1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系 2026-2027学年--高中数学人教A版必修 第一册 教学设计

一、教学内容分析

1.本节课的主要教学内容：本节课将围绕集合间的基本关系展开。教材内容选自高中数学人教A版（2019）必修第一册，具体章节为第一章"集合与常用逻辑用语"的1.2节，涉及的内容包括：子集、真子集与集合相等的概念及其符号表示，空集的概念及其相关规定，用Venn图直观表示集合间的包含关系，以及元素个数确定的集合的子集个数的规律。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课的教学内容与学生已有知识紧密相连。首先，学生在1.1节已经学习了集合的含义、元素与集合的属于关系、集合的表示方法以及常用数集，能够准确判断元素与集合的关系，这为本节课用"元素"这一基本工具研究集合与集合之间的关系提供了方法基础。其次，学生在初中已经积累了用数轴表示不等式的解集、用图示法表示四边形之间关系的经验，并且熟悉实数之间的相等关系与大小关系，本节课正是沿着"类比实数研究集合"这一思路展开的。最后，本节课建立的子集、真子集等概念，是后续学习集合的基本运算的基础，在教材中起着承上启下的作用。

二、核心素养目标

通过类比实数间的关系观察具体集合实例，经历从观察、分析到抽象、概括出子集、真子集概念的过程，发展数学抽象素养；通过包含关系的传递性、集合相等的判断等问题的推理与证明，发展逻辑推理素养；借助Venn图与数轴直观表示集合间的包含关系，处理含参数的包含关系问题，发展直观想象素养；通过探究子集个数的规律，渗透"取与不取"的分类计数思想，提升数学运算素养，使学生认识类比这一思维方法在研究新对象中的作用。

三、教学重点、难点

教学重点：集合间的包含关系与相等关系，子集、真子集、空集的概念及其符号表示，用Venn图刻画集合间的关系。

教学难点：理解"包含"与"属于"两种关系的区别，理解空集的意义以及"空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集"的规定，在含参数的包含关系问题中对集合是否为空集进行完整分类讨论。

四、学情分析

在进入本节课学习之前，学生已经学习了集合的含义、集合的表示方法以及元素与集合的属于关系，能够用列举法和描述法表示一些具体集合，并知道常用数集的记号。同时，学生在小学和初中已经接触过一些集合，如各种数集

、不等式的解集、点集等，并且用过数轴表示不等式的解集、用图示法表示四边形之间的关系，这些都为本节课的学习提供了知识与经验上的准备。

在知识层面，集合与集合之间的关系对学生来说还是一个崭新的内容。在此之前，学生接触的是元素与集合的"属于"关系，而"包含"是集合与集合之间的关系，两者符号相近、容易混淆，从具体实例中抽象出集合的基本关系对学生来说是一个挑战，部分学生在辨析空集与等特殊集合时容易出现错误。

在能力方面，学生的观察、归纳与类比能力需要得到进一步锻炼。由"任意一个元素都属于"这一表述过渡到符号化的定义，需要学生具备较强的抽象概括能力；含参数的包含关系问题还需要学生具备分类讨论的意识与运算的准确性。

总体来说，学生对本节课的学习既有兴趣也有挑战。教师需要充分利用学生已有的实数关系经验，借助Venn图等直观工具，帮助每个学生在原有基础上实现从具体到抽象的过渡。

五、教学方法与策略

1.教学方法：本节课采用问题驱动与类比探究相结合的教学方法。以"如何研究一个新数学对象"为主线，通过类比实数之间的相等关系与大小关系，提出"集合与集合之间有什么关系"这一研究问题，引导学生观察具体实例、归纳共同特征、抽象形成定义，并在判断与辨析中不断深化对概念的理解。

2.教学媒体使用：利用多媒体教学设备和网络平台（如数学实验室、班级课堂互动平台等），动态展示Venn图中两个集合的包含关系，动态演示含参数的数集在数轴上的变化过程；在课堂检测、学生展示等环节中利用平台及时了解学生的反馈信息，适时作出评价，同时结合教材插图，方便学生直观理解。

六、教学过程设计

（一）课堂导入（5分钟）

1、提出问题：上一节我们学习了集合的含义与表示。对于集合这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题？用什么方法研究？

师生活动：学生独立思考、讨论交流。教师提示：类比已有的学习经验是一个好方法，比如"实数"。引导学生回顾实数研究了哪些内容——实数间的关系（相等关系、大小关系）、实数的运算等，从而确定集合的研究问题：集合间的关系、集合的运算。

2、观察实例：观察以下三组集合，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现每组两个集合之间的关系吗？

（1），；

（2）为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，为这个班全体学生组成的集合；

（3）是由两条边相等的三角形组成的集合，是由等腰三角形组成的集合。

三组集合中两个集合之间的关系如图1所示：

图1  导入环节三组集合关系的Venn图示

师生活动：学生独立观察、充分思考、交流讨论。教师根据学生讨论情况进行追问：（1）你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？（从元素与集合之间的关系来分析。）（2）请用集合的语言归纳概括上述三个实例的共同特征。（在每组的两个集合中，第一个集合的任意一个元素都是第二个集合中的元素。）（3）前两组中两个集合的关系与第三组有什么不同？（前两组中，集合、中有的元素不属于集合、；第三组中，两个集合互相包含。）

【设计意图】通过类比实数间的关系提出研究问题，让学生经历从观察、分析到抽象、概括的完整过程，学会发现问题和提出问题，提升数学抽象素养，同时为子集概念的引入做好铺垫。

（二）探究新知（15分钟）

（1）子集的概念

探究：结合导入中的三组实例，你能给出"集合是集合的子集"的数学定义吗？

师生活动：学生尝试概括，教师规范表述：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作"包含于"（或"包含"）。用符号语言表示为：若对任意，都有，则。集合是集合的子集可以用图2直观表示：