精品解析：北京市西城区鲁迅中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年北京市西城区鲁迅中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意数 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 5，6，10 C. 2，3，6 D. 5，6，11 3. 下面式子计算正确的是（　　） A. B. C. D. （a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 7. 如图，已知为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 约分：______  ． 10. 计算：______. 11. 如图，在和，，，当添加一个条件______  时，就可得到． 12. 已知：如图，AD是△ABC中BC边上的高，∠ABC=42°，AE平分∠BAC，∠ACB=70°，则∠DAE=_________度． 13. 若的展开式中只含有项，则m的值为________． 14. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 _______．（请填上正确的序号） 15. 如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为______． 16. 在我国南宋数学家杨辉的《详解九章算法》一书中，给出了展开式的系数规律，如图． 当式子的值为时，的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 19. 已知：如图，C是的中点，． 求证： 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图，求作的平分线交于点E；（保留作图痕迹） （2）由（1）可知点E到的距离相等，依据是______； （3）取边的中点D，连接，画出边上的高； （4）若的面积是20，，则_____．（直接写出结果） 22. 如图，在中，D是的中点，，垂足分别是． 求证： （1）； （2）是的角平分线． 23. 【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A.；B.；C.；D. ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． （2）【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． （3）【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． （4）【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 24. （1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北京市西城区鲁迅中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意数 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 根据分式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 5，6，10 C. 2，3，6 D. 5，6，11 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、3＋4=7，不能构成三角形； B、5＋6＞10，能构成三角形； C、2＋3＜6，不能构成三角形； D、5＋6=11，不能构成三角形． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 3. 下面式子计算正确的是（　　） A. B. C. D. （a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方、多项式乘多项式直接运算求解． 【详解】解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项正确，符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方、多项式乘多项式，解题的关键是掌握相应的运算法则． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．选项A是整式乘法，选项B右边不是积的形式，选项C等式不成立，选项D符合定义． 【详解】解：∵ 因式分解要求左边是多项式，右边是整式的积， 选项A: 是从积到多项式，是乘法运算，不是因式分解； 选项B: 右边不是积的形式； 选项C: 但左边 ，右边 ，两者不相等，故错误； 选项D: 右边是积的形式，且等式成立； 故选：D． 5. 如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断． 【详解】解：于点D，于点F， ， ， 当添加时，根据“”判断 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 6. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可． 【详解】∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°， ∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°， 故选C． 【点睛】考查了三角形外角的性质，解题关键是利用了三角形的外角的性质． 7. 如图，已知为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作角，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，解题的关键是根据题意，则，则，根据，三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】由作图可知，在和中， ， ， 即 ． 故选：D． 8. 在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，得到平分；于是得到故①正确；根据折叠的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，得到，由，得到，故②错误；由，得到，根据三角形的外角的性质得到，故③正确；根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到的周长，故④正确． 【详解】解：∵沿着直线折叠得到， ， 平分， ∴故①正确； ∵沿着直线折叠得到， ， ， ， ， ， ， ， ∵沿着折叠得到， ， ， ， ， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∴的周长，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 约分：______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．通过寻找分子和分母的公因式进行约分即可． 【详解】解：分子和分母的公因式为， 给分子和分母同时除以得原式． 故答案为：． 10. 计算：______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为： 11. 如图，在和，，，当添加一个条件______  时，就可得到． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】已知两组对应边相等，由全等三角形的判定方法即可得到答案；本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知：如图，AD是△ABC中BC边上的高，∠ABC=42°，AE平分∠BAC，∠ACB=70°，则∠DAE=_________度． 【答案】14 【解析】 【分析】先利用三角形的内角和求出∠BAC，根据三角形的高、角平分线的性质，求出∠ADC、∠BAE，再利用外角和内角的关系先求出∠AEC，再求出∠EAD． 【详解】解：∵∠ABC=42°，∠ACB=70°， ∴∠BAC=68°． ∵AD是△ABC中BC边上的高， ∴∠ADC=90°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=34°． ∵∠AEC=∠B+∠BAE =42°+34° =76°， ∠ADC=∠EAD+∠AEC， ∴∠EAD=90°-∠AEC =90°-76° =14°． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及推论，掌握三角形的内角和是180°，三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和是解决本题的关键． 13. 若的展开式中只含有项，则m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用单项式乘以多项式的运算法则先将原式展开，再合并同类项，根据题意，只需系数不为零，其他项的系数为零即可解答． 【详解】[解析]． ∵的展开式中只含有项， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查单项式乘多项式、合并同类项，掌握单项式乘以多项式的运算法则，能根据题意得出等价条件是解答的关键． 14. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 _______．（请填上正确的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：（，不可以验证平方差公式． 故答案为：①②． 15. 如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 16. 在我国南宋数学家杨辉的《详解九章算法》一书中，给出了展开式的系数规律，如图． 当式子的值为时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出是解题的关键． 根据题意，得出的展开式，据此得出关于的等式，再进行求解即可． 【详解】解：的展开式各项系数依次为：，，，，， 令，， 可得：， 则， 或， 解得：或 故答案为：2或 三、解答题：本题共8小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘多项式计算即可； （2）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘除法，然后合并同类项即可； （3）根据多项式除以单项式的方法计算即可． 本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ． 18. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）利用平方差公式因式分解即可； （3）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 19. 已知：如图，C是的中点，． 求证： 【答案】 证明：∵C是的中点， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明即可得到结论． 【详解】略 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘多项式计算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式和相应的运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时， 原式 21. 如图，在中，． （1）尺规作图，求作的平分线交于点E；（保留作图痕迹） （2）由（1）可知点E到的距离相等，依据是______； （3）取边的中点D，连接，画出边上的高； （4）若的面积是20，，则_____．（直接写出结果） 【答案】（1）如图，射线即为所求． （2）角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 （3） 如图，即为所求． （4） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）结合角平分线的性质可得答案． （3）先作的垂直平分线找到的中点D，连接，再结合三角形的高的定义过点B作的垂线即可． （4）由题意得，即，求出即可． 本题主要考查尺规作图，熟练掌握尺规作图的基本方法，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知点E到的距离相等，依据是角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 故答案为：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 点D为边的中点，的面积是20， ， ， ， 故答案为： 22. 如图，在中，D是的中点，，垂足分别是． 求证： （1）； （2）是的角平分线． 【答案】（1） 证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴ ∴． （2） 证明：∵，， ∴平分， ∴是的角平分线． 【解析】 【分析】（1）先说明，再根据可证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由再结合角平分线的判定即可得是的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 23. 【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A.；B.；C.；D. ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． （2）【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． （3）【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． （4）【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 【答案】（1）①B；② （2） ①证明：如图2，延长到点F，使得，连接 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②且 （3） ①证明：作交的延长线于H，如图， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 与为偏等积三角形； ②6 （4）42000 【解析】 【分析】（1）①延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； ②由全等三角形的性质可得，结合三角形的三边关系即可求出的取值范围； （2）①延长到点F，使得，连接，由第（1）问方法可证明，得出，，结合同角的补角相等可证，得出，即可证明结论； ②延长交于点P，延长使，连接，证明，得出，，证明，得出，，进而推导出；由，推导出，进而得到； （3）①作，交的延长线于H，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再依据偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，过点A作，交的延长线于M，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：①如图1，延长到点E，使， 是的中点， ， 在和中， ， ， 故答案为：B； ②， ， 在中，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②；；理由如下： 如图3，延长交于点P，延长使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ， ， ， ， ； 综上所述，且； 【小问3详解】 ①略 ②延长到点H，使得，连接，如图5， ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， 偏等积三角形有与，与，与，与，与，与6组； 故答案为：6； 【小问4详解】 如图6，过点A作，交的延长线于M， ， 点G为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （元）， 答：修建小路的总造价为42000元． 故答案为：． 24. （1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 【答案】 （1），理由如下： 如图1，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）或或 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，，即可得出结论； （2）先证明，得出，，即可得出结论； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等可知：，而，的长由，的位置决定，故需要对，的位置分三种情况讨论：当E在上，D在上时，即时；当E在上，D在上时，即时；当E到达A，D在上时，即时；分别根据建立一元一次方程，解方程即可求出t的值． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）分三种情况： 当E在上，D在上时，即时， ，， ，， ， 以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ， ， 解得：； 当E在上，D在上时，即时， 此时D与E重合， ，， ， ， 解得：； 当E到达A，D在上时，即时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并在动点问题中运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $