精品解析：北京工业大学附属中学2026-2027学年度第一学期高二年级期中考试数学试题

2026-2027学年度第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 2026.11 （考试时间120分钟，总分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知圆与圆外切，则m的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用圆心距等于两圆的半径之和列方程即可求解. 【详解】因为圆C与圆O外切，所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和，即，解得． 故选：B． 2. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程即可求出答案. 【详解】, 又焦点在轴上,所以焦点坐标为，. 故选：C. 3. 已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】椭圆方程的分母均大于0且不相等，进而解出t. 【详解】由题意，. 故选：B. 4. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到， 解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者， ∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 5. 已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出与圆的位置关系，然后根据圆心到直线的距离的最大值求解出弦长的最小值. 【详解】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为， 又，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为． 故选：A. 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的关系、椭圆性质及图形关系计算求解即可. 【详解】因为椭圆上顶点，所以， 因为为等腰直角三角形，所以， 因为，所以椭圆的长轴长. 故选：D 7. 已知分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆C上，，则椭圆C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到的值，再根据点的坐标求出的值得解. 【详解】解：因为，所以. 因为点在椭圆C上，所以. 所以椭圆C的离心率为. 故选：D 8. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 9. 已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】最小值满足四边形的面积最小，可转化为动点到点的距离最小值，即可求解． 【详解】圆， ，即圆心为，半径为2， 如图所示， 连接，，四边形的面积为， 要使最小， 则只需四边形的面积最小，即只需的面积最小， ，只需最小， ， 所以只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离， 此时，， 则此时四边形的面积为2，即的最小值为4． 故选：D． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系、夹角，异面直线距离、点面距离一一判定选项即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系， 则，， 对于①，此时易知，即， 而平面的一个法向量为，显然，即①正确； 对于②，易知平面，即平面， 则直线到平面的距离即点到平面的距离， 此时， 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 所以点到平面的距离，即②错误； 对于③，设， 则， ， 所以， 若，则， 显然时符合题意，故③正确； 对于④，当面积最小时即到距离最小时， 此距离亦即异面直线与的距离，易知，则平面， 此距离即到平面的距离， 不妨设平面的一个法向量为，则， 令，即， 则到平面的距离， 所以面积的最小值为，故④错误. 故选：C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡题中横线上） 11. 椭圆的焦点坐标为_____；短轴长为_____． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据椭圆的基本性质，求出结果即可. 【详解】由题可得焦点在轴上，由，得，所以焦点坐标； 短轴长为. 故答案为：；2 12. 如图，正方体中，棱长为2. （1）_____________； （2）若点E在对角线DB上，则______________. 【答案】 ①. 8 ②. 4 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量计算即可. 【详解】 以为原点如图建立空间直角坐标系，则 所以，所以 因为点E在对角线DB上，所以设，所以 所以 故答案为：8；4 13. 已知一圆的圆心坐标为，且被直线：截得的弦长为，则此圆的方程__. 【答案】 【解析】 【分析】计算圆心到直线的距离为，再根据弦长计算半径得到答案. 【详解】∵圆心坐标为，且被直线：截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ∵圆被直线：截得的弦长为∴此圆半径， ∴此圆的方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，确定圆的半径是解题的关键. 14. 若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是_____________． 【答案】[0，1] 【解析】 【详解】如图，曲线表示如图所示的半圆，表示过定点的动直线，当动直线在之间时，它与半圆总有公共点，又，，故，也即是. 点睛：注意表示半圆，又本题的实质是动直线与半圆的至少有一个公共点.利用几何意义可以直接求得两个临界值，所求范围在两个临界值之间. 15. 设点，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率为___________；经过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，当四边形的面积最大时，___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知求出的值，即可得到离心率；根据对称性可得，，所以为短轴顶点时，面积最大，写出的坐标，即可得到结果. 【详解】由已知可得，，，所以，则离心率. 根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，. 且， 当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点. 不妨设，，，所以，， 所以. 故答案为：； 16. 已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据曲线联立求根判断①，直线和曲线联立结合判别式判断④，根据点代入得出曲线的对称性判断②③即可. 【详解】因为曲线：，：， 对于①：因为，所以，化简得出或，即得出或（舍）， 所以曲线与且只1个公共点，①正确； 对于②：把代入曲线：，：成立， 所以曲线与都是轴对称图形，②错误； 对于③：把代入曲线：，：都不成立， 曲线与都不关于原点成中心对称图形，③错误； 对于④：设为上一点（异于坐标原点O），所以，， 因为过点P作直线，所以， 因为，所以， 所以， ， 则l与有且只有1个公共点，④正确． 故答案为：①④. 三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系（1）求出向量与坐标，由向量夹角余弦公式可得答案； （2）求出平面的法向量，由向量法求解即可； （3）由空间向量法，求点到直线距离公式可得答案. 【小问1详解】 如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； 【小问2详解】 由（1）， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ； 【小问3详解】 由（1），，又， 则到直线的距离为：. 18. 如图，平面矩形所在的平面，，分别是，的中点，且，． （1）求证：； （2）平面和平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置． 【答案】（1） 因为，所以，又， 所以，即为直角三角形，故. 又平面矩形所在的平面，平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 故， 因为， 所以，即. （2） （3）存在点，使平面，此时为的中点 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量与，通过计算数量积为0，从而证明两直线垂直； （2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式，结合图形判断二面角为锐角，即可算出余弦值； （3）利用三点共线设出上的动点，利用线面垂直的向量条件列方程组即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为. 因为，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 则， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上存在一点，使平面，设， 即，所以， 因为， 所以， 因为平面，则，即，解得， 所以存在点，使平面，此时为的中点. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆E的焦点在轴上， 所以设椭圆E的标准方程为. 由椭圆的定义可得：， ， 所以，. 所以椭圆E的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，. 联立， 整理得. 依题意得，. 解得，或. 所以，k的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，. . 因为，所以， 即. 所以. 解得. 所以的值为. 20. 已知椭圆离心率为，过点． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程． 【答案】（1） （2）S的最大值为，此时直线l的方程为. 【解析】 【分析】（1）根据离心率，可得，将点坐标代入椭圆方程，可得，联立即可求得答案. （2）当直线l垂直x轴时，方程，代入椭圆C，可得，代入面积公式，可求得S，当直线l不垂直x轴时，设出直线，与椭圆联立，结合韦达定理，可得表达式，进而可求出的表达式，代入面积公式，可得S表示，根据二次函数的性质，化简整理，综合分析，即可得答案. 【小问1详解】 由题意离心率，所以， 又在椭圆C上，所以， 与上式联立，解得，则椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，则，所以. 如图： 当直线l垂直x轴时，方程，代入椭圆C的方程可得， 所以， 所以； 当直线l不垂直x轴时，设斜率为（时，），则方程为， 联立，可得， ， 则， 所以， 则， 令，则，所以 则， 因为，所以， 因为在上单调递减， 所以， 综上，的最大面积，此时直线l的方程为. 21. 设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合. （1）判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明） （2）若集合为集合，求出所有集合，并说明理由； （3）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数． 【答案】（1）集合是集合，集合不是集合 （2）或，理由见解析 （3） 假设中元素全为正实数，不妨设， 当时，， 当时，， 当时，， 由于， ， 所以， ①当中元素至少个大于时，此时，， ②所以中元素至多个大于，此时， ，， 所以， 可得，可得， 即不成立， ③所以中元素小于等于，即， ， 此时， 包含以下几种情况： 第一种：， 可得，可得， 即不成立， 第二种：当时， 可得，可得， 即不成立， 第三种：当或时， 可得，可得， 即，即不成立， 由①②③都错，可知假设集合中全为正实数为错误命题，所以集合中不全为正实数. 【解析】 【分析】（1）由集合的定义即可得出答案； （2）由题意可得，不妨设，分类讨论结合集合的性质即可得出答案； （3）根据已知新定义，分类讨论、反证法得矛盾求解证明. 【小问1详解】 对于， 由于当时，此时；当时，此时；当时，此时. 所以集合是集合， 对于， 由于当时，此时； 故不是集合， 综上可知集合是集合，不是集合， 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 不妨设，由集合互异性可知： 则且互为相反数， 若，可得，不符合题意， 则，可得， 当时，，不符合题意， 当时，解得，或，，不符合题意， 当时，解得，或，，不符合题意， 当时，解得，或，，符合题意， 所以集合或， 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 2026.11 （考试时间120分钟，总分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知圆与圆外切，则m的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 16 2. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 4. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 7. 已知分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆C上，，则椭圆C的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 9. 已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡题中横线上） 11. 椭圆的焦点坐标为_____；短轴长为_____． 12. 如图，正方体中，棱长为2. （1）_____________； （2）若点E在对角线DB上，则______________. 13. 已知一圆的圆心坐标为，且被直线：截得的弦长为，则此圆的方程__. 14. 若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是_____________． 15. 设点，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率为___________；经过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，当四边形的面积最大时，___________. 16. 已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 18. 如图，平面矩形所在的平面，，分别是，的中点，且，． （1）求证：； （2）平面和平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置． 19. 在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 20. 已知椭圆离心率为，过点． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程． 21. 设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合. （1）判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明） （2）若集合为集合，求出所有集合，并说明理由； （3）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $