由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程； 方法二、运用在椭圆上，代入椭圆方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线的方程为，设，，，，，，，，的中点为，，联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，为线段的中点，则为线段的中点，求得的范围，即可判断． 【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆的焦距为，则， 因为在椭圆上，所以， 因此，，故椭圆的方程为； 方法二：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上， 所以，，，解得，，故椭圆的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为， 设，，，，，，，，的中点为，， 由消去，得，所以，且△ 故 且，由，知四边形为平行四边形， 而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得， 又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线． 10．（2016春•眉山校级期中）已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，，，两点，且，求直线的方程． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得，求得直线的方程，运用点到直线的距离公式，可得，进而得到，可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得，进而得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）过点，的直线倾斜角为， 可得，即有直线的方程为， 原点到该直线的距离为，可得，解得，， 则椭圆方程为； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得 ，△恒成立， 由，，，， 可得，，又， 即有，， 可得， 解得舍去）． 则直线的方程为． 11．（2016•连云港模拟）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，若点，，且． （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点．线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合． ①若点，直线过点，求直线的方程； ②若直线过点，且与轴的交点为．求点横坐标的取值范围． 【分析】（1）设，由向量共线的坐标表示，可得的坐标，代入椭圆方程，可得，的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值； （2）①由题意可得，，，可得椭圆方程，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，进而得到所求直线方程； ②设直线的方程为，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得，再由中点在椭圆内，可得的范围，再由直线的方程可得的横坐标的范围． 【解答】解：（1）设，由， 可得，，可得，，即，， 即有，即为，，则； （2）①由题意可得，，， 即有椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， ，的中点为，， 由题意可得直线的斜率为， 解得或，即有直线的方程为或； ②设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，，可得， 即有的中点为，，由题意可得直线的斜率为， 化简可得，中点坐标即为，， 由中点在椭圆内，可得，解得， 由直线的方程为，可得的横坐标为，可得范围是，，． 12．（2016•苏州二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右焦点分别是，，右顶点、上顶点分别为，，原点到直线的距离等于 （1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由 【分析】（1）求得，的坐标，可得的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （2）点在以为直径的圆上由题意可得直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得的值，可得，，从而可得直线的方程，求得的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得点，， 直线的方程为，即由题设，得， 化简，得①，由，即为，即② 由①②，解得，可得椭圆的方程为； （2）点在以为直径的圆上 由题设，直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 则△，化简，得，所以， 由点在第二象限，可得，把代入方程，得， 解得，从而，所以，从而直线的方程为：， 令，得，所以点从而，， 从而 ， 又，，所以点在以为直径的圆上 13．（2019•天津）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为．已知为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且．求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，再由离心率公式可得所求值； （Ⅱ）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程． 【解答】解：（Ⅰ），即为，可得； （Ⅱ），，即，， 可得椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，解得或， 代入直线方程可得或（舍去），可得， 圆心在直线上，且，可设，可得，解得， 即有，可得圆的半径为2，由直线和圆相切的条件为， 可得，解得，可得，，可得椭圆方程为． 14．（2016•陕县校级模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，且抛物线的焦点是椭圆一个焦点，以椭圆的长轴两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形面积为6． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，又点，，求面积最大时对应的直线的方程． 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点坐标，求得，由三角形的面积公式可知，根据椭圆的性质，，即可求得和的值，求得椭圆方程； （Ⅱ）求得直线方程，并将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得求得及，由弦长公式求得，根据点到直线的距离公式，求得，根据三角形的面公式及基本不等式的性质即可求得的值，求得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆， 由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得：， 由椭圆的性质可知：， ，，即，，即， ，，椭圆 （Ⅱ）设，，，，， 与，联立得：， △，可知：， 由韦达定理可知：，， ， 到的距离， 当即时，最大，对应的直线的方程为 日期：2020/11/20 11:28:09；用户：张伍；邮箱：zhb157@126.com；学号：19915 二反设法 3．（2020•江西模拟）已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且，，成等比数列． （1）求椭圆的方程． （2）斜率不为0的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求为坐标原点）面积的取值范围． 【分析】（1）由题可列方程组，解得，，又，解得，进而可得椭圆的方程． （2）设直线的方程为，，联立椭圆的方程得：，，，再分析原点到直线的距离，表示的面积，化简再求出答案． 【解答】设直线的方程为，，代入椭圆的方程得： ，， ，原点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，． 8．（2016秋•台州期末）已知椭圆． （1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，过点作的垂线，交直线于点，若的最小值为，试求椭圆率心率的取值范围． 【分析】（1）由已知可得：，，，解得，即可． （2）设直线的方程，，，坐标，．联立，化为：．．．即可求得椭圆率心率的取值范围 【解答】解：（1）由已知可得：，，，解得，，． 椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为：，，，，． ．联立，化为：． ，， ． ．令，， 上式在时恒成立，椭圆率心率的取值范围为 9．（2017•浙江模拟）已知椭圆，点，分别是椭圆的右焦点与上顶点，为坐标原点，记的周长与面积分别为和． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）如图，过点的直线交椭圆于，两点，过点作的垂线，交直线于点，当取最小值时，求的最小值． 【分析】（Ⅰ），当且仅当时，的最小值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为．此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为．可得．设直线，令得 ，． 【解答】解：（Ⅰ）的周长．的面积． ， 当且仅当时，的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为． 此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为． 联立，整理得：． ， ． 当时，垂直横轴，与横轴重合，此时，， ． 当时，设直线，令得 综上所述：当且仅当时，取最小值为． 10．（2018秋•城厢区校级月考）已知椭圆的离心率为，过其右焦点作与轴垂直的直线与该椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连接、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的方程． （2）设直线的方程为，联立，得，设，，，，由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线，的斜率之积为定值． 【解答】（13分）解：（1）直线过右焦点且与轴垂直， ． 又椭圆的离心率为，且， ， 解得，，故椭圆的方程为． （2）由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消去得 设，，，， 则 ，，三点共线，，即 同理可得， 而 故直线，的斜率之积为定值． 13．（2018秋•市中区校级月考）已知椭圆的上顶点为点，右焦点为．延长交椭圆于点，且满足． （1）试求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于，两点，设椭圆的左顶点为点，且直线，分别与直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由． 【分析】（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为．利用，推出，，代入椭圆方程，结合焦点坐标求解，，得到椭圆方程． （2）设，，，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用，，三点共线，求出，的坐标分别为，，然后求解斜率，化简即可． 【解答】解：（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为． ，可得，又，， 代入可得， 又，解得，，即椭圆的标准方程为． （2）设，，，，，，． 由题意可设直线的方程为， 联立消去，得， 根据，，三点共线，可得， ．同理可得， ，的坐标分别为，， 与之积为定值，且该定值是． 16．（2020秋•香坊区校级月考）设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，且． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求椭圆的方程． 【分析】（1）由题意设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由向量的关系求出，的坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得，，之间的关系，再由椭圆性质可得离心率的值； （2）由（1）求出弦长，由题意可得，的值，进而求出椭圆的方程． 【解答】解：（1）由题意设直线的方程为：，设，，，，设在轴上方，即，可得，，，， 又因为，所以可得，，所以， 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， ，，将，代入可得，， 所以可得，整理可得：而， 所以可得，（舍或，所以可得离心率； （2）由（1）可得，所以，， 所以弦长， 解得：，所以，所以椭圆的方程为：． 18．（2016•浙江）如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得值； （Ⅱ）设出直线的方程，与抛物线联立，求出的坐标，求出直线，的斜率，从而求出直线的方程，根据、、三点共线，可求出的横坐标的表达式，从而求出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义得，，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为，，可设，，，， 不垂直轴，设直线， 联立，得．，， 又直线的斜率为，故直线的斜率为， 从而得，直线， 则，设，由、、三点共线，得， 于是，得或．经检验，或满足题意． 点的横坐标的取值范围为，，． 19．（2017秋•七里河区校级期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于． （1）求的值； （2）是否存在正数，对于过点且与抛物线有两个交点、的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的定义，求出，然后求解平曲线方程； （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，．设的方程为，由，得，利用判别式以及韦达定理，通过，对任意实数得到，求解即可． 【解答（1）抛物线上的点到轴的距离等于，由定义抛物线可知． （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，． 设的方程为，由，得， △，于是① 又，，，， ．② 又，于是不等式②等价于， 即．③ 由①式，不等式③等价于．④ 对任意实数，的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于， 即． 由此可知，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有，且的取值范围是，． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 $ 专题 5 圆锥曲线核心题型突破 回归教材知识点 一、椭圆的定义、方程、图形及性质 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 二、双曲线的定义、方程、图形与性质 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 ( A 2 ) 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 三、抛物线的定义、方程、图形及性质 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 四、直线与曲线的联立 （1）椭圆与直线相交于两点，设， ， 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 注意： ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系． ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述． （2）抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析． 总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式． 根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件． （2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． （3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． （4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把b2换成－b2即可； 焦点在y轴的双曲线，把a2换成－b2即可，b2换成a2即可． （5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标． 五、弦长问题 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 注意：（1）上述表达式中，当为，时，； （2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． （3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． （4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单． （5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式． 中点弦问题 （1）是椭圆（a＞b＞0）的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得 所以 即，故 （2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线（a＞b＞0）的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则． 考点梳理 【考点题型一】椭圆，双曲线，抛物线定义辨析 【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程 【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值 【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题(周长问题) 【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题(面积问题) 【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题(其他问题) 【考点题型七】圆锥曲线中线段和差最值问题 【考点题型八】求圆锥曲线方程 【考点题型九】判断方程为椭圆、双曲线的条件 【考点题型十】圆锥曲线中的离心率 (定值) 【考点题型十一】圆锥曲线中的离心率 (最值 + 范围) 【考点题型十二】抛物线中的和差最值问题 【考点题型十三】抛物线中焦半径问题 【考点题型十四】抛物线的标准方程 【考点题型十五】圆锥曲线中新定义题 (小题) 【考点题型一】椭圆, 双曲线, 抛物线定义辨析 典例 1. 下列说法正确的个数是 ( ) ① 动点 满足 ，则 的轨迹是椭圆 ② 动点 满足 ，则 的轨迹是双曲线 ③动点 满足到 轴的距离比到 的距离小 1 ，则 的轨迹是抛物线 ④ 动点 满足 ，则 的轨迹是圆和一条直线( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式 1 . 一动圆与圆 外切，与圆 内切，则该动圆圆心的轨迹是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 变式 2. 设定点 ,动点 满足条件 ,则点 的轨迹是 ( ) A. 椭圆 B. 线段 C. 射线 D. 椭圆或线段 【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程 典例 2. 平面内，动点 的坐标 满足方程 ，则动点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 变式 1. 已知点 ，若动点 满足 ，则点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 变式 2. 已知点 ，直线 ，若动点 到点 和到直线 的距离相等，则点 的轨迹方程是_____. 【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值 典例 3. (2023·河南郑州·一模) 设 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，点 . 当 取最小值时， 的值为 ( ) A. B. C. D. 变式 1. 已知动点 在椭圆 上，若点 ，点 满足 ，且 ，则 的最小值为 ( ) A. B. 3 C. D. 变式 2. 设 为双曲线 的左右焦点， 为双曲线右支上一点，点 ，当 取最小值时， 的值为_____. 【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题 (周长问题) 核心方法:圆锥曲线定义 + 余弦定理 典例 4. 经过椭圆 的右焦点 的直线 交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长是 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 变式 1. 设椭圆 的左、右焦点分别为 . 若点 在 上,则 的周长为_____. 变式 2. 设圆 与两圆 中的一个内切,另一个外切. (1)求圆心 的轨迹 的方程； (2)过曲线 上一点 作斜率为 的直线 ，与曲线 交于另外一点 . 试求 的周长. 【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题 (面积问题) 核心方法:圆锥曲线定义 + 正、余弦定理 + 面积公式 + 基本不等式 典例 5. 设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 面积为_____. 变式 1. 已知点 在椭圆 上， ， 是椭圆的左、右焦点，若 ，且 的面积为 ，则 的最小值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式 2. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，点 为双曲线上一点，若 到原点的距离 ，则 的面积是_____. 【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题 (其他问题) 典例 6. (多选) (较难) 已知椭圆 上有一点 分别为左、右焦点， 的面积为 ，则下列选项正确的是 ( ) A. 若 ，则 B. 使得 为直角三角形的点 共 6 个 C. 若 为钝角三角形,则 D. 的最大值是 9 变式 1. (多选) 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上， 的面积为 6 ，则 ( ) A. 点 的横坐标为 B. 的周长为 16 C. 的内切圆的半径为 D. 的外接圆的半径为 变式 2. (多选) 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ,且它们的离心率之积为 ，点 是 与 的一个公共点，则( ) A. 椭圆 的方程为 B. C. 为等腰三角形 D. 对于 上的任意一点 【考点题型七】圆锥曲线中线段和差最值问题 典例 7. 已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，点 ， 是 上一点，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 变式 1. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为 上任意一点, 为圆 上任意一点,则 的最小值为_____. 变式 2. 已知双曲线 的左右焦点分别为 、 为双曲线右支上一点，点 的坐标为 ， 则 的最小值为_____. 【考点题型八】求圆锥曲线方程 典例 8. 一动圆与圆 和 都外切,则动圆的圆心的轨迹方程为_____. 变式 1. 在直角坐标平面内，已知 ， ，若 ，则点 所在曲线的方程为_____. 变式 2. 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点分别是 ，并且椭圆经过点 ； (2)经过两点 、 . 【考点题型九】判断方程为椭圆、双曲线的条件 典例 9. 已知曲线 . 下列正确的是( ) A. 若 ,则 是椭圆,其焦点在 轴上 B. 若 ,则 是圆,其半径为 C. 若 ,则 是双曲线,其渐近线方程为 D. 若 ,则 是两条直线 变式 1. (多选) 若方程 所表示的曲线为 ，则( ) A. 曲线 可能是圆 B. 若 ，则 不一定是椭圆 C. 若 为椭圆，且焦点在 轴上，则 D. 若 为双曲线，且焦点在 轴上，则 变式 2. (多选) 若方程 所表示的曲线为 ，则下列说法错误的是 ( ) A. 若 为椭圆，则 B. 若 为双曲线，则 或 C. 若 为椭圆，则焦距为定值 D. 若 为双曲线，则焦距为定值 【考点题型十】圆锥曲线中的离心率 (定值) 典例 10. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 过点 ,若点 关于 的对称点 恰好在双曲线 右支上,且 ,则 的离心率为( ) A. B. C. D. 2 变式 1. 已知 分别为椭圆 的左、右顶点, ,直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，且 平分 ，则此椭圆的离心率为_____. 变式 2. 已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交圆 于 ， 两点，交 的右支于点 ，若 ，则 的离心率为_____. 【考点题型十一】圆锥曲线中的离心率 (最值 + 范围) 典例 11. 已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点. 若椭圆 上存在两点 ， 满足 ，且 关于原点 对称，则椭圆 的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 变式 1. 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点,且 ,若在直线 上存在 ，使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 变式 2. 已知双曲线 的左焦点为 ，若双曲线右支上存在点 满足 ( 为坐标原点),则双曲线 的离心率的取值范围是_____. 【考点题型十二】抛物线中的和差最值问题 典例 12. 已知抛物线 的焦点为 . 点 是 上一个动点,则 的最小值为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 变式 1 . 已知点 ，抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一动点，当 运动到 时， ，则 的最小值为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 变式 2 已知抛物线 的准线为 ，点 的坐标为 ，点 在抛物线上，点 到直线 的距离为 ， 则 的最大值为 ( ) A. B. C. 1 D. 【考点题型十三】抛物线中焦半径问题 典例 13. 已知 为抛物线 的焦点，点 ， ， 在抛物线上， 为 的重心，则 ( ) A. 27 B. 18 C. D. 9 变式 1. 点 抛物线 的焦点， 为抛物线上三点，若 ，则 ( ) A. 2 B. C. 3 D. 【考点题型十四】抛物线的标准方程 典例 14. 以 为焦点的抛物线的标准方程是 ( ) A. B. C. D. 变式 1. 已知抛物线 的顶点在原点，焦点 在坐标轴上，点 关于其准线的对称点为 ，则 的方程为( ) A. B. C. D. 变式 2. 已知点 到点 的距离比它到直线 的距离小 1 ，则点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 变式 3. 到点 的距离比到直线 的距离小 1 的动点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 【考点题型十五】圆锥曲线中新定义题 (小题) 典例 15. 在平面直角坐标系中,定义 为两点 的 “切比雪夫距离”,又设点 与直线 上任意一点 ,称 的最小值为点 与直线 间的 “切比雪夫距离”,记作 ，给定下列两个命题:①已知点 ，直线 ，则 ；② 定点 、 ，动点 满足 ，则点 的轨迹与直线 有且仅有 2 个公共点；下列说法正确的选项是 ( ) A. 命题①成立，命题②不成立 B. 命题①不成立，命题②成立 C. 命题①②都成立 D. 命题①②都不成立 变式 1. 如图,已知半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为 “果圆”,其中 . “果圆”与 轴的交点分别为 ,与 轴的交点分别为 ,点 为半椭圆 上一点 (不与 重合),若存在 ,则半椭圆 的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 变式 2. (较难) 数学中有许多寓意美好的曲线,曲线 被称为 “四叶玫瑰线” (如图所示). 给出下列三个结论: ①曲线 关于直线 对称; ②曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ; ③存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，使曲线 在此正方形区域内 (含边界). 其中，正确结论的序号是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 考点闯关 题目 1. (翰林高级期中) 吹奏乐器“埙”(如图 1) 在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆 ( ， 且为常数) 和半圆 ( ) 组成的曲线 如图 2 所示，曲线 交 轴的负半轴于点 ，交 轴的正半轴于点 ，点 是半圆上任意一点，当点 的坐标为 时, 的面积最大,则半椭圆的方程是 ( ) 图1 图2 A. B. C. D. 题目 2. (东莞中学期中) 已知双曲线 的离心率为 ，则 渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 题目 3. (东莞五校联考) 抛物线 的焦点坐标为 ( ) A. B. C. D. 题目 4. (东莞中学期中) 已知抛物线 的准线为 ，则 与直线 的交点坐标为 ( ) A. B. C. D. 题目 5. (东莞五校联考) 已知椭圆 的右焦点为 是椭圆上任意一点,点 ,则 的周长的最大值为 ( ) A. B. 14 C. D. 题目 6. (东莞中学松山湖期中) 已知椭圆 ，点 为左焦点，点 为下顶点，平行于 的直线 交椭圆于 两点，且 的中点为 ，则椭圆的离心率为() A. B. C. D. 题目 7. (翰林高级期中) 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 上,过点 作两条渐近线的垂线,垂足分别为 ,若 ,且 ,则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 2 题目 8. (东莞五校联考) 已知 是双曲线 的左、右焦点,过 的直线与 的左、右两支分别交于 两点. 若 ,则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. C. D. 题目 9. (东莞中学期中) 已知 是椭圆 上的动点: 若动点 到定点 的距离 的最小值为 1,则椭圆 的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 题目 10. (东莞五校联考) (多选) 人教 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹: 椭圆》中探究得出椭圆 上动点 到左焦点 的距离和动点 到直线 的距离之比是常数 . 已知椭圆 为左焦点,直线 与 轴相交于点 ,过 的直线与椭圆 相交于 两点 (点 在 轴上方),分别过点 向 作垂线,垂足为 ,则 ( ) A. B. C. 直线 与椭圆相切时, D. 题目 11. (东莞中学期中) (多选) 已知椭圆 的右焦点为 ，抛物线 以 为焦点，过 的直线 交抛物线 于 ， 两点，下列说法正确的是() A. 若 ，则 B. ，直线 的倾斜角为 或 C. 若 ， 为抛物线 上一点，则 的最小值为 D. 的最小值为 9 题目 12. (东莞五校联考) 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且其右焦点为 ，则双曲线 的标准方程为_____. 题目 13. (翰林高级期中) 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若椭圆 上存在点 使得线段 的中垂线恰好经过焦点 ，则椭圆 离心率的取值范围是_____ 题目 14. (东莞中学期中) 已知 、 、 分别是椭圆 的左、右焦点和上顶点,连接 并延长交椭圆 于点 ，若 为等腰三角形，则椭圆 的离心率为_____. 题目 15. (东莞中学松山湖期中) 已知点 是抛物线 上一点，点 是抛物线 的焦点, 为 上异于 的两动点，且 ，则 的最小值为_____. 题目 16. (东莞中学期中) 已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是_____. 学科网（北京）股份有限公司 遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存在斜率 遇到过轴上定点的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中有可能不存在斜率，但斜率一般不会为0，这样设一方面可以避免分类讨论，另一方面可以减少一些计算量 1正设法 6．（2020•辽宁模拟）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得，由题意可得公共弦长为直径，求得，进而得到所求椭圆方程； （2）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，结合基本不等式即可得到存在和的横坐标的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以， 由椭圆与圆的公共弦长为，恰为圆的直径， 可得椭圆经过点，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （Ⅱ）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，． 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则． 联立和，得，故， 所以，，因为，所以， 即，所以， 当时，，所以． 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为． 7．（2018•凉山州模拟）已知、分别是椭圆的左、右焦点． （1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【分析】（1）求得椭圆的，，，可得左右焦点，设，，，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得的坐标； （2）显然不满足题意，可设的方程为，设，，，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求的范围． 【解答】解：（1）椭圆方程为，知，，，可得，， 设，，，则， 又，联立，解得，即为； （2）显然不满足题意，可设的方程为， 设，，，，联立， 由△，得．，． 又为锐角，即为，即，， 又， 可得．又，即为，解得． 8．（2018•怀化三模）如图，椭圆的离心率为，点为椭圆上的一点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值． 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【解答】解：（Ⅰ），，①， 又椭圆过点，②由①②解得，， 所以椭圆的标准方程为； （Ⅱ）证明：设直线，联立得：， 设，，，，则有，． 易知，故 为定值． 9．（2017•山西二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得，由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程； 方法二、运用在椭圆上，代入椭圆方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线的方程为，设，，，，，，，，的中点为，，联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，为线段的中点，则为线段的中点，求得的范围，即可判断． 【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆的焦距为，则， 因为在椭圆上，所以， 因此，，故椭圆的方程为； 方法二：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上， 所以，，，解得，，故椭圆的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为， 设，，，，，，，，的中点为，， 由消去，得，所以，且△ 故 且，由，知四边形为平行四边形， 而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得， 又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线． 10．（2016春•眉山校级期中）已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，，，两点，且，求直线的方程． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得，求得直线的方程，运用点到直线的距离公式，可得，进而得到，可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得，进而得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）过点，的直线倾斜角为， 可得，即有直线的方程为， 原点到该直线的距离为，可得，解得，， 则椭圆方程为； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得 ，△恒成立， 由，，，， 可得，，又， 即有，， 可得， 解得舍去）． 则直线的方程为． 11．（2016•连云港模拟）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，若点，，且． （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点．线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合． ①若点，直线过点，求直线的方程； ②若直线过点，且与轴的交点为．求点横坐标的取值范围． 【分析】（1）设，由向量共线的坐标表示，可得的坐标，代入椭圆方程，可得，的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值； （2）①由题意可得，，，可得椭圆方程，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，进而得到所求直线方程； ②设直线的方程为，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得，再由中点在椭圆内，可得的范围，再由直线的方程可得的横坐标的范围． 【解答】解：（1）设，由， 可得，，可得，，即，， 即有，即为，，则； （2）①由题意可得，，， 即有椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， ，的中点为，， 由题意可得直线的斜率为， 解得或，即有直线的方程为或； ②设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，，可得， 即有的中点为，，由题意可得直线的斜率为， 化简可得，中点坐标即为，， 由中点在椭圆内，可得，解得， 由直线的方程为，可得的横坐标为，可得范围是，，． 12．（2016•苏州二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右焦点分别是，，右顶点、上顶点分别为，，原点到直线的距离等于 （1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由 【分析】（1）求得，的坐标，可得的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （2）点在以为直径的圆上由题意可得直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得的值，可得，，从而可得直线的方程，求得的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得点，， 直线的方程为，即由题设，得， 化简，得①，由，即为，即② 由①②，解得，可得椭圆的方程为； （2）点在以为直径的圆上 由题设，直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 则△，化简，得，所以， 由点在第二象限，可得，把代入方程，得， 解得，从而，所以，从而直线的方程为：， 令，得，所以点从而，， 从而 ， 又，，所以点在以为直径的圆上 13．（2019•天津）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为．已知为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且．求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，再由离心率公式可得所求值； （Ⅱ）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程． 【解答】解：（Ⅰ），即为，可得； （Ⅱ），，即，， 可得椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，解得或， 代入直线方程可得或（舍去），可得， 圆心在直线上，且，可设，可得，解得， 即有，可得圆的半径为2，由直线和圆相切的条件为， 可得，解得，可得，，可得椭圆方程为． 14．（2016•陕县校级模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，且抛物线的焦点是椭圆一个焦点，以椭圆的长轴两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形面积为6． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，又点，，求面积最大时对应的直线的方程． 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点坐标，求得，由三角形的面积公式可知，根据椭圆的性质，，即可求得和的值，求得椭圆方程； （Ⅱ）求得直线方程，并将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得求得及，由弦长公式求得，根据点到直线的距离公式，求得，根据三角形的面公式及基本不等式的性质即可求得的值，求得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆， 由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得：， 由椭圆的性质可知：， ，，即，，即， ，，椭圆 （Ⅱ）设，，，，， 与，联立得：， △，可知：， 由韦达定理可知：，， ， 到的距离， 当即时，最大，对应的直线的方程为 日期：2020/11/20 11:28:09；用户：张伍；邮箱：zhb157@126.com；学号：19915 二反设法 3．（2020•江西模拟）已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且，，成等比数列． （1）求椭圆的方程． （2）斜率不为0的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求为坐标原点）面积的取值范围． 【分析】（1）由题可列方程组，解得，，又，解得，进而可得椭圆的方程． （2）设直线的方程为，，联立椭圆的方程得：，，，再分析原点到直线的距离，表示的面积，化简再求出答案． 【解答】设直线的方程为，，代入椭圆的方程得： ，， ，原点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，． 8．（2016秋•台州期末）已知椭圆． （1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，过点作的垂线，交直线于点，若的最小值为，试求椭圆率心率的取值范围． 【分析】（1）由已知可得：，，，解得，即可． （2）设直线的方程，，，坐标，．联立，化为：．．．即可求得椭圆率心率的取值范围 【解答】解：（1）由已知可得：，，，解得，，． 椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为：，，，，． ．联立，化为：． ，， ． ．令，， 上式在时恒成立，椭圆率心率的取值范围为 9．（2017•浙江模拟）已知椭圆，点，分别是椭圆的右焦点与上顶点，为坐标原点，记的周长与面积分别为和． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）如图，过点的直线交椭圆于，两点，过点作的垂线，交直线于点，当取最小值时，求的最小值． 【分析】（Ⅰ），当且仅当时，的最小值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为．此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为．可得．设直线，令得 ，． 【解答】解：（Ⅰ）的周长．的面积． ， 当且仅当时，的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为． 此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为． 联立，整理得：． ， ． 当时，垂直横轴，与横轴重合，此时，， ． 当时，设直线，令得 综上所述：当且仅当时，取最小值为． 10．（2018秋•城厢区校级月考）已知椭圆的离心率为，过其右焦点作与轴垂直的直线与该椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连接、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的方程． （2）设直线的方程为，联立，得，设，，，，由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线，的斜率之积为定值． 【解答】（13分）解：（1）直线过右焦点且与轴垂直， ． 又椭圆的离心率为，且， ， 解得，，故椭圆的方程为． （2）由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消去得 设，，，， 则 ，，三点共线，，即 同理可得， 而 故直线，的斜率之积为定值． 13．（2018秋•市中区校级月考）已知椭圆的上顶点为点，右焦点为．延长交椭圆于点，且满足． （1）试求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于，两点，设椭圆的左顶点为点，且直线，分别与直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由． 【分析】（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为．利用，推出，，代入椭圆方程，结合焦点坐标求解，，得到椭圆方程． （2）设，，，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用，，三点共线，求出，的坐标分别为，，然后求解斜率，化简即可． 【解答】解：（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为． ，可得，又，， 代入可得， 又，解得，，即椭圆的标准方程为． （2）设，，，，，，． 由题意可设直线的方程为， 联立消去，得， 根据，，三点共线，可得， ．同理可得， ，的坐标分别为，， 与之积为定值，且该定值是． 16．（2020秋•香坊区校级月考）设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，且． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求椭圆的方程． 【分析】（1）由题意设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由向量的关系求出，的坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得，，之间的关系，再由椭圆性质可得离心率的值； （2）由（1）求出弦长，由题意可得，的值，进而求出椭圆的方程． 【解答】解：（1）由题意设直线的方程为：，设，，，，设在轴上方，即，可得，，，， 又因为，所以可得，，所以， 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， ，，将，代入可得，， 所以可得，整理可得：而， 所以可得，（舍或，所以可得离心率； （2）由（1）可得，所以，， 所以弦长， 解得：，所以，所以椭圆的方程为：． 18．（2016•浙江）如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得值； （Ⅱ）设出直线的方程，与抛物线联立，求出的坐标，求出直线，的斜率，从而求出直线的方程，根据、、三点共线，可求出的横坐标的表达式，从而求出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义得，，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为，，可设，，，， 不垂直轴，设直线， 联立，得．，， 又直线的斜率为，故直线的斜率为， 从而得，直线， 则，设，由、、三点共线，得， 于是，得或．经检验，或满足题意． 点的横坐标的取值范围为，，． 19．（2017秋•七里河区校级期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于． （1）求的值； （2）是否存在正数，对于过点且与抛物线有两个交点、的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的定义，求出，然后求解平曲线方程； （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，．设的方程为，由，得，利用判别式以及韦达定理，通过，对任意实数得到，求解即可． 【解答（1）抛物线上的点到轴的距离等于，由定义抛物线可知． （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，． 设的方程为，由，得， △，于是① 又，，，， ．② 又，于是不等式②等价于， 即．③ 由①式，不等式③等价于．④ 对任意实数，的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于， 即． 由此可知，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有，且的取值范围是，． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 $