4.1.2乘法公式与全概率公式（第1课时)（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第二册

第四章 概率与统计 4.1.2 乘法公式与全概率公式 （第1课时） 4.1条件概率与事件的独立性 【新教材】人教B版·高二选修第二册 学 习 目 标 1 2 3 由条件概率公式推导出乘法公式，掌握乘法公式及其对多个事件的推广形式，明确公式成立的前提条件。 能识别具有先后依赖关系的概率问题，熟练使用乘法公式计算交事件的概率。 重点：结合古典概率，理解乘法公式，体现逻辑推理能力 难点：根据乘法公式计算概率，体现逻辑推理能力 引例：袋中有 3 个红球、2 个白球，所有球除颜色外无差别，采用不放回方式依次取出两球。记事件 A＝“第一次摸到红球”，事件 B＝“第二次摸到红球”，求两次都摸到红球的概率 P(AB)。 摸球问题 设问串 回顾条件概率的定义式 P(B|A，把这个式子变形，你能得到 P(AB) 的表达式吗？ 如果先算出 P(A)，再算出在 A 发生前提下的条件概率 P(B|A)，是不是就能求出两件事同时发生的概率？ 活动：动手演算，从条件概率的定义式变形得到 P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0) 新课：这个式子就是条件概率的乘法公式，专门用来计算有先后依赖、相互影响的多个事件同时发生的概率。 目标一：乘法公式 乘法公式 知识讲解 互动探究 新课引入 尝试与发现： (1)在 P(B|A)，P(BA)（即 P(B∩A)，下同），P(A) 这三者中，如果已知 P(A) 与 P(B|A)，能不能求出 P(BA)？ (2)某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了，因此决定随机拨号进行尝试。你能用(1)中所得到的结论，得出此人尝试两次但都拨不对电话号码的概率吗？ 由条件概率的计算公式 P(B|A)=可知， P(BA)=P(A)P(B|A) 这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率。一般地，这个结论称为乘法公式。 5 方法对比 知识讲解 互动探究 新课引入 尝试与发现中的(2)也可以借助排列组合来解： 问题可转化为“用 10 个数字排成数字不重复的 2 位数，求某个特定数字不出现的概率”，因为总共有 种排法，特定数字不出现的排法有 种， 因此所求概率是 。 6 对点体验 已知某品牌的手机从 1 高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为 0.6，当屏幕第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为 0.3，试求这样的手机从 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率。 答 设 表示第 次掉落屏幕没有碎掉，，则由已知可得 ，因此由乘法公式可得 。 即这样的手机从 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为 。 对点体验 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样。假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率； 设 表示甲中奖， 表示乙中奖，则 。 因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有 张奖券且其中只有 张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为 。 根据乘法公式可知，甲中奖且乙也中奖的概率为 。 对点体验 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样。假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求(2)甲没中奖而且乙中奖的概率。 因为 ，所以 。 因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有 张奖券且其中还有 张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为 。 根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为 。 对点体验 今有3箱货物，其中甲厂生产的有2箱，乙厂生产的有1箱。已知甲厂生产的每箱中装有98个合格品，不合格品有2个；而乙厂生产的每箱中装有90个合格品，不合格品有10个。现从3箱中任取1箱，再从这一箱中任取1件产品，则这件产品是甲厂生产的合格品的概率是() A. B. C. D. 解析：记事件 为所取产品是甲厂生产的，事件 为所取产品是合格品。则 即为所求概率。， ，。 故选 C。 贝叶斯是英国著名数学家、概率论理论创始人，他发现了两个条件概率之间的关系： ，为概率论奠定了理论基础。已知小华家附近有甲、乙两家图书馆，在寒假期间的某天，他去甲图书馆看书的概率是0.4，如果他去甲图书馆看完书，再去乙图书馆看书的概率是0.5；如果他去乙图书馆看完书，再去甲图书馆看书的概率是0.25。由此可知，该天他不去乙图书馆看书的概率是(A) A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 解析：记事件 为所取产品是甲厂生产的，事件 为所取产品是合格品。则 即为所求概率。， ，。 故选 C。 解析：记事件 A：小华去甲图书馆看书，事件 B：小华去乙图书馆看书，则 P(A)=0.4， P(B|A)=0.5， P(A|B)=0.25，由 P(A)P(B|A)=P(AB)=P(B)P(A|B)，得 0.4×0.5=0.25P(B)，解得 P(B)==0.8，所以 P(¯B)=1-0.8=0.2，即小华不去乙图书馆看书的概率是 0.2。故选 A。 某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率。 解析：记事件 为所取产品是甲厂生产的，事件 为所取产品是合格品。则 即为所求概率。， ，。 故选 C。 解析：设 “第一次患病心肌受损害”， “第二次患病心肌受损害”，则所求概率为 。 由题意可知 ， 。 又 ， ， 所以 。 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个灯泡是甲厂的合格产品的概率是() A. 0.665 B. 0.564 C. 0.245 D. 0.285 解析：记事件 为所取产品是甲厂生产的，事件 为所取产品是合格品。则 即为所求概率。， ，。 故选 C。 解析：记事件 为“从市场上买到的一个灯泡是甲厂产品”， 事件 为“从市场上买到的一个灯泡是合格产品”， 则 ， ， 。 一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球。若第一次摸出红球的概率为 ，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为 ，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为() A. B. C. D. 解析：记事件 为所取产品是甲厂生产的，事件 为所取产品是合格品。则 即为所求概率。， ，。 故选 C。 解析：记事件 “第一次摸出红球”，事件 “第二次黄球”， 则 ， ，由条件概率公式得 ， 则 ，故选：B。 某农科所培育出一种新作物种子，已知其第一代发芽的概率为0.8。若第一代发芽，则第二代发芽的概率为0.7。求连续种植两代，两代种子都发芽的概率。 解析：记事件 为所取产品是甲厂生产的，事件 为所取产品是合格品。则 即为所求概率。， ，。 故选 C。 解析： 设 为“第一代种子发芽”， 为“第二代种子发芽”。 已知 ，。 要求的是两代都发芽，即事件 发生的概率。 根据乘法公式： 。 某地区在一天内下雨的概率为0.2。如果一天内下雨，则第二天也下雨的概率为0.6。求连续两天下雨的概率。 解析：记事件 为所取产品是甲厂生产的，事件 为所取产品是合格品。则 即为所求概率。， ，。 故选 C。 解析： 设 为“第一天降雨”， 为“第二天降雨”。 已知 ，。 要求的是两天都下雨，即求 。 根据乘法公式： 。 某同学参加一项测试，共有两道题。已知他答对第一题的概率为0.9。如果他答对了第一题，则他答对第二题的概率为0.8。求他两题都答对的概率。 解析：记事件 为所取产品是甲厂生产的，事件 为所取产品是合格品。则 即为所求概率。， ，。 故选 C。 解析： 设 为“答对第一题”， 为“答对第二题”。 已知 ，。 两题都答对即事件 发生。 根据乘法公式： 。 目标二 ：多元乘法公式 三元乘法公式 知识讲解 互动探究 新课引入 假设 表示事件，i=1,2,3，且 P( )>0，P( )>0。证明 )=P( )P( | )P( |) 一定成立，其中 P( ) 表示已知 与 都发生时 发生的概率，而 ) 表示 同时发生的概率。并通过具体实例来理解上式。 先对 用乘法公式： 把 看成一个整体事件，对 与 再次用条件概率定义： 19 三元乘法公式 知识讲解 互动探究 新课引入 变形得： ，将第一步的 代入上式： 袋中有2红3白共5个球，不放回依次摸3个，求“第1红、第2白、第3红”的概率。 设：：第一次摸到红球；：第二次摸到白球；：第三次摸到红球。，在 发生（剩1红3白）下， 在 都发生（剩1红2白）下， 代入公式： 20 多元乘法公式 知识讲解 互动探究 新课引入 多元乘法公式 设 为 个事件，且满足 ，则多个事件同时发生的概率： 21 一批零件共100个，其中有3个次品。每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回。求第三次才取到正品的概率。 解析： 设 表示“第 次取到次品” ()， 表示“第3次取到正品”。 “第三次才取到正品”意味着前两次都取到了次品，即事件 发生。 已知 。 在 发生的条件下，还剩99个零件，其中2个次品，故 。 在前两次都取到次品的条件下，还剩98个零件，其中97个正品，故 。 根据乘法公式： 。 一副标准的扑克牌（去掉大小王，共52张）中，不放回地连续抽取3张。求前两张是红桃，第三张是黑桃的概率。 解析： 设 为“第一张是红桃”， 为“第二张是红桃”， 为“第三张是黑桃”。 。 在 发生后，剩51张牌，红桃剩12张，故 。 在 都发生后，剩50张牌，黑桃仍有13张，故 。 根据乘法公式： 。 甲、乙、丙三人互相传球，球从甲开始传，每次随机传给另外两人中的一人。求经过3次传球后，球回到甲手中的概率。 解析： 设 表示“第1次传球后球在乙手中”， 表示“第2次传球后球在丙手中”， 表示“第3次传球后球回到甲手中”。 要让球回到甲手中，路径可以是“甲→乙→丙→甲”或“甲→丙→乙→甲”。 先计算路径“甲→乙→丙→甲”的概率（即 ）： （甲传给乙或丙） （乙只能传给甲或丙，传给丙的概率为1/2） （丙只能传给甲或乙，传给甲的概率为1） 所以该路径概率为 。 同理，另一条路径“甲→丙→乙→甲”的概率也是 。 总概率为 。 目标三 ：针对训练 举一反三 1.已知 ，，则 A. B. C. D. 解析：由概率的乘法公式可得 。故选：C。 2. 某机场某时降雨的概率为 ，在降雨的情况下飞机准点的概率为 ，则某时降雨且飞机准点的概率等于(D) A. B. C. D. 解析：记事件 “飞机准点”，记事件 “机场降雨”，根据题意知 ，在降雨的情况下飞机准点的概率为 。根据条件概率计算公式， ，所以某时降雨且飞机准点的概率为 。故选 D。 举一反三 3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据。经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响。已知国外某地新冠病毒感染率为 ，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为 。若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为() A. B. C. D. 解析：记感染新冠病毒为事件 ，感染新冠病毒的条件下，标本为阳性为事件 ，则 , ，故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为 ，故选：A 举一反三 4.某机场某时降雨的概率为 ，在降雨的情况下飞机准点的概率为 ，则某时降雨且飞机准点的概率等于() A. B. C. D. 解析：记事件 “飞机准点”，记事件 “机场降雨”，根据题意知 ，在降雨的情况下飞机准点的概率为 。根据条件概率计算公式， ，所以某时降雨且飞机准点的概率为 。故选 D。 举一反三 5. 已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是() A. 0.665 B. 0.56 C. 0.24 D. 0.285 解析：记 为“甲厂产品”， 为“合格产品”，则 ，， 所以 。故选：A。 举一反三 6. 一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球。若第一次摸出红球的概率为 ，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为 ，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为() A. B. C. D. 解析：记事件 “第一次摸出红球”，事件 “第二次黄球”，则 ， ，由条件概率公式得 ，则 ，故选：B。 举一反三 7. 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则在第二次才取到黄球的概率为 。 解析：记“第一次取到白球”为事件 ，“第二次取到黄球”为事件 ，“第二次才取到黄球”为事件 ，所以 。 目标四：小结 学海拾贝 基本公式：若 P(A)>0，则 P(AB)=P(A)P(B|A)。 三事件推广：若 P(A)>0、P(AB)>0，则 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)；依此可继续推广到 n 个事件。 适用场景：适合分步试验，且前一事件的发生会改变后续事件发生概率的问题，典型模型是不放回抽样。 学海拾贝 4. 关键提醒：使用公式必须保证作为条件的事件概率大于 0；要理清事件发生的先后顺序，准确识别其中的条件概率。 5. 思想提炼：把“多个事件同时发生”的复杂概率，拆解为分步概率相乘，实现问题的转化。 【新教材】人教B版·高二选修第二册 感谢聆听! $