专题01 集合与常用逻辑用语（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学二轮复习讲练测

专题01 集合与常用逻辑用语 目 录 · 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 · 思维导图·体系构建 打破章节边界，搭建知识体系框架 · 题型精讲·知能进阶 跟踪真题动向，夯实知识思维迁移 考点一 集合 真题动向 知识整合 知识点01代表元素优先识别 知识点02集合元素三特性的做题用途 知识点03 n个元素有限集合的计数公式 知识点04交、并、补常用运算性质 题型精讲 题型01元素与集合的关系 题型02根据集合的包含关系求参数 题型03集合的交并补运算 题型04交并补运算的求参问题 题型05以集合为载体的创新题 考点二 常用逻辑用语 真题动向 知识整合 知识点01充分条件与必要条件基础推导定义 知识点02集合判断法判断充分条件、必要条件 知识点03量词符号含义 知识点04含量词命题的否定 题型精讲 题型01充分条件与必要条件 题型02全称量词命题与存在量词命题 知识单元 高考解读 命题预测 集合 集合以小题高频出现，承担基础入口功能，考查形式为24-1单选、25-2单选、26-3单选，难度覆盖容易（0.94）、较易（0.85）。2024年在1题出现；2025年在2题出现；2026年在3题出现。三年题位稳定在单选前3题，运算对象从纯数集扩展到幂函数、三角特殊值载体，主线始终是交、补运算的准确转化。 预计在2027年高考中，集合仍为必考基础考点，大概率以5分单选题形式出现，侧重交、并、补运算，多与一元一次、二次不等式交汇，需用数轴法辅助求解，偶涉含参问题或空集特例。 常用逻辑用语以渗透式考查为主，核心仍是充分、必要条件判断，常结合函数、立体几何等知识，全称与存在量词命题真假判断或成潜在考点，整体难度较不高。 常用逻辑用语 常用逻辑用语三年未独立设题，但条件转化、分类讨论、反证法和集合包含关系在函数、导数、数列新定义中持续渗透；复习时应嵌入证明书写和综合题逻辑链训练。 考点一 集合 真·题·动·向 1．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得,又因， 则. 2．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 3．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 知·识·整·合 知识点01 代表元素优先识别。 集合的本质由代表元素决定： （1）：函数定义域（x的取值）； （2）：函数值域（y的取值）； （3）：函数图像上点的集合，求交集等价于解方程组。 知识点02 集合元素三特性的做题用途。 （1）确定性：用来判断对象能否构成集合； （2）互异性：参数求解后必回代检验，舍去造成元素重复的解； （3）无序性：集合与元素的排列顺序无关。 知识点03 n个元素有限集合的计数公式。 若集合A含有n个元素，则则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 提示：空集的子集个数为，即空集的子集是它本身。 知识点04 交、并、补常用运算性质。 （1）交换律：，； （2）结合律：，； （3）分配律：，； （4）德摩根定律：，； （5）特殊情形：，，，。 易错提醒： ①参数求范围时遗漏空集情况，直接丢分； ②求出参数后忘记利用元素互异性回代检验； ③不等式集合求参数，区间端点等号是否可取，必须代回原题验证； ④混淆数集与点集，把点集交集的运算当作数集运算； ⑤题目给定全集U时，补集必须依托该全集，不能默认实数集R。 题·型·精·讲 题型01元素与集合的关系 1．（2025·江苏盐城·三模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 2．（2026·广东揭阳·模拟预测）已知集合．若，则实数的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过已知条件，得到且，进而分别求出实数的取值范围即可. 【详解】由于集合，即集合，或， 已知，则且，所以实数满足，解得， 因此实数的最大值是，故C正确. 3．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合， 所以，故A正确； 元素与集合之间没有子集与真子集关系，故CD错误. 4．（2025·河南郑州·二模）已知集合，，则（    ） A． B．0 C．或 D．1 【答案】C 【详解】解：，或， 解得或，经检验符合题意， 或． 5．（2025·广东广州·三模）已知，则“”是“集合中只有一个元素”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出集合A，利用充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】若集合A中只有一个元素，则或.所以或. 所以“”是“集合A中只有一个元素”的充分不必要条件 6．（2026·吉林通化·一模）（多选）已知集合，若，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】BC 【分析】先解不等式，得出，再根据元素与集合的关系建立不等式组求解，选择符合范围的选项即可. 【详解】.因为， 所以，解得． 所以的值可以是. 7．（2025·吉林四平·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】由得到将中的代入，得到关于的不等式，求解这个不等式即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为，且， 所以，解得，即或， 则实数的取值范围是. 题型02根据集合的包含关系求参数 8．（2025·四川内江·一模）集合，，若，则实数可能的值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由于，故或或，且， 即或或，共4个. 9．（2025·河北沧州·二模）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，， 当时，取，可得，但不满足，即，不符合的条件； 当时，对任意，均有恒成立，即所有中的元素都属于，满足， 因此实数的取值范围是. 10．（2025·湖北襄阳·一模）设集合，，若，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】，或. 因为， 所以，因此实数a取值范围是. 11．（2025·河北衡水·模拟预测）设不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，即，所以， 而，，则，即实数的取值范围是. 12．（2025·甘肃陇南·三模）（多选）已知集合 集合，若⊆，则实数的取值可以是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【详解】由，即，得. 选项A，当时，由得，而，故知，故A正确； 选项B，当时，方程即，无解，，由空集是任何集合的子集知，故B正确； 选项C，当时，由得，而，故，故C正确； 选项D，当时，由得，而，故，故D错误. 13．（2026·甘肃定西·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】，，， 则，解得， 故实数的取值范围是. 题型03集合的交并补运算 14．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又，则有． 15．（2026·黑龙江双鸭山·一模）已知集合，集合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式求得集合，列举法写出集合，然后求得. 【详解】解不等式，即，所以， 即，， 所以. 16．（2025·河南周口·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，而，所以. 17．（2026·河北保定·一模）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数以及根式的性质化简集合，即可利用集合的交集和补集定义求解. 【详解】对于，由得，故，， 对于，由得，故， 则. 18．（2026·山西大同·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和的正弦，余弦和正切公式求解集合，再由集合的交集即可求解. 【详解】因为， 所以 ， ， ， 故，， 所以． 19．（2025·江苏南通·三模）若函数，的定义域分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则， 由，得，则， 所以． 题型04交并补运算的求参问题 20．（2025·四川攀枝花·一模）设常数，集合，，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则. 当时，，满足，所以符合题意； 当时，若，则，解得. 综上，. 21．（2025·江苏镇江·二模）已知集合，，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合选项依次判断即可． 【详解】当=时，，不合题意； 当=时，，不合题意； 当=时，，符合题意； 当=时，，不合题意． 22．（2026·山东济宁·一模）已知集合，，若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【详解】因为，所以集合与共有2个元素相同，所以或． 当，即时，则，，符合题意； 当，即时，则，不满足集合中的元素的互异性，舍去． 故实数的值为0． 23．（2026·湖北随州·一模）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，所以， 若，则，解得，符合题意； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是， 又是的子集，故也符合题意. 24．（2025·湖南衡阳·二模）已知，全集，集合，．若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解法分别求出集合，再根据补集的定义求出，由，可得，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】， 则， ， 因为，所以，所以， 因为，所以， 所以或，解得或， 又，所以， 故实数的取值范围为. 25．（2025·甘肃武威·三模）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】{或} 【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由确定实数的取值范围；方法二，考虑的反面，利用补集思想求解. 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 题型05以集合为载体的创新题 26．（2025·黑龙江伊春·二模）若集合中至少有个元素，且满足：①对于任意的，若，则；②对于任意的，若，则.若有个元素，则可能有（ ） A．个元素 B．个元素 C．个元素 D．个元素 【答案】B 【分析】设出集合的三个元素，利用条件①推导出集合中必须包含的元素，再利用条件②推导出中元素之间的差值关系，进而确定中元素的个数. 【详解】由于集合有个元素，不妨设，其中， 由①知，则必有，，， 由②知，，，， 显然有， 若，则，此时中有元素，则符合， 此时中有个元素； 若，则有即， 此时中有个元素， 综上所述，中有个元素，故B正确. 27．（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【分析】根据分类讨论可得. 【详解】时，，因此，其长度为0，不合题意； 时，，，，则的长度为，，，长度为， 时，，，，则的长度为，，，长度为， 所以的长度为5. 28．（2026·甘肃兰州·二模）已知集合，，，对，若一定存在，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据集合的关系及集合的性质判断即可. 【详解】集合中和为11的数组：，，，，. 集合，即集合一定能找到两个元素和为11. 从每组数据中最多挑选出一个数字，最多挑选5个数字，任意两数和都不等于11， 故若要中一定存在两个元素和为11，选取元素个数需大于5，即5组数据中至少有1组两个数字都被选中， 因此的最小值为6. 29．（2026·湖北十堰·一模）已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用容斥原理求解. 【详解】根据容斥原理得：， 所以：，所以 30．（2026·四川巴中·一模）定义非空数集的“跨度”为，即数集中的最大值与最小值的差．已知集合，，若，则实数__________． 【答案】或6 【分析】先解出集合，然后根据新定义分类讨论即可. 【详解】由， 因为恒成立，所以集合， 由，即的最大值与最小值的差为，则， ①若时，不满足题意； ②若时，则不满足题意； ③若时，需满足，即 此时最大值为，最小值为，则，解得：满足题意； ④若时，需满足，即 此时最大值为，最小值为，则，解得：满足题意. 考点二 常用逻辑用语 真·题·动·向 1．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 知·识·整·合 知识点01 充分条件与必要条件基础推导定义 若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。据此分四种： （1）：p是q的充分不必要条件； （2）：p是q的必要不充分条件； （3）：p是q的充要条件，双向都可以推； （4）：p是q的既不充分也不必要条件。 知识点02 集合判断法判断充分条件、必要条件 设条件p对应集合A，条件q对应集合B： ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 易错提醒： ①看错语句语序，搞反p、q的推导方向； ②使用集合模型求参数时，忽略区间端点能否取等； ③充要条件证明必须分充分性、必要性双向证明，不能只证单向； ④混淆“充分不必要”与“必要不充分”，记错“小推大”。 知识点03 量词符号含义 为全称量词“任意”，为存在量词“存在”。 全称命题：；特称（存在）命题：。 知识点04 含量词命题的否定 规则：改量词，否结论，条件（变量范围）不变。 （1）的否定：； （2）的否定：。 易错提醒： ①做命题否定时改动了x的取值范围； ②混淆“恒成立”与“存在有解”对应的最值，最大、最小搞反； ③结论的逻辑否定写错，例如把否定成，正确否定应是。 题·型·精·讲 题型01充分条件与必要条件 1．（2025·广东梅州·三模）已知，，为互不相等的正实数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先对给定不等式进行等价变形，再判断充分性和必要性． 【详解】解：已知，，为互不相等的正实数，故， ，即， 则， 整理得， 因为， 所以等价于， 即． 判断充分性： 若成立，即，存在两种情况： ①，即， ②，即， 因此无法推出，充分性不成立； 判断必要性： 若成立，则， 因此，即， 可推出，必要性成立． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时成立，但不成立，故“”不是“”的充分条件； 若，则，即，故“”是“”的必要条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 3．（2026·湖南怀化·模拟预测）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当且时，成立， 当，取，则“且”不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件. 4．（2025·江苏连云港·二模）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用举反例说明充分性不成立；借助于指数函数的单调性说明必要性成立即可. 【详解】，若取，满足，但不满足，即充分性不成立； 因是上的增函数，由可得，则，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 5．（2025·宁夏中卫·二模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先代入验证充分性，再利用向量平行的坐标交叉相乘相等的条件解方程，得到平行的全部参数解，进而判断必要性不成立． 【详解】充分性：若，则，， 满足，即成立，所以“”可推出“”，即充分性成立， 必要性：由，得，解得或， 所以“”无法推出“”，即必要性不成立， 综上“”是“”的充分不必要条件 6．（2025·云南临沧·二模）在中，“”是为锐角三角形的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】借助正弦定理将正弦等式转化为边的关系，结合余弦定理判断最大角类型验证充分性，举反例验证必要性不成立，进而确定条件类型． 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得， 即，，， 充分性验证：若，代入正弦定理得， 由得，同理， 故为最大边，对应角为的最大内角， 将两边除以得， 由于，因此，同理， ，则， 所以 角 为锐角，又角为的最大内角， 因此所有内角均为锐角，即为锐角三角形，充分性成立； 必要性验证：取等边三角形为例，此时，， 左边，右边， 显然左右两边不相等，即必要性不成立； 综上，“”是“为锐角三角形”的充分不必要条件，A选项正确． 7．（2026·湖北荆州·二模）已知函数的定义域为R，对任意，定义，则“是偶函数”是“任意的，对，都有”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设p：是偶函数，q：任意的，对，都有. 若是偶函数，则有，，即，即； 命题q：任意的，对，都有， 即时，， 设，，则对于任意，都有时，可知. （举例：假设，，对于任意均有，但，违反了命题q，所以b不能大于a，同理，a不能大于b，所以.） 即，则是偶函数，即. 综上可知，所以“是偶函数”是“任意的，对，都有”的充要条件. 题型02全称量词命题与存在量词命题 8．（2025·河南南阳·三模）若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据命题的否定的概念求解即可. 【详解】命题的否定为：. 9．（2025·湖南邵阳·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】，，故A错误； ，，故C错误； ，，故D错误； ，，例如，故B正确. 10．（2025·江西萍乡·三模）若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“存在，使得成立”为假命题， 则其否定“对任意，恒成立”为真命题. 由，将不等式变形为，该不等式要在上恒成立， 则需小于等于的最小值. 根据基本不等式，当时，，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围是. 11．（2025·江苏徐州·二模）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将问题转化为当时，恒成立，再利用二次函数的性质，及不等式恒成立的充要条件得到，进而解不等式即可． 【详解】由命题为假命题， 则命题：，都有为真命题， 即当时，恒成立， 又当时，，所以，解得，或． 所以实数的取值范围为． 12．（2026·山西吕梁·模拟预测）实数a满足命题“，是假命题，写出a的一个可能取值是________________. 【答案】 （答案不唯一，满足的任意实数均可，一个可能取值是2） 【详解】若命题“”为假命题，则其否定“”为真命题. 利用二次函数恒成立条件：二次函数的二次项系数为，图象开口向上， 要使对任意实数，函数值恒大于0，需判别式， 即， 有，解得，所以a的一个可能取值为2. 13．（2025·湖南娄底·三模）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据不等式无整数解，对的范围进行讨论，写出不等式的解集，即可求解． 【详解】因为“，”为假命题， 当时，原不等式变为，解得，存在整数解，不合题意； 当时，的两根为，且， 所以原不等式的解为，或，有整数解，不合题意； 当且时，，原不等式的解集为， 由题意知，解得，且； 当时，原不等式变为，无整数解，符合题意， 综上，的取值范围为． 14．（2026·四川乐山·模拟预测）若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为“，，使得”为假命题，所以，，使得”为真命题， 令，则，则在上单调递增， 因为，所以. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 目 录 · 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 · 思维导图·体系构建 打破章节边界，搭建知识体系框架 · 题型精讲·知能进阶 跟踪真题动向，夯实知识思维迁移 考点一 集合 真题动向 知识整合 知识点01代表元素优先识别 知识点02集合元素三特性的做题用途 知识点03 n个元素有限集合的计数公式 知识点04交、并、补常用运算性质 题型精讲 题型01元素与集合的关系 题型02根据集合的包含关系求参数 题型03集合的交并补运算 题型04交并补运算的求参问题 题型05以集合为载体的创新题 考点二 常用逻辑用语 真题动向 知识整合 知识点01充分条件与必要条件基础推导定义 知识点02集合判断法判断充分条件、必要条件 知识点03量词符号含义 知识点04含量词命题的否定 题型精讲 题型01充分条件与必要条件 题型02全称量词命题与存在量词命题 知识单元 高考解读 命题预测 集合 集合以小题高频出现，承担基础入口功能，考查形式为24-1单选、25-2单选、26-3单选，难度覆盖容易（0.94）、较易（0.85）。2024年在1题出现；2025年在2题出现；2026年在3题出现。三年题位稳定在单选前3题，运算对象从纯数集扩展到幂函数、三角特殊值载体，主线始终是交、补运算的准确转化。 预计在2027年高考中，集合仍为必考基础考点，大概率以5分单选题形式出现，侧重交、并、补运算，多与一元一次、二次不等式交汇，需用数轴法辅助求解，偶涉含参问题或空集特例。 常用逻辑用语以渗透式考查为主，核心仍是充分、必要条件判断，常结合函数、立体几何等知识，全称与存在量词命题真假判断或成潜在考点，整体难度较不高。 常用逻辑用语 常用逻辑用语三年未独立设题，但条件转化、分类讨论、反证法和集合包含关系在函数、导数、数列新定义中持续渗透；复习时应嵌入证明书写和综合题逻辑链训练。 考点一 集合 真·题·动·向 1．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 知·识·整·合 知识点01 代表元素优先识别。 集合的本质由代表元素决定： （1）：函数定义域（x的取值）； （2）：函数值域（y的取值）； （3）：函数图像上点的集合，求交集等价于解方程组。 知识点02 集合元素三特性的做题用途。 （1）确定性：用来判断对象能否构成集合； （2）互异性：参数求解后必回代检验，舍去造成元素重复的解； （3）无序性：集合与元素的排列顺序无关。 知识点03 n个元素有限集合的计数公式。 若集合A含有n个元素，则则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 提示：空集的子集个数为，即空集的子集是它本身。 知识点04 交、并、补常用运算性质。 （1）交换律：，； （2）结合律：，； （3）分配律：，； （4）德摩根定律：，； （5）特殊情形：，，，。 易错提醒： ①参数求范围时遗漏空集情况，直接丢分； ②求出参数后忘记利用元素互异性回代检验； ③不等式集合求参数，区间端点等号是否可取，必须代回原题验证； ④混淆数集与点集，把点集交集的运算当作数集运算； ⑤题目给定全集U时，补集必须依托该全集，不能默认实数集R。 题·型·精·讲 题型01元素与集合的关系 1．（2025·江苏盐城·三模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东揭阳·模拟预测）已知集合．若，则实数的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·二模）已知集合，，则（    ） A． B．0 C．或 D．1 5．（2025·广东广州·三模）已知，则“”是“集合中只有一个元素”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·吉林通化·一模）（多选）已知集合，若，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 7．（2025·吉林四平·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_________. 题型02根据集合的包含关系求参数 8．（2025·四川内江·一模）集合，，若，则实数可能的值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·河北沧州·二模）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北襄阳·一模）设集合，，若，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北衡水·模拟预测）设不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．（2025·甘肃陇南·三模）（多选）已知集合 集合，若⊆，则实数的取值可以是（    ） A． B．0 C． D．1 13．（2026·甘肃定西·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 题型03集合的交并补运算 14．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·黑龙江双鸭山·一模）已知集合，集合，则等于（     ） A． B． C． D． 16．（2025·河南周口·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 17．（2026·河北保定·一模）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 18．（2026·山西大同·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 19．（2025·江苏南通·三模）若函数，的定义域分别为，，则（    ） A． B． C． D． 题型04交并补运算的求参问题 20．（2025·四川攀枝花·一模）设常数，集合，，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 21．（2025·江苏镇江·二模）已知集合，，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 22．（2026·山东济宁·一模）已知集合，，若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 23．（2026·湖北随州·一模）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（     ） A． B． C． D． 24．（2025·湖南衡阳·二模）已知，全集，集合，．若，则实数的取值范围为________． 25．（2025·甘肃武威·三模）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 题型05以集合为载体的创新题 26．（2025·黑龙江伊春·二模）若集合中至少有个元素，且满足：①对于任意的，若，则；②对于任意的，若，则.若有个元素，则可能有（ ） A．个元素 B．个元素 C．个元素 D．个元素 27．（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 28．（2026·甘肃兰州·二模）已知集合，，，对，若一定存在，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 29．（2026·湖北十堰·一模）已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 30．（2026·四川巴中·一模）定义非空数集的“跨度”为，即数集中的最大值与最小值的差．已知集合，，若，则实数__________． 考点二 常用逻辑用语 真·题·动·向 1．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知·识·整·合 知识点01 充分条件与必要条件基础推导定义 若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。据此分四种： （1）：p是q的充分不必要条件； （2）：p是q的必要不充分条件； （3）：p是q的充要条件，双向都可以推； （4）：p是q的既不充分也不必要条件。 知识点02 集合判断法判断充分条件、必要条件 设条件p对应集合A，条件q对应集合B： ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 易错提醒： ①看错语句语序，搞反p、q的推导方向； ②使用集合模型求参数时，忽略区间端点能否取等； ③充要条件证明必须分充分性、必要性双向证明，不能只证单向； ④混淆“充分不必要”与“必要不充分”，记错“小推大”。 知识点03 量词符号含义 为全称量词“任意”，为存在量词“存在”。 全称命题：；特称（存在）命题：。 知识点04 含量词命题的否定 规则：改量词，否结论，条件（变量范围）不变。 （1）的否定：； （2）的否定：。 易错提醒： ①做命题否定时改动了x的取值范围； ②混淆“恒成立”与“存在有解”对应的最值，最大、最小搞反； ③结论的逻辑否定写错，例如把否定成，正确否定应是。 题·型·精·讲 题型01充分条件与必要条件 1．（2025·广东梅州·三模）已知，，为互不相等的正实数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·辽宁抚顺·一模）已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖南怀化·模拟预测）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·江苏连云港·二模）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（2025·宁夏中卫·二模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（2025·云南临沧·二模）在中，“”是为锐角三角形的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·湖北荆州·二模）已知函数的定义域为R，对任意，定义，则“是偶函数”是“任意的，对，都有”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02全称量词命题与存在量词命题 8．（2025·河南南阳·三模）若，则为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南邵阳·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（2025·江西萍乡·三模）若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．（2025·江苏徐州·二模）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·山西吕梁·模拟预测）实数a满足命题“，是假命题，写出a的一个可能取值是________________. 13．（2025·湖南娄底·三模）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为________． 14．（2026·四川乐山·模拟预测）若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $