22.1 中心投影与平行投影（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 22.1中心投影与平行投影 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 中心投影 1.A 2.D3.C4.C 5.D 6.D7.C 颗型02 平行投影 8.C 9.C 10.D11.C12.A13.B14.C 题型03 正投影 15.B16.D17.B18.D19.B20.B21.D B组 能力进阶 1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.B8.C9.C10.B11.C12.B13.A 14.6.2m 15.L,X 16.72 17.12.8 18.5 19.8 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.①②③ 2.15元 3.36 tan B=sina tany 4.3.6 5.3.241m2 6、b+1 a 7.【解析】(I)解：由题意得AB⊥EF,AB=6cm,所以△ABC,△ABD,△B'D都是直角三角形. 在RIAABC中，∠ABC=90°，∠ACB=20°，AB=6cm. tan∠ACB= AB BC ∴BC=AB6 ≈16.67cm tan20°0.36 在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=30°，AB=6cm. tan∠ADB=AB BD' ·BD=AB 6 tan30°√5 =65≈6×1.73=10.38cm 3 CD=BC+BD≈16.67+10.38=27.05≈27cm (2)解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=30°，AB=6Cm. 根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半， .AD=2AB=12cm」 由题可知A'D=AD=12cm. 在Rt△A'B'D中，∠AB'D=90°，∠ADB'=45°， sin∠A'DB'=A'B' A'D' 4B=AD-sin45°=12x2 =6/2cm. 琴码垫高的高度为A'B'-AB=(62-6)cm 8.【解析】解：，阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻(EF∥AD),竖直放置的标杆DE 2/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 顶端E的影子落在点F处， %8l即mc4 如图，令BN与DE的交点为H,则四边形BCDH和MNHD是矩形， ..CD=BH E FMD DE=2.1m,DF=2.1m DM=1m,MN =1.2m ..CD=BH,BC=DH MN =1.2m,NH DM =1m ∴.EH=DE-DH=0.9m. 设AB=x,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, .BH=CD=AC=(1.2+x)m, .NB=BH+NH =(2.2+x)m. EH∥AB, .∴ANEHANAB. EH NH 0.91 ABNB,即 =2.2+x’解得：x=19.8 答：纪念碑AB的高度为l9.8m. 9.【解析】(1)等边三角形.理由如下： .DF =3DE=3AE. :DE =AE, 当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°， 即∠DGB=60°】 可得∠BDG=30°， ∠ADE=60°， 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， 所以△ADE是等边三角形. (2)解：作GN⊥FN于N, 315 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是等边三角形 602 B G HC:△ADE ∴.DE=AD=0.6m, .DF=3DE=1.8m, :∠FDG=∠F=LGNF=90°， 四边形DGNF是矩形， ..GN=DF =1.8m, 在Rt△GNH中， .'∠GHN=609 .'.GH=_ 0-952m .DF落在地面上的投影GH的长为2.lm. 10.【解析】如图，延长AH交地面于点Q,则H=0.5m.过点C分别作AH,QB的垂线，垂足分别为 D,E,则四边形DQEC是矩形. Dh C 55 a 777777771 B E 在Rt△BCE中，a=30°， CE-BC-1x8-4,BE=BCcosa-8x ≈6.92， 2 2 .'DO=CE=4 设OB=x,则DC=QE=QB+BE=x+6.92 在Rt△ABQ中，AQ=OB tan55°≈l.43x .AD=AQ-D0=1.43x-4 根据题意得：∠ACD=∠MPN, ∴.tan∠ACD=tan∠MPN. 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD MN 1.43x-41.8 CD-NP E 即 x+6.922.4’ .x≈13.51 .AQ=1.43x≈19.32 .AH=Ag-H0=19.32-0.5≈18.8 答：古树最高点A到树池顶部的高度AH约为18.8m 拓展 链接中考 1.A2.D3.D 5/5 分层作业 22.1中心投影与平行投影 目 录 A组 巩固过关 题型01 中心投影 题型02平行投影 题型03 正投影 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 中心投影题型01 1．夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 【答案】A 【分析】从路灯光源类型入手，结合投影的分类定义判断. 【详解】解：∵路灯属于点光源，点光源形成的投影为中心投影. ∴夜晚路灯下行人的影子属于中心投影. 2．小志的身高和小明的身高一样，在同一路灯下比较他们的影子，则（     ） A．小明的长 B．小志的长 C．一样长 D．无法判断 【答案】D 【分析】根据影长由身高和人到路灯的距离共同决定，即可判断． 【详解】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长． 3．（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·宁夏银川·一模）下列判断正确的是（   ） A．4的平方根是 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．若点关于x轴的对称点在第二象限，则 D．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 【答案】C 【分析】本题考查平方根的定义，垂线的性质，关于x轴对称点的坐标特征，中心投影的特点，逐一分析各选项涉及的知识点，即可判断正误得到答案． 【详解】解：选项A：的平方根是，不是只有，则A错误； 选项B：垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项缺少“同一平面内”的前提，表述不严谨，则 B错误； 选项C：点关于x轴的对称点坐标为，若对称点在第二象限，则纵坐标，可得，则C正确； 选项D：夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长由长变短，则D错误． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 6．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子不符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子符合题意． 故选：D． 7．（2026·四川成都·一模）如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短． 根据中心投影的特点即可得出答案． 【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小． 即当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是变大． 故选：C． 平行投影题型02 8．（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）下列物体的光线所形成的投影是平行投影的为（     ） A．壁灯 B．手电筒 C．太阳 D．吸顶灯 【答案】C 【分析】通过判断光源是否为平行光线，确定投影是否为平行投影． 【详解】解：太阳光线可近似看作平行光线，所形成的投影是平行投影.． 壁灯、手电筒、吸顶灯的光线均从一点发出，所形成的投影为中心投影． 9．（26-27九年级上·山西朔州·期中）我市某校墙边有甲、乙两根立柱，同一时刻测得甲、乙两根立柱在太阳光下的影子的长度分别是米和米，乙立柱的高度为米，则甲立柱的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】利用同一时刻太阳光下物高与影长成正比的关系列比例式求解即可． 【详解】解：设甲立柱的高度为米． ∵同一时刻太阳光下物高与影长成正比， ∴，解得． 10．晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（     ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】从一天中太阳高度的变化规律切入，推导纪念碑影子的长度变化. 【详解】解：从早到晚，太阳高度先变大后变小. 同一物体在太阳光下的影子长度随太阳高度增大而变短，随太阳高度减小而变长. 因此纪念碑的影子先变短后变长. 11．唐代李白在《日出行》一诗中这样写着：“日出东方隈，似从地底来．”描述的是日出的景象，意思是太阳从东方升起，好像从地底出来．如图，此时观测到海平线和太阳所成的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】海平线以下的部分是看不见的，用虚线表示，海平线以上的是看得见的，用实线表示，据此可得答案． 【详解】解：根据题意可知此时观测到海平线和太阳所成的图形是． 12．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行投影的性质：平行直线的平行投影是平行或重合的直线，矩形两组对边分别平行，故其影子（非线段时）应为平行四边形． 【详解】解∶∵太阳光线是平行光线， ∴矩形木框在地面上的影子属于平行投影． ∵矩形的两组对边分别平行， ∴根据平行投影的性质，其在地面上的影子（当不重合为一条线段时）两组对边也应分别平行，即影子应为平行四边形（包含矩形）． 当矩形木框所在平面与光线平行时，影子为一条线段． ∴A是梯形，只有一组对边平行，不可能是矩形的影子； B是线段，可能是矩形平面与光线平行时的影子； C是矩形，可能是矩形平面与地面平行时的影子； D是平行四边形，可能是矩形平面倾斜时的影子． 综上所述，矩形木框在地面上的影子不可能是A． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【详解】解：∵太阳光线是平行光线，矩形的对边平行， ∴矩形对边在平行投影下得到的投影仍然平行， ∴平行四边形，矩形、正方形都是特殊的平行四边形，倾斜放置或合适角度都可以得到， 当矩形纸片与光线平行放置时还可投影得到线段， 等腰梯形只有一组对边平行，不符合平行投影的性质，因此不可能是等腰梯形． 14．小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵太阳光是平行光， ∴相等长度的木棍的投影应该在同一侧，且影子的长度相等，只有选项C符合． 正投影题型03 15．当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影的性质，掌握当物体的面平行于投影面时，正投影与该面形状、大小相同是解题的关键． 当正方体的一个面平行于投影面时，其正投影即为该面本身，因此投影面积为该正方形的面积． 【详解】解：∵正方体的某个面平行于投影面， ∴该面的正投影为边长为的正方形， ∴投影面积． 故选：B． 16．光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正投影的形状判断，掌握根据立体图形的形状和投影方向，分析正投影的形状是解题的关键． 分别分析每个立体图形在光线由上到下照射时的正投影形状，找出正投影不是圆形的图形． 【详解】解：A、球的正投影是圆形，不符合题意； B、圆柱的正投影是圆形，不符合题意； C、圆锥的正投影是圆形，不符合题意； D、正方体的正投影是正方形，不是圆形，不符合题意． 故选：D． 17．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查正投影的判断，掌握正投影是平行光线且与投影面垂直的投影，据此逐一判断投影类型是解题的关键． 根据正投影的定义，判断每个投影是否为平行光线且与投影面垂直的投影． 【详解】解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影． 第一个投影是中心投影，不是正投影； 第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影； 第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影； 所以正投影有1个． 故选：B． 18．（2025·广东深圳·三模）数学课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，截一个几何体以及中心投影，掌握相关定义是解题的关键． 根据题意判断各选项得到的平面图形，得出结论即可． 【详解】解：A：得到的平面图形是扇形，故该选项不符合题意； B：得到的平面图形是矩形，故该选项不符合题意； C：得到的平面图形是圆形，故该选项不符合题意； D：得到的平面图形是正方形，故该选项符合题意． 故选：D． 19．如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B点作，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：如图，过B点作， 是线段在投影面上的正投影， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 故选B． 20．正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． 21．下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【答案】D 【分析】本题考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别，根据中心投影、平行投影、正投影的定义即可得出答案． 【详解】解：一定不会改变的形状和大小的是：当平行投影面时的正投影， 故选：D． 1．（26-27九年级上·山东青岛·期中）太阳光下，身高165 cm的小亮竖直站立在水平地面上，其影长为；同一时刻，他把手臂竖直举起，身体保持直立，此时影长为，由此可得小亮手臂竖直举起时，指尖超出头顶的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小亮手臂竖直举起时指尖超出头顶的高度为，根据同一时刻竖直物体的高度与影长的比值相等列式求解即可． 【详解】解：设小亮手臂竖直举起时指尖超出头顶的高度为， ∵同一时刻竖直物体的高度与影长的比值相等， ∴， 化简得，， 解得． 2．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 3．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 4．下列关于投影的描述，不正确的是（     ） A．在阳光下，同一时刻不同物体的高度与影长的比值是一个定值 B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形 C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关 D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图 【答案】C 【详解】解：A.阳光下的投影为平行投影，同一时刻不同物体的高度与影长的比值为定值，说法正确，不符合题意； B.矩形纸板在平行投影下，对边的投影仍可以互相平行，投影可以是平行四边形，说法正确，不符合题意； C.物体在光线下的投影大小不仅和物体本身大小有关，还与光线方向、物体和投影面的位置关系有关，说法错误，符合题意； D.主视图是平行光线垂直投影面时的平行投影，物体在平行投影下可以得到自己的主视图，说法正确，不符合题意. 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据平行投影的变化规律，明确北半球下午物体影子长度随时间的变化趋势即可求解． 【详解】北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长， 本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大， 故符合要求的排列为，，． 6．手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示手影，则，作于点，延长交于，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，如下图： 即， 又， ∴， ∴， 即， ∴光源与小明的距离应减小米． 7．如图，将木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒照射木棒，在墙面上形成投影，过点作，分别与，交于点，，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 8．如图，晚上小明从路灯走向路灯．当他走到点时，他身后的影子的顶部刚好落在点处；当他再向前步行一段距离到达点时，他身前影子的顶部刚好落在点处．两个路灯的高度都是9m，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ． 9．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，和是位似图形，位似中心为点O，再根据周长比等于位似比，即可求解． 【详解】解：由题意得，和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与的周长之比为， ∴， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·四川·期中）如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作，交于点， ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 12．如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，过A作于C，在中，根据余弦的定义求出，然后证明四边形是矩形，根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：过A作于C， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：B． 13．一面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，则它在竖直面的正投影面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，投影问题，解题的关键是熟练掌握三角函数定义．设矩形纸片与水平面的夹角为θ，根据面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，得出，根据三角函数定义得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设矩形纸片与水平面的夹角为θ，根据题意得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形在竖直面的正投影面积为： ． 故选：A． 14．教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 【答案】 【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度． 【详解】解：因为同一时刻物高与影长成比例， 所以：， 即：， 解得落在地上的影长对应的树的高， 所以树的高度为：． 15．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 【答案】， 【分析】明确投影的分类，投影分为平行投影和中心投影， 再根据各字母投影的光线特征，确定与字母“”投影类型相同的字母． 【详解】平行投影时光线是平行的，光线之间互不相交，如太阳光；中心投影时光线从同一个点发射出来，光线交汇于一点，离光源越近，影子越大，灯光、手电筒等． 观察字母“”的投影，其光线呈现平行特征，因此字母“”的投影属于平行投影； 观察字母“”的投影，其光线交于一点，符合中心投影的特征，故字母“”的投影为中心投影； 观察字母“ ”和“ ”的投影，其光线互相平行，符合平行投影的特征，故字母“ ”和“ ”的投影为平行投影； ∴与字母“”属于同一种投影的字母是，． 16．（2026·宁夏·中考真题）三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 【答案】72 【分析】过点E作于点G，则，在中，根据，设，，根据勾股定理构造方程，可求出．延长交于点H，证明四边形是矩形，得到，．根据三个相同的叶片均匀分布，得到，，从而根据“三线合一”得到，因此通过解直角三角形得到，结合可求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点G，则， ∵在中，， ∴设，， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴． 延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵三个相同的叶片均匀分布， ∴，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴叶片的长度为． 17．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【答案】 【分析】根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比．通过作辅助线构造矩形，将旗杆高度分为两部分，一部分对应墙上的影子高度，另一部分对应地面上的影子长度，利用比例关系求解即可． 【详解】解：过点作于点． 则四边形为矩形． ． 根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比． ． 即． 解得． ． 18．（26-27九年级上·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为________． 【答案】5 【分析】过点作轴的垂线，利用相似三角形对应高的比等于相似比进行计算． 【详解】解：过点作轴于点，交于点， ， ，， ， ， ， 轴，在轴上， ， ， ， ， ． 19．（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是_________米． 【答案】8 【分析】设旗杆高为x，在两个小直角三角形里用勾股定理表示、，再在中利用勾股定理列方程，求出旗杆高度． 【详解】解：如图， 由题意得米，米，， 米， 设米， ，， ， ， ， ， ， ， 米，即旗杆的高度是米． 1．【空间想象】如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查空间几何体的正投影，掌握从不同面观察空间四边形，确定各顶点投影的位置关系是解题的关键． 分别从正方体的不同面观察空间四边形，确定其在各个面上的正投影形状． 【详解】解：从正面投影：的投影形成的图形与①相符； 从侧面投影：的投影形成的图形与②相符； 从上面投影：的投影形成的图形与③相符； 图形④的形状不符合空间四边形在任何面上的正投影． 故答案为：①②③． 2．【空间想象】一个圆锥的旋转轴垂直于投影面时，其正投影的面积为．若当旋转轴平行于投影面时，其正投影的面积为，则圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查平行投影，圆锥的计算等知识，解题的关键是理解题意，掌握平行投影的性质． 当旋转轴垂直于投影面时，正投影为圆锥的底面圆，面积可求底面半径；当旋转轴平行于投影面时，正投影为等腰三角形，面积可求高和母线长；再利用圆锥侧面积公式计算． 【详解】解：当旋转轴垂直于投影面时，正投影是圆锥的底面圆，面积为 ， 设底面半径为 ， 则 ，解得 ． 当旋转轴平行于投影面时，正投影是一个等腰三角形， 底边长为底面直径 ，高为，母线长 ，面积为 ， 由三角形面积公式 ，即 ， 解得 ， 则母线长为， 圆锥的侧面积为 ， 故答案为：． 3．【空间想象+几何综合】（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．    （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为__________°． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的应用 （1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可； （2）根据题意在，，中，根据得出． 【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度， ∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为； 故答案为：； （2）解：由题意知，赤道式日晷“晷面”和“晷针”互相垂直，则，， 又∵ 在中， 在中， 在中， ∴ ∴ 故答案为：． 4．【实际情境】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 5．【实际情境】如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为____． 【答案】3.24 m2 【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答．，再利用面积比等于相似比的平方，求地面上阴影部分的面积即可. 【详解】 解：根据题意由图可知， ， 由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为 ×1.2×1.2=3.24m2． 【点睛】解答此题要根据相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 6．【代几综合】已知平面直角坐标系中的直线：和抛物线：满足：该抛物线上到该直线的距离恰为的点有且仅有一个，且该点为，且在该直线上的投影与坐标原点的距离恰为，则_____（用含有，的代数式表示）． 【答案】 【分析】整理已知条件，先利用点在抛物线上得到第一个关系式，再根据投影的几何性质结合勾股定理得到，由此确定，继而即可得到结果． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线方程得①， 设，到直线的距离为，是在直线上的投影（垂足）， 由题意得，，是直角三角形． ∵是原点，是到的距离， ∴，由勾股定理得， 代入得②， 若，代入②得，得，与矛盾，故； 所以的两边同时除以c得，， 解得． 7．【实际情境】“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，加得到的长度约为． （2）在直角三角形中，已知，，利用含 30 度角的直角三角形性质求出，则，在直角三角形中，，利用正弦求出，用减去得到琴码垫高的高度为． 【详解】（1）解：由题意得，，所以，，都是直角三角形． 在中，，，． ， ． 在中，，，． ， ． ． （2）解：在中，，，． 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， ． 由题可知． 在中，，， ， ． 琴码垫高的高度为． 8．【实际情境】焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 ， ，，． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为． 【分析】根据平行投影的性质可得，易得，令与的交点为H，则四边形和是矩形，设，证明得到，求出x值即可． 【详解】解：∵阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处， ∴，即； 如图，令与的交点为H，则四边形和是矩形， ∴ ∵， ，，． ∴ ， 设，则， ， ， ∵， ， ，即，解得：． 答：纪念碑的高度为． 9．【实际情境】（2026·新疆哈密·三模）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】（1）由图可推，等腰+可知是等边三角形； （2）由（1）可知是等边三角形，所以，又，所以，在中，根据可算出投影的长度． 【详解】（1）等边三角形．理由如下： ， ， 当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， 即， 可得， ， 有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 所以是等边三角形． （2）解：作于， 是等边三角形 ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， 落在地面上的投影的长为． 10．【实践探究】（2026·安徽阜阳·三模）数学兴趣小组决定利用所学知识测量本校一棵古树的高度，制定了如下测量方案． 方案设计 测量方案示意图如图所示，点A为古树最高点，古树底部有一个树池，树池高度为．兴趣小组在古树前方的斜坡坡底B处测得点A的仰角为，同时发现古树最高点A的影子落在斜坡上的点C处，此时标杆在地面上的影子为． 数据测量 ，，，，图中各点均在同一竖直平面内． 计算 …… 请根据上述数据，计算古树最高点A到树池顶部的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】延长交地面于点Q，则．过点C分别作的垂线，垂足分别为D，E，则四边形是矩形，然后利用余弦定理得出，设，则．结合图形利用正切函数建立方程求解即可． 【详解】如图，延长交地面于点Q，则．过点C分别作的垂线，垂足分别为D，E，则四边形是矩形．    在中，， ∴，， ∴．    设，则． 在中，， ∴．    根据题意得：， ∴， ∴，即， ∴．    ∴， ∴． 答：古树最高点A到树池顶部的高度约为． 1．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征、中心投影的特点、平方根的定义以及垂线的性质，解题的关键是逐一分析每个选项所涉及的知识点，判断其正确性． 分别对各选项涉及的知识点进行分析：根据关于x轴对称点的坐标变化规律判断选项A；结合中心投影中物体与光源距离对影长的影响分析选项B；依据平方根的定义判断选项C；根据垂线的性质（强调“在同一平面内”的前提）判断选项D，进而选出正确选项． 【详解】解：选项点关于x轴的对称点坐标为．若对称点在第二象限，则横坐标，纵坐标，即，该选项正确． 选项夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长应由长变短，而非由短变长，该选项错误． 选项的平方根是，并非只有2，该选项错误． 选项垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项中未强调“同一平面内”，表述不严谨，该选项错误． 故选：A． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 3．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 22.1中心投影与平行投影 目 录 A组 巩固过关 题型01 中心投影 题型02平行投影 题型03 正投影 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 中心投影题型01 1．夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 2．小志的身高和小明的身高一样，在同一路灯下比较他们的影子，则（     ） A．小明的长 B．小志的长 C．一样长 D．无法判断 3．（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 4．（2026·宁夏银川·一模）下列判断正确的是（   ） A．4的平方根是 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．若点关于x轴的对称点在第二象限，则 D．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 6．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川成都·一模）如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大 平行投影题型02 8．（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）下列物体的光线所形成的投影是平行投影的为（     ） A．壁灯 B．手电筒 C．太阳 D．吸顶灯 9．（26-27九年级上·山西朔州·期中）我市某校墙边有甲、乙两根立柱，同一时刻测得甲、乙两根立柱在太阳光下的影子的长度分别是米和米，乙立柱的高度为米，则甲立柱的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（     ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 11．唐代李白在《日出行》一诗中这样写着：“日出东方隈，似从地底来．”描述的是日出的景象，意思是太阳从东方升起，好像从地底出来．如图，此时观测到海平线和太阳所成的图形是（     ） A． B． C． D． 12．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 14．小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（    ）． A． B． C． D． 正投影题型03 15．当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（    ） A． B． C． D． 16．光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． 17．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 18．（2025·广东深圳·三模）数学课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形正确的是（　） A． B． C． D． 19．如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 20．正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 21．下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 1．（26-27九年级上·山东青岛·期中）太阳光下，身高165 cm的小亮竖直站立在水平地面上，其影长为；同一时刻，他把手臂竖直举起，身体保持直立，此时影长为，由此可得小亮手臂竖直举起时，指尖超出头顶的高度为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 4．下列关于投影的描述，不正确的是（     ） A．在阳光下，同一时刻不同物体的高度与影长的比值是一个定值 B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形 C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关 D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 7．如图，将木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒照射木棒，在墙面上形成投影，过点作，分别与，交于点，，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 8．如图，晚上小明从路灯走向路灯．当他走到点时，他身后的影子的顶部刚好落在点处；当他再向前步行一段距离到达点时，他身前影子的顶部刚好落在点处．两个路灯的高度都是9m，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 9．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·四川·期中）如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 13．一面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，则它在竖直面的正投影面积为（   ） A． B． C． D． 14．教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 15．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 16．（2026·宁夏·中考真题）三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 17．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 18．（26-27九年级上·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为________． 19．（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是_________米． 1．【空间想象】如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 2．【空间想象】一个圆锥的旋转轴垂直于投影面时，其正投影的面积为．若当旋转轴平行于投影面时，其正投影的面积为，则圆锥的侧面积为_______． 3．【空间想象+几何综合】（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．    （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为__________°． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式__________． 4．【实际情境】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 5．【实际情境】如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为____． 6．【代几综合】已知平面直角坐标系中的直线：和抛物线：满足：该抛物线上到该直线的距离恰为的点有且仅有一个，且该点为，且在该直线上的投影与坐标原点的距离恰为，则_____（用含有，的代数式表示）． 7．【实际情境】“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 8．【实际情境】焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 ， ，，． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，求纪念碑的高度． 9．【实际情境】（2026·新疆哈密·三模）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 10．【实践探究】（2026·安徽阜阳·三模）数学兴趣小组决定利用所学知识测量本校一棵古树的高度，制定了如下测量方案． 方案设计 测量方案示意图如图所示，点A为古树最高点，古树底部有一个树池，树池高度为．兴趣小组在古树前方的斜坡坡底B处测得点A的仰角为，同时发现古树最高点A的影子落在斜坡上的点C处，此时标杆在地面上的影子为． 数据测量 ，，，，图中各点均在同一竖直平面内． 计算 …… 请根据上述数据，计算古树最高点A到树池顶部的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 1．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $