精品解析：辽宁丹东市第五中学2026-2027学年七年级上学期11月期中数学试题

2026-2027（上）期中教学质量监测七年级数学试卷 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每小题2分，共20分．每小题只有一个选项最符合题意要求．请将答案填涂在答题卡指定位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. “像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（ ） A. 点是由线与线相交而成 B. 面动成体 C. 线动成面 D. 点动成线 3. 关于代数式，下列说法正确的是（ ） A. 它的次数是4 B. 它的系数是3 C. 它是多项式 D. 它不是整式 4. 代数式（上面“5”的个数是个，下面“3”的个数是个）计算结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 六边形 D. 七边形 6. 下列各组数中，相等的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和（为正整数） 7. 若单项式与的差是单项式，则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 2 8. 今年国庆期间，丹东市以其深厚的红色文化底蕴、秀美的自然风光，向来自八方的游客敞开了最美边境城市的热情怀抱．已知国庆七天长假中；丹东某景点前三天门票总收入为元，后四天门票总收入比前三天的2倍少1000元，则代数式“”表示（ ） A. 该景点后四天的门票总收入 B. 该景点后四天与前三天门票总收入的差 C. 该景点七天的门票总收入 D. 该景点后四天平均每天的门票收入 9. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物，如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑥个图形需要小木棒根数是（ ） A. 45 B. 48 C. 49 D. 54 10. 以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若满足，则；⑥若三个非零有理数满足，则，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题2分，共10分．请将答案填写在答题卡指定位置） 11. 我国古代数学著作《九章算术》中就已经提出了正数、负数的概念．若银行电子账单交易明细单上，存入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，10月15日李叔叔存入银行2000元，交易明细单上记作元；10月28日他支出1600元，交易明细单上记作________元 12. 比较大小：________．（填“”“”或“”） 13. 据丹东发布公众号消息，2026年国庆假日期间丹东市主要景点共接待国内外游客63.61万人次，同比增长；旅游综合收入同比增长．将“63.61万人次”这一数据用科学记数法表示为________人次． 14. 如图是一个正方体的展开图，将展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是________． 15. 按如图所示程序计算，若输入的整数是，则最终输出的结果为____________． 三、解答题（本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 解决下列问题： （1）合并同类项：； （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 图中的几何体是用10个棱长相同的小正方体搭成的，其从左面看到的图形如下图所示． （1）请在上面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． （2）如果保持这个几何体从上面看和从左面看到的图形不变，那么最多可以添加___________个小正方体，最多可以拿掉___________个小正方体． 19. 外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量与50单的差值： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量偏差/单 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送了多少单？ （2）该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元，求该外卖小哥这一周中工资最高的一天的收入． 20. 如图1，点、、是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为、、，且、满足．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． （1）___________，___________，数轴上两点之间的距离是___________； （2）求数轴上点所对应的数； （3）若是数轴上一点，且满足两点之间的距离是两点之间距离的4倍，求点所对应的数． 21. 综合与实践 为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳，根据以下素材，解决问题． 素材一 素材二 已知每个足球定价140元，每根跳绳定价20元．该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案A：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案B：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球60个，跳绳根 问题解决： （1）任务一：当时，试通过计算说明按哪种方案购买比较划算． （2）任务二：请分别求出两种方案需付的费用（用含的代数式表示）． （3）任务三：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种更省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 22. 利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ （1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，，，，，根据图示我们可以知道：第一次取走后还剩，即； 前两次取走后还剩，即； 前三次取走后还剩，即；， 前次取走后，还剩___________，即___________ （2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示计算：；解：第1次取走后剩余，即 前两次共取走后剩余___________，即___________ 前3次共取走后还剩___________，……以此类推 ___________ （3）问题拓展：___________． 23. 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027（上）期中教学质量监测七年级数学试卷 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每小题2分，共20分．每小题只有一个选项最符合题意要求．请将答案填涂在答题卡指定位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的绝对值的概念，根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2. “像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（ ） A. 点是由线与线相交而成 B. 面动成体 C. 线动成面 D. 点动成线 【答案】D 【解析】 【分析】将雨滴视为点，雨丝为线，结合点动成线的规律判断. 【详解】解：单个雨滴可看作点，雨滴下落的运动轨迹形成线，与题干中“牛毛”“花针”“细丝”的线的形态对应，符合点动成线的结论. 3. 关于代数式，下列说法正确的是（ ） A. 它的次数是4 B. 它的系数是3 C. 它是多项式 D. 它不是整式 【答案】A 【解析】 【分析】由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：是单项式，属于整式，它的系数为，次数为，故A正确，B、C、D错误． 4. 代数式（上面“5”的个数是个，下面“3”的个数是个）计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据乘方的意义和乘法的意义，根据乘方的意义，x个5相乘为，y个3相加为，因此结果为． 【详解】解：∵ 分子是 x 个5相乘， ∴ 分子为； ∵ 分母是y个3相加， ∴ 分母为； ∴． 故选：C． 5. 如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】D 【解析】 【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案； 【详解】解：∵正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的截面，解题的关键是熟练掌握面面相交等到线． 6. 下列各组数中，相等的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和（为正整数） 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：，，不相等； B选项：，，相等； C选项：，，不相等； D选项：为正整数时，与符号相反，不相等． 7. 若单项式与的差是单项式，则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式加减，同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 先根据整式加减法法则得出与是同类项，再根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与的差是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， 故选：A． 8. 今年国庆期间，丹东市以其深厚的红色文化底蕴、秀美的自然风光，向来自八方的游客敞开了最美边境城市的热情怀抱．已知国庆七天长假中；丹东某景点前三天门票总收入为元，后四天门票总收入比前三天的2倍少1000元，则代数式“”表示（ ） A. 该景点后四天的门票总收入 B. 该景点后四天与前三天门票总收入的差 C. 该景点七天的门票总收入 D. 该景点后四天平均每天的门票收入 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题干给出的前三天门票收入元，结合“后四天门票总收入比前三天的2倍少1000元”的条件，用含的代数式表示出后四天的门票总收入．再将表示出的后四天收入代数式，与题干给出的进行对比，同时结合各选项对应的数量关系逐一匹配．若选项涉及七天总收入、收入差、日均收入等，可通过对应数量关系的代数式推导，验证是否与一致． 【详解】由题意得，后四天门票总收入为元． 七天门票总收入为元． 9. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物，如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑥个图形需要小木棒根数是（ ） A. 45 B. 48 C. 49 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键．根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑥个图形需要根， 故选：C ． 10. 以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若满足，则；⑥若三个非零有理数满足，则，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【详解】解：①不一定是一个负数，例如当时，，原说法错误，不符合题意； ②正整数、负整数和0统称为整数，原说法错误，不符合题意； ③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确，符合题意； ④绝对值等于本身的是正数与零，原说法错误，不符合题意； ⑤若满足，即，则，原说法正确，符合题意； ⑥若三个非零有理数满足， 则有理数中有两个正数，一个负数， 为负数， 则，原说法错误，不符合题意； 故正确的有2个． 二、填空题（每小题2分，共10分．请将答案填写在答题卡指定位置） 11. 我国古代数学著作《九章算术》中就已经提出了正数、负数的概念．若银行电子账单交易明细单上，存入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，10月15日李叔叔存入银行2000元，交易明细单上记作元；10月28日他支出1600元，交易明细单上记作________元 【答案】 【解析】 【分析】题干明确银行账单的记账规则为存入记正、支出记负，只需将支出金额匹配对应符号即可得到记账值． 【详解】解：根据题意，银行电子账单的记账规则为存入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示． ∵ 10月28日李叔叔的交易属于支出类，金额为1600元， ∴ 该笔交易的记账值为对应金额的负数形式． 即记作元． 12. 比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】比较两个负数的大小，先比较两个数的绝对值，再根据“两个负数比较，绝对值大的数反而小”判断结果． 【详解】解：先计算两个数的绝对值，得，， ，， ， ， 根据两个负数比较大小的规则，绝对值小的负数更大， ． 13. 据丹东发布公众号消息，2026年国庆假日期间丹东市主要景点共接待国内外游客63.61万人次，同比增长；旅游综合收入同比增长．将“63.61万人次”这一数据用科学记数法表示为________人次． 【答案】 【解析】 【分析】先将万人次单位换算为人次，再按照科学记数法的规范形式表示换算后的数值． 【详解】解：∵ 1万， ∴ 63.61万人次人次人次． 科学记数法的形式为，其中，为整数． 将636100的小数点向左移动5位得到，此时． 因此63.61万人次用科学记数法表示为人次． 14. 如图是一个正方体的展开图，将展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是________． 【答案】统 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，有“弘”字一面的相对面上的字是“统”，有“扬”字一面的相对面上的字是“化”，有“传”字一面的相对面上的字是“文”， 故答案为：统． 15. 按如图所示程序计算，若输入的整数是，则最终输出的结果为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了程序图． 将代入根据程序进行计算，直到求出的数即可． 【详解】解：输入的整数是， 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）统一带分数与小数的形式，利用加法运算律凑整计算． （2）统一带分数与小数的形式，将除法转化为乘法后约分计算． （3）利用乘法分配律展开算式，简化运算过程． （4） 按照有理数混合运算顺序，先计算乘方与绝对值，再依次计算乘除、加减． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 解决下列问题： （1）合并同类项：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） 化简结果为，代入求值结果为 【解析】 【分析】（1） 按字母类别归类同类项，合并系数得到化简结果． （2） 先去括号合并同类项化简多项式，再代入给定的x、y值计算结果． 【小问1详解】 解： ．  【小问2详解】 解：  将，代入， 原式 ． 18. 图中的几何体是用10个棱长相同的小正方体搭成的，其从左面看到的图形如下图所示． （1）请在上面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． （2）如果保持这个几何体从上面看和从左面看到的图形不变，那么最多可以添加___________个小正方体，最多可以拿掉___________个小正方体． 【答案】（1） （2）4，1 【解析】 【分析】（1）因为要画出几何体的三视图，所以需先明确观察方向：从正面看时，按列统计每列小正方体的最大层数，对应画出方格；从左面看时，按行统计每行小正方体的最大层数，对应画出方格；从上面看时，统计底层小正方体的分布位置，对应画出方格． （2）因为要保持上面和左面视图不变，所以先根据上面视图确定底层小正方体的固定位置，再结合左面视图确定每行的最大层数限制．计算最多添加数量时，因为要在不改变视图的前提下增加小正方体，所以在每个符合层数限制的位置上，叠加到该行允许的最大层数，再减去原数量得到添加数．计算最多拿掉数量时，因为要保证视图不变，所以保留每个位置的最小必要层数（至少1层），再减去原数量得到拿掉数． 【小问1详解】 解：从正面看：共3列，从左到右每列的小正方形层数依次为3层、1层、2层，对应画出3列高度分别为3、1、2的正方形组合． 从左面看：共3列（对应几何体从左到右的前后行），从左到右每列的小正方形层数依次为3层、2层、1层，和题干给出的左视图特征一致． 从上面看：共3行3列，所有有底层小正方体的位置都画出1个小正方形，形状为：第一行（最靠前行）仅最左列有正方形，第二行左、中列有正方形，第三行（最靠后行）左、中、右列有正方形，总共6个小正方形． 【小问2详解】 解：求最多添加的数量： 先根据“从上面看”的图形，确定底层固定有6个占位位置；再结合“从左面看”的要求：最前行（对应左视图第一列）最多只能叠1层，中间行（对应左视图第二列）最多叠2层，最后行（对应左视图第三列）最多叠3层，计算所有位置的最大可容纳小正方体总数为：，原有10个小正方体，因此最多可添加 个． 求最多拿掉的数量： 在保持俯视图、左视图不变的前提下，仅中间行第二层的1个非底层、非最高层的小正方体可以移除，其余小正方体移除后都会破坏左视图或俯视图的形状，因此最多拿掉1个． 19. 外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量与50单的差值： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量偏差/单 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送了多少单？ （2）该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元，求该外卖小哥这一周中工资最高的一天的收入． 【答案】（1） 单. （2） 单. （3） 元. 【解析】 【分析】（1）找出每日送餐量偏差的最大值与最小值，计算两者的差即可得到最多与最少的差值. （2）以50单为每日基准，计算7天基准总量后加上所有偏差的和，得到总送餐量. （3）先确定送餐量最高的一天的单量，再按阶梯补贴规则计算当日补贴，加底薪得到最高收入. 【小问1详解】 解： 由表格得，送餐量偏差最大值为，最小值为，  （单）． 【小问2详解】 一周基准总单量为（单）， 偏差值总和为（单）， 总送餐量为（单）． 【小问3详解】 ∵ 送单补贴均为正数，底薪固定， ∴ 送餐量越高，当日工资越高． 每日送餐量中，周四最高，为（单）， 当日补贴为： （元）． 当日收入为（元）． 20. 如图1，点、、是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为、、，且、满足．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． （1）___________，___________，数轴上两点之间的距离是___________； （2）求数轴上点所对应的数； （3）若是数轴上一点，且满足两点之间的距离是两点之间距离的4倍，求点所对应的数． 【答案】（1），，9 （2） （3）点D对应的数为7或 【解析】 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性，求解a、c的值，再根据数轴上两点距离公式计算A、C的距离． （2）结合刻度尺的刻度，先算出数轴上单位长度对应的实际厘米数，再通过B点对应的刻度尺刻度，推导B点在数轴上对应的数b． （3）先计算A、B两点的距离，再根据D到A的距离是A、B距离的4倍，分D在A左侧、右侧两种情况，结合数轴上两点距离公式求解D对应的数． 【小问1详解】 解：由绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0，说明两个非负数各自为0． ∵ ∴，解得；  ，解得． ∵数轴上两点距离为右侧数减左侧数， ∴A、C的距离为． 【小问2详解】 解：由刻度尺可知：A到C的图上长度为，对应实际数轴距离为9， ∴可算出数轴上1个单位长度对应的图上长度为． ∴点B对齐刻度尺的， ∴A、B在数轴上的距离为． ∵B在A右侧，A对应的数是， ∴． 【小问3详解】 由上一问得A、B的距离为3， ∴A、D的距离为． ∵数轴上到点A（对应数）距离为12的点有两个： ∴点D在A右侧时：对应数为； 点D在A左侧时：对应数为． ∴点所对应的数为7或． 21. 综合与实践 为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳，根据以下素材，解决问题． 素材一 素材二 已知每个足球定价140元，每根跳绳定价20元．该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案A：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案B：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球60个，跳绳根 问题解决： （1）任务一：当时，试通过计算说明按哪种方案购买比较划算． （2）任务二：请分别求出两种方案需付的费用（用含的代数式表示）． （3）任务三：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种更省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】（1） 当时，按方案B购买比较划算，方案A费用为9180元，方案B费用为9000元； （2） 方案A需付费用为元（）；方案B需付费用为元（）； （3） 更省钱的方案为：用方案B购买60个足球，获赠60根跳绳，剩余30根跳绳用方案A购买，需付款8940元． 【解析】 【分析】（1）代入分别计算两种方案的费用，比较大小即可． （2）根据两种方案的优惠规则，结合购买数量列代数式并化简.． （3）结合两种方案的优惠特点，组合使用优惠力度更大的部分，降低总费用． 【小问1详解】 解：当时， 方案A费用：（元）． 方案B费用：（元）． ∵， ∴ 按方案B购买比较划算． 【小问2详解】 解：方案A：总费用为元（）． 方案B：总费用为元（）． 【小问3详解】 解：当时， ∵ 方案B买足球送跳绳的组合成本低于方案A，单独购买跳绳时方案A的折扣价更低 ， ∴ 选择用方案B购买60个足球，获赠60根跳绳，剩余根跳绳用方案A购买 ， 总费用为（元） ． ∵ ， ∴ 该方案更省钱． 22. 利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ （1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，，，，，根据图示我们可以知道：第一次取走后还剩，即； 前两次取走后还剩，即； 前三次取走后还剩，即；， 前次取走后，还剩___________，即___________ （2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示计算：；解：第1次取走后剩余，即 前两次共取走后剩余___________，即___________ 前3次共取走后还剩___________，……以此类推 ___________ （3）问题拓展：___________． 【答案】（1）；​  （2）​；​；；​  （3） 【解析】 【分析】（1）因为正方形总面积为1，观察前几次取走部分后剩余面积的规律，所以可通过剩余面积推导前n次取走的面积和． （2）因为每次取走的是当前剩余部分的​，先计算前两次、前三次取走后的剩余面积，所以可类比（1）的规律推导前n次的面积和． （3）因为该数列的通项为，可将其变形为与（2）中数列相关的形式，所以可利用（2）的结论推导结果． 【小问1详解】 解：取1次剩​，取2次剩，取3次剩​， ∴前次取完后剩余的面积是； 累计取走的面积就是总面积1减去剩余面积，即 【小问2详解】 解：第1次取走后剩， 第2次在剩余的​里取走它的​，剩下的部分就是，对应等式； 第3次在剩余的​里取走它的，剩余部分就是； 以此类推，前次取完后剩余面积为​， ∴累计取走的总和为． 【小问3详解】 解：设， 给等式两边同乘2可得：， 计算得， 整理后得．​ 23. 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②，③ 【解析】 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的运算法则及整体法的运用． （1）先将原式化简，再进行整体代入即可求解； （2）先根据题意得出，然后把变形后整体代入即可求解； （3）①根据小明的路程+爸爸的路程起跑时两人间的距离跑道周长即可求解； ②根据妈妈的路程妹妹的路程起跑时两人间的距离即可求解； ③先根据题意求出，，然后把原式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ； （3）①根据题意，得跑道周长为； ②根据题意，得妹妹站在妈妈前面； ③根据题意，得，， ∴，， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $